直线与圆的位置关系精品教案_中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 直线与圆的位置关系 学习目标 主要概念：直线与圆的位置关系相交、相切、相离。相交直线与圆有两个公共点。相切直线与圆只有一个公共点。相离直线与圆没有公共点。教材分析 一、重点难点 本节教材的教学重点是能根据给定直线与圆的方程，判断直线与圆的位置关系，以及求圆的切线方程和求直线被圆截得的弦长。难点是对坐标法的思想即通过方程组解的研究来研究曲线间的位置关系的理解，以及利用直线与圆的关系求直线方程或圆的方程。二、教材解读 本节教材的理论知识有问题提出、探索求解、归纳总结三个板块组成。教材从实例出发，引出在解析几何中如何判断直线与圆的位置关系的问题，重点研究了两类问题：求圆的切线方程

2、和求直线被圆截得的弦长。第一板块 问题提出 解读 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为 30 km 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北 40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？这里设置的一个渔船能否避开台风的实际问题，其目的有二：一是强调了数学与学生的生活、生产实际有着密切的联系，二是为了说明利用解析法研究直线与圆的位置关系的必要性。第二板块 探索求解 解读 在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系？提出这两个问题的目的在于说明，判断直线与圆的位置关系

3、有两种方法：一是几何角度依据圆心到直线的距离与半径的关系；二是从代数角度看由它们的方程组成的方程组有无实数解。第三板块 归纳总结 解读 1、判断直线与圆的位置关系的方法 1、代数法：判断直线l与圆 C 的方程组成的方程组是否有解。如果有解，直线l与圆 C 有公共点。有两组实数解时，直线l与圆 C 相交；有一组实数解时，直线l与圆 C 相切；无实数解时，直线l与圆 C 相离，即0直线l与圆 C 相交；0 直线l与圆 C 相切；0直线l与圆 C 相离。2、几何法：判断圆心到直线的距离d与半径r的关系，即 dr直线l与圆 C 相交；dr直线l与圆 C相切；dr直线l与圆 C 相离。学习必备 欢迎下载

4、 2、求两曲线交点的方法 曲线的交点也就是两条曲线的公共点，求曲线的交点就是求两条曲线的公共点的坐标。由曲线上点的坐标和它的方程的解之间的对应关系可知，两条曲线交点的坐标，应该是这两条曲线的方程所组成的方程组的实数解，方程组有几组实数解，这两条曲线应有几个交点；方程组无实数解，那么这两条曲线就没有交点。也就是说，两条曲线有交点的条件是这两条曲线的方程所组成的方程组有实数解。拓展阅读 已知),(00yxM是圆222ryx上一点，l是过点 M 的圆切线，如何求l方程？方法 很多，这 里介绍 一种：设),(yxP是l上 的任意 一点，则MPOM，所 以1MPOMkk，即10000 xxyyxy，整

5、理 得202000yxyyxx，因 为22020ryx，所以l的方程为200ryyxx。由此我们可得到一个结论：过圆222ryx上一点),(00yxM的切线的方程为200ryyxx-这个结论可推广到更一般的情形，即“过圆222)()(rbyax上一点),(00yxM的切线的方程为200)()(rbybyaxax”-和“过 圆022FEyDxyx上 一 点),(00yxM的 切 线 方 程 为0220000FyyExxDyyxx”-以上结论中，点),(00yxM均在圆上，若点),(00yxM在圆外，情况如何呢？我们知道，自圆外一点),(00yxM可作圆222ryx的两条切线，其中两切点的连线叫做

6、点),(00yxM关于此圆的切点弦，于是我们又可得到以下一个结论：“自圆外一点),(00yxM作圆222ryx的两条切线，则点),(00yxM关于该圆的切点弦所在的直线方程是200ryyxx”-事实上，设过),(00yxM与圆222ryx相切的两条切线的切点分别是),(11yxA、),(22yxB。),(11yxA、),(22yxB在圆222ryx上，由结论可知切线 MA、MB的方程分别为211ryyxx、222ryyxx，),(00yxM在这两条切线上，20101ryyxx且20202ryyxx，即 点),(11yxA、),(22yxB在 直 线200ryyxx上，过两点只能确定一条直线，因

7、此点),(00yxM关于圆的切点弦所在的直线方程是200ryyxx。运用以上四个结论，可很方便地求解一些选择题和填空题中有关求圆的切线和切点弦的问题。网站点击 公共点相切直线与圆只有一个公共点相离直线与圆没有公共点教材分析解读这里设置的一个渔船能否避开台风的实际问题其目的有二一是强调了数学与学生的生活生产实际有着密切的联系二是为了说明利用解析法研究直线与圆的位的切线方程和求直线被圆截得的弦长难点是对坐标法的思想即通过方程组解的研究来研究曲线间的位置关系的理解以及利用直线与圆的关系求直线方程或圆的方程二教材解读本节教材的理论知识有问题提出探索求解归纳总结三个板程和求直线被圆截得的弦长第一板块问题

8、提出一艘轮船在沿直线返回港口的中接到气象台的台风预报台风中心位于轮船正西处受影响的范围是半径长为的圆形区域已知港口位于台风中心正北处如果这艘轮船不改变航线那么它是否会学习必备 欢迎下载 典型例题解析 例 1：已知直线l:052 yx与圆C:36)1()7(22yx.(1)判断直线l圆的位置关系;(2)求直线l被圆C所截得的弦长.点拨运用代数法或几何法求解。解答(1)解法一(代数法):由方程组05236)1()7(22yxyx ()消去y后整理，得 0615052 xx,012806154)50(2,方程组()有两组不同的实数解,即直线l与圆C相交.解法二(几何法):圆心(7,1)到直线l的距离

9、为 52)2(15127122d,因6rd，故直线l与圆C相交.(2)解法一:由方程组05236)1()7(22yxyx，得0615052 xx，设直线l与圆 C的两交点为),(11yxA、),(22yxB，则561,102121xxxx|AB|=2211|kxx254)(21221xxxx=8 直线l被圆C所截得的弦长为 32。解法二:圆心(7,1)到直线l的距离为52)2(15127122d,又圆的半径r=6，直线l被圆C所截得的弦长为 222dr=8 总结 1、在求解(1)、(2)时，方法一都是运用代数的方法来求解的，运算虽然烦琐了一些，但此方法是一种通法,更具有一般性，它对讨论直线与二

10、次曲线的相关问题都适用；而方法二都是运用几何的方法来求解的，此方法只对圆适用,也是一种较为简便的方法.2、两个小题的方法二突出了“适当地利用图形的几何性质，有助于简化计算”，强调图形在解题中的辅助作用，加强了数与形的结合。变式题演练 已知圆 C：25)2()1(22yx，直线l：(2m+1)x+(m+1)y 7m 40(mR).(1)证明：对 mR，直线l与圆 C 恒相交于两点；（2）求直线l被圆 C 截得的线段的最短长度，并求此时 m的值。答案：（1）由(2m+1)x+(m+1)y 7m 40 得，(2x+y-7)m+x+y-4=0.公共点相切直线与圆只有一个公共点相离直线与圆没有公共点教材

11、分析解读这里设置的一个渔船能否避开台风的实际问题其目的有二一是强调了数学与学生的生活生产实际有着密切的联系二是为了说明利用解析法研究直线与圆的位的切线方程和求直线被圆截得的弦长难点是对坐标法的思想即通过方程组解的研究来研究曲线间的位置关系的理解以及利用直线与圆的关系求直线方程或圆的方程二教材解读本节教材的理论知识有问题提出探索求解归纳总结三个板程和求直线被圆截得的弦长第一板块问题提出一艘轮船在沿直线返回港口的中接到气象台的台风预报台风中心位于轮船正西处受影响的范围是半径长为的圆形区域已知港口位于台风中心正北处如果这艘轮船不改变航线那么它是否会学习必备 欢迎下载 令 2x+y-70 且 x+y-

12、4=0，得 x=3,y=1,直线l过定点 P(3,1).55)21()13(|22PC,直线l所过的定点 P(3,1)在已知圆内。对 mR，直线l与圆 C恒相交于两点。（2）要使直线l被圆 C 截得的线段最短，只要圆心到此弦的弦心距最长，而要使弦心距最长，只要 CPl。当 CPl时，21CPk，l的斜率为 2，即2112mm，解得 m=43，此时 直线l被圆 C截得的线段的最短长度为22|2CPr54.例 2：从点 P（4,5）向圆（x2）2y24 引切线，求切线方程。点拨求已知圆的切线问题，基本思路一般有两个方面：(1)从代数特征分析；(2)从几何特征分析一般来说，从几何特征分析计算量要小些

13、 解答设切线斜率为 k，则切线方程为 y 5k(x 4)即 kxy54k0 又圆心坐标为（2,0），r2 因为圆心到切线的距离等于半径，即2021,21|4502|2kkkk 所以切线方程为 21x20y160 还有一条切线是 x=4 总结过圆外已知点),(11yxP的圆的切线必有两条，一般可设切线斜率为 k，写出点斜式方程，再利用圆心到切线的距离等于半径，写出有关 k 的方程，求出 k。因为有两条，所以应有两个不同的 k 值，当求得的 k 值只有一个时，说明有一条切线斜率不存在，即为垂直于 x 轴的直线，所以补上一条切线 x=x1。变式题演练 自点 A（-3，3）发出的光线l射到 x 轴上，

14、被 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆 C：224470 xyxy 相切，求光线l所在直线方程。（1989 年全国高考题）答案：圆 C 的方程为：1)2()2(22yx，它关于 x 轴对称圆C的方程为：1)2()2(22yx，设光线l所在的直线方程为：y-3=k(x+3)，则光线l所在的直线必与圆C相切，故11|55|2kk，即01225122 kk，解得4334kk或，光线l所在直线方程为0334 yx或0343 yx。例 3：求与 y 轴相切，圆心在直线 x3y0 上，且被直线 yx 截得的弦长为72的圆的方程。(如右图）点拨求圆的方程关键是求圆心与半径，因为圆心在直线 x3y0 上，故可

15、设圆心为 C（3b,b）又圆与 y轴相切，所以 r3b，故求解本题的关键是求出 b5 5 A D B X O C Y 公共点相切直线与圆只有一个公共点相离直线与圆没有公共点教材分析解读这里设置的一个渔船能否避开台风的实际问题其目的有二一是强调了数学与学生的生活生产实际有着密切的联系二是为了说明利用解析法研究直线与圆的位的切线方程和求直线被圆截得的弦长难点是对坐标法的思想即通过方程组解的研究来研究曲线间的位置关系的理解以及利用直线与圆的关系求直线方程或圆的方程二教材解读本节教材的理论知识有问题提出探索求解归纳总结三个板程和求直线被圆截得的弦长第一板块问题提出一艘轮船在沿直线返回港口的中接到气象台

16、的台风预报台风中心位于轮船正西处受影响的范围是半径长为的圆形区域已知港口位于台风中心正北处如果这艘轮船不改变航线那么它是否会学习必备 欢迎下载 的值。解答因为圆心在直线 x3y0 上，故可设圆心为（3b,b），所求圆与 y 轴相切，半径 r3b 设直线 yx 被圆截得的弦为 AB，过圆心 C 作 CDAB，垂足为 D，则CAr3b，AD7 又CD2|3|bb 2b，CD2AD2AC2 即 2b2 79b2，解得 b1 所求圆的方程为（x3）2(y1)29 或（x3）2(y1)29 总结 1、因圆心在已知直线上，故在设圆心的坐标时，只需引进一个未知量，从而达到减少未知量的个数，简化计算的目的，这

17、是解决解析几何问题时的常用技巧，应引起重视。2、涉及到圆的弦长问题时，为了简化运算，常利用垂径定理或半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形进行运算。变式题演练 已知圆 C 的圆心在直线1l：xy10 上，且与直线2l：4x+3y+14=0 相切，又圆 C截直线3l：3x4y100 所得的弦长为 6，求圆 C 的方程。答案：圆 C 的圆心在直线1l：xy10 上，可设所求圆的方程为222)()1(rayax 圆 C 与直线2l：4x+3y+14=0 相切，raa5|143)1(4|圆 C 截直线3l：3x4y100 所得的弦长为 6，2223)5|104)1(3|(aar 由、解得，5,1 ra

18、圆 C 的方程为25)1()2(22yx 例 4：求经过原点，且过圆0216822yxyx和直线 x-y+5=0 的两个交点的圆的方程 点拨先求出直线和圆的交点，根据圆的一般方程，由三点可求得圆的方程；或利用经过直线与圆的交点的圆系方程，由所求圆过原点这一条件确定参数，从而求得圆的方程 解答解法一：由050216822yxyxyx，求得交点(-2,3)或(-4,1)设所求圆的方程为22yx+Dx+Ey+F=0 (0，0)，(-2，3)，(-4，1)三点在圆上，04116032940FEDFEDF，解得519590DEF 公共点相切直线与圆只有一个公共点相离直线与圆没有公共点教材分析解读这里设置

19、的一个渔船能否避开台风的实际问题其目的有二一是强调了数学与学生的生活生产实际有着密切的联系二是为了说明利用解析法研究直线与圆的位的切线方程和求直线被圆截得的弦长难点是对坐标法的思想即通过方程组解的研究来研究曲线间的位置关系的理解以及利用直线与圆的关系求直线方程或圆的方程二教材解读本节教材的理论知识有问题提出探索求解归纳总结三个板程和求直线被圆截得的弦长第一板块问题提出一艘轮船在沿直线返回港口的中接到气象台的台风预报台风中心位于轮船正西处受影响的范围是半径长为的圆形区域已知港口位于台风中心正北处如果这艘轮船不改变航线那么它是否会学习必备 欢迎下载 解法二：设所求圆的方程为22yx+8x-6y+2

20、1+(x-y+5)=0 总结显然解法二要比解法一简捷得多，原因在于解法二不需求出直线与圆的交点坐标，且所解的方程也仅仅是一元一次方程。对于求过已知直线与圆的交点的圆方程，常用过直线与已知圆的交点的圆系方程求解。一般地，过直线 Ax+By+C=0 与圆22yx+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程为22yx+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0()，其中为任意实数。当直线与圆相交时，方程()表示过其交点的一切圆；当直线与圆相切时，方程()表示与其相切于直线 Ax+By+C=0 和圆22yx+Dx+Ey+F=0 的切点的一切圆。变式题演练 求经过直线l：240 xy 及圆 C：222410 xyx

21、y 的交点，且面积最小的圆的方程。答 案：设 所 求 圆 的 方 程 为0)42(14222yxyxyx，即041)4()22(22yxyx，则所求圆的圆心为)22,1(。要使所求圆的面积最小，只要所求圆的直径最短，即已知直线与被已知圆截得的弦即为所求圆的直径，也即所求圆的圆心在已知直线上。04)22()1(2，解得58，所求圆的方程为03712265522yxyx。例 5、已知直线 x+2y-3=0 与圆22yx+x2cy+c0 的两个交点为 A、B，O 为坐标原点，且 OAOB，求实数 c 的值。点拨利用条件 OAOB 寻找 c 的方程。解答设点 A、B 的坐标分别为 A(),11yx、B

22、(),22yx。由 OAOB，知1OBOAkk，即11xy122xy，21xx21yy=0 (1)由0203222ccyxyxyx，得012)142(52cycy 则)142(5121cyy，)12(5121cyy (2)又212121214)(69)23)(23(yyyyyyxx，代入(1)，得 05)(692121yyyy (3)由(2)、(3)得，c=3 总结在解析几何中，遇到两直线垂直这一条件，一般利用此两直线的斜率乘积为1 来求解。在本题的解题过程中，我们可发现如下的一个结论：“若点 A、B 的坐标分别为公共点相切直线与圆只有一个公共点相离直线与圆没有公共点教材分析解读这里设置的一个

23、渔船能否避开台风的实际问题其目的有二一是强调了数学与学生的生活生产实际有着密切的联系二是为了说明利用解析法研究直线与圆的位的切线方程和求直线被圆截得的弦长难点是对坐标法的思想即通过方程组解的研究来研究曲线间的位置关系的理解以及利用直线与圆的关系求直线方程或圆的方程二教材解读本节教材的理论知识有问题提出探索求解归纳总结三个板程和求直线被圆截得的弦长第一板块问题提出一艘轮船在沿直线返回港口的中接到气象台的台风预报台风中心位于轮船正西处受影响的范围是半径长为的圆形区域已知港口位于台风中心正北处如果这艘轮船不改变航线那么它是否会学习必备 欢迎下载 A(),11yx、B(),22yx，则 OAOB21x

24、x21yy=0。”，这个结论在求解有关解析几何问题时很有用，要引起重视。变式题演练 已知圆 C：044222yxyx是否存在斜率为 1 的直线l，使l被圆 C 截得的弦 AB 为直径的圆过原点，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由。答案：假设存在满足条件的直线，设其方程为bxy 由044222yxyxbxy，得044)1(2222bbxbx 设点 A、B 的坐标分别为 A(),11yx、B(),22yx，则244,122121bbxxbxx，242)()(2221212121bbbxxbxxbxbxyy 以 AB 为直径的圆过原点，OAOB，1OBOAkk 即11xy122xy，21x

25、x21yy=0 2442 bb2422bb0，解得41bb或 存在满足条件的直线，其方程为04 yx或01yx 知识结构 知识点图表 直线与圆的位置关系的判定方法 相交 相切 相离 几何法 rd rd rd 代数法 0 0 0 学法指导 1、在求解有关直线与圆的位置关系的问题时，要充分利用圆的几何性质，从而达到简化运算的目的：(1)当圆与直线l相离时，圆心到l的距离大于半径；过圆心且垂直于l的直线与圆的两个交点，分别是圆上的点中到l的距离的最大、最小的点。(2)当圆与直线l相切时，圆心到l的距离等于半径；圆心与切点的连线垂直于l；过圆外一点可作两条圆的切线，且此两切线长相等。(3)当圆与直线l

26、相交时，圆心到l的距离小于半径，过圆心且垂直于l的直线平分l被圆截得的弦；连结圆心与弦的中点的直线垂直于弦；过圆内一点的所有弦中，最短的弦是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的弦是过这点的直径。2、求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点在圆上还是在圆外，再设切线方程为点斜式，用圆心到直线的距离等于半径或利用=0 求出切线的斜率，从而求得切线的方程，但要注意有时在求过圆外一点的切线方程时，其两条切线中往往有一条切线的斜率不存在，由此而产生漏解。3、已知圆的切线的斜率求圆的切线方程，可设切线方程为斜截式，具体操作方法同上。但此种情形的圆的切线应有两条。公共点相切直线与圆只有一个公共点相离直线与圆没

27、有公共点教材分析解读这里设置的一个渔船能否避开台风的实际问题其目的有二一是强调了数学与学生的生活生产实际有着密切的联系二是为了说明利用解析法研究直线与圆的位的切线方程和求直线被圆截得的弦长难点是对坐标法的思想即通过方程组解的研究来研究曲线间的位置关系的理解以及利用直线与圆的关系求直线方程或圆的方程二教材解读本节教材的理论知识有问题提出探索求解归纳总结三个板程和求直线被圆截得的弦长第一板块问题提出一艘轮船在沿直线返回港口的中接到气象台的台风预报台风中心位于轮船正西处受影响的范围是半径长为的圆形区域已知港口位于台风中心正北处如果这艘轮船不改变航线那么它是否会学习必备 欢迎下载 公共点相切直线与圆只有一个公共点相离直线与圆没有公共点教材分析解读这里设置的一个渔船能否避开台风的实际问题其目的有二一是强调了数学与学生的生活生产实际有着密切的联系二是为了说明利用解析法研究直线与圆的位的切线方程和求直线被圆截得的弦长难点是对坐标法的思想即通过方程组解的研究来研究曲线间的位置关系的理解以及利用直线与圆的关系求直线方程或圆的方程二教材解读本节教材的理论知识有问题提出探索求解归纳总结三个板程和求直线被圆截得的弦长第一板块问题提出一艘轮船在沿直线返回港口的中接到气象台的台风预报台风中心位于轮船正西处受影响的范围是半径长为的圆形区域已知港口位于台风中心正北处如果这艘轮船不改变航线那么它是否会