第二十六节指对共生式技巧之切线放缩-解析版.docx

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1、第二十六节指对共生式技巧之切线放缩知识与方法当要证明的不等式中既含有又含有Inx时，一般我们形象地称之为指对共生式，这 类问题直接构造差函数进行研究可能会较为困难，突破这一困难一般采用指对放缩、分离双 函数、同构等技巧.这一小节先给大家介绍切线放缩的技巧，常用的切线放缩有：(1) e2x + l； (2) ex ex； (3) 1-lnxx-l； (4) lnx2x + lnx.（解析】证法1 ：易证ex ex ,设 /(x) = ex-2x-nxx 0),则= e 21 (e 2)x 1 ,x x所以 /(x) 0 0 x 0x从而f（X）在10,上单调递减,V e 2）从而f（X）在10,

2、上单调递减,V e 2）在（,+8上单调递增,（e-2）故/川白卜1，2故/川白卜1，2=ln - 2)0所以 ex 2x + In x ,从而 ex ex2x + nx ,故 ex 2x + In %. 证法 2：易证InxKx-l , lM(2x + lnx0),则 /r(x) = ex -3 ,所以 / (x) 0 x ln3 , /r(x) 00x0 = -2%(x)-l,从而 /?(x)在(-2,-1)上单调递增，在(-L+OO)上单调递减,故 (x)max =%(-1) = 0，所以 (%)】。，故111(X + 2)4 X + 1 ,当且仅当 x = -时等号成立，综上所述，有l

3、n(x+2)(x + le 且两个等号不能同时成立，所以ln(x + 2) 0 ,因为当一V2时,/(x) = ex -ln(x + m) ex -ln(x + 2),所以 /(x) 0.9.设函数 /(x) = aex -xlnx,其中 q R(1)若/(力在定义域上是增函数，求实数。的取值范围；(2)若。2二，证明：/(x)0 e【解析】(1)解法1：由题意，/(x) = a/Inx-l(x。)，且广(“2。恒成立，所以qN电子， ex1 1,11 In x令网力二望(工0),则短(力二七一，当 Ovxvl 时,-10 , lnxl 时，-1 0,所以 g(x)o),且广(力2。恒成立，所

4、以土口， ex易证lnxX1, eNex,所以国立！ -eA -xnx = 2eK2 -xnx = ex2 2-deI )xnx0成立，下面证明当xl时该不等式下面证明，一2(2 半0,只需证2一坐0, 【e2 I2当0vxl时，显然*1),则个)令厂=,则 /(x) = lnx + l-，rzz(x) = + -0 ,xxx-所以/(%)在(l,+8)上单调递增,又/=0,所以当时，/(x)0,从而r(x)在(1,+00) 上单调递增，又r(2)= ln2-l0,所以r(x)在(1,+s)上有唯一的零点x()，且 w(2,e),当 工(1,%0)时，r(x) 0 ,所以 (%)0 ,所以 /

5、z(x)0 ,从而/z(x)在(1,%)上单调递减，在(即+上单调递增，故 M%L0)=2-要，又 r(Xo) = Xolnx()-Inx。1 = 0,所以 In % =-,代入式得：(=2 1 + I /由 / 2 可得 11+!2*0 10-70从而0,综上所述，对任意的%0,都有2-普 0,所以eR 吗0, 21e1)又当时，/(力=。2(2一叱,所以力0._22证法 2：当 a 2万时，/(x) = aex -xnx - -ex -xnx = 2ex2 -xnx , ee-22易证所以 2/一2%足工2 2产一2一三，4(x 0),eee2x 2(e，- -x)则/(x) = 2/-2

6、幺=Z,e e易证e2x + l,所以/-七%，从而/(x)20,故 (x)在(0,+oo)上单调递增，Xw(O)= 0 ,所以(尤)0恒成立,因为0(%)之(%),所以/(%)0. e10.已知函数/(1)=61-( + 1)(工21), g(x) = (x-l)lnx,其中e为自然对数的底数.(1)若/(力2。恒成立，求实数4的取值范围;(2)若Q取(1)中的最大值，证明：f(x)g(x).【解析】解法 1:由题意，/(%) 0 ex因为J恒成立，所以故实数。的取值范围是x +12(2)证法 1：由题意，/(x) = ex x； 1，所以 /(x)2 g(x) oeT -三N(x-l)ln

7、x ,易证 llnxWx-1 ,所以当 xNl 时，(x-l)lnx0ao ,所以在1,+8)上单调递增，从而1-00,.2u 京1、xx+ 一从而 =1 -x+1 x+l X+11,111=又当x = l时，土所以x+11+1 2exx1J的最小值为 x +12=因为 W(x)恒成立，所以故实数Q的取值范围是解法 2：由题意，f(x) =-，xl当a 0恒成立，所以力在L+oo)上单调递增,从而%)1nhi= /(I) = 1 -2a ,因为所以1 220,解得：a 1 时，0 = xl + lna, /(x) 0 = lxl + ln，所以/(x)在11+ lna)上单调递减，在(1 +

8、In a,+8)上单调递增，故 /(x)min = /(l + lnQ)= Q-(l + lnQ)= -Qlna 0ex - tz(x +1) 0 O。2，3,2x 3x + 3从而（x）在1,-上单调递诚，在=,2上单调递增，在（2,+8）上单调递减,又 0（1） = 1 , ?（2）= (x-l) 因为(x l2(x l)lnx,所以(x-l)lnx,故/(xg(x)f + 1证法 2：设(%) =(x 1),则/(%) =f + 1证法 2：设(%) =(x 1),则/(%) =|-o,所以“）在1,+00）上为减函数,*2 + 丫2 + 又“1） = 1,所以（力1恒成立，从而 1),

9、 则 vr(x)=-=-， 22 x所以 M(x) 0 =%2 , u(x) 0 = 1 x v（2）= 1 - In 2 0 ,I Y所以 /(X)-g(x)2(x-l) -ln =(j;-1)v(a:)0 ,故X)2g(x).故 f(x)/(In3)= 4-31n3 = ln0所以 e 3x 1,从而 ex 3x -1 2x + In x ,故 eA 2尤 + In x .一rX (证法 3： 一方面，InxW ,所以 2x + lnxV2x + = 2 + -另一方面，ex ex ,显然当x0时,exx，- ( 1、所以 e 2 ex 2 + - x 2x + In x , I e)ex

10、 2x + In x .变式对任意的x0,证明：xex 2x +Inx .【解析】证法1：易证/1+1,当且仅当x = 0时取等号，所以当x0时，Zx(x + 1),令 /(%)= x(x + l)-2x-lnx(x0),令 /(%)= x(x + l)-2x-lnx(x0),贝U x) = 2x-l=(2x+l)(x7)XX所以/(x)0oxl, /(x)0o0x 2x + lnx .证法2：易证In尤 0 ,故;(x)在(2、 5 - sf - 9、(0,+8)上单调递增，又/=20,所以广在 3J 3315,(0,+oo)上有唯一的零点 % ,且 0%0-，当工.。,/)时，/,(%)0

11、,从而“X)在(O,X0)上单调递减，在(%0,+8)上单调递增，故 /(X)min = fM =- (3/ T)，又(% )=(与 + 1)故 - 3 = 0 ,所以故=-，工0 +1从而/(/) = M _(3/ _ 1)=生；_(3/ _ 1) = 3(玉)+ ? 3 _(3/ _ 1) = 4_3 + x0 =7-3 5+ x0 + lI II 1./vr I LI人八 I JL且 “Xo) = 7-3且 “Xo) = 7-3n t+-t)1 34( 1A易得2/ + - ，所以一7 3，+ - 。, 从而/(x)。, 故xe3x l 2x + lnX, 所以 xe 2x + lnx

12、.证法3：易证，Nx-l,当且仅当x = 0时取等号，所以当x0时，xex x(x + l),另一方面，lnx 0 ,所以 x(x + l)N3x-l ,从而 xex+1) 3x-1 2x + Inx ,故 xex 2x + In x .【反思】看到指对共生结构，可以考虑运用切线放缩把指数放掉，也可以考虑把对数放掉， 当然，如果条件允许，两个都放掉就更简单了.例 2已知函数 /(x) = Inx-xex+ ax a g R).(1)若/(x)在1,+8)上单调递减，求实数取值范围；(2)若a = l,求/(x)的最大值.【解析】(1)由题意，r(x) = -(x + l)e+0在1,+对上恒成

13、立，从而。 0,所以 g(x)在l,+8)上单调递增， XX故屋“.=屋1) = 2-1,因为恒成立，所以aM2e-1,故实数的取值范围为(-00,2e-l.(2)解法 1 ：当 a = 1 时，/(x) = lnx-1( 1xex +x(x 0),/(工)=(x+l)e+1 = (x+1)exXy Xy设 (%) = !-，(x 0),则-ex 0,所以 /i(x)在(0, +oo)上单调递减,XXh(l) = l-e0,所以r(x)0,故在(0用)上单调递增,当工(玉,+8)时,/?(X)O,所以/(无)0ox0 , “(%)0尤0 ,从而0(何在(-oo,0)上单调递减,在(0,+oo)

14、上单调递增,故(x)而口 =9(。)=。，所以夕(无)20, 故,2 X + 1 ,当 Q = 1 时，/(x) = nx-xeK x = nx- enx -ex +x = nx-ex+nx 4-x0),则wr(x) = l+-0 ,故(无)在 JC 1 A 1(0,+8)上单调递增，结合V-=1 。知(%)在(0,+上有零点，即方程工+山 = 0有实根，所以/(x)max =一1,【反思】我们不只要学会运用+ l这一切线放缩，它的变形/、)20(k+ 1也要会运 用；若要利用切线放缩求最值，一定要验证等号能取到.强化训练1 ,函数/(x) =(x0)的最大值为.【解析】解法1：由题意，/(工

15、)=一电二，所以/(x)0o0xl , jT(x)0 = xl, X从而 “X)在(0,1)上 /,在(1,+8)上.，故人、=1) = 1.解法2：易证lnx0, XIJC,设g(x) =一*I(XO),则短(x) = 4川0, g=1一/0 ,所以/(x)。，当时,g(x)0,所以广(x)e2(lnx + x + l) + l = lnx + x + 2,从而 lnx + x-e,n v+v+lO = xl,1(x)O = Oxx-lnx + lnx-x = O,当且仅当 x-lnx 1 =0 时取等号，此时【答案】04.证明：（x-l）e -lnx 一；【解析】证法 1：易证lnx0,贝

16、 U/(x) = ex-l + (x-l)ev= xeA -1, /(x) = (x + l)ex 0 ,所以:）在（0,+8）上单调递增,-io,所以广在（。,小）上有唯一零点/，且,/ 1,当 X(O,Xo)时，/r(x)0 , /(X)单调递增,所以/(x)min =/(%) = (%一。(。 -1)，又以小)=。-1 = 0,所以 *=L X。尤0 所以2 xo HX。从而(1 (从而 /0)=(X。_ 1)1 =2 - / +xoJ V_-/(x0)_- 所以(x l)/_lnx2/(x)_-,从而(x-l)e-lnx证法 2：易证 lnxx-l ,所以(x l)elnxN(x l)

17、e-(-1) = (%-1乂一1),下面证明乙当 xNl 时，(x 1)之0工；当Ovx-ev -1 -ex1ex1八 /22(1)2(1)2(1) 2(1)设 x) =2(1) I ；则:(力=2(2x W4(111( ( 所以(x)0o-xvl, r(x)00xi,故所以(x1乂-一1)综上所述，不等式(x-对任意的x0恒成立，所以(x-1)/-lnx 5.不等式厂3/Qin无2X + 1对任意的X1恒成立，则实数。取值范围为().A.(8/eB.(oo, 2 /C.(-o, -2D.(00, -3_ % 【解析】当 x 1 时，x3eA -anxx + lanx x3ex -x-la 2

18、 + ln(7 .【解析】 由题意，f（x） = aex-,因为/（力在1,2上增函数，所以尸（工）20在1,2 X上恒成立，即a/-在1,2上恒成立，从而aL,显然函数=比、在1,2上是增函 xxeA所以故实数。的取值范围xe数，所以exeK2e2,从而工_1,因为 2/ 夜 e是L+oo. e )（2）解法1：当Ovavl时，/（同=叱+!0,所以/（X）在（0,+8）上单调递增,又小卜又小卜。-3vO,且当 xmaxln：卜寸，/（力二aex ae -1 = 0,所以 /(/) x有唯一的零点,当ov%飞时,r（x）o,当时，r（x）o,因为r(x) = Q*_L =。，所以 %o因为r

19、(x) = Q*_L =。，所以 %o从而/（九）在（。,）上单调递减，在（%,+8）上单调递增，故/（x）min = / （玉）=/。- In）,两边取对数得：x()+ In 6/ = In一 = -lnx(), %代入式可得f (x0) =F X。+ In a 2 2xo x0 + In 2 + lna.e其中6Z R（1）若/（力20,求Q的取值集合;(2)证明：ex + 2-lnx + (-2)x.【解析】(1)由题意，/(x) =，+,%0, x I x J x当时Q0 ,所以/(x)在(0,+8)上单调递增，结合/(1)=。可得当X(O,1)时，/(x)0 时，/(x)0oxa,

20、/(x)0 = 0x0o0vq1 ,a a“(Q) 1 ,从而无(4)在(0,1)上单调递增,在(1,+00)上单调递减,故/z(6z)max= /z(l) = 0 ,所以lna + 1 a40，由可得只能lna + 1 a = 0,且a = l,所以。的取值集合为1.(2)证法1：易证当0时，/1X,所以产+_12+ _1, x xig(x) = exH(2-ln+(e-2)x), x0,Xw /、 1“、11 (x + l)(2x l)则 g (x) = + 2x - 2 + In x , g (x)=+ 2 + =二,JCXf 1 1 ( ( 所以 g(x)0ox, gx) v0 = 0

21、x0 ,所以 ex + 2-lnx + (e-2)x, 2 J2x又 e + ex + j所以 e + 2 lnx + (e 2)x. XXX( 证法 2： MiiE Inx 1 - x证法 2： MiiE Inx 1 - x所以 2 lnx + (e 2)x(2 1 +(e 2)x = 1hF(e 2)x,易证当 x0 时，ex x + l,所以 ev+，(x + l) + L XX1 ( I一11而(x + l) + 1 + + (e-2)x =(3-e)x0, 所以(x + l) + 1 + + (e-2)x ,X y XyX XhK而 e H (x+l) + 1h 2)x22 lnx

22、+ (e 2)x ,cx H 2 lnx + (e 2)x.8. (2013 新课标n卷)已知函数,f(x) = e-ln(x + z)(1)设x = 0是/的极值点，求机并讨论了的单调性;(2)当“0【解析】(1)由题意，f(x) = ex一, %-1, x-m因为x = 0是的极值点，所以f(0)= l 工=0 ,解得：m=1, m故/(x) = ev -故/(x) = ev -x+1x+1令(x) = (x + l)e-1 (x一1),则/(x) = (x +2)e 0 ,所以 4(x)在(一1,+8)上单调递增,又“(0) = 0,所以当-IvxvO 时，(x)0,故/(x)0 时,w

23、(x)0，故/ 从而/(%)在(-1,0)上单调递减，在(0,+oo)上单调递增.(2)证法 1：当机42时，/(x) = ev -ln(x + m)v -ln(x + 2),令 g(%) =，ln(x + 2) , x-2 ,则/(x) = e*g = (% + 2);1令 A(x) = (x + 2)v -l(x-2),则 %(%) = (x + 3)e* 0 ,所以力(1)在(一2,+8)上单调递增,结合1) = 1 IvO,力(0)= 10矢口存在唯一的为使世/)=0且(1,0), e当一 2vxv 尤0 时，A(x) 0,所以/(x)%o 时,/z(x) 0 ,所以 g(x)0.从而

24、g()在(-2,%)上单调递减,在(%,+8)上单调递增，故雇工心=g (% ) = * - In (% +2)，因为(%) = (/ + 2)e -1 = 0 ,所以e=-,两边取对数得：/=-ln(%+2), 玉)+ ,代入得：g(%) = -1-(-Xo) =( + ? 0，所以 g(x)0，即 e*-ln(x + 2)0 ,因为当机ex-ln(x + 2),所以x)0.证法 2：当相ex -ln(x + m)x -ln(x + 2),下面先证，x + l ,令 g(%) = e -x- (j：e R),贝ij gx) = -1 , 所以 g(x) 。x0ox0 ,从而g(x)在(-8,0上单调递减，在0,+00)上单调递增，故屋力而n=g(O)= O,所以g(x)20,从而/2x+l,当且仅当尤=0时等号成立,1r 1再证 ln(x + 2)Wx + 1 , 4* /i(x) = In(x + 2)-x-1 (x -2),则 /(x) =1 =x I 2x I 2