上海数学高一知识点总结文档.pdf

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1、 集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法 N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.（3）集合与元素间的关系 对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一.（4）集合的表示法 自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描述法：x|x具有的性质，其中x为集合的代表元素.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类 含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集

2、().【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 BA（或)AB A 中的任一元素都属于 B(1)AA(2)A (3)若BA且BC，则AC(4)若BA且BA，则AB 或 真子集 AB（或 BA）BA，且 B 中至少有一元素不属于 A（1）A（A 为非空子集）(2)若AB且BC，则AC 集合 相等 AB A 中的任一元素都属于 B，B 中的任一元素都属于A(1)AB(2)BA （7）已知集合A有(1)n n 个元素，则它有2n个子集，它有21n个真子集，它有21n个非空子集，它有22n非空真子集.【1.1.3】集合的基本运算（8）交集、并集、

3、补集 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 AB|,x xA且xB（1）AAA（2）A （3）ABA ABB 并集 AB|,x xA或xB（1）AAA（2）AA （3）ABA ABB 补集 UA|,x xUxA且 1()UAA 2()UAAU 简单逻辑用语 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.3、原命题：“若p，则q”逆命题：“若q，则p”否命题：“若p，则q”逆否命题：“若q，则p”4、四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真

4、假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 5、若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 若pq，则p是q的充要条件（充分必要条件）利用集合间的包含关系：例如：若BA，则 A 是 B 的充分条件或 B 是 A 的必要条件；若 A=B，则 A 是 B 的充要条件；6、逻辑联结词：且(and)：命题形式pq；或（or）：命题形式pq；非（not）：命题形式p.p q pq pq p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 7、全称量词“所有的”、“任意一个”等，用“”表示；全称命题 p：)(,xpMx；全称命题 p 的否定p：)(,x

5、pMx。存在量词“存在一个”、“至少有一个”等，用“”表示；特称命题 p：)(,xpMx；特称命题 p 的否定p：)(,xpMx；【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法 不等式 解集|(0)xa a|xaxa|(0)xa a|x xa 或xa|,|(0)axbc axbc c 把axb看 成 一 个 整 体，化 成|xa，|(0)xa a型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法 判别式 24bac 0 0 0 二次函数2(0)yaxbxc a的图象 一元二次方程20(0)axbxca的根 21,242bbacxa（其中12)xx 122bxxa 无实根

6、20(0)axbxca的解集 1|x xx或2xx|x2bxa R 20(0)axbxca的解集 12|x xxx 1.2函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念 设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()f x和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作:fAB 函数的三要素:定义域、值域和对应法则 只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数（2）区间的概念及表示法 设,a b是两个实数，且ab，满足axb的实数x的集合叫做闭区间，记做,a b；满足axb

7、的实数x的集合叫做开区间，记做(,)a b；满足axb，或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做,)a b，(,a b；满足,xa xa xb xb的实数x的集合分别记做,),(,),(,(,)aabb 注意：对于集合|x axb与区间(,)a b，前者a可以大于或等于b，而后者必须 ab（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：()f x是整式时，定义域是全体实数()f x是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数()f x是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合 对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1 tanyx中，()2xk

8、kZ 零（负）指数幂的底数不能为零 若()f x是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集 对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x的定义域为,a b，其复合函数()f g x的定义域应由不等式()ag xb解出 对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论 由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义（4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域

9、，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值 配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值 判别式法：若函数()yf x可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程2()()()0a y xb y xc y，则在()0a y 时，由于,x y为实数，故必须有2()4()()0bya yc y，从而确定函数的值域或最值 不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值 换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题

10、 反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值 数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值 函数的单调性法 【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（6）映射的概念 设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作:fA

11、B 给定一个集合A到集合B的映射，且,aA bB如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象 1.3函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性 定义及判定方法 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 函数的 单调性 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1 x2时，都有 f(x 1)f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数 （1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增）（4）利用复合函数 y x o 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量

12、的值 x1、x2，当x1f(x 2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数 （1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数 在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数 对 于 复 合 函 数()yf g x，令()ug x，若()yf u为 增，()ug x为 增，则()yf g x为增；若()yf u为减，()ug x为减，则()yf g x为增；若()yf u为增，()ug x为减，则()yf g x为减；若()yf u为减，()ug x为增，则()yf

13、 g x为减（2）打“”函数()(0)af xxax的图象与性质()f x分别在(,a、,)a 上为增函数，分别在,0)a、(0,a上为减函数（3）最大（小）值定义 一般地，设函数()yf x的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有()f xM；（2）存在0 xI，使得0()f xM那么，我们称M是函数()f x 的最大值，记作max()fxM 一般地，设函数()yf x的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的xI，都有()f xm；（2）存在0 xI，使得0()f xm那么，我们称m是函数()f x的最小值，记作max()fxm【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇

14、偶性 定义及判定方法 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 函数的 奇偶性 如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有 f(x)=f(x),那么函数 f(x)叫做奇函数 （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有 f(x)=f(x),那么函数 f(x)叫做偶函数 （1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于 y 轴对称）若函数()f x为奇函数，且在0 x 处有定义，则(0)0f 奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反 在公共定义域内

15、，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数 补充知识函数的图象（1）作图 利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；画出函数的图象 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象 平移变换 0,0,|()()hhhhyf xyf xh左移 个单位右移|个单位0,0,|()()kkkkyf xyf xk上移 个单位下移|个单位 伸缩变换 01,1,()()yf xyfx

16、 伸缩 01,1,()()AAyf xyAf x 缩伸 对称变换()()xyf xyf x 轴 ()()yyf xyfx 轴()()yf xyfx 原点 1()()y xyf xyfx 直线()(|)yyyyf xyfx 去掉 轴左边图象保留 轴右边图象，并作其关于 轴对称图象()|()|xxyf xyf x 保留 轴上方图象将 轴下方图象翻折上去（2）识图 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系 （3）用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探

17、求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法 第二章 基本初等函数()2.1指数函数【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念 如果,1nxa aR xR n，且nN，那么x叫做a的n次方根当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0 的n次方根是 0；负数a没有n次方根 式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0a 根 式 的 性 质：()nnaa；当n为 奇 数 时，nnaa；当n为 偶 数 时，(0)|(0)nnaaaaaa（2）分数指

18、数幂的概念 正数的正分数指数幂的意义是：(0,mnmnaaam nN且1)n 0 的正分数指数幂等于 0 正数的负分数指数幂的意义是：11()()(0,mmmnnnaam nNaa且1)n 0的负分数指数幂没有意义 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数（3）分数指数幂的运算性质(0,)rsr saaaar sR ()(0,)rsrsaaar sR()(0,0,)rrraba b abrR【2.1.2】指数函数及其性质（4）指数函数 函数名称 指数函数 定义 函数(0 xyaa且1)a 叫做指数函数 图象 1a 01a xay y(0,1)1y xay y(0,1)1y 定义域 R 值域(0,)过

19、定点 图象过定点(0,1)，即当0 x 时，1y 奇偶性 非奇非偶 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 函数值的 变化情况 1(0)1(0)1(0)xxxaxaxax 1(0)1(0)1(0)xxxaxaxax a变化对 图象的影响 在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低 2.2对数函数【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 若(0,1)xaN aa且，则x叫做以a为底N的对数，记作logaxN，其中a叫做底数，N叫做真数 负数和零没有对数 对数式与指数式的互化：log(0,1,0)xaxNaN aaN（2）几个重要的对数恒等式 log 10a，log1aa，l

20、ogbaab（3）常用对数与自然对数 常用对数：lg N，即10logN；自然对数：lnN，即logeN（其中2.71828e）（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0aaMN，那么 加法：logloglog()aaaMNMN 减法：logloglogaaaMMNN 数乘：loglog()naanMMnR logaNaN loglog(0,)bnaanMM bnRb 换底公式：loglog(0,1)logbabNNbba且 【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数 函数 名称 对数函数 定义 函数log(0ayx a且1)a 叫做对数函数 图象 1a 01a 定义域 (0,)值域 R 过定

21、点 图象过定点(1,0)，即当1x 时，0y 奇偶性 非奇非偶 单调性 在(0,)上是增函数 在(0,)上是减函数 函数值的 变化情况 log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxx log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxx a变化对 图象的影响 在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高 (6)反函数的概念 设函数()yf x的定义域为A，值域为C，从式子()yf x中解出x，得式子()xy 如果对于y在C中的任何一个值，通过式子()xy，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()xy表示x是y的函数，函数()xy叫做函数()yf

22、 x的反函数，记作1()xfy，习惯上改写成1()yfx（7）反函数的求法 xyO(1,0)1x logayxxyO(1,0)1x logayx确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式()yf x中反解出1()xfy；将1()xfy改写成1()yfx，并注明反函数的定义域（8）反函数的性质 原函数()yf x与反函数1()yfx的图象关于直线yx对称 函数()yf x的定义域、值域分别是其反函数1()yfx的值域、定义域 若(,)P a b在原函数()yf x的图象上，则(,)P b a在反函数1()yfx的图象上 一般地，函数()yf x要有反函数则它必须为单调函数 2.3幂函数（1）

23、幂函数的定义 一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数（2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在0,)上为增函数如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴 奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当qp（其

24、中,p q互质，p和qZ），若p为奇数q为奇数时，则qpyx是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则qpyx是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则qpyx是非奇非偶函数 图象特征：幂函数,(0,)yxx，当1时，若01x，其图象在直线yx下方，若1x，其图象在直线yx上方，当1时，若01x，其图象在直线yx上方，若1x，其图象在直线yx下方 补充知识二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 一般式：2()(0)f xaxbxc a顶点式：2()()(0)f xa xhk a两根式：12()()()(0)f xa xxxxa（2）求二次函数解析式的方法 已知三个点坐标时，宜用一般式 已知抛物线的顶点坐标或与

25、对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式 若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x更方便（3）二次函数图象的性质 二次函数2()(0)f xaxbxc a的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bxa 顶点坐标是24(,)24bacbaa 当0a 时，抛物线开口向上，函数在(,2ba 上递减，在,)2ba上递增，当2bxa 时，2min4()4acbfxa；当0a 时，抛物线开口向下，函数在(,2ba 上递增，在,)2ba上递减，当2bxa 时，2max4()4acbfxa 二次函数2()(0)f xaxbxc a当240bac 时，图象与x轴有两个交点1122

26、1212(,0),(,0),|M xM xMMxxa（4）一元二次方程20(0)axbxca根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布 设一元二次方程20(0)axbxca的两实根为12,x x，且12xx 令2()f xaxbxc，从以下四个方面来分析此类问题：开口方向：a 对称轴位置：2bxa 判别式：端点函数值符号 kx1x2 xy1x2x0aOabx20)(kfk xy1x2xOabx2

27、k0a0)(kf x1x2k xy1x2x0aOabx2k0)(kf xy1x2xOabx2k0a0)(kf x1kx2 af(k)0 0)(kfxy1x2x0aOk xy1x2xOk0a0)(kf k1x1x2k2 xy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfabx2 xy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kfabx2 有且仅有一个根 x1（或 x2）满足 k1x1（或 x2）k2 f(k1)f(k2)0，并同时考虑 f(k1)=0或 f(k2)=0 这两种情况是否也符合 xy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kf xy1x2xO0a1k2k0)(1kf0)(2kf k

28、1x1k2p1x2p2 此结论可直接由推出 （5）二次函数2()(0)f xaxbxc a在闭区间,p q上的最值 设()f x在区间,p q上的最大值为M，最小值为m，令01()2xpq（）当0a 时（开口向上）若2bpa，则()mf p 若2bpqa，则()2bmfa 若2bqa，则()mf q 若02bxa，则()Mf q 02bxa，则()Mf p ()当0a 时(开口向下)若2bpa，则()Mf p 若2bpqa，则()2bMfa 若2bqa，则f(p)f(q)f(p)f(q)f(p)f(q)f(p)f(q)f(p)f(q)()Mf q 若02bxa，则()mf q 02bxa，则(

29、)mf p 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数)(Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数)(Dxxfy的零点。2、函数零点的意义：函数)(xfy 的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy 的图象与x轴交点的横坐标。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy 的图象与x轴有交点函数)(xfy 有零点 3、函数零点的求法：求函数)(xfy 的零点：1（代数法）求方程0)(xf的实数根；2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点 4、二次函数的零点：二次函数)0(2acbxaxy），方程02

30、cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点），方程02cbxax有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点 ），方程02cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点 三角函数 f(p)f(q)f(p)f(q)f(p)f(q)f(p)f(q)f(p)f(q)PxyAOMT正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角 负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角 第一象限角的集合为36036090,kkk 第

31、二象限角的集合为36090360180,kkk 第三象限角的集合为360180360270,kkk 第四象限角的集合为360270360360,kkk 终边在x轴上的角的集合为180,kk 终边在y轴上的角的集合为18090,kk 终边在坐标轴上的角的集合为90,kk 3、与角终边相同的角的集合为360,kk 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度 5、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是lr 6、弧度制与角度制的换算公式：2360，1180，180157.3 7、若扇形的圆心角为 为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则lr，2Crl，21122Slr

32、r 8、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是,x y，它与原点的距离是220r rxy，则sinyr，cosxr，tan0yxx 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正 10、三角函数线：sin，cos，tan 11、角三角函数的基本关系：221 sincos12222sin1 cos,cos1 sin ；sin2tancossinsintancos,costan 12、函数的诱导公式：1 sin 2sink，cos 2cosk，tan 2tankk 2 sinsin，coscos，tantan 3 sinsin，coscos

33、，tantan 4 sinsin，coscos，tantan 口诀：函数名称不变，符号看象限 5 sincos2，cossin2 6 sincos2，cossin2 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限 13、的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数sinyx 的图象 数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），得到函数 sinyx的图象；再将函数sin

34、yx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数sinyx 的图象 14、函数sin0,0yx 的性质：振幅：；周期：2；频率：12f；相位：x；初相：函数sinyx，当1xx时，取得最小值为miny；当2xx时，取得最大值为maxy，则maxmin12yy，maxmin12yy，21122xxxx 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyx cosyx tanyx 图象 定义域 R R,2x xkk 值域 1,1 1,1 R 最值 当22xkk时，max1y；当22xk

35、 k时，min1y 当2xkk时，max1y；当2xk k时，min1y 既无最大值也无最小值 周期性 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在2,222kk k上是增函数；在 32,222kk k上是减函数 在2,2kkk上是增函数；在2,2kk k上是减函数 在,22kk k上是增函数 对称性 对称中心,0kk 对称轴2xkk 对称中心,02kk 对称轴xkk 对称中心,02kk 无对称轴 函 数 性 质 三角恒等变换 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：coscoscossinsin；coscoscossinsin；sinsincoscossin；sinsincoscoss

36、in；tantantan1 tantan （tantantan1 tantan）；tantantan1 tantan （tantantan1 tantan）25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：sin22sincos222)cos(sincossin2cossin2sin1 2222cos2cossin2cos1 1 2sin 升幂公式2sin2cos1,2cos2cos122 降幂公式2cos21cos2，21 cos2sin2 22tantan21 tan 26、（后两个不用判断符号，更加好用）27、合 一 变 形把 两 个 三 角 函 数 的 和 或 差 化 为“一 个 三 角 函 数，一

37、 个 角，一 次 方”的 BxAy)sin(形式。22sincossin，其中tan 28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：2是的二倍；4是2的二倍；是2的二倍；2是4的二倍；2304560304515oooooo；问：12sin ；12cos ；半角公式sincos1cos1sincos1cos

38、12tan2cos12sin;2cos12cos:2tan12tan1 cos;2tan12tan2 sin:222万能公式)(；)4(24；)4()4()()(2；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：oo45tan90sincottancossin122（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有：；。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式co

39、s1常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：；（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。如：_tan1tan1；_tan1tan1；_tantan；_tantan1；_tantan；_tantan1；tan2 ；2tan1 ；oooo40tan20tan340tan20tan ；cossin =；cossinba =；（其中tan ；）cos1 ；cos1 ；（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。如：)10tan31(50sinoo ；cottan 。（一）解三角形：1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、C的对边，则有2sinsinsinabcRC(R为C的外接圆的半径)2、正弦定理的变形公式：2 sinaR，2 sinbR，2 sincRC；sin2aR，sin2bR，sin2cCR；:sin:sin:sina b cC；3、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCac 4、余弦定理：在C中，有2222cosabcbc，推论：222cos2bcabc