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1、2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖1目录1 问题的提出-32 模型建立与求解-32.1问题 1：居民出行强度和出行总量预测-32.1.1问题分析-32.1.2符号约定-42.1.3居民消费支出预测-52.1.4城市居民人口预测-82.1.5出行强度预测-82.1.6出行总量预测-112.1.7出租车人口预测模型-142.2 问题 2：出租车最佳数量预测-162.2.1问题分析-162.2.2符号约定-172.2.3服务系统模型-182.2.3.1来客速率-18l2.2.3.2服务速率-19m2.2.3.3单车对单人服务速率-19b2.2.3.4状态及状态转移-192.2.3.5模型建立-

2、212.2.3.6模型求解-222.2.4最优化模型-242.2.4.1模型建立-242.2.4.2模型求解-262.2.5模型的验证-262.3问题 3：价格调整方案模型-282.3.1问题分析-282.3.2符号约定-292005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖22.3.3基于价格函数的泛函模型-302.3.4模型求解-332.3.5模型扩展-342.3.6扩展模型求解-352.4 问题 4：数据采集的合理问题-352.5 问题 5：出租车规划短文-363 参考文献-384 附录-384.1附录 I-384.2 附录 2：-402005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖31 问题的提出最近几

3、年，出租车经常成为居民、新闻媒体议论的话题。某 城市居民普遍反映出租车价格偏高，而另一方面，出租车司机却抱怨劳动强度大，收入相对来说偏低，甚至发生出租车司机罢运的情况，这反映出租车市场管理存在一定问题，整个出租车行业不景气，长此以往将影响社会稳定，值得关注。我国城市在未来一段时间内，规模会不断扩大，人口会不断增长，人民生活水平将不断提高，对出租车的需求也会不断变化。如何配合城市发展的战略目标，最大限度地满足人民群众的出行需要，减少环境污染和资源消耗，协调各阶层的利益关系，下列问题是值得深入研究的。（附录中给出了某城市的相关数据）。（1）考虑以上因素，结合该城市经济发展和自身特点，类比国内外城市

4、情况，预测该城市居民出行强度和出行总量，同时进一步给出该城市当前与今后若干 年乘坐出租车人口的预测模型。（2）给出该城市出租车最佳数量预测模型。（3）按油价调价前后（3.87 元/升与 4.30 元/升），分别讨论是否存在能够使得市民与出租车司机双方都满意的价格调整方案。若存在，给出最优方案。（4）本题给出的数据的采集 是否合理，如有不合理之处，请你给 出更合理且实际可行的数据采集方案。（5）请你们站 在市公用事 业管理部门的立场上考虑 出租车规划问题，并将你们的研究成果写成一篇短文，向市公用事 业管理部门概括介绍你们的方案。2模型建立与求解2.1 问题 1：居民出行强度和出行总量预测2.1.

5、1问题分析随着经济的增长，导致了 居民的 累计人均可支 配收入 和累计人均生活消费支出的增长。而这两个指标增长，使得居民人 均出行强度 增大，从而导致居民出行 使用出租车的比例将增大。同时居民和 外来人口的增长，也将导致出租车 使用量的增加。附录列出的跟据统计分析 得到的表格都是基于居民的 实际情况得 到的，而居民的 概念我们认为是常住人口，不包括流动人口。因为根据城市不 同区域居民出行强度的 表格可以看出，全市人数为 184.325 万人，和城市总体规划人口模型中 2004年的常住人口2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖4185.15 万 人 很 接 近，而 不 是 第 一 类 人 口

6、218.15（185.15+33）万人，更 不 是240.15（185.15+55）万人。从统计分析角度来说，居民也应该代表常住人口。因为居民出行强度统计、居民出行目的结构统计、居民出行方式统计、居民不同时距出行方式结构统计、居民出行分方式平均耗时统计、居民出行全方式 OD 分布统计等等这些表格来说，如果居民包括流动人口，那么数据的统计工作将非常困难。相对常住人口来说，流动人口特别是短期及当日进出人口，他们的出行方式、出行强度、出行目的结构、出行方式结构、出行分方式平均耗时和出行全方式 OD 分布变化将非常大，并且在统计上是没有规律可循的。综合上面的分析，我们认为题目中居民的概念只是代表城市的

7、常住人口。要预测今后若干年平均乘坐出租车的人口，首先必须得到居民、暂住人口和第二类人口出行强度和总量的预测值。而出行强度和居民平均收入预测和消费支出预测有关。因此人口总量和平均收入预测和消费支出预测是首先的，在此基础上才可以做出行强度和总量的预测，最后才是平均乘坐出租车的人口的预测。2.1.2 符号约定 出租车日客运总量m 出租车日客运居民总量1m 出租车日客运流动人口总量，显然2m12mmm=+居民人口总量1N 流动人口总量2N时刻总人口量()N tt初始时刻（2004年）总人口量0N选择出租车出行人口总量C 居民中选择出租车出行人口总量1C 流动人口中选择出租车出行人口总量，显然2C12C

8、CC=+时刻居民出行全方式 OD 值()ijStt时刻第 小区出行强度()itIIti2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖5时刻第 小区人口占总人口比例()ir tti时刻总出行强度()tIt时刻总消费支出占总收入的比例()outgo tt 生存性出行强度a时刻第 小区人口数()iP tti 城市小区标号，i1,6n=L时刻城市总人口()Z tt 出租车出行方 式占所 有出行方 式的比例X 出行强度 与总消费支出的比例K第 小区到第 小区的吸引指 数ijdij时刻居民出行总量()M tt2.1.3 居民消费支出预测l问题的 分析居民的出行强度 变化与居民的生 活消费支出关系较为密切，预测

9、城市居民的出行强度规律应首先 分析掌握城市居民的人 均生活消费支出的变化规律。根据题目给定的已知城市2002到 2004年居民 累计收入与消费情况，通过建立时间序列预测模型，可以预测出 以后一个时间段内 的居民 累积收入和消费支出。目前来说常用的时间序列预测模型有，和模型等。(,)ARMA p q(,)ARIMA p qARCH附录 2 中累计人均可支配收入和累积人均生活消费支出是分年累计的。对于缺失的数据项可以根据前后月份的数据差值平滑处理获得。处理后做图如下：2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖6 居民人均可支配收入与生活消费支出波动图 使用SPSS软件对居民收入和累计人均生活消费支出

10、进行独立性检验，可以发现两组数据具有一定的相关性（相关系数为0.726）。以每12个月的处理后数据序列，作出序列的自相关函数图和偏自相关函数图，来检验整体时间序列的平稳性和周期性，可以发现：(1)自相关函数和偏自相关函数均不截尾。(2)数据有明显的周期性，且某一时期其波动剧烈而另一时期又相对平缓，表现出“波动聚集，高峰厚尾，持久记忆”等现象。模型比较适合应用于平稳时间序列的偏相关系数和自相关系数均(,)ARMA p qkfkr不截尾，但较快收敛到 0 的数据序列。对于如本题中波动起伏较大且某一时期其波动剧烈而另一时期又相对平缓的数据序列，经典ARMA 模型已不能较好的拟合和预测，Engle（1

11、982）提出自回归条件异方差（ARCH）模型，把方差和条件方差区分开，让条件方差作为过去误差的函数而变化，为解决异方差提供新的途径。Bollerslev（1986）在此基础上提出广义自回归条件异方差（GARCH）模型，让条件方差作为过去误差和滞后条件方差的函数而变化，更好地体现出波动聚集效应。l预测模型的建立广义自回归条件异方差（）模型GARCH1ktit itiYuYuf-=+1mttit iiuvuj-=-tt tvhe=2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖7211qptit ijtjijhvhwag-=+其中，是时刻及之前的全部信息，为()21|ttthE v-=W1t-W1t-1t

12、-ifijwiajg参数(，)，是均值为 0，方差为 1 的白0,1,;0,1,ijiqjpag=LL111qpijijag=+D=根据已知的该城市的出租车每日载客趟次可以得到l每日载客趟次=24 60 60居民和流动人口的来客速率不同，整类人口的来客速率和该类人口现时刻总数以及性质有 关。假定居民和 流动人口总来客速率分别为和，则，1l2l12lll=+12ll=居民出租车出行人次出租车日客运总量-居民出租车出行人次2.2.3.2服务速率m出租车服务速率是指平均每辆车单位时间服务完的批次数，假设服从负指数分mm布。0()00utu etftt-DD D=D 为每辆车服务完成一个批次使用的平均

13、时间。1m1/=m载客里程数每日载客趟次 出租车平均速度2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖202.2.3.3单车对单人服务速率b可以理解为在某一时刻只有一辆空车和一个等待顾客时，该车遇到该顾客所需要b的时间的倒数。假设服从负指数分布。参数与城市的道路设施状况和城市的规模相bb关，如果城市设施良好，则变大；城市规模越大，越小。bb参数由 2004年该城市的规模和道路情况确定。我们做出一些假设、以便可以通过b计算机模拟的方法得到的具体数据。b1、道路呈均匀田字型网格分布。网格长度为每分钟出租车行使的距离。不考虑一切路障（包括红绿灯）。2、人在田字型网格上固定的一点。3、单个出租车在网格上随机

14、游走，计算当人碰到车时的平均耗时（设定不同初始位置，反复计算）。通过上述模拟机制的运算，可以得到该城市的。10.000001908(1/)sb=平均等待时间（s）2.2.3.4状态及状态转移设 N 为现时刻总出租车数，n 为现时刻正在服务的车辆数，则 N-n 表示现时刻空车辆数，m 为现时刻等待出租车的批次（某一时刻同时坐上一辆出租车的人为一个批次）。为顾客乘出租车平均等待时间。()T t将 n 和 m 组成的一个状态来刻画出租车总服务量和等车顾客总量的系统状态，在下一个时间单位中，状态序列可有如下几种转移：（1）等待顾客批次增加一个，服务车数没有变化。这种状态表(,)(1,)m nmn+示在

15、单位时间内，新增一个批次等出租车顾客，等车顾客中没有等到车，乘出租车顾客也没有下车。转移速率为来客速率。l（2）等待顾客批次不变，正在服务车辆数少一辆。这种状态表(,)(,1)m nm n-示在单位时间内，即没有新增等车顾客，也没有等到车的顾客，乘车顾客中有一个到达目的地。转移速率为单位时间服务完的批次。n u（3）等待顾客批次少一批，正在服务车辆数多一辆。这种状态(,)(1,1)m nmn-+2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖21表示在单位时间内，没有新增等车顾客，也没有下车的顾客，等车顾客中有一个到等到车了。那么由于的值很小，根据假设下发生的转移速率可以近似b(,)(1,1)m nm

16、n-+为：。在此状态下个顾客总体等 待时间为：。()Nnmb-m11()mNnmNnbb=-（）设为稳定状态时，系统处于状态的概率。(,)P m n(,)m n则。1(,)()(,)mnmnP m nNnT(t)P m nmb-=（4）等待顾客批次不变，服务车数不变。这种状态表示在单位时(,)(,)m nm n间内，没有新增等车顾客，没有下车的顾客，等车顾客也没有一个等到车了。服务系统的状态转移图如下图所示：(),m n()1,1mn-+(),1m n+()1,mn+()1,mn-(),1m n-()1,1mn+-()1nm+nmll()Nnmb-()()11Nnmb-+状态转移图系统任意时刻

17、正在服务的车辆数的上界为出租车总量，为了减少问题计算的规nN模，可以假设在等待顾客总数超过 N 时间，新到的顾客损失（可以认为顾客看到的等待顾客过多而不愿意继续等下去）超过出租车总量的情况认为是小概率时间而不于考N虑，则所决定的系统状态数为个。(,)m nNN根据上图的状态转移图可以得到，系统转移状态方程为：+nu+(N-n)mP(m,n)-(n+1)uP(m,n+1)-P(m-1,n)-(N-n+1)(m+1)P(m+1,n-1)=0（）上式的意义表示：稳定状态下，转移到状态的速率等于从状态转移出去(,)m n(,)m n的速率。2.2.3.5模型建立2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖

18、22设为系统状态到状态的转移速率矩阵(,)A NN NNNNNN则1211221122121211122221211212121212,11,()1,1(,),11,()1,10numm nnmmnnNnmmmnnA mn mnn umm nnmmnnNnmmmnnlblb=-=-=-=-=-=-=-=-=-=其他令为待求个状态概率，则平稳状态下的服务模型为：N NPuuuu u rNN11221(,)01(,)()1(,)()N NN NiimnmnA mn mnPPP m nmT tP m nNnb=-uuuur2.2.3.6模型求解通过服务系统模型，假设，已知，根据出租车数量 就可以解得

19、乘客平lbm均等待时间和出租车。平稳状态方程的总变量数很大，以 2004年车辆总数为例，共有变量数为，总 方 程 数 也 为，状 态 转 移 矩 阵 为6200 6200 38440000=38440000，通过矩阵运算获取精确解是比较困难的，即使能够解，也将38440000 38440000花费大量时间。因此，我们考虑通过数据迭代的方式获取目标方程近似解。使用数据迭代的方法获取近似解，对状态矩阵的初始设置较为重要，初始值设置不正确，将不能保证迭代收敛。其基本算法如下：2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖23 设定初始 P(m,n)的值 根据状态转移方程更新 P(m,n)状态 是否稳定？是

20、 否 是否超过最大迭代次数？重新选择 P(m,n)的值 初始化相关参数 否 是 计算出租车空驶率 计算顾客平均等待时间 迭代算法流程图 下图为根据题目已知条件求得，后，不同出租车数量情况下空载率和lbm平均等待时间的关系图（实际计算的为多个不同出租车数量情况下离散的点值，图示是通过依次连接各点得到的折线图）。由于迭代过程中实际求取的为近似解，所以曲线显的不是很平滑。50006000700080000.40.50.6图：出租车数量与空载率的关系2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖24特别的，当出租车辆为 6200 辆时，求得空载率为 52.1%，顾客平均等待时间为 2.02分钟。2.2.4

21、最优化模型2.2.4.1模型建立顾客总体的抱怨度和顾客的平均等待时间相关，等待时间越大，抱怨越大，等待的时间越小，抱怨越小。定义抱怨函数如下：()()B tf T t=其中为顾客总体平均等待时间，此抱怨度函数可以用分段指数函数来刻画。()T t()1()11()()1()aT tbT teT tTf T teT tT-=-该函数当时，符合平均等待时间值越小，抱怨度越小的事实，()0T t()0f T t当时，符合平均等待时间值越大，抱怨度越大的事实。通过该函()T t ()1f T t数在点的连续性和一阶导数的连续性，可以定出常数和的值。1()T tT=ab的选取可以根据实际情况，通过大量的数

22、据资料分析得到。1T出租车公司的利润的本质直接的反映到车辆空载率上，因为车辆空载率越小，单位距离内车辆的收入和车辆本钱的支出之比越小。利润越高。利用排队论模型极为巧妙的计算出各种平均状态下空载比例，从而可以计算得到总体的空载比例。50006000700080003456出租车数量与乘客平均等待时间的关系（时间单位：s）2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖25()()(,)()tmnN tnF tP m nN t-=其中为 时刻出租车数量，为基于出租车数量的各状态概率，为()N tt(,)tP m ntb稳 态 状 态 下 且 在 一 辆 空 车 和 一 批 等 待 顾 客 情 况 下，单

23、位 时 间 内 发 生()N t的转移速率。(,)(1,1)m nmn-+其中为 时刻总体空载比例，其中为 时刻出租车数量，为基于出()F tt()N tt(,)tP m n租车数量的各状态概率。以最佳出租车数量模型：min()()a B tb F t+以最佳出租车数量预测模型如下：121122111122min()()()()()(,)()()()(,)01(,)()1(,)()(,)tmnN NN Niimnmna B tb F tN tN tnF tP m nB tf T tN tA mn mnPPP m nmT tP m nNnnumA mn mnllb=+-=-=uuuur对于不同年

24、份的（t）（t）使得满足的为最优其中，其中a，b为政府调控因子21122112212121221211212121212,11,()1,1,11,()1,10m nnmmnnNnmmmnnn umm nnmmnnNnmmmnnlblb=-=-=-=-=-=-=-=-=-=其他用来表示政府在顾客因素和出租车 公司因素之间的折中，表示只考虑顾客抱a1a=怨程度的预测，表示只考虑出租车公司因素的预测。0a=2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖262.2.4.2 模型求解首先根据初始的出租车系统平均服务速率、顾客平均到达速率以及城市道路的基本状况参数，设定初始出租车总量。解出平稳状态时，整个系统处

25、于各个状态的概率。b根据概率值计算顾客平均等待时间和出租车空载概率。由此结合设定的政府调控系数，计算需要优化目标的概率模型是否稳定的判断条件是，即前后两步概率矩阵中相差1,max(,)(,)iim nPm nP m ne+-最大的概率值最佳出租车数量采用梯度下降算法，设定初始值数量，利用下一年的和迭代()tl算法得到下一年，初始出租车数下的稳态概率，进而得到平均等待时间和空载概率，求得目标函数值。使用梯度下降算法按照目标函数值下降方向不断减少车辆增加数量，求得最佳的出租车数量。出租车总量预测值 年度 未来年份的出租车数量预测 需要说明的是，预测所得到的各年的最佳出租车数量是基于用户平均等待时间

26、不大于 2分钟（根据 2004年的数据实际计算用户平均等待时间为 2分钟），空载率不高于 52.1（2004年的实际计算结果）的情况。2.2.5 模型的验证为了验证模型的合理性，我们采用蒙特卡罗模拟对建立的模型进行模拟。模拟中采用的部分定义如下：模拟时间步进 tD当前时间最大模拟时间MaxT2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖27单位时间内需要乘车的顾客批次概率（或来客速率）；lp单位时间服务完的乘客批次概率，mp单位出租车获取某个乘客批次的概率bp算法的描述如下：（1）初始化相关参数；（2）初始化随机数种子；（3）判断，如果为真则从（4）向下继续，否则计算统计数据结果，程序MaxTt 承

27、担损失比例为，显然，这个比例越小，市民越满意。对出租车司机来说，价100MMM-2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖29格调整之前他的每天工资为，调整之后他的工资为，（）那么他的承担损0N1N10NN失比例为，同理，这个比例越小，出租车司机也越满意。我们就认为这个承担010NNN-损失比例就代表了满意指数，它刻画了双方的满意程度。这里我们将一辆车的正、副班驾驶员考虑为一个出租车司机整体。如何理解使得双方都满意这个概念。可以得到必然存在这样的约束：如果增加一方的满意指数，那么另一方的满意指数肯定会降低。双方都满意的概念是，相互之间找到一个损失额，让他们都能够接受并认可。基于这样的分析，我们直

28、接选择一种损失分配，让所有各方的满意指数尽可能的接近。再次我们分析一下题目所给的条件和数据。主要分析附录中第 2 点包含的 4 个小点的数据。第小点每辆车每年行驶里程为 124640 公里，那么可以得到平均每车每日行驶为 124640/365=341.48 公里。第小点又给出所有出租车日行驶总里程为 230.7 万公里。平均到每辆车每日行驶 230.7/0.62=372.10 公里。显然这两个数据是不吻合的，我们认为是统计误差造成的。我们选择第点中的数据。第点中还给出日平均营业里程为424.00公里/车日。这个数值大于前面两个，可以这样理解：每天并不是所有的车都在运营。有些车或者维修，或者司机

29、的问题等等，没有参加运营。而这个数据是基于参加运营的出租车统计的，所以相对偏大。2.3.2 符号约定 出租撤每此载客里程数x 出租车价格函数，自变量为里程数()f x初始的出租车价格函数()0fx初始的白天出租车价格函数()0dfx初始的晚上出租车价格函数()0nfx 调整之后出租车价格函数()1fx 调整之后白天出租车价格函数()1dfx 调整之后晚上出租车价格函数()1nfx 出租车每次载客出行，市民的平均消费，它的自变量为价格函数()Mff2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖30初始价格函数下出租车每次载客出行，市民的平均消费0M 调整价格函数之后出租车每次载客出行，市民的平均消费1

30、M 市民的满意指数m 价格调整之前出租车司机的每天工资0N 价格调整之后出租车司机的每天工资1N 出租车司机的满意指数n 每个市民乘出租车出行里程数小于的概率()P xx的概率密度函数()p x()P x 白天出行所占比例ds 夜晚出行所占比例ns 价格调整前出租车公司每辆车每天的收益0I 价格调整之后每辆车每天的收益1I 出租车公司的满意指数i2.3.3基于价格函数的泛函模型为市民的满意指数，根据前面的分析，m1010012MMMmMM-=-=-10MM。01m为出租车司机的满意指数，根据前面的分析，n011001NNNnNN-=-=10NN。01n为出租车的计价函数。简称价格函数，其中为里

31、程数。一个价格函数就是一()f xx种价格方案，当前的价格函数设为，它的具体描述见附录 1 中某城市出租车()0fx的收费标准：起租基价 3 公里，基价租费：白天 8.00 元，晚上 9.6 元。超过起租基价公里，每车公里价：白天 1.8 元，晚上 2.16 元。上日 21 时至次日凌晨 5 时为夜间行车时间。2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖31 远程载客从 10 公里开始，计价器将 50%回空费输入表内，加收回空费。行驶中乘客要求临时停车 10 分钟内免费，后每超过 5 分钟按 1 车公里租价收取等候费。白天：()()08038 1.8(3)3108 1.8(3)2.71010dxf

32、xxxxxx=+-晚上：()09.6039.62.16(3)3109.62.16(3)3.24(10)10nxfxxxxxx=+-如果不考虑第五个计价因素，基于以上前四个计价因素，我们可以描绘出出租车收费对于行驶里程数的分段直线。如图所示，其中横坐标为行驶公里数，纵坐标为出租车所收费用。当前价格分析 调整后的价格函数为，代表调整后的一种价格方案。在本模型的建立和求解中，()1fx自变量就是出租车的价格函数，因此我们建立基于这个价格函数的泛函模型。为每个市民出租车出行里程数小于的概率，为概率分布函数。()P xx为的概率密度函数。在题目第二小题的解答中，建立了一个排队论模型，()p x()P x

33、其中假设出租车的服务时间是服从负指数分布的。那么假设不考虑出租车速度的变化问题，这里的也服从负指数分布。其中平均载客里程数为 210.07 公里/车日，日均载()p x客趟次为 40.52，那么每次载客行驶里程数为 210.07/40.52=5.18 公里。这个值就是负指数分布的均值。()p x2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖32为出租车每次载客出行，市民的平均消费。它和价格函数、市民出行里()Mf()f x程数的概率密度函数有关。()p x，由于白天和晚上由于价格函()()()()()00ddnnMfx p xfx dxx p xfx dxss=+数不同，并且出行总量所占的比例也不同

34、。所以分两部分考虑。其中前半段()Mf代表白天部分，后半段代表晚上部分。为白天出行所占比例，为夜晚出行所dsns占比例，简化认为这个比例和价1dnss+=，为调整价格之前每个()()()()()000000ddnnMMfx p xfx dxx p xfx dxss=+市民平均每次出租车出行的消费。，为调整价格之后每()()()()()111100ddnnMMfx p xfx dxx p xfx dxss=+个市民平均每次出租车出行的消费。那么市民的满意指数可以表示为()()()()()()()()1110000000012ddnnddnnx p xfx dxx p xfx dxMMmMx p

35、xfx dxx p xfx dxssss+-=-=-+该凉车每趟次市民承担的损失额为。()()10MfMf-下面定义出租车司机的满意指数，011001NNNnNN-=-=每辆车的出租车司机所承担的损失额为，01NN-其中两方共同承担的损失为油价上升导致的损失。，这个式子基于每天()()()()()()()()()1000110100dddnnnx p xfxfx dxNNKLUUx p xfxfx dxss-+=-+-每辆车得出的。其中为每辆车日均载客趟次，为平均每辆车每日耗油数，KL1U为上升之后的油价，为初始油价。0U2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖33那么建立的泛函模型为()()

36、()()()()()()()()()()()()()()()()()211000000101000110100min2,01fddnnddnndddnnnm nx p xfx dxx p xfx dxmx p xfx dxx p xfx dxNnnNx p xfxfx dxNNKLUUx p xfxfx dxssssss-+=-+=9.6B 超过起租基价公里，每车公里价：白天元，晚上元。其中，。ab1.8a 2.16b 上日 21 时至次日凌晨 5 时为夜间行车时间。远程载客从 10 公里开始，计价器将 50%回空费输入表内，加收回空费。行驶中乘客要求临时停车 10 分钟内免费，后每超过 5

37、分钟按 1 车公里租价收取等候费。当然在实际的计费过程中，作为简化，仍然不考虑第 5 个计费因素。那么调整之后的价格函数表达式为白天：()103(3)310(3)1.5(10)10dAxfxAaxxAaxaxx=+-晚上：()103(3)310(3)1.5(10)10nBxfxBbxxBbxbxx=+-出租车每次载客出行里程数，根据前面的分析，服从负指数分布，其均值为 5.18 公2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖34里，得到。()1exp5.185.18xp x=-对于白天和晚上出行总量比例的分配。采用简单值：，。2 3ds=1 3ns=首先可以求解出满意指数均为。0.67806下面就

38、是要求解、的值使得AaBb()()()()61.73111.85.18861.73112.165.189.60.357038aAbA-+-+-+-=显然这有很多种的方案，使得上面条件得到满足。也就是说，只要满足上(),A a B b面这个表达式的约束条件。使得双方满意指数相等的条件下，会有很多种价格调整方案。最后模型的解可以表示如下()()()()61.73111.85.18861.73112.165.189.60.3570381.8,8,2.16,9.60.67806aAbAaAbBmn-+-+-+-=其中依照上式给出一种调整之后的价格方案：89.61.82.1666ABab=2.3.5模型

39、扩展如果站在市公用事业管理部门的角度，出租车公司也应该承担一定的损失，即按照市民、出租车司机和出租车公司这三方共同承担风险的原则，来划分总的损失额。在前面泛函模型的基础上，我们进行修正，得到泛函模型的扩展模型。与前面模型不同的是，这里还要考虑出租车公司的满意指数。定义为价格调整前0I出租车公司每辆车每天的收益，为价格调整之后每辆车每天的收益，1I10II01II-就是出租车公司每天在每辆车上损失的利益。那么出租车公司的满意指数定义为011001IIIiII-=-=所以得到扩展泛函模型为2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖35()()()()()()()()()()()()()()()()(

40、)()()()()()()222110000001010010010110010min2,01,01fddnnddnndddnddm nm inix p xfx dxx p xfx dxmx p xfx dxx p xfx dxNnnNIiiIx p xfxfx dxNNKIILUUx p xfxfx dxssssss-+-+-+=-+=-+-+-=-其它参数的意义如前所述。2.3.6扩展模型求解同样也可求出结果：()()()()61.73111.85.18861.73112.165.189.60.3519031.8,8,2.16,9.60.71839aAbBaAbBmni-+-+-+-=其中

41、同样，给出一种调整之后的价格方案：89.61.82.1657ABab=需要补充的是，这里求出的最优解是基于白天和晚上出行总量为这个前提下得2:1到的。2.4 问题4：数据采集的合理问题本题主要目的是根据所收集统计来的数据，对当前城市的出租车进行管理和规划。当然数据的来源和收集的角度是多方面的。数据收集的越多，数据本身反映出来的统计特性也就越完备，对城市出租车的管理规划也就会越有帮助。当然，不同角度收集的数据在所难免会存在不能完全一致的地方，因为统计的口径不同，这是可以理解的。下面我们从本题求解的角度出发，如果能够有哪些方面的统计数据，对本题的模型和求解更有帮助，对城市出租车的 管理规划更有指导

42、意义，我们认为这些数据是需要收2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖36集的。当然这些数据的实际可行性还有待进一步分析。1、如果能够将整体的贫富层次统计出来更好，收入只有人均的，还不够详细。因为居民按出行坐出租车的比例可以分为三个等级：较富、一般和较贫。较富的居民出行一般选取出租车方式，不考虑步行、自行车、摩托车和公交车出行，即高比例出租车出行居民。一般的居民看实际情况，在多种出行方式中选取，即一般比例出租车出行居民。较贫的居民出行一般不考虑出租车方式，即低出租车出行居民。当然一个地区大概的贫富等级和比例还是可以统计得到的。并且建立档案，将每年的统计结果收集起来，分析这个比例随着经济的发展会

43、发生那些变化。这些变化继而会对城市的出租车管理有哪些影响。2、新增人口在中心区域和边缘区域分布的比例相对比较重要。因为人口的增长在整个城市不是均匀分布的，它是有区域性的，比如在城市的发展中，中心区的人口发展到一定数量之后，就会达到饱和，不可能继续增长。人口的增长相对偏重于边缘区域。因此如果能够统计得到具体的人口增长分布趋势，对整个城市交通规划有着重要的意义。如果可能的话，该城市各个区的人口分布比例，以及这个比例将来发展的趋势，各个区的发展趋势，是商业区发展模式还是居住区发展模式，或者半商业半居住发展模式。对今后的各方面预测有着重要的作用。3、城市的交通 规划还应该 将它和资源利用环境优化结合起

44、 来。显然题目所给的数据没有一点有关这两个方面的。这可以说是本题数据不完备或者说不合理的主要方面。因为城市的交通规划仅仅是城市建设的一个方面，而这个方面和城建的其他方面有着相互制约，相互影响，协调发展的作用和问题。因此，收集出租车 在这两个方面的数据，并将这些数据和其他交通方式在这两个方面的数据进行比较，会得到一些更有意义的结果。对城市交通规划有着重要的指导作用。4、本题在数据收集上还有一个不合理的地方，所有的数据，除了人口的预测数据给出了在时间上的趋势，其它数据在时间的变化趋势都表现得不够充分，这给本题的预测带来的很大的不变，同样使得本题在预测上数据支持和预测数据合理性方面有一定的欠缺。我们

45、认为，将所有的统计数据建立档案，使得它们在时间上的变化趋势体现出来。为预测和其他工作提供更多的支持和帮助。2.5 问题 5：出租车规划短文城市出租车规划管理2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖37我们要分析城市对出租车规划的意义，不能仅仅局限于出租车本身。因为对整个城市交通规划来说，出租车的规划只是其中的一个部分，它和其它交通方式的规划相互影响，相互制约，构成了整个城市交通规划的互动过程。其次讨论一下城市交通规划对城市各方面建设的意义。特别在环境污染、土地占用、生态破坏和能源消耗等问题上，城市交通规划的优劣会产生截然不同的效果。城市交通规划是城市确定今后交通系统建设与发展方向的关键决策。它

46、必须制定符合可持续发展的战略与管理办法，以引导交通结构向低环境污染和优化利用不可再生资源的合理模式转移，这是城市交通规划正确的发展方向，它决定了今后城市交通规划的措施和方向。从交通规划的方法来看，目前我们普遍采用的交通规划技术是以交通现状调查与规划模型预测技术为基础。这种方法和技术存在诸多局限：一是没有从资源、能源、环境的角度出发，全面考虑城市交通系统的能源消耗、土地资源占用以及污染物排放等问题；二是没有将实现城市交通系统社会、经济和环境效益最大化作为规划的 首要任务，因而难以全面考虑影响城市发展潜力的各种因素，制订出符合可持续发展理念的交通规划。具体从出租车行业角度出发，我们总结出以下几个方

47、面的规划措施。1、改善经营环境，规范市场准入，提高服务质量；严格控制出租汽车总量，保持出租车市场供求平衡。具体地说，完善出租车的行 业管理和市场准入、退出机制。由于出租车具有公共服务、占有道路资源等特点，应当坚持总量控制原则。其总量增减由市政府根据市场供求、出租车与其他公共交通方式的配比、行业收入和利润等因素，在保障供略大于求的情况下，适时调整出租车总量规模，制定出租车总量调 控办法，科学地建立总量调控机制，实施总量控制。2、严厉打击非法营运，净化市场环境；清理行业收费，规范收费项目和标准，保障经营者和从业人员的合法权益；联合各职能部门 建立集中统一的服务 窗口，提供一站式服务；提请物价部门调

48、整出租车 票价和计价方式；建设一批营业站场，与兄弟城市协调解决长途出租车 异地营运问题。3、逐步实施从业人员资格认证制度，清理一批不合格从业人员；开展培训，提高从业人员的整体素质。在本市出租车经 营成本不断上涨的情况下，企业和驾驶员收入水平将会较低。因此，应建立起出租车油价、运价联动的长效机制，实现企业、驾驶员、乘客共同分担市场风险的原则。同时根据社会经济发展状况建立合理的租价调整机制。4、建设 GPS 全球定位系统和智能调度系统。建立智能调度指挥系统。建立司机运营行为档案，利用科技手段，建立普及智能调度指挥系统，提高出租车有效调度的比例，2005 年全国研究生数学建模竞赛一等奖38降低空驶率

49、。5、发挥行业协会作用是发展市场经济的内在要求。在目前体制下，行业协会应当承担维护司机合法权益、教育司机提高自律能力的责任。同时，应当参与行业规划、行业政策以及相关法律法规制定和决策论证，并协调政府、企业、司机和乘客的利益关系，维护行业内公平竞争。出租车市场要引入竞争机制，淘汰管理差、运营差、服务差的企业。从资源利用和环境污染的角度，我们来讨论出租车整体规划的方 向和原则。现在国内外普遍采用的原则是公交车优先的原则。这对于城市的可持续性发展，交通方式的优化，资源的更高利用，环境污染的优化等方面都是有重要意义的。在这个原则下具体考虑出租车的规划管理问题，使它符合城市整体交通规划的利益，对于城市的

50、战略发展 有着重大意义。总的来 说，建立和谐交通的概念，具体原则是：实事求是，因地制宜；势力均衡，协调发展；规则第一，公德至上。3 参考文献1 高自友，任华玲.城市动态交通流分配模型与算法M.北京：人民交通出版社，20052 王炜.城市交通管理规划指南M.北京：人民交通出版社，20033 苏兆龙.排队论基础M.成都：成都电子科技大学出版社，19984 张志涌.精通 MATLAB6.5版M.北京：北京航空航天大学出版社，20055 许天周.应用泛函分析M.北京：科学出版社，20026 洪维恩.数学运算大师 Mathematica4M.北京：人民邮电出版社，20024 附录4.1 附录 I资料一：