数学高考压轴大题文档.pdf

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1、 历届高考数学压轴题汇总及答案（上海卷 2017-2018）一填空题 1.(上海 2017.12题)如图，用 35 个单位正方形拼成一个矩形，点1P、2P、3P、4P 以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合1 2 3 4P,P,P,P，点 P，过 P 作直线Pl，使得不在Pl 上的“”的点分布在Pl 的两侧用1D（Pl）和2D（Pl）分别表示Pl 一侧和另一侧的“”的点到Pl 的距离之和 若过 P 的直线Pl 中有且只有一条满足1D（Pl）2D（Pl），则 中所有这样的 P 为.2.(上海 2018.12题已知实数x x y y、满足：2 21 11 x y，2 22 21 x y，1

2、 2 1 212xx y y，则1 1 2 21 12 2x y x y 的最大值为。二选择题 3、(上海 2017.16题)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆2 21:136 4x yC 和222:19yC x P为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，w 是 OP OQ 的最大值记(,)P Q，P 在1C 上，Q 在2C 上，且 OP OQ w，则 中元素个数为（）A.2个 B.4个 C.8个 D.无穷个 4.(上海 2018.16题)设 D 是含数 1 的有限实数集，()f x 是定义在 D 上的函数，若()f x 的图像绕原点逆时针旋转6后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只

3、能是（）A.B.C.D.0 1 f（）33233 三解答题 5、(上海 2017.20题)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆22:14xy，A 为 的上顶点，P 为 上异于上、下顶点的动点，M 为 x正半轴上的动点.（1）若 P 在第一象限，且|2 OP，求 P 的坐标；（2）设8 3,5 5P，若以 A、P、M 为顶点的三角形是直角三角形，求 M 的横坐标；（3）若|MA MP，直线 AQ 与 交于另一点 C，且 2 AQ AC，4 PQ PM，求直线AQ 的方程.6.(上海 2018.20题)(本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6

4、 分，第 3 小题满分 6分)设常数2 t，在平面直角坐标系xOy中，已知点0(2)F，直线:l x t，曲线：(0,y 0)x t，l 与 x轴交于点A，与 交于点B P Q，、分别是曲线 与线段AB上的动点。(1)用 t为表示点 B 到点 F 的距离；(2)设 3 t，线段 OQ 的中点在直线 FP 上，求 AQP 的面积；(3)设 8 t，是否存在以 FP FQ、为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E 在上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由。8 y x 2 FQ 7.(上海 2017.21题)设定义在 R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x、2x R，当1 2x x 时，都有1

5、 2()()f x f x.（1）若3()1 f x ax，求 a 的取值范围；（2）若()f x 是周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，g()x 是定义在 R 上的、恒大于零的周期函数，M 是 g()x 的最大值.函数()()()h x f x g x.证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.8.(上海 2018.21题)(本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分)给定无穷数列 na，若无穷数列 nb满足：对任意*n N，都有1n nb a，则称 nb与 na“接近”。(

6、1)设 na 是首项为 1，公比为12的等比数列，11n nb a，*n N，判断数列 nb是否与 na 接近，并说明理由；(2)设数列 na 的前四项为：1 2 3 41,2 4 8 a a a a,，nb是一个与 na 接近的数列，记集合 1,2,|,4 3,iM x x b i，求 M 中元素的个数 m；(3)已知 na是公差为 d 的等差数列，若存在数列 nb满足：nb与 na接近，且在2 1 3 2 201 200,b b b b b b 中至少有 100 个为正数，求 d 的取值范围 答案 1.【答案】1 3 4P P P、【解析】根据任意四边形 ABCD 两组对边中点的连线交于一

7、点，过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论.【考点】数学理解力与转化力的应用问题。2【答案】2 3【解析】设 1 1,A x y，2 2,B x y，1 1,OA x y，2 2,OB x y，由圆的方程和向量数量 积 的 定 义、坐 标 表 示，可 得 三 角 形OAB为 等 边 三 角 形，1 AB，1 1 2 2x y 1 x y 12 2 的几何意义为点 A，B 两点到直线 1 0 x y 的距离1d与2d之和，由两平行线的距离可得所求最大值【解答】解：设 1 1,A x y，2 2,B x y，1 1,OA x

8、 y，2 2,OB x y，由2 2 2 21 1 2 21,1 x y x y，1 2 1 212xx y y，可得 A，B 两点在圆2 21 x y 上，且11 1 cos2OA OB AOB，即有60 AOB，即三角形OAB为等边三角形，1 AB，1 1 2 2x y 1 x y 12 2 的几何意义为点 A，B 两点 到直线 1 0 x y 的距离1d与2d之和，显然 A，B 在第三象限，AB 所在直线与直线 1 x y 平行，可设 AB：0 x y t，（0 t），由圆心 O 到直线 AB 的距离|2td，可得22 1 12t，解得62t，即有两平行线的距离为612 3222，即1

9、1 2 21 12 2x y x y 的最大值为2 3，故答案为：2 3.【考点】基本不等式及其应用，点到直线的距离公式 3.【答案】D【解析】设出(6cos,2sin)P，(cos,3sin)Q，0 2，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数【考点】椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域。4【答案】B【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；56：三角函数的求值【解析】由题意得到：问题相当于圆上由 12 个点为一组，每次绕原点逆时针旋转6个单位后与下一个点会重合 我们可以通过代入和赋值的方法当(1

10、)3 f，33，0 时，此时得到的圆心角为3，6，0，然而此时0 x或者1 x时，都有 2 个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当32x，此时旋转6，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：B 故选：B【考点】函数的图象与图象的变换 5.【答案】解：（1）设()(0 0)P x y x y，椭圆：2214xy，A 为 的上顶点，P 为 上异于上、下顶点的动点，P 在第一象限，且|2 OP，联立222 2142xyx y，解得2 3 6,3 3P（2）设0(,0)M x，(0,1)A，8 3,5 5P，若 90 P，则 PA PM，即08 3 8 2,05

11、 5 5 5x，08 64 605 25 25x，解得2920ox 如图，若 90 M，则 0 MA MP，20 08 305 5x x，解得01 x 或035x，若 90 A，则 M 点在 x轴负半轴，不合题意 点 M 的横坐标为2920，或 1，或35（3）设(2cos sin)C，2 AQ AC，(0,1)A，(4cos 2sin 1)Q，又设0(2cos in)(0)P s M x，2 2 20 01(2cos(si)n)MA MP x x，整理得：03cos4x，5(4cos 2cos 2sin sin 1(cos sin)4PQ PM-，），4 PQ PM，4cos 2cos 5c

12、os，且 2sin sin 1 4sin，4cos cos3，且1sin(1 2sin)3，以上两式平方相加，整理得23(sin)sin 2 0-，2sin3，或 sin 1（舍去），此时，直线 AC 的斜率1 sin 52cos 10ACk（负值已舍去），如图 直线 AQ 为5110y x【考点】点的坐标的求法，直线方程的求法，椭圆、直线方程、三角函数等基础知识。6【答案】（1）由题意可知：设(,22)B t t，则2(2)8 2 BF t t t，2 BF t；（2）(2,0)F，2 FQ，3 t，则 1 FA，3 AQ,(3,2)Q，设 OQ 的中点 D，3 2D,2 2，302K a

13、3322，则直线 PF 方程：3(2)y x，联立23(2)8y xy x，整理得：23 20 12 0 x x，解得：23x，6 x（舍去），AQP 的面积1 7 7 332 3 6S；（3）存在，设2,8yP y，2,8mE m，则2 281628PFy yky y，2168FQyky，直线 QF 方程为216(2)8yy xy，2 216 48 3(8 2)8 4Qy yyy y，248 38,4yQy，根据FP FQ FE，则2 2486,8 4y yEy，22 2488 64 8y yy，解得：2165y，存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E 在上，且2 4 5lP

14、,5 5 【解析】（1）设 B 点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得 BF；（2）根据抛物线的性质，求得 Q 点坐标，即可求得OD的中点坐标，即可求得直线 PF 的方程，代入抛物线方程，即可求得 P 点坐标，即可求得AQP 的面积；（3）设 P及 E 点坐标，根据直线 1PF FQk k，求得直线 QF 的方程，求得Q点坐标，根据FP FQ FE，求得E点坐标，则22 2488 64 8y yy，即可求得P点坐标【考点】直线与抛物线的位置关系 7.【答案】（1）解：由1 2()f x f x，得3 31 2 1 2()()()0 f x f x a x x，1 2x x，3 31 20 x

15、 x，得0 a 故 a 的范围是 0)，；（2）证明：若()f x 是周期函数，记其周期为kT，任取0 x R，则有 0 0()kf x f x T，由题意，对任意0 0 kx x x T，0 0()()kf x f x f x T，0 0()()kf x f x f x T 又0 0()kf x f x nT n Z，并且 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 2 2 k k k k k k k kx T x T x T x T x T x x x T x T x T R-，-，-，对任意0()()x f x f x C R，为常数；（3）证明：充分性：若()f x 是常值函数，记

16、1()f x c，设()g x 的一个周期为gT，则 1()()h x c g x，则对任意0 x R，0 1 0 1 0 0()g gh x T c g x T c g x h x，故()h x 是周期函数；必要性：若()h x 是周期函数，记其一个周期为 Th 若存在1x，2x，使得1()0 f x，且2()0 f x，则由题意可知，1 2x x，那么必然存在正整数1N，使得2 1 1 kx N T x，2 1 1)()0kf x N T f x，且2 1 2 kh x N T h x（）（）又2 2 2)0)(h x g x f x，而 2 1 2 1 2 1 20k k kh x N

17、T g x N T f x N T h x（）（）（）（），矛盾 综上，()0 f x 恒成立 由()0 f x 恒成立，任取0 x A，则必存在2N N，使得0 2 0 h gx N T x T-，即0 0 0 2 0 g hx T x x N T x-，-，0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 2 2 k k k k k k k kx T x T x T x T x T x x x T x T x T R，0 2 0 2 0 2 0 0 0 2 0 2 0 2 2 2 h h h h h hx N T x N T x N T x x x N T x N T x N T R，-，0

18、 0 0 0 2 0 2 0 2)(h h hh x g x f x h x N T g x N T f x N T，0 0 2 0 0 2(0)(0h hg x M g x N T f x f x N T，因此若0 0 2)(hh x h x N T，必有0 0 2()hg x M g x N T，且0 0 2 hf x f x N T c（）（）而由（2）证明可知，对任意0()()x f x f x C R，为常数 综上，必要性得证【考点】抽象函数及其应用。8【答案】（1）数列 nb与 na接近 理由：na是首项为 1，公比为12的等比数列，可得 112nna，111 12n nnb a，

19、则 01 11 1 11 1 12 2 2nn n nb a，*n N，可得数列 nb与 na接近；（2）nb是一个与 na接近的数列，可得1 1n n na b a，数列 na的前四项为：11 a，22 a，34 a，48 a，可得10,2 b，21,3 b，33,5 b，47,9 b，可能1b与2b相等，2b与3b相等，但1b与3b不相等，4b与3b不相等，集合1234|,iM x x b i，M 中元素的个数3 m 或 4；（3）na是公差为d的等差数列，若存在数列 nb满足：nb与 na接近，可得11na a n d（），若0 d，取n nb a，可得1 10n n n nb b a

20、a d，则2 1b b,3 2b b，201 200b b 中有 200 个正数，符合题意；若0 d，取11nb an，则1 11 11n nb a a an n，*n N，可得11 101n nb bn n，则2 1b b,3 2b b，201 200b b 中有 200 个正数，符合题意；若2 0 d，可令2 1 2 11n nb a，2 21n nb a，则 2 2 1 2 2 11 1 2 0n n n nb b a a d，则2 1b b,3 2b b，201 200b b 中恰有 100个正数，符合题意；若 2 d，若存在数列 nb满足：nb与 na接近，即为1 1n n na b a，1 1 11 1n n na b a，可得 1 11 1 2 0n n n nb b a a d，2 1b b,3 2b b，201 200b b 中无正数，不符合题意 综上可得，d的范围是(2,)【解析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得1 1n n na b a，求得ib，1,2,3,4 i 的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得na，讨论公差0 d，0 d，2 0 d，2 d-，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围【考点】等差数列与等比数列的综合