NOIP复赛冲刺资料集锦10.pdf

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1、数论算法顶级?下一页 1求两数的最大公约数function gcd(a,b:integer):integer;begin if b=0 then gcd:=a?else gcd:=gcd(b,a mod b);end;2求两数的最小公倍数function lcm(a,b:integer):integer;beginif a0 do inc(lcm,a);end;3素数的求法A.小范围内判断一个数是否为质数：function prime(n:integer):Boolean;var I:integer;begin?for I:=2 to trunc(sqrt(n)do?if n mod I=0

2、then begin?prime:=false;exit;?end;?prime:=true;end;B.判断longint范围内的数是否为素数（包含求50000以内的素数表）：procedure getprime;?var?i,j:longint;?p:array1.50000 of boolean;?begin?fillchar(p,sizeof(p),true);p1:=false;i:=2;while i50000 do beginif p then begin?j:=i*2;?while j=x then break?else if x mod pr=0 then exit;prim

3、e:=true;end;prime Page 1ABC Amber CHM Converter Trial version,http:/ 1最小生成树A.Prim算法：procedure prim(v0:integer);?var?lowcost,closest:array1.maxn of integer;i,j,k,min:integer;?begin?for i:=1 to n do beginlowcost:=costv0,i;closest:=v0;end;for i:=1 to n-1 do begin寻找离生成树最近的未加入顶点kmin:=maxlongint;for j:=1

4、to n do?if(lowcostjmin)and(lowcostj0)then begin?min:=lowcostj;?k:=j;?end;lowcostk:=0;将顶点k加入生成树?生成树中增加一条新的边k到closestk修正各点的lowcost和closest值for j:=1 to n do?if costk,jlwocostj then begin?lowcostj:=costk,j;?closestj:=k;?end;end;end;primB.Kruskal算法：(贪心)按权值递增顺序删去图中的边，若不形成回路则将此边加入最小生成树。function find(v:inte

5、ger):integer;返回顶点v所在的集合var i:integer;begini:=1;while(i=n)and(not v in vset)do inc(i);if i0 do begin?i:=find(eq.v1);j:=find(eq.v2);?if ij then begin?inc(tot,eq.len);?vset:=vset+vsetj;vsetj:=;?dec(p);?end;?inc(q);end;writeln(tot);end;2.最短路径A.标号法求解单源点最短路径：var?a:array1.maxn,1.maxn of integer;?b:array1.m

6、axn of integer;b指顶点i到源点的最短路径Page 2ABC Amber CHM Converter Trial version,http:/ of boolean;procedure bhf;?var?best,best_j:integer;?begin?fillchar(mark,sizeof(mark),false);mark1:=true;b1:=0;1为源点repeat?best:=0;?for i:=1 to n do?If mark then 对每一个已计算出最短路径的点?for j:=1 to n do?if(not markj)and(ai,j0)then?if

7、(best=0)or(b+ai,j0 then begin?bbest_j:=best；markbest_j:=true;?end;?until best=0;?end;bhfB.Floyed算法求解所有顶点对之间的最短路径：?procedure floyed;?beginfor I:=1 to n dofor j:=1 to n doif aI,j0 then pI,j:=I else pI,j:=0;pI,j表示I到j的最短路径上j的前驱结点for k:=1 to n do 枚举中间结点for i:=1 to n do?for j:=1 to n do?if ai,k+aj,kai,j t

8、hen begin?ai,j:=ai,k+ak,j;?pI,j:=pk,j;?end;?end;C.Dijkstra 算法：var?a:array1.maxn,1.maxn of integer;?b,pre:array1.maxn of integer;pre指最短路径上I的前驱结点?mark:array1.maxn of boolean;procedure dijkstra(v0:integer);beginfillchar(mark,sizeof(mark),false);for i:=1 to n do begin?d:=av0,i;?if d0 then pre:=v0 else p

9、re:=0;end;markv0:=true;repeat?每循环一次加入一个离1集合最近的结点并调整其他结点的参数?min:=maxint;u:=0;u记录离1集合最近的结点?for i:=1 to n do?if(not mark)and(dmin)then begin?u:=i;min:=d;?end;?if u0 then begin?mark:=true;?for i:=1 to n do?if(not mark)and(au,i+dd)then begin?d:=au,i+d;?pre:=u;?end;?end;until u=0;end;3.计算图的传递闭包Procedure L

10、onglink;VarPage 3ABC Amber CHM Converter Trial version,http:/ of boolean;BeginFillchar(t,sizeof(t),false);For k:=1 to n doFor I:=1 to n doFor j:=1 to n do TI,j:=tI,j or(tI,k and tk,j);End;4无向图的连通分量A.深度优先procedure dfs(now,color:integer);begin?for i:=1 to n do?if anow,i and c=0 then begin 对结点I染色?c:=co

11、lor;?dfs(I,color);?end;end;B 宽度优先（种子染色法）5关键路径几个定义：顶点1为源点，n为汇点。a.顶点事件最早发生时间Vej,Ve j=max Ve j+wI,j,其中Ve(1)=0;b.顶点事件最晚发生时间 Vlj,Vl j=min Vlj wI,j,其中 Vl(n)=Ve(n);c.边活动最早开始时间 EeI,若边I由表示，则EeI=Vej;d.边活动最晚开始时间 ElI,若边I由表示，则ElI=Vlk wj,k;若 Eej=Elj，则活动j为关键活动，由关键活动组成的路径为关键路径。求解方法：a.从源点起topsort,判断是否有回路并计算Ve;b.从汇点起

12、topsort,求Vl;c.算Ee 和 El;6拓扑排序找入度为0的点，删去与其相连的所有边，不断重复这一过程。例 寻找一数列，其中任意连续p项之和为正，任意q 项之和为负，若不存在则输出NO.7.回路问题Euler回路(DFS)定义：经过图的每条边仅一次的回路。（充要条件：图连同且无奇点）Hamilton回路定义：经过图的每个顶点仅一次的回路。一笔画充要条件：图连通且奇点个数为0个或2个。8判断图中是否有负权回路 Bellman-ford 算法xI,yI,tI分别表示第I条边的起点，终点和权。共n个结点和m条边。procedure bellman-fordbeginfor I:=0 to n

13、-1 do dI:=+infinitive;d0:=0;for I:=1 to n-1 dofor j:=1 to m do 枚举每一条边if dxj+tjdyj then dyj:=dxj+tj;for I:=1 to m doif dxj+tjdyj then return false else return true;end;9第n最短路径问题*第二最短路径：每举最短路径上的每条边，每次删除一条，然后求新图的最短路径，取这些路径中最短的一条即为第二最短路径。*同理，第n最短路径可在求解第n-1最短路径的基础上求解。Page 4ABC Amber CHM Converter Trial v

14、ersion,http:/ 装箱问题 有一个箱子容量为v(正整数，ov20000)，同时有n个物品(on30)，每个物品有一个体积(正整数)。要求从 n个物品中，任取若千个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。l 搜索方法procedure search(k,v:integer);搜索第k个物品，剩余空间为vvar i,j:integer;begin?if v=best then exit;sn为前n个物品的重量和?if kwk then search(k+1,v-wk);?search(k+1,v);?end;end;l DPFI,j为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志，为布尔型。

15、实现:将最优化问题转化为判定性问题f I,j=f i-1,j-w (wI=j0 then?if j+now=n then inc(cj+now,aj);a:=c;end;2可重复背包A求最多可放入的重量。FI,j为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志，为布尔型。状态转移方程为fI,j=f I-1,j wI*k (k=1.j div wI)B.求可以放入的最大价值。USACO 1.2 Score Inflation进行一次竞赛，总时间T固定，有若干种可选择的题目，每种题目可选入的数量不限，每种题目有一个ti（解答此题所需的时间）和一个si（解答此题所得的分数），现要选择若干题目，使解

16、这些题的总时间在T以内的前提下，所得的总分最大，求最大的得分。*易想到：?fi,j=max f i-k*wj,j-1+k*pj (0=k=0 ThenBegin?t:=problemj.point+fi-problemj.time;?If tf Then f:=t;End;Writeln(fM);End.C.求恰好装满的情况数。Ahoi2001 Problem2求自然数n本质不同的质数和的表达式的数目。思路一，生成每个质数的系数的排列，在一一测试，这是通法。procedure try(dep:integer);var i,j:integer;begin?cal;此过程计算当前系数的计算结果，n

17、ow为结果?if nown then exit;剪枝?if dep=l+1 then begin 生成所有系数?cal;?if now=n then inc(tot);?exit;?end;?for i:=0 to n div prdep do begin?xsdep:=i;?try(dep+1);?xsdep:=0;?end;end;思路二，递归搜索效率较高procedure try(dep,rest:integer);var i,j,x:integer;begin?if(rest0 then?for k:=1 to n div now do?if j+now*k=n then inc(cj

18、+now*k,aj);a:=c;end;mainbegin read(now);读入第一个物品的重量i:=0;?a为背包容量为i时的放法总数while i=n do begin a:=1;inc(i,now);end;定义第一个物品重的整数倍的重量a值为1，作为初值for i:=2 to v dobeginread(now);update;动态更新end;writeln(an);Page 6ABC Amber CHM Converter Trial version,http:/ 7ABC Amber CHM Converter Trial version,http:/ 1.快速排序：proce

19、dure qsort(l,r:integer);var i,j,mid:integer;begin?i:=l;j:=r;mid:=a(l+r)div 2;将当前序列在中间位置的数定义为中间数repeat?while amid do dec(j);在右半部分寻找比中间数小的数?if ij;if lj then qsort(l,j);若未到两个数的边界，则递归搜索左右区间if ir then qsort(i,r);end;sort 2.插入排序：思路：当前a1.ai-1已排好序了，现要插入a使a1.a有序。procedure insert_sort;var i,j:integer;beginfor

20、 i:=2 to n do begin?a0:=a;?j:=i-1;?while a0aj then swap(a,aj);end;4.冒泡排序procedure bubble_sort;var i,j,k:integer;beginfor i:=1 to n-1 do?for j:=n downto i+1 do?if ajaj-1 then swap(aj,aj-1);每次比较相邻元素的关系end;5.堆排序：procedure sift(i,m:integer);调整以i为根的子树成为堆,m为结点总数var k:integer;begina0:=a;k:=2*i;在完全二叉树中结点i的左

21、孩子为2*i,右孩子为2*i+1while k=m do begin?if(km)and(akak+1)then inc(k);找出ak与ak+1中较大值if a0ak then begin a:=ak;i:=k;k:=2*i;endelse k:=m+1;end;a:=a0;将根放在合适的位置end;procedure heapsort;Page 8ABC Amber CHM Converter Trial version,http:/ j:=n div 2 downto 1 do sift(j,n);for j:=n downto 2 do begin?swap(a1,aj);?sift(

22、1,j-1);end;end;6.归并排序a为序列表，tmp为辅助数组procedure merge(var a:listtype;p,q,r:integer);将已排序好的子序列ap.q与aq+1.r合并为有序的tmpp.rvar I,j,t:integer;tmp:listtype;begint:=p;i:=p;j:=q+1;t为tmp指针，I,j分别为左右子序列的指针while(t=r)do begin?if(ir)or(a=aj)满足取左边序列当前元素的要求?then begin?tmpt:=a;inc(i);?end?else begin?tmpt:=aj;inc(j);?end;i

23、nc(t);end;for i:=p to r do a:=tmp;end;mergeprocedure merge_sort(var a:listtype;p,r:integer);合并排序ap.rvar q:integer;beginif pr then begin?q:=(p+r-1)div 2;?merge_sort(a,p,q);?merge_sort(a,q+1,r);?merge(a,p,q,r);end;end;mainbeginmerge_sort(a,1,n);end.7.基数排序思想：对每个元素按从低位到高位对每一位进行一次排序 Page 9ABC Amber CHM C

24、onverter Trial version,http:/ 高精度数的定义：typehp=array1.maxlen of integer;1高精度加法procedure plus(a,b:hp;var c:hp);var i,len:integer;beginfillchar(c,sizeof(c),0);if a0b0 then len:=a0 else len:=b0;for i:=1 to len do begininc(c,a+b);if c10 then begin dec(c,10);inc(ci+1);end;进位end;if clen+10 then inc(len);c0:

25、=len;end;plus 2高精度减法procedure substract(a,b:hp;var c:hp);var i,len:integer;beginfillchar(c,sizeof(c),0);if a0b0 then len:=a0 else len:=b0;for i:=1 to len do begin?inc(c,a-b);?if c1)and(clen=0)do dec(len);c0:=len;end;3高精度乘以低精度procedure multiply(a:hp;b:longint;var c:hp);var i,len:integer;beginfillchar

26、(c,sizeof(c),0);len:=a0;for i:=1 to len do begin?inc(c,a*b);?inc(ci+1,(a*b)div 10);?c:=c mod 10;end;inc(len);while(clen=10)do begin 处理最高位的进位?clen+1:=clen div 10;?clen:=clen mod 10;?inc(len);end;while(len1)and(clen=0)do dec(len);若不需进位则调整lenc0:=len;end;multiply 4高精度乘以高精度procedure high_multiply(a,b:hp;

27、var c:hpvar i,j,len:integer;beginfillchar(c,sizeof(c),0);for i:=1 to a0 do?for j:=1 to b0 do begin?inc(ci+j-1,a*bj);inc(ci+j,ci+j-1 div 10);ci+j-1:=ci+j-1 mod 10;?end;len:=a0+b0+1;Page 10ABC Amber CHM Converter Trial version,http:/ dec(len);c0:=len;end;5高精度除以低精度procedure devide(a:hp;b:longint;var c:

28、hp;var d:longint);c:=a div b;d:=a mod bvar i,len:integer;beginfillchar(c,sizeof(c),0);len:=a0;d:=0;for i:=len downto 1 do begin?d:=d*10+a;?c:=d div b;?d:=d mod b;end;while(len1)and(clen=0)then dec(len);c0:=len;end;6高精度除以高精度procedure high_devide(a,b:hp;var c,d:hp);vari,len:integer;beginfillchar(c,siz

29、eof(c),0);fillchar(d,sizeof(d),0);len:=a0;d0:=1;for i:=len downto 1 do begin?multiply(d,10,d);?d1:=a;?while(compare(d,b)=0)do 即d=b?begin?Subtract(d,b,d);?inc(c);?end;end;while(len1)and(c.slen=0)do dec(len);c.len:=len;end;Page 11ABC Amber CHM Converter Trial version,http:/ 1已知前序中序求后序procedure Solve(p

30、re,mid:string);var i:integer;beginif(pre=)or(mid=)then exit;i:=pos(pre1,mid);solve(copy(pre,2,i),copy(mid,1,i-1);solve(copy(pre,i+1,length(pre)-i),copy(mid,i+1,length(mid)-i);post:=post+pre1;加上根，递归结束后post即为后序遍历end;2已知中序后序求前序procedure Solve(mid,post:string);var i:integer;beginif(mid=)or(post=)then ex

31、it;i:=pos(postlength(post),mid);pre:=pre+postlength(post);加上根，递归结束后pre即为前序遍历solve(copy(mid,1,I-1),copy(post,1,I-1);solve(copy(mid,I+1,length(mid)-I),copy(post,I,length(post)-i);end;3已知前序后序求中序的一种function ok(s1,s2:string):boolean;var i,l:integer;?p:boolean;beginok:=true;l:=length(s1);for i:=1 to l do

32、begin?p:=false;?for j:=1 to l do?if s1=s2j then p:=true;?if not p then begin ok:=false;exit;end;end;end;procedure solve(pre,post:string);var i:integer;beginif(pre=)or(post=)then exit;i:=0;repeat?inc(i);until ok(copy(pre,2,i),copy(post,1,i);solve(copy(pre,2,i),copy(post,1,i);midstr:=midstr+pre1;solve

33、(copy(pre,i+2,length(pre)-i-1),copy(post,i+1,length(post)-i-1);end;Page 12ABC Amber CHM Converter Trial version,http:/ 1。任意正整数进制间的互化除n取余 2。实数任意正整数进制间的互化乘n取整 3。负数进制：设计一个程序，读入一个十进制数的基数和一个负进制数的基数，并将此十进制数转换为此负 进制下的数：-R-2，-3，-4,.-20 Page 13ABC Amber CHM Converter Trial version,http:/ 1排列的生成：（1.n）procedur

34、e solve(dep:integer);var?i:integer;begin?if dep=n+1 then begin writeln(s);exit;end;?for i:=1 to n do?if not used then begin?s:=s+chr(i+ord(0);used:=true;?solve(dep+1);?s:=copy(s,1,length(s)-1);used:=false;?end;end;2组合的生成(1.n中选取k个数的所有方案)procedure solve(dep,pre:integer);var?i:integer;begin?if dep=k+1

35、then begin writeln(s);exit;end;?for i:=1 to n do?if(not used)and(ipre)then begin?s:=s+chr(i+ord(0);used:=true;?solve(dep+1,i);?s:=copy(s,1,length(s)-1);used:=false;?end;end;Page 14ABC Amber CHM Converter Trial version,http:/ 1折半查找function binsearch(k:keytype):integer;var low,hig,mid:integer;beginlow

36、:=1;hig:=n;mid:=(low+hig)div 2;while(amid.keyk)and(lowk then hig:=mid-1?else low:=mid+1;?mid:=(low+hig)div 2;end;if lowhig then mid:=0;binsearch:=mid;end;2树形查找二叉排序树：每个结点的值都大于其左子树任一结点的值而小于其右子树任一结点的值。查找function treesrh(k:keytype):pointer;var q:pointer;beginq:=root;while(qnil)and(q.keyk)do?if kq.key th

37、en q:=q.left?else q:=q.right;treesrh:=q;end;Page 15ABC Amber CHM Converter Trial version,http:/ 会议问题（1）n个活动每个活动有一个开始时间和一个结束时间，任一时刻仅一项活动进行，求满足活动数最多的情况。解：按每项活动的结束时间进行排序，排在前面的优先满足。（2）会议室空闲时间最少。（3）每个客户有一个愿付的租金，求最大利润。（4）共R间会议室，第i个客户需使用i间会议室，费用相同，求最大利润。Page 16ABC Amber CHM Converter Trial version,http:/ 1

38、.n皇后问题procedure try(i:byte);var j:byte;beginif i=n+1 then begin print;exit;end;?for j:=1 to n do?if a and bj+i and cj-i then begin?x:=j;?aj:=false;bj+i:=false;cj-i:=false;?try(i+1);?aj:=true;bi+j:=true;cj-i:=true;end;end;2.Hanoi Tower h(n)=2*h(n-1)+1?h(1)=1初始所有铜片都在a柱上procedure hanoi(n,a,b,c:byte);将第

39、n块铜片从a柱通过b柱移到c柱上beginif n=0 then exit;hanoi(n-1,a,c,b);将上面的n-1块从a柱通过c柱移到b柱上write(n,moved from,a,to,c);hanoi(n-1,b,a,c);将b上的n-1块从b柱通过a柱移到c柱上end;初始铜片分布在3个柱上，给定目标柱goalh1.3,0.n存放三个柱的状态，now与nowp存最大的不到位的铜片的柱号和编号,hI,0存第I个柱上的个数。Procedure move(k,goal:integer);将最大不到位的k移到目标柱goal上BeginIf k=0 then exit;For I:=1

40、to 3 doFor j:=1 to hanI,0 doIf hI,j=k then begin now:=I;nowp:=j;end;找到k的位置If nowgoal then begin 若未移到目标Move(k-1,6-now-goal);剩下的先移到没用的柱上Writeln(k moved from now to goal);Hgoal,hgoal,0+1:=hnow,nowp;hnow,nowp:=0;Inc(hgoal,0);dec(hnow,0);Move(k-1,goal);剩下的移到目标上End;Page 17ABC Amber CHM Converter Trial ver

41、sion,http:/ NOIP2001 数的划分procedure work(dep,pre,s:longint);入口为work(1,1,n)dep为当前试放的第dep个数,pre为前一次试放的数,s为当前剩余可分的总数var j:longint;begin if dep=n then begin?if s=pre then inc(r);exit;end;for j:=pre to s div 2 do work(dep+1,j,s-j);end;类似：procedure try(dep:integer);var i:integer;begin?if dep=k then begin?i

42、f tot=adep-1 then inc(sum);?exit;end;?for i:=adep-1 to tot div 2 do begin?adep:=i;dec(tot,i);try(dep+1);?inc(tot,i);?end;end;try Page 18ABC Amber CHM Converter Trial version,http:/ IOI94 房间问题head:=1;tail:=0;while tail=1)and(I=L.len)then while jI do begin p:=p.next;inc(j);end;loc:=p;end;2单链表的插入操作proc

43、edure insert(L:linklist;I:integer;x:datatype);var p,q:pointer;beginp:=loc(L,I);new(q);q.data:=x;q.next:=p.next;p.next:=q;inc(L.len);end;3单链表的删除操作procedure delete(L:linklist;I:integer);var p,q:pointer;beginp:=loc(L,I-1);q:=p.next;p.next:=q.next;dispose(q);dec(L.len);end;4双链表的插入操作（插入新结点q）p:=loc(L,I);n

44、ew(q);q.data:=x;q.pre:=p;q.next:=p.next;p.next:=q;q.next.pre:=q;5双链表的删除操作p:=loc(L,I);p为要删除的结点p.pre.next:=p.next;p.next.pre:=p.pre;dispose(p);关键路径（最长路经）：var a,b:array 1.10,1.10 of integer;n,last,out:integer;q,c:array 1.10 of integer;o:set of 1.10;procedure init;var i,j:integer;beginreadln(n);for i:=1

45、 to n dofor j:=1 to n do?read(ai,j);last:=0;o:=;out:=0;b:=a;Page 20ABC Amber CHM Converter Trial version,http:/ sort;var i,j:integer;?p:boolean;beginwhile outn do beginfor i:=1 to n doif not(i in o)then begin?p:=true;?for j:=1 to n do?if aj,i=1 then begin?p:=false;?break;?end;?if p then begin?inc(la

46、st);?qlast:=i;?inc(out);o:=o+;?fillchar(a,sizeof(a),0);?end;end;end;end;procedure work_1;var i,j,t,k:integer;begina:=b;c1:=0;for i:=1 to n do begink:=0;for j:=1 to i-1 do?if(aqj,q0)and(aqj,q+cqjk)?then k:=aqj,q+cqj;cq:=k;end;end;procedure work_2;var i,j,k:integer;beginwriteln(qn);for i:=n-1 downto 1

47、 do begink:=maxint;for j:=i+1 to n do?if(aq,qj0)and(cqj-aq,qjk)then k:=cqj-aq,qj;if cq=k then writeln(q,);cq:=k;end;end;begininit;sort;work_1;work_2;end.拓扑排序：var a:array 1.100,1.100 of 0.1;n:integer;p:set of 1.100;procedure init;var i,j,k:integer;beginfillchar(a,sizeof(a),0);readln(n);for i:=1 to n

48、do beginread(k);while k0 do begin?ai,k:=1;Page 21ABC Amber CHM Converter Trial version,http:/ search;var i,j,t,sum,printed:integer;beginprinted:=0;while printedn dofor i:=1 to n do begin?sum:=0;?for j:=1 to n do sum:=sum+aj,i;?if(sum=0)and not(i in p)then begin?write(i,);?p:=p+;?inc(printed);?for t:

49、=1 to n do ai,t:=0;?end;end;end;begininit;search;end Page 22ABC Amber CHM Converter Trial version,http:/ 1.模拟方法a.用数学量和图形描述问题b.模拟计算过程c.模拟时的优化d.高精度计算算法 2.排序算法与算法时空复杂度a.简单排序算法b.快速排序、堆排序c.算法时空复杂度d.时空的简单优化方法e.线性时间排序f.归并排序g.合理选用排序算法 3.搜索a.复杂的模拟问题与利用相似性b.函数的递归调用c.栈与深度优先搜索d.深度优先搜索的优化e.队列与广度优先搜索f.广度优先搜索的优化 4

50、.贪心方法a.工程计划模型b.部分背包与每步最优c.构造贪心算法 5.动态规划a.另一种形式的工程计划b.记忆化搜索c.数字三角形：递推地思考问题d.石子合并：状态的确定e.街道问题：状态量维数的确定与无后效性f.0-1背包：巧妙地选取状态量g.Bitonic旅行：最佳的状态转化方式h.最长非降子序列模型i.构造动态规划算法j.动态规划、递推、广度优先搜索的区别与转化 6.常用数学方法a.排列组合b.递推与通项的选用 7.分治a.子问题与母问题的相似性b.二分查找c.分析算式d.最长非降子序列的二分法 8.图论思想a.图论基础b.图的表示方法c.经典图论算法d.构造图论模型 Page 23AB