山东省烟台市高一数学下学期期末试卷含解析文档.pdf

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1、第 1页（共 21页）2021-2022学年山东省烟台市高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1下列说法正确的是（）A在空间中，没有公共点的两条直线互相平行 B棱柱的侧棱长都相等，侧面都是平行四边形 C用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 D以直角三角形一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体是圆锥 2若某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 120、半径为 3 3的扇形，则其体积为（）A 2 6 B 3 2 C 6 6 D 9 2 3设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，则（）A P（A B）

2、P（A）+P（B）B P（A）+P（B）1 C P（A B）P（A）P（B）D若 A B，则 P（A）P（B）4 白鹤是国家一级重点保护鸟类 我国境内的白鹤每年在鄱阳湖的越冬地与西伯利亚的繁殖地之间迁徙，莫莫格湿地是其迁徙途中重要的停歇地 2022年春季，某研究小组为统计莫莫格湿地停歇的白鹤数量，从该湿地随机选取了 200 只白鹤并做上标记后放回，一段时间后又从该湿地随机选取了 200 只白鹤，其中有 12 只白鹤具有标记，据此估计该湿地内白鹤的数量大致为（）A 2500 B 3300 C 4000 D 4300 5在正方体 ABCD A1B1C1D1中，M，N，P，Q 分别为 A1B1，BB

3、1，AA1，BC 的中点，则直线 PM 与 NQ所成的角为（）A 30 B 45 C 60 D 90 6已知袋中装有 5 个大小形状相同的小球，其中黑球 2 个、红球 3 个，现从中不放回地抽取 2 次，每次取出 1个球，则第二次取出的球是红球的概率为（）A25 B35 C1225 D1325 7已知直四棱柱的高为 2，其底面四边形 ABCD 水平放置时的斜二测直观图为矩形 A B C D，如右图所示若 A O O B B C 1，则该直四棱柱的表面积为（）A 20+4 2 B 8+2(2+3)C 20+8 2 D 8+4(2+3)第 2页（共 21页）8某零件加工厂认定工人通过试用期的方法为

4、：随机选取试用期中的 5 天，再从每天生产的零件中分别随机抽取 25 件，要求每天合格品均不低于 22 件若甲、乙、丙三人在其 5 天抽检样本中的合格品件数统计如下，甲：中位数为 24，极差不超过 2；乙：平均数为 23，方差不超过 1；丙：众数为 23，方差不超过 1，则一定能通过试用期的有（）A甲、乙 B甲、丙 C乙、丙 D甲、乙、丙 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0 分 9已知一组样本数据 x1，x2，x3，xn，将这组样本数据中的每一个数加 2，得到一组新样本数据

5、y1，y2，y3，yn，则（）A两组样本数据的中位数相同 B两组样本数据的极差相同 C两组样本数据的标准差相同 D两组样本数据的平均数相同 10设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的有（）A若，m，则 m B若 m n，m，则 n C若 m，m，n，则 m n D若 m，n 是异面直线，m，m，n，n，则 11设试验 E 是古典概型，其样本空间 包含 30 个样本点，其事件 A，B，C 分别包含 中的 15，13，20 个样本点，若 A B，A C 分别包含 中 28，10个样本点，则（）A A与 B互斥 B A与 B 对立 C B与 C 不互斥 D A与 C 相互独

6、立 12如图，DE 是正三角形 ABC 的一条中位线，将 ADE 沿 DE 折起，构成四棱锥 A1 BCDE，F 为 A1C的中点，则（）A BF面 A1DE 第 3页（共 21页）B AA1面 A1BC C若面 A1ED 面 ABC，则 A1E 与 CD 所成角的余弦值为14 D若 A1E CD，则二面角 E A1D C 的余弦值为 13 三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分 13连续两次抛掷一枚六个面分别标有数字 1，2，3，4，5，6 且质地均匀的正六面体骰子，观察并记录每一次朝上一面的点数，则“两次点数之和是 7”的概率为 14如图，在三棱锥木块 V ABC 中，VA，

7、VB，VC 两两垂直，VA VB VC 1，点 P 为 VAC 的重心，沿过点 P 的平面将木块锯开，且使截面平行于直线 VC 和 AB，则该截面的面积为 15 某单位对全体职工的某项指标进行调查 现按照性别进行分层抽样，得到男职工样本 20 个，其平均数和方差分别为 7和 4；女职工样本 5 个，其平均数和方差分别为 8和 1，以此估计总体方差为 16如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AC BC，AC 2，=3，CC1 3，则该直三棱柱外接球的表面积为；设 P 为线段 B1C 上的动点，则 AP+PC1的最小值为 四、解答题：本题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演

8、算步骤 17（10 分）农科院的专家为了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种麦苗的两块试验田中分别抽取了 6 株麦田测量株高，得到数据如下（单位：cm）：甲 11.2 12.4 11.7 13.5 14.2 13.8 乙 12.1 13.8 12.1 14.1 13.9 10.8（1）假定株高不低于 12.0 cm 为长势良好，利用频率估计概率，估计甲、乙两种麦苗至少有一种长势良好的概率；第 4页（共 21页）（2）试从平均数和方差的角度，分析甲、乙两种麦苗的长势情况 18（12 分）长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB 4，BC AA1 2（1）求证：平面 AB1D1

9、平面 BC1D；（2）求点 C 到平面 BC1D 的距离 19（12 分）如图，在四棱锥 V ABCD 中，VA VD，BA BD（1）证明：AD VB；（2）在棱 VC 上是否存在一点 P，使得 VC 平面 PAD？若存在，指出点 P 的位置；若不存在，说明理由 20（12 分）中国共产党第二十次全国代表大会将于 2022 年下半年在北京召开某学校组织全校学生进行了一次“党代会知识知多少？的问卷测试 已知所有学生的测试成绩均位于区间 50，100，从中随机抽取了 40 名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图（1）求图中 a的值，并估计这 40 名学生测试成绩的平均数和中位数（同一

10、组中的数据用该组区间的中点值代替）；（2）利用比例分配的分层随机抽样方法，从成绩不低于 80 分的学生中抽取 7人组成党代会知识宣讲团若从这选定的 7人中随机抽取 2人，求至少有 1人测试成绩位于区间 90，100的概率 第 5页（共 21页）21（12 分）甲、乙、丙、丁四名选手进行羽毛球单打比赛比赛采用单循环赛制，即任意两位参赛选手之间均进行一场比赛每场比赛实行三局两胜制，即最先获取两局的选手获得胜利，本场比赛随即结束假定每场比赛、每局比赛结果互不影响（1）若甲、乙比赛时，甲每局获胜的概率为23，求甲获得本场比赛胜利的概率；（2）若甲与乙、丙、丁每场比赛获胜的概率分别为12，23，34，试

11、确定甲第二场比赛的对手，使得甲在三场比赛中恰好连胜两场的概率最大 22（12 分）如图，在三棱柱 ADP BCQ 中，侧面 ABCD 为矩形（1）设 M 为 AD 中点，点 N 在线段 PC 上且 NC 2PN，求证：PM 平面 BDN；（2）若二面角 Q BC D 的大小为，4，56，且 AD|cos|AB，求直线 BD 和平面 QCB 所成角的正弦值的取值范围 第 6页（共 21页）2021-2022学年山东省烟台市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1下列说法正确的是（）

12、A在空间中，没有公共点的两条直线互相平行 B棱柱的侧棱长都相等，侧面都是平行四边形 C用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 D以直角三角形一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体是圆锥 解：对 A，没有公共点的两条直线可以异面，错误；对 B，由棱柱的定义容易判断 B 正确；对 C，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，得到一个圆锥和圆台，C 错误；对 D，若以直角三角形的斜边为旋转轴，则得到的图形是同底面的两个圆锥，D 错误 故选：B 2若某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 120、半径为 3 3的扇形，则其体积为（）A 2 6 B 3 2 C 6 6 D 9 2 解：设圆锥底面圆半径为 r，

13、则底面圆周长为 l 2 r，又=23 3 3=2 3，2=2 3，解得=3，圆锥的高为(3 3)2(3)2=2 6，圆锥的体积=13(3)2 2 6=2 6 故选：A 3设 A，B 是一个随机试验中的两个事件，则（）A P（A B）P（A）+P（B）B P（A）+P（B）1 C P（A B）P（A）P（B）D若 A B，则 P（A）P（B）解：对于 A 选项，若 A，B 是一个随机试验中的两个事件，则 P（A B）P（A）+P（B）P（AB），故 A 选项错误；对于 B 选项，若()12，()12，则 P（A）+P（B）1，故 B 选项错误；对于 C 选项，当 A、B 独立时，P（A B）P（

14、A）P（B），第 7页（共 21页）当 A、B 不独立时，则不成立，故 C 选项错误；对于 D 选项，若 A B，则 P（A）P（B），故 D 选项正确 故选：D 4 白鹤是国家一级重点保护鸟类 我国境内的白鹤每年在鄱阳湖的越冬地与西伯利亚的繁殖地之间迁徙，莫莫格湿地是其迁徙途中重要的停歇地 2022年春季，某研究小组为统计莫莫格湿地停歇的白鹤数量，从该湿地随机选取了 200 只白鹤并做上标记后放回，一段时间后又从该湿地随机选取了 200 只白鹤，其中有 12 只白鹤具有标记，据此估计该湿地内白鹤的数量大致为（）A 2500 B 3300 C 4000 D 4300 解：设该湿地有白鹤 x只，

15、由题意可得200=12200 3333 故选：B 5在正方体 ABCD A1B1C1D1中，M，N，P，Q 分别为 A1B1，BB1，AA1，BC 的中点，则直线 PM 与 NQ所成的角为（）A 30 B 45 C 60 D 90 解：如图所示：取 AB 的中点 R，连接 RN，RQ，AB1，因为 M，N，P，Q 分别为 A1B1，BB1，AA1，BC 的中点，所以 PM AB1，RN AB1，所以 PM RN，所以 RNQ 为直线 PM 与 NQ 所成的角，又因为 RNQ 是等边三角形，所以 RNQ 60，故选：C 6已知袋中装有 5 个大小形状相同的小球，其中黑球 2 个、红球 3 个，现

16、从中不放回地抽取 2 次，每次取出 1个球，则第二次取出的球是红球的概率为（）第 8页（共 21页）A 25 B 35 C 1225 D1325 解：由题可知第二次取出的球是红球有两种情况，一种是第一次抽到黑球，第二次抽到红球，概率为 1=2534=310，一种是第一次抽到红球，第二次抽到红球，概率为 2=3524=310，第二次取出的球是红球的概率=1+2=310+310=35 故选：B 7已知直四棱柱的高为 2，其底面四边形 ABCD 水平放置时的斜二测直观图为矩形 A B C D，如右图所示若 A O O B B C 1，则该直四棱柱的表面积为（）A 20+4 2 B 8+2(2+3)C

17、 20+8 2 D 8+4(2+3)解：由直观图可得底面四边形 ABCD 的平面图形如下，由 AO O B BC 1，则=1，=2+2=2，所以=2 2，则=2 2 2=4 2，=2+2=3，所以 CABCD 2（2+3）10，又直棱柱的高 h 2，所以棱柱的侧面积 S侧面积 CABCD h 20，第 9页（共 21页）所以 表面积=侧面积+2=20+8 2，故选：C 8某零件加工厂认定工人通过试用期的方法为：随机选取试用期中的 5 天，再从每天生产的零件中分别随机抽取 25 件，要求每天合格品均不低于 22 件若甲、乙、丙三人在其 5 天抽检样本中的合格品件数统计如下，甲：中位数为 24，极

18、差不超过 2；乙：平均数为 23，方差不超过 1；丙：众数为 23，方差不超过 1，则一定能通过试用期的有（）A甲、乙 B甲、丙 C乙、丙 D甲、乙、丙 解：对于甲：由甲的统计数据可知，甲至少有 3 天的合格品数不低于 24，最低合格品数不低于 22，所以甲一定能通过；对于乙：设乙每天的合格品件数为 ai（i 1，2，3，4，5），ai Z，则 5=1(23)25 1，即 5=1(23)2 5若乙有不止一天的合格品数低于 21，5=1(23)2 5，不合题意；若乙只有一天的合格品数低于 22，不妨取 a1 21，(1 23)2=4，因为平均数为 23，则至少有一天的合格品数为 25 或至少有两

19、天的合格品数为 24，无论哪种情况，都可以得到 5=1(23)2 5，不合题意，所以乙的每一天的合格品数都不低于 22，乙一定能通过；对于丙：若丙的合格品数为 21，22，23，23，23，则丙的众数为 23，方差为 0.64，符合丙的统计数据，但丙不能通过；所以甲、乙一定能通过，A 正确；故选：A 二、选择题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0 分 9已知一组样本数据 x1，x2，x3，xn，将这组样本数据中的每一个数加 2，得到一组新样本数据 y1，y2，y3，yn，则（）A两组样本数

20、据的中位数相同 B两组样本数据的极差相同 C两组样本数据的标准差相同 D两组样本数据的平均数相同 解：对 A 选项，设原样本数据的中位数为 M，则新样本数据的中位数为 M+2，故 A 选项错误；对 B 选项，不妨设原样本数据最大为 xn，最小为 x1，则原样本数据中，样本数据的极差为 xn x1，新样本数据中，样本数据的极差为（xn+2）（x1+2）xn x1，故 B 选项正确 第 10页（共 21页）对 D 选项，原样本数据的样本平均数为=1(1+2+)，新样本数据的样本平均数为=1(1+2+2+2+2)=+2，故 D 选项错误；对 C 选项，原样本数据的标准差为：=1(1)2+(2)2+(

21、)2，新样本数据的标准差为：=11+2(+2)2+2+2(+2)2+2(+2)2，两组样本数据的标准差相同，故 C 选项正确；故选：BC 10设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的有（）A若，m，则 m B若 m n，m，则 n C若 m，m，n，则 m n D若 m，n 是异面直线，m，m，n，n，则 解：A若，m，则 m 或 m，故错误；B若 m n，m，由线面垂直的性质得 n，故正确；C若 m，m，n，由线面平行的性质得 m n，故正确；D如图所示：在 n 上取一点 O，由 m，O 确定平面，有 m，因为 m，所以 m m，则 m，又 n第 11页（共 21页）

22、，n m O，所以，故正确；故选：BCD 11设试验 E 是古典概型，其样本空间 包含 30 个样本点，其事件 A，B，C 分别包含 中的 15，13，20 个样本点，若 A B，A C 分别包含 中 28，10个样本点，则（）A A 与 B 互斥 B A 与 B 对立 C B 与 C 不互斥 D A 与 C 相互独立 解：对于 A、B，n（A B）n（A）+n（B）n（AB），n（AB）15+13 28 0，AB，事件 A 与 B 互斥，又 n（A B）28 30，故 A 正确、B 不正确；对于 C，n（B C）n（B）+n（C）n（BC），：n（BC）13+20 n（B C）33 n（B

23、C）0，BC，事件 B 与 C 不互斥，故 C 正确；对于 D，因()=()()=1030=13，()=()()=1530=12，()=()()=2030=23，有 P（AC）P（A）P（C），事件 A 与 C 相互独立，故 D 正确 故选：ACD 12如图，DE 是正三角形 ABC 的一条中位线，将 ADE 沿 DE 折起，构成四棱锥 A1 BCDE，F 为 A1C的中点，则（）A BF面 A1DE B AA1面 A1BC C若面 A1ED 面 ABC，则 A1E 与 CD 所成角的余弦值为14 D若 A1E CD，则二面角 E A1D C 的余弦值为 13 解：若 BF面 A1DE，因为

24、BC DE，BC 平面 A1DE，DE 平面 A1DE，所以 BC 面 A1DE，又因为 BC BF，所以平面 A1BC 面 A1DE，但平面 A1BC 与面 A1DE 相交，所以假设不成立，所以 BF 不平行面 A1DE，所以 A 不正确；第 12页（共 21页）对于 B，因为 1=12，1=12，所以 A1A A1B，AA1 A1C，又因为 A1B A1C A1，所以 AA1面 A1BC，所以 B 正确；对于 C，将 ADE 沿 DE 折起，使 A 到 A1，且面 A1ED 面 ABC，以 ED 的中点 O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设三角形的边长为 2，所以(12，0，0)，(12

25、，0，0)，(1，32，0)，(1，32，0)，1(0，0，32)1=(12，0，32)，=(12，32，0)，设 A1E 与 CD 所成角的为，则=|1|1|=141=14，所以 A1E 与 CD 所成角的余弦值为14，所以 C 正确；对于 D，设 A1（x，y，z），因为 1=1，1=32，所以(12)2+2+2=12+2+2=34=02+2=34，所以 1(0，)，1=(12，)，=(12，32，0)，因为 A1E CD，所以 1=0 14+32=0=36，所以 1(0，36，63)，1=(12，36，63)，=(12，32，0)，设=(0，0，0)平面 CA1D，所以 1=0=0 12

26、+36 63=012 32=0=3=1=22，故=（3，1，22），第 13页（共 21页）设=(1，1，1)平面 EA1D，所以 1=01=0 12+36 63=012+36 63=0=0=63=36，故=（0，63，36），设二面角 E A1D C 所成角为，=|，|=|63223632322|=13，因为 为钝二面角，所以二面角 E A1D C 的余弦值为 13 所以 D 正确 故选：BCD 三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分 13连续两次抛掷一枚六个面分别标有数字 1，2，3，4，5，6 且质地均匀的正六面体骰子，观察并记录每一次朝上一面的点数，则“两次点数之和是 7

27、”的概率为 16 解：连续两次抛掷一枚六个面分别标有数字 1，2，3，4，5，6 且质地均匀的正六面体骰子的样本点共有 6 6 36 个，其中“两次点数之和是 7”的样本点有，（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）共 6 个，因此，“两次点数之和是 7”的概率=636=16 故答案为：16 14如图，在三棱锥木块 V ABC 中，VA，VB，VC 两两垂直，VA VB VC 1，点 P 为 VAC 的重心，沿过点 P 的平面将木块锯开，且使截面平行于直线 VC 和 AB，则该截面的面积为 2 29 解：由 VA，VB，VC 两两垂直，VA VB VC 1，则可将

28、三棱锥补形到正方体中，连接 AP 并延长，交 VC 于 D，过 P作 VC 的平行线，交 AV 于 E，交 AC 与 F，过 E作 EH AB，交 VB 于 H，过 H作 HM VC，交 BC 于 M，连接 MF，如图所示 第 14页（共 21页）MH VC EF，E、F、M、H 四点共面，EF VC，VC 平面 EFMH，EF 平面 EFMH，VC 平面 EFMH，EH AB，AB 平面 EFMH，HE 平面 EFMH，AB平面 EFMH，平面 EFMH 即为所求，EH AB，EH 平面 ABC，AB 平面 ABC，EH 平面 ABC，又 EH 平面 EFMH，平面 EFMH 平面 ABC

29、MF，EH MF，四边形 EFMH 为平行四边形，又 VC VB，VC VA，VA，VB 平面 VAB，VC 平面 VAB，EF平面 VAB，又 EH 平面 VAB，EF EH，四边形 EFMH 为矩形，又易知 ABC 为边长为 2的等边三角形，EF VC，AEF AVC，又 P 为 VAC 的重心，=23，=23，同理可证 VEH VAB，=13，=23，矩形 EFMH 的面积为 2323=2 29 故答案为：2 29 15 某单位对全体职工的某项指标进行调查 现按照性别进行分层抽样，得到男职工样本 20 个，其平均数第 15页（共 21页）和方差分别为 7和 4；女职工样本 5 个，其平均

30、数和方差分别为 8和 1，以此估计总体方差为 3.56 解：由题意可得，总平均数为207+5820+5=7.2，男职工样本 20 个，其平均数和方差分别为 7 和 4；女职工样本 5 个，其平均数和方差分别为 8 和 1，总体方差为2025 4+(7 7.2)2+525 1+(8 7.2)2=3.56 故答案为：3.56 16如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AC BC，AC 2，=3，CC1 3，则该直三棱柱外接球的表面积为 16；设 P 为线段 B1C 上的动点，则 AP+PC1的最小值为 19 解：因为直三棱柱 ABC A1B1C1中，AC BC，所以将直三棱柱 ABC A1B1

31、C1补成长方体 ACBD A1C1B1D1，如图所示，所以直三棱柱 ABC A1B1C1的外接球就是长方体 ACBD A1C1B1D1外接球，因为=2，=3，1=3，所以外接球的直径为 2=2+2+12=4+3+9=4，所以外接球的半径为 R 2，所以直三棱柱外接球的表面积为 4 22 16；直三棱柱中，侧面与底面垂直，因为 AC BC，平面 ABC 平面 BCC1B1，平面 ABC 平面 BCC1B1 BC，所以 AC 平面 BCC1B1，因为 B1C 平面 BCC1B1，所以 AC B1C，将 C1B1C 绕 B1C 展开至与平面 BCC1B1垂直的位置，则 A，C，C1，B1共面，如图所

32、示，连接 AC1，则 AC1的长就是 AP+PC1的最小值，在 CC1B1中，11=90，11=3，1=3，则 1=3+9=2 3，在 ACB1中，ACB1 90，AC 2，在 ACC1中，由余弦定理得 12=2+12 2 11 4+9 2 2 3cos（90+B1CC1）第 16页（共 21页）13+12sin B1CC=13+12 1111=13+12 323=19 所以 1=19，所以 AP+PC1的最小值为 19 故答案为：16；19 四、解答题：本题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分）农科院的专家为了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从种植

33、有甲、乙两种麦苗的两块试验田中分别抽取了 6 株麦田测量株高，得到数据如下（单位：cm）：甲 11.2 12.4 11.7 13.5 14.2 13.8 乙 12.1 13.8 12.1 14.1 13.9 10.8（1）假定株高不低于 12.0 cm 为长势良好，利用频率估计概率，估计甲、乙两种麦苗至少有一种长势良好的概率；（2）试从平均数和方差的角度，分析甲、乙两种麦苗的长势情况 解：（1）由题意可知甲、乙两种麦苗长势良好的频率分别为23，56，设“甲、乙两种麦苗至少有一种长势良好“为事件 A，则()=1(123)(156)=1718；（2）甲的平均数为11.2+12.4+11.7+13.

34、5+14.2+13.86=12.8，第 17页（共 21页）乙的平均数为12.1+13.8+12.1+14.1+13.9+10.86=12.8，甲、乙的平均株高相等 又 甲 的 方 差 为16(11.2 12.8)2+(12.4 12.8)2+(11.7 12.8)2+(13.5 12.8)2+(14.212.8)2+(13.8 12.8)2=1.23 乙方差为16(12.1 12.8)2+(13.8 12.8)2+(12.1 12.8)2+(14.1 12.8)2+(13.9 12.8)2+(10.8 12.8)2=1.48 1.23 1.48，甲种麦苗的长势更加均衡 18（12 分）长方体

35、 ABCD A1B1C1D1中，AB 4，BC AA1 2（1）求证：平面 AB1D1平面 BC1D；（2）求点 C 到平面 BC1D 的距离（1）证明：因为 AB D1C1，AB D1C1，所以四边形 ABC1D1为平行四边形，所以 AD1 BC1，因为 AD1 平面 AB1D1，BC1 平面 AB1D1，所以 BC1平面 AB1D1，同理 BD 平面 AB1D1，又因为 BD 平面 BC1D，BC1 平面 BC1D，BD BC1 B，所以平面 BC1D平面 AB1D1；（2）解：因为 CC1平面 BCD，AB 4，BC CC1 2，BD C1D 2 5，所以 1=1312 2 2 4=83

36、，又 1=12 2 2 3 2=6，因为 1=1，所以 C 到平面 BC1D 的距离 d=311=3836=43，即 C 到平面 BC1D 的距离为43 第 18页（共 21页）19（12 分）如图，在四棱锥 V ABCD 中，VA VD，BA BD（1）证明：AD VB；（2）在棱 VC 上是否存在一点 P，使得 VC 平面 PAD？若存在，指出点 P 的位置；若不存在，说明理由 解：（1）证明：取 AD 中点 E，连接 EV，EB 因为 VA VD，所以 AD VE 因为 BA BD，所以 AD EB又 VE EB E，所以 AD 平面 VEB 因为 VB 平面 VEB，所以 AD VB（

37、2）假设在棱 VC 上存在一点 P，使得 VC 平面 PAD 因为 AD 平面 PAD，所以 AD VC 又 AD VB，VB VC V，所以 AD 平面 VBC 因为 BC 平面 VBC，所以 AD BC 在平面 ABCD 中，因为 AD EB，AD BC，所以 EB BC，与 EB BC B 矛盾 所以在棱 VC 上不存在点 P，使得 VC 平面 PAD 20（12 分）中国共产党第二十次全国代表大会将于 2022 年下半年在北京召开某学校组织全校学生进行了一次“党代会知识知多少？的问卷测试 已知所有学生的测试成绩均位于区间 50，100，从中随机抽第 19页（共 21页）取了 40 名学

38、生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图（1）求图中 a的值，并估计这 40 名学生测试成绩的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（2）利用比例分配的分层随机抽样方法，从成绩不低于 80 分的学生中抽取 7 人组成党代会知识宣讲团若从这选定的 7人中随机抽取 2人，求至少有 1 人测试成绩位于区间 90，100的概率 解：（1）由于图中所有小矩形的面积之和等于 1，所以 10（0.015+0.02+a+0.025+0.1）1，解得 a 0.03；所以样本中 40 名学生的测试成绩的平均数=55 0.15+65 0.2+75 0.3+85 0.25+95 0.1 74.

39、5；设这 40 名学生的测试成绩的中位数为 x，由于前 2 组频率之和为 0.35，前 3 组频率之和为 0.65，故中位数落在第 3组，于是有708070 0.03+0.35=0.5，解得 x 75，即这 40 名学生的测试成绩的中位数为 75；（2）由分层随机抽样可知，在区间 80，90应抽取 5 人，记为 a，b，c，d，e，在区间 90，100应抽取2 人，记为 A，B，从中任取 2 人的所有可能结果为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，A），（a，B），（b，c），（b，d），（b，e），（b，A），（b，B），（c，d），（c，e），（c，A），（c，B），（d

40、，e），（d，A），（d，B），（e，A），（e，B），（A，B），共 21 种 其中至少有一人测试成绩位于区间 90，100内，有：（a，A），（a，B），（b，A），（b，B），（c，A），（c，B），（d，A），（d，B），（e，A），（e，B），（A，B），共 11 种 所以，至少有一人的测试成绩位于区间 90，100内的概率为1121 21（12 分）甲、乙、丙、丁四名选手进行羽毛球单打比赛比赛采用单循环赛制，即任意两位参赛选手之间均进行一场比赛每场比赛实行三局两胜制，即最先获取两局的选手获得胜利，本场比赛随即结第 20页（共 21页）束假定每场比赛、每局比赛结果互不影响（1）若甲、

41、乙比赛时，甲每局获胜的概率为23，求甲获得本场比赛胜利的概率；（2）若甲与乙、丙、丁每场比赛获胜的概率分别为12，23，34，试确定甲第二场比赛的对手，使得甲在三场比赛中恰好连胜两场的概率最大 解：（1）设甲在第 i局获胜为事件 Ai（i 123），事件 B 为“甲获得本场比赛胜利”，则 B=12+123+123，又 P（Ai）=23，()=2323+23(123)23+(123)2323=2027；（2）若甲在第二场与乙比赛，则甲胜乙，且在甲丙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场 此时，甲恰好连胜两场的概率 1=12 23(134)+(123)34 2=512；若甲在第二场与丙比赛，则甲胜丙，且在甲

42、与乙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场 此时，甲恰好连胜两场的概率 2=23 34(112)+(134)12 2=23；若甲在第二场与丁比赛，则甲胜丁，且在甲与乙、甲与丙的比赛中，甲只胜一场 此时，甲恰好连胜两场的概率 3=34 12(123)+(112)23 2=34 P1 P2 P3，甲在第二场与丁比赛时，甲恰好连胜两场的概率最大 22（12 分）如图，在三棱柱 ADP BCQ 中，侧面 ABCD 为矩形（1）设 M 为 AD 中点，点 N 在线段 PC 上且 NC 2PN，求证：PM 平面 BDN；（2）若二面角 Q BC D 的大小为，4，56，且 AD|cos|AB，求直线 BD 和平面

43、QCB 所成角的正弦值的取值范围 证明：（1）连接 MC 交 BD 于 E，连接 NE，因为侧面 ABCD 为矩形，所以 AD BC，又 M 为 AD 中点，所以=2，又因为 NC 2PN，第 21页（共 21页）所以=2，所以 PM NE，又 PM 平面 NBD，NE 平面 NBD，所以 PM 平面 BDN；解：（2）在平面 QBC 中，过点 C 作射线 CF BC，因为底面 ABCD 为矩形，所以 BC CD，所以 DCF 为二面角 Q BC D 的平面角，且 DCF，又 CF CD C，所以 BC 平面 CDF，在平面 DCF 中，过点 D 作 DG FC，垂足为 G，因为 BC 平面 DCF，DG 平面 DCF，所以 DG BC，又 BC FC C，BC 平面 BCQ，FC 平面 BCQ，所以 DG 平面 BCQ，于是 DG 为点 D 到平面 BCQ 的距离，且 DG DC sin，设直线 BD 和平面 PAD 所成角为，则=2+2=1+2=21+2 1，4，56，由 4，56，可得 32，22，2 0，34，21+2 1 17，1，21+2 1 77，1，所以直线 BD 和平面 PAD 所成角的正弦值的取值范围是 77，1