随机过程试题及其答案文档.pdf

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1、一填空题（每空 2 分，共 20 分）1设随机变量 X 服从参数为的泊松分布，则 X 的特征函数为it(e-1)e。2设随机过程X(t)=Acos(t+),-t 其中为正常数，A和是相互独立的随机变量，且A和服从在区间0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为1(sin(t+1)-sint)2。3强度为的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为1的同一指数分布。4设nW,n 1是与泊松过程X(t),t 0对应的一个等待时间序列，则nW服从分布。5袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的 t对 应 随 机 变 量时取得白球如果时取得红球如果tt

2、tettX,3)(，则 这 个 随 机 过 程 的 状 态 空 间212t,t,;e,e33。6 设马氏链的一步转移概率矩阵ijP=(p)，n步转移矩阵(n)(n)ijP(p)，二者之间的关系为(n)nPP。7设nX,n 0为马氏链，状态空间I，初始概率i0pP(X=i)，绝对概率jnp(n)P Xj，n步转移概率(n)ijp，三者之间的关系为(n)jiiji Ip(n)pp。8在马氏链nX,n 0中，记 (n)ijvn0fP Xj,1 vn-1,XjXi,n 1,(n)ijijn=1ff，若iif1，称状态i为非常返的。9非周期的正常返状态称为遍历态。10状态i常返的充要条件为(n)iin=

3、0p。二证明题（每题 6 分，共 24 分）1.设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB)。随机过程试题及其答案随机过程试题及其答案 2 证明：左边=P(ABC)P(ABC)P(AB)P(C AB)P(B A)P(A)P(AB)P(A)=右边 2.设X(t),t 0是独立增量过程,且 X(0)=0,证明X(t),t 0是一个马尔科夫过程。证明：当12n0tttt 时，1122nnP(X(t)x X(t)=x,X(t)=x,X(t)=x)=nn1122nnP(X(t)-X(t)x-x X(t)-X(0)=x,X(t)-X(0)=x,X(t)-X

4、(0)=x)=nnP(X(t)-X(t)x-x)，又因为nnP(X(t)x X(t)=x)=nnnnP(X(t)-X(t)x-x X(t)=x)=nnP(X(t)-X(t)x-x)，故1122nnP(X(t)x X(t)=x,X(t)=x,X(t)=x)=nnP(X(t)x X(t)=x)3.设nX,n 0为马尔科夫链，状态空间为I，则对任意整数n0,1nl和i,j I，n步转移概率(n)()(n-)ijikkjk Ipppll，称此式为切普曼科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。证明：(n)ijk IPP X(n)=jX(0)=iP X(n)=j,X(l)=kX(0)=i=k IP X(n)=

5、j,X(l)=k X(0)=i =k IP X(l)=kX(0)=i P X(n)=jX(l)=k,X(0)=i=(l)(n-l)ikkjP P，其意义为n步转移概率可以用较低步数的转移概率来表示。4.设N(t),t 0是强度为的泊松过程，kY,k=1,2,是一列独立同分布随机变量，且与N(t),t 0独立，令N(t)kk=1X(t)=Y,t0，证明：若21E(Y)，则 1E X(t)tE Y。证明：由条件期望的性质 E X(t)E E X(t)N(t)，而N(t)ii=1E X(t)N(t)nEY N(t)n=nii=1EY N(t)n=nii=1EY=1nE(Y)，所以 1E X(t)tE

6、 Y。三计算题（每题 10 分，共 50 分）1.抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：cos t H X(t)=t T ,t(-,+)，设1p(H)=p(T)=2，3 求（1）X(t),t(,)的样本函数集合；（2）一维分布函数F(x;0),F(x;1)。解：（1）样本函数集合为cos t,t,t(-,+)；（2）当t=0时，1P X(0)=0P X(0)=12，故0 x01F(x;0)=0 x12x11；同理0 x-11F(x;1)=1x0知，此链有遍历性；,123设极限分布=，11533135151 1123221233方程组 随机过程考试试题及答案详解 1、（15 分）设随机过程CtRt

7、X)(，),0(t，C为常数，R服从1,0区间上的均匀分布。（1）求)(tX的一维概率密度和一维分布函数；（2）求)(tX的均值函数、相关函数和协方差函数。【理论基础】（1）xdttfxF)()(，则)(tf为密度函数；（2）)(tX为),(ba上的均匀分布，概率密度函数其他,0,1)(bxaabxf，分布函数 bxbxaabaxaxxF,1,0)(，2)(baxE，12)()(2abxD；（3）参数为的指数分布，概率密度函数0,00,)(xxexfx，分布函数 0,00,1)(xxexFx，1)(xE，21)(xD；（4）2)(,)(xDxE的正态分布，概率密度函数xexfx,21)(222

8、)(，分布函数xdtexFxt,21)(222)(，若1,0时，其为标准正态分布。【解答】本题可参加课本习题 2.1及 2.2题。（1）因R为1,0上的均匀分布，C为常数，故)(tX亦为均匀分布。由R的取值范围可知，)(tX为,tCC上的均匀分布，因此其一维概率密度其他,0,1)(tCxCtxf，一维分布函数tCxtCXCtCxCxxF,1,0)(；（2）根据相关定义，均值函数CttEXtmX2)()(；相关函数2)(231)()(),(CtsCsttXsXEtsRX；协方差函数12)()()()(),(sttmtXsmsXEtsBXXX（当ts时为方差函数）【注】)()()(22XEXEXD

9、；)()(),(),(tmsmtsRtsBXXXX 求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()(yxyfxyyfxft 2、（15 分）设ttW),(是参数为2的维纳过程，)4,1(NR是正态分布随机变量；且对任意的t，)(tW与R均独立。令RtWtX)()(，求随机过程ttX),(的均值函数、相关函数和协方差函数。【解答】此题解法同 1 题。依题意，|)|,0()(2tNtW，)4,1(NR，因此RtWtX)()(服从于正态分布。故：均值函数1)()(tEXtmX；相关函数5)()(),(tXsXEtsRX；协方差函数4)()()()(),(tmtXsmsXEtsBXXX（当ts时为方

10、差函数）3、（10 分）设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有 180 人，即180；且每个顾客的消费额是服从参数为s的指数分布。求一天内（8 个小时）商场营业额的数学期望与方差。【解答】此题可参见课本习题 3.10题。由题意可知，每个顾客的消费额Y是服从参数为s的指数分布，由指数分布的性质可知：21)(,1)(sYDsYE，故222)(sYE，则由复合泊松过程的性质可得：一天内商场营业额的数学期望)(1808)8(YEmX；一天内商场营业额的方差)(1808)8(22YEX。4、（15 分）设马尔可夫链的转移概率矩阵为：3.007.08.02.0007.03.0P （1）求两步转

11、移概率矩阵)2(P及当初始分布为 032,11000XPXPXP 时，经两步转移后处于状态 2 的概率。（2）求马尔可夫链的平稳分布。【解答】可参考教材例 4.3题及 4.16题（1）两步转移概率矩阵 09.049.042.04.004.056.056.035.009.03.007.08.02.0007.03.03.007.08.02.0007.03.0)2(PPP 当初始分布为032,11000XPXPXP时，56.035.009.009.049.042.04.004.056.056.035.009.0001 故经两步转移后处于状态 2 的概率为 0.35。（2）因为马尔可夫链是不可约的非周

12、期有限状态，所以平稳分布存在。得如下方程组 13.08.0002.07.07.003.0321321332123211 解上述方程组得平稳分布为 238,237,238321 5、（15 分）设马尔可夫链的状态空间5,4,3,2,1I，转移概率矩阵为：010007.03.0000000100004.06.0003.04.03.0P 求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。【解答】此题比较综合，可参加例 4.13题和 4.16题 画出状态转移图如下：（1）由上图可知，状态分类为5,4;3,2,121GG（2）由上图及常返闭集定义可知，常返闭集有两个，下面分别求其平稳分布及各状态

13、的平均返回时间。A、对1G常返闭集而言，解方程组 1003.014.04.006.03.0321321332123211 解上述方程组得平稳分布为 5037,90259,1537321 则各状态的平均返回时间分别为 37501,259901,37151332211ttt B、对2G常返闭集而言，解方程组 107.013.021212211 解上述方程组得平稳分布为 177,171021 则各状态的平均返回时间分别为 7171,101712211tt 1 2 3 4 5 6、（15 分）设(),0N t t是参数为的泊松过程，计算()()E N t N t s。【解答】222()()()()()

14、()()()()()()()()()()(1)E N t N t sE N t N t sN tN tE N t N t sN tE N tE N t E N t sN tE N ttstttts 7、（15 分）考虑一个从底层启动上升的电梯。以iN记在i第层进入电梯的人数。假定iN相互独立，且iN是均值为i的泊松变量。在第i层进入的各个人相互独立地以概率ijp在第j层离开电梯，1ijj ip。令jO在第j层离开电梯的人数。（1）计算()jE O（2）jO的分布是什么（3）jO与kO的联合分布是什么【解答】此题与本书联系不大，据有关方面信息，此次考试此题不考。以ijN记在第i层乘上电梯，在第j

15、层离去的人数，则ijN是均值为ijip的泊松变量,且全部),0(ijiNij相互独立。因此：(1)jijiijiiE OENp(2)由泊松变量的性质知，jijiijiiONp是均值为的泊松变量(3)因ikOO与独立，则2!)()()(ekiekeiOPOPOOPikkikiki，为期望。8、（15分）一质点在1，2，3点上作随机游动。若在时刻t质点位于这三个点之一，则在),htt 内，它都以概率)(hoh分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率)(tpji及平稳分布。【解答】参见教材习题 5.2题 依题意，由)()(lim0jiqttpijijt得，)(1jiq

16、ij，柯尔莫哥洛夫向前方程为)()()(21,1,tptptppjijiijij，由于状态空间3,2,1I，故 1)()()(1,1,tptptpjijiij，所以 1)(3)(1)(2tptptppijijijij，解上述一阶线性微分方程得：31)(31tijcetp，由初始条件 jijipij,0,1)0(确定常数c，得 jiejietpttij,3131,3231)(3131 故其平稳分布 3,2,1,31)(limjtpijtj 4 5.设有四个状态I=0 1 2 3，的马氏链，它的一步转移概率矩阵110022110022P=111144440001 （）画出状态转移图；（）对状态进行分类；（）对状态空间I进行分解。解：（1）图略；（2）33303132p1,ppp 而，均为零，所以状态 3 构成一个闭集，它是吸收态，记 1C=3；0，1 两个状态互通，且它们不能到达其它状态，它们构成一个闭集，记 2C=0 1，且它们都是正常返非周期状态；由于状态 2 可达12CC，中的状态，而12CC，中的状态不可能达到它，故状态 2 为非常返态，记 D=2。（3）状态空间I可分解为：12E=DCC 四.简答题（6 分）简述指数分布的无记忆性与马尔科夫链的无后效性的关系。答：（略）