2023年经济数学基础形成性考核册及参考答案讲义.pdf

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1、经 济 数 学 基 础 形 成 性 考 核 册 及 参 考 答 案 作 业(一)(一)填 空 题%-s in x _.1.lim-=_.答 案:0XTO xx2+1 戈 W()2.设/(%)=,在 X=0 处 连 续，则=_.答 案：1、k,x=03.曲 线 y=在(1,1)的 切 线 方 程 是 _.答 案：y=-x+-2 24.设 函 数/(x+1)=X2+2x+5,则 f(x)=.答 案:2x5.设/(x)=x s in x,则/号=.答 案:-(二)单 项 选 择 题 Y 11.函 数 y=,的 连 续 区 间 是()答 案：D厂+x 2A.(-oo,l)U(l,4-oo)B.(-oo

2、,-2)kJ(-2,4-00)C.(oo,2)D(2,1)D(l,4-oo)D.(-oo,-2)U(-2,+oo)或(-oo,l)U(l,+oo)2.下 列 极 限 计 算 对 的 的 是()答 案：BA.lim W=l2 XB.lin1k L iX f 0+XC.lim x s in=1s Xsin xD.lim-XT8 X3.设 y=lg 2 x,则 d y=().答 案：BA.d r2x1,B.-d rx ln lOInlOC.-d r D.d rx4.若 函 数/在 点 代 处 可 导，则)是 错 误 的.答 案:Bx(A.函 数 F(x)在 点 x o处 有 定 义 B.lim/(%

3、)=A,但 A w/(x 0)X T&)C.函 数/在 点 X。处 连 续 D.函 数/(x)在 点 xo处 可 微 5.当 x-0 时，下 列 变 量 是 无 穷 小 量 的 是().答 案:Csin xA.2X B.-C.ln(l+x)D.cosxx（三）解 答 题 1.计 算 极 限.3x+2(尤 一 2)(x 1)x 2 1 x-1-l)(x+1)1-I(x+1)2.x 5x+6.(x 2)(x 3).x-3 12)l i m-.=lim-=lim-=-1 2 X-6x+8 x-2(%-2)(x 4)1 2(x 4)2ryjl x 1 r(J l x 1)(J l X+1)3)lim-

4、=lim-0 x x(V l-x+l)X-1 1=lim-.-=lim-.-=1。+1)(V P x+1)2.x 3x+5(4)lim；-3x+2 x+4limX T 8 3 51-1-2 1X x=I3+弓 x x、sin 3x(5)lim-5 sin 5xv5xsin 3x 3 3lim-=x-03xsin5x5 5、X2-4 r(X-2)(X+2)(6)h m-=lim-%-2 s in(x-2)12 sjn(x-2)=4xsin+/?,x 0 x2.设 函 数 f（x）=0 x问：（1）当。力 为 什 么 值 时，/（幻 在 x=0处 有 极 限 存 在？（2）当。力 为 什 么 值

5、时,/（幻 在 x=0处 连 续.答 案：（1）当/?=1,。任 意 时,/（幻 在 x=0处 有 极 限 存 在;（2）当。=6=1时,/（工）在 工=0处 连 续。3.计 算 下 列 函 数 的 导 数 或 微 分：（V）y=x2+2V+log2 工 _22,求），答 案:y=2x+2ln2+xln 2cx+d,_acx+d)-cax+b)_ a d-c b(cx+d)2(cx+d)2(3)y=_y 1:，求 yj3x-51-3答 案：y=(3-5)2/=-V3x-5 2j(3x-5)3(4)y=-x e*y 答 案:V=)(x+l)e”2jx(5)y=e*sin/zx,求 dy答 案：y

6、=(e)sin c+e”(sin bx=ae sin hx+e“cosftx b=eax s in 4-Z?cos bx)dy=(a sin bx+b cos bx)dxI(6)y=er+x4x,求 dy(7)y=cosVx ef,求 dy答 案：dy=（2混 孑 一 四/）dx2vx(8)y=sin x+sin 工，求 y答 案:y=sini xcosx+cosnxnn(s in xcosx+cosnx)(9)y=ln(x+Jl+x),求 V答 案x+vl+x=(1+1(1+X*1 2P 2 X)xexy+cos(x+y)5.求 下 列 函 数 的 二 阶 导 数:(1)y=ln(l+x2)

7、,求 y依-H 2-2x-答 案：y=-(0)21 Y(2)y=7=，求 y及 y yJX3-I-答 案：r F=ix+Jl+x 2x+Jl+(1+)Jl+X1+x21 c、c。2 l+V 2 x#,(l 0)y=2 x+-尸-，求 ycot,答 案:y，=2_ x In 2-1 X-2+1-X2.1 2 6x sin x564.下 列 各 方 程 中 y 是 x 的 隐 函 数,试 求 yr或 dy(l)x2+y2-xy+3x=1,求 dy答 案：解：方 程 两 边 关 于 X 求 导:2x+2y/-y-xy+3=0(2y-x)yf=y-2 x-3dy 32 xdx2y-x(2)sin(x+

8、y)+c=4x,求 y答 案:解：方 程 两 边 关 于 X 求 导 cos(%+y)(l+/)+exyy+孙)=4(cos(x+y)+exyx)yf=4-yexy-cos(x+y),_ 4-yexy-cos(x+y)作 业（二）（-）填 空 题 1.若 J/(x)ck=2+2x+c,则/(x)=.答 案:2In 2+22.J(sinx)dx=.答 案:sinx+c3.若 J/(x)dx=F(x)+c,则 J4(l x2)dr=.答 案：一 1/(1一 尤 2)+。d re r4.设 函 数 一 ln(l+x)dx=.答 案：05.若 尸(x)=以=d f，则 P(x)=.答 案：一 J(二)

9、单 项 选 择 题 1.下 列 函 数 中，（）是 xs i n d 的 原 函 数.1,A.COSJT B.2cosx2C.-2co s x11,D.-cosx-2 2答 案：D2.下 列 等 式 成 立 的 是（).A.sinrdr=d(cosr)B.In xdx=d(i)XC.2Adr=d(2A)D.d x=dVxIn 2 Jx答 案:C3.下 列 不 定 积 分 中，常 用 分 部 积 分 法 计 算 的 是（）.A.|cos(2x+l)dx,B.Jxjl-x2dx答 案:CC.|xsin2xdx D.J l+x2dA-4.下 列 定 积 分 计 算 对 的 的 是(A.j 2xAx=

10、2C.f(x2+x3)dx=OJ-n答 案:D).f 16B.J dx=15p z rD.sinAdr=0J-n5.下 列 无 穷 积 分 中 收 敛 的 是（).:+8 1 f+oo j 广+8A.I dx B.I dr C.I edxJi%Ji x2 J。答 案:B(三)解 答 题 1.计 算 下 列 不 定 积 分 D.+0 0.sirirdx3X答 案：七 心 二 八)xdx=ex3+Cln-e 尸 dxJ NxC(1+X)，r(1+2x+%2)r 1答 案 dx=-尸-dx=F(x 2+2x2+x2)dxJ Nx J Jxi-4-2-=2yjx+x2+x2+c3 5 Jx2-4x+2

11、dx-dx=f-d(l-2x)=_ ln|l-2x|+c1 0 v-0*1 一 0 V-o答 案：j-ck=j(x-2)(k=-x2-2x+cx+2 2(4)J答 案：(5)j x72+x2dx_ i _ 2 1 2答 案：jxyl2+x2(ix=JA/2+x2d(2+x)=(2+x2)+c2 3J dx=2 j sinVxdVx=-2cos-Zx+cr x(7)xs in drJ 2答 案：JxsinT(ix=-2jxdcos；(Lx=-2c xcos 无+2c ccs幻 d x=-2Cx cosX+4A si-n x+c2 J 2 2 2(8)J ln(x+l)dr答 案：j ln(x+1

12、)dr=J ln(x+l)d(x+1)=(x+l)ln(x+l)-J(x+l)d ln(x+l)=(x+l)ln(x+l)-x+c2.计 算 下 列 定 积 分(1)J Jl-x|dx答 案：J|1-+(x-l)dx=(x-x2)|!.1+(g/-x)|答 案:J；d x=-eNdL_e*；=e-Vefe3 1(3)I dx xVl+In x答 案:e5 1 1 3,dr=d(l+litr)=2(1+In x)2；=21 xjl+lnx Jl Vl+lnx71(4)|2x c o s 2 M rJoC f J 答 案：f 2 xcos2xdx=-2 xdsin 2x=xsin 2%：Jo 2J

13、o 2。-f2sin 2xdx=-2Jo 2(5)xlnxdx答 案:J；xln Adx=；J：ln xdx2=x2 In#1/din x+1)(6)(1+xe-)dr答 案:J：(+xe-)dx=J：xde*=3 旄-：+J：e dr=5+Se-4作 业 三(一)填 空 题-1 0 4-5一 1.设 矩 阵 人=3-2 3 2，则 A 的 元 素/3=答 案：32 1 6-12.设 均 为 3阶 矩 阵，且 网=恸=一 3,则|一 24叫=.答 案：-723.设 A,8 均 为 阶 矩 阵，则 等 式(A-8)2=屋 一 2AB+B2成 立 的 充 足 必 要 条 件 是 答 案：AB=BA

14、4.设 A,8 均 为 阶 矩 阵，(/-B)可 逆,则 矩 阵 A+BX=X 的 解 X=答 案:(/一 5厂 以 1 0 05.设 矩 阵 A=0 2 0，则 A T=.答 案:A0 0-3(二)单 项 选 择 题 1.以 下 结 论 或 等 式 对 的 的 是().A.若 A 6 均 为 零 矩 阵，则 有 A=BB.若 A 6=A C,且 AwO,则 B=CC.对 角 矩 阵 是 对 称 矩 阵 D.若 A H O,8 H O,则 A B。答 案 C)1-3oO01-2O1oO2.设 A 为 3x4矩 阵，6 为 5x2矩 阵，且 乘 积 矩 阵 ACB，故 意 义，则。,为()矩 阵

15、.A.2 x 4。B.4x2C.3x5。D.5x3 答 案 A3.设 均 为 阶 可 逆 矩 阵,则 下 列 等 式 成 立 的 是（）.A.(A+B)T=A i B.(A B)-1=A-1(3.|蝴=|期 D.AB=BA 答 案 c4.下 列 矩 阵 可 逆 的 是（).A.1 20 233 B.-1 01 0-110 0 3 2 3C.1 10 02 2 2D.125.矩 阵 A 343434的 秩 是（).A.0 B.1 C.2 D.3 答 案 B三、解 答 题 1.计 算(1)-2 1 0 1-2(2)12答 案 A5 3 1 0 3 50 2 1 0 00-3 0 0 0 032 5

16、 40-1202.计 算 1 2 3-1 2 4 2 4-1 2 2 1 4 3 6 1501-3 2 2 3-1 3-2 7解 1-1122-3322-11224343-126341-25077701912-43.设 矩 阵 A=2I031-1，求|Aq。解 由 于|A4=网 忸|2103-1-11121031-1220=(1产(T)2122=21|B|=102113211002-113-110所 以|4且=同 同=2x0=04.设 矩 阵 A1 22 21 1410，拟 定 4 的 值，使 r(4)最 小。答 案(2)+(l)x(-2)+(1)x(1)10022-414-74(2)(3)1

17、002 41 44 4 77+x(F10021%，44409当;I=二 时,r(A)=2达 成 最 小 值。45.求 矩 阵 A答 2-5 3 2 15-8 5 4 31-7 4 2 04-1 1 2 3的 秩。A案 2-5 3 2 11-7 4 2 0 1-7 4 2 0(2)+(l)x(-5)5-8 5 4 35 8 5 4 3 0 27-15-6 3(1)(3)(3)+(l)x(-2)1-7 4 2 0 2-5 3 2 1 0 9 5 2 I(4)+(l)x(-4)4-1 1 2 34-1 1 2 3 0 27-15-6 3+(2)x(_g)(4)+(2)x(-l)1-7 4 2 00

18、27-15-6 30 0 0 0 00 0 0 0 06.求 下 列 矩 阵 的 逆 矩 阵:1-3 2(1)A=-3 0 11 1-1答 1-3 2 1 0 0(AI)=-3 0 1 0 1 01 1-1 0 0 11(2)+(3)x2()-0 42 1 0 01 1 1 2-3-1 0 1r(A)=2 o(2)+(1)x3+6 x(1)1-30-90 4(3)+(2)x4102 1 0 07 3 1 0案-3-1 0 1-3 2-1 1110 O-1 20 0 1 3 4 9(2)+(3)x(1)；:(l)+(3)x(2):0-5-8-180-2-3-71 3 4 9(2)x(-l)0+乂

19、；-3 0 1 1 31 0 2 3 70 1 3 4 91 1 3A-1=2 3 73 4 9(2)A答(A/)=-13-4-13-422A I)=13-53-6-3-2-16-211案-3 101 00 0 1 0 0-3 01 0(l)+(2)x(3)-4-2 0 00 1 2 1 1 0 0 1(2)+(3)X2)3)+x2(2)+(3)(-l)x(-l)7.252-1四、1 0 0 1-3 0 1 0 0-3 00 0 1 0 1 2 0 1 1 2 6 10100设 矩 阵 4=1031 1 2 6 1 0 0 1 0 1 20 000 025,B=01+6x(-3)证 明 题 1

20、120123 0-1 3 0-7 1 A 1=2-7-112320-1X=B A-120 I 2，求 解 矩 阵 方 程 1 0-3 1(D+(2)X 2x1 0 501 0-1 I21(2)x(-l)1 0 5 20 1 3-11.试 证:若 B1,B2都 与 A 可 互 换，则 用+生，也 与 A 可 互 换。证 明：(5+B2)A=BXA+B2A=A Bt+A B2=+B2),B2A=AB1=A B1 B22.试 证：对 于 任 意 方 阵 A,A+Al/M l A 是 对 称 矩 阵。提 醒：证 明(A+4 T)T=A+(A T)T=A T+A=A+A T(A 4T)T=(AT)rAT

21、=A 4T,(ATA)T=AT(Ar)r=ATA3.设 A 8 均 为 阶 对 称 矩 阵，则 对 称 的 充 足 必 要 条 件 是:A B=B A.提 醒:充 足 性:证 明:由 于 筋=&4.(一 为,=8 4 7=&4=题 必 要 性：证 明:由 于 A B 对 称，A B=(AB)T=84,所 以 A 5=B 44.设 A 为 阶 对 称 矩 阵，6 为 阶 可 逆 矩 阵，且 3 T=3 1 证 明 5 一 么 3 是 对 称 矩 阵。证 明：(B AB)T=BTAT(B-1)r=B A(BT)T=B-lA B作 业(四)(-)填 空 题 1.函 数 f(x)=x+,在 区 间 内

22、 是 单 调 减 少 的.答 案:(-1,0)u(0,1)X2.函 数 y=3(x-l)2的 驻 点 是，极 值 点 是，它 是 极 值 点.答 案：x=l,x=l,小 _p_3.设 某 商 品 的 需 求 函 数 为 式 p)=10e”，则 需 求 弹 性 勺=.答 案：一 2 1 1 14.行 列 式。=-1 1 1=.答 案：4-1-1 1(二)单 项 选 择 题 1 1 1 6-5.设 线 性 方 程 组 A X=。，且 I f0-1 3 2,则 t_ 时，方 程 组 有 唯 一 解.答 案：H-10 0 r+1 01.下 列 函 数 在 指 定 区 间(-8,+00)上 单 调 增

23、长 的 是(0).A.s i nr B.e*C.x 2 D.3-x答 案：B2.已 知 需 求 函 数 g(p)=100 x244。，当 夕=1。时，需 求 弹 性 为().A.4 x 2 In2 B.41n2 C.-41n2 D.-4x2pln2答 案:C3.下 列 积 分 计 算 对 的 的 是().r1 e e,r1 e+e,八 A.-dx=0 B.-dx=0L 2 L 2C.j xsin Adx=0 D.j*(x2+x3)dr=0答 案:A4.设 线 性 方 程 组 A“x X=/?有 无 穷 多 解 的 充 足 必 要 条 件 是().A.r(A)=r(A)m B.r(A)n C.m

24、 n D.r(A)=r(A)n答 案:DX+%=a5.设 线 性 方 程 组 w+七=。2，则 方 程 组 有 解 的 充 足 必 要 条 件 是().X+2X2+X3=。3A.。1+。2+。3=B.Q。2+。3=0C.4+。2 一。3=。D.+&+。3=0答 案:C三、解 答 题 1.求 解 下 列 可 分 离 变 量 的 微 分 方 程：(1)y=e f答 案：$=?J e-yd y=e d x-e-y=ev+c/、dy x ex(2)上=一 dr 3y答 案：J3y2 d y=j x exd x y3=x ex-ex+c2.求 解 下 列 一 阶 线 性 微 分 方 程：,2 a()y-

25、7y=(x+iyx+答 案：p(x)=-,(x)=(x+l)3，代 入 公 式 得 X+1x|j sin 2xd2x+c L=”叫+de21nU+1)|j(x+l)3(x+l)-2Zx+c y=(x+l)2(#+x+c)(2)y-=2xsin2xx!f dx 广-f dx答 案:p(x)=应(x)=2xsin2x,代 入 公 式 得 y=e*2xsin 2xe x dx+cx=e J 2xsin 2xe dx+c=x 2xsin 2x-1dx-cxy x(-cos2x+c)3.求 解 下 列 微 分 方 程 的 初 值 问 题：(1)yf=e2x-y(0)=0答 案：包=e 2 V J edy

26、=J e22x,e，把 y(0)=0 代 入 e=,e+c,cdLx 2 21 y 1 x 1=,e-=e+2 2 2(2)xyf+y-ex=O,y(l)=01 ex 1 ex答 案：y+y=，p(x)=,e(x)=,代 入 公 式 耨 A X A Xy=e*J d x+c=e-lnx felnvJx+c=xdx+c，把 y(l)=O 代 入 J X J _J X J x_J Xy=-(ev+c),C=-e,y=-(ev-e)x x4.求 解 下 列 线 性 方 程 组 的 一 般 解:(1)项+2X3-x4=0-%1 4-x2-3X3+2X4=02$%+5与-3X4=0答 案：,（其 中 项

27、,工 2是 自 由 未 知 量）x2=x3-x4A1 0 2-1 1 0 2-1 1 0 2-1-1 1-3 2 0 1-1 1-0 1-1 12-1 5-3 0-1 1-1 0 0 0 0所 以，方 程 的 一 般 解 为 X 1=-2 X3+X4（其 中 是 自 由 未 知 量）(2)2M-x2+x3+x4=1 X j+2X2-X3+4X4=2%1+7X2-4X3+1 lx4=532134-53-50案 答 2-1 1 1 1-(A/?)=1 2-1 4 21 r A cJ),(2)(2)x-1 2-1 4 2-2-1 1 1 1i r A 11 c(2)+(l)x(-2)(3)+(l)x

28、(-l)-100-2)+(2)1/11-1 2-1 4 20-5 3-7-30 0 0 0 0i/f J L J L J 1 2-1 43 70 1 5 50 0 0 02-350(D+(2)x(1 6X=一/一%+3 7X2=3+（其 中 X,%是 自 由 未 知 量）5.当 4 为 什 么 值 时，线 性 方 程 组 x-x2-5X3+4%=22x,-x2+3X3 x4=1%=有 解，并 求 一 般 解。-1-1-5 4 22-1 3-1 1(A h)=3-2-2 3 3_7-5-9 1()4(2)+(l)x(-2)+6x(-3)(4)+(l)x(-7)-1-1-5 4 20 1 13-9

29、-30 1 13-9-30 2 26-18 A-14较 案.+x(l)(4)+(2)X(-2)-1-1-5 4 20 1 13-9-30 0 0 0 00 0 0 0 2 8(1)+Fl 0 8-5-10 1 13-9-3p o o 0 0()0 0 0 A-8_x,8xo+5xd 1.当 4=8 有 解，(其 中 再,它 是 自 由 未 知 量)IX-,=13x,+9%4 35.a,b为 什 么 值 时,方 程 组 x,-x2-x3=1-0.25+6q,q q6(10)=18.5(万 元/单 位)c(q)=0.5+6,CX1O)=11(万 元/单 位)C（O）=+0.25q+6,=一 粤+0

30、.25=0,当 产 量 为 2 0 个 单 位 时 可 使 平 均 成 本 达 q q q成 最 低。（2）.某 厂 生 产 某 种 产 品 q 件 时 的 总 成 本 函 数 为 C（q）=20+4q+0.01/（元），单 位 销 售 价 格 为=14-0.0%（元/件），问 产 量 为 多 少 时 可 使 利 润 达 成 最 大？最 大 利 润 是 多 少.答 案：R(q)=144 0.01/,L=R(q)_ c=TOq _.02q2 _20,Z/（q）=10 0.04q=0 当 产 量 为 2 5 0 个 单 位 时 可 使 利 润 达 成 最 大，且 最 大 利 润 为 250）=12

31、30（元）。（3）投 产 某 产 品 的 固 定 成 本 为 36（万 元），且 边 际 成 本 为 C（q）=2q+40（万 元/百 台）.试 求 产 量 由 4 百 台 增 至 6 百 台 时 总 成 本 的 增 量，及 产 量 为 多 少 时，可 使 平 均 成 本 达 成 最 低.解:当 产 量 由 4 百 台 增 至 6 百 台 时，总 成 本 的 增 量 为 答 案：C=C(6)C(4)=(2q+4O)47=(/+4Oq)|；=ioo(万 元)C T谭=。当 x=6(百 台)时 可 使 平 均 成 本 达 成 最 低.(4)已 知 某 产 品 的 边 际 成 本 C(q)=2(元/件)，固 定 成 本 为 0,边 际 收 益 R=12 0.024,求：产 量 为 多 少 时 利 润 最 大？在 最 大 利 润 产 量 的 基 础 上 再 生 产 50件，利 润 将 会 发 生 什 么 变 化？答 案：Z/(q)=/?(/c)=10 0.024=0,当 产 量 为 500件 时，利 润 最 大.AL=：(10_ 0.02/斯=(10-0.01/)慨=25(元)即 利 润 将 减 少 2 5 元.