相似三角形典型模型及例题_中学教育-中考.pdf

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1、优秀教案 欢迎下载 1：相似三角形模型 一：相似三角形判定的基本模型（一）A 字型、反 A 字型（斜 A 字型）ABCDE CBADE （平行）（不平行）（二）8 字型、反 8 字型 JOADBCABCD（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型 ABCD CAD（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：优秀教案 欢迎下载（五）一线三直角型：三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有

2、一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。（六）双垂型：CAD 二：相似三角形判定的变化模型 旋转型：由 A 字型旋转得到 8 字型拓展 CBEDA 共享性 一线三等角的变形 G A B C E F 蝶型平行不平行三母子型四一线三等角型三等角型相似三角形是以等腰三角形等腰梯形或者等边三角形为背景一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示五一线三直角型形形为背景或者在一条直线上有一个顶点在

3、该直线上移动或者旋转的直角几种常见的基本图形如下当题目的条件中只有一个或者两个直角时就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似这往往是很多压轴题的突破口进而将三角形优秀教案欢迎下载一线三直角的变形相似三角形典型例题母子型相似三角形例如图梯形中对角线交于点交延长线于求证例已知如图中点在中线上求证例已知如图等腰中于分别交于求证如图已知为的角平分线为的垂直平分线求证已优秀教案 欢迎下载 一线三直角的变形 2：相似三角形典型例题（1）母子型相似三角形 例 1：如图，梯形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC、BD 交于点 O，BECD 交 CA 延长线于 E 求证：OEOAOC2 例 2：已知：如图

4、，ABC 中，点 E 在中线 AD 上,ABCDEB 求证：（1）DADEDB2；（2）DACDCE 例 3：已知：如图，等腰 ABC 中，ABAC，ADBC 于 D，CGAB，BG 分别交 AD、AC 于 E、F 求证：EGEFBE2 1、如图，已知 AD 为 ABC 的角平分线，EF 为 AD 的垂直平分线求证：FCFBFD2 2、已知：AD 是 Rt ABC 中A 的平分线，C=90，EF 是 AD 的垂直平分线交 AD 于 M，EF、BC 的延A C D E B 蝶型平行不平行三母子型四一线三等角型三等角型相似三角形是以等腰三角形等腰梯形或者等边三角形为背景一个与等腰三角形的底角相等的

5、顶点在底边所在的直线上角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示五一线三直角型形形为背景或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角几种常见的基本图形如下当题目的条件中只有一个或者两个直角时就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似这往往是很多压轴题的突破口进而将三角形优秀教案欢迎下载一线三直角的变形相似三角形典型例题母子型相似三角形例如图梯形中对角线交于点交延长线于求证例已知如图中点在中线上求证例已知如图等腰中于分别交于求证如图已知为的角平分线为的垂直平分线求证已优秀教案 欢迎下载 长线交于一点 N。求证：(1)AMENMD;(2)ND2=NC NB 3、已知：如图，在 ABC

6、中，ACB=90，CDAB 于 D，E 是 AC 上一点，CFBE 于 F。求证：EB DF=AE DB 4.在 ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BC，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。求证：GBM90 GMFEHDCBA 5 已知：如图，在 Rt ABC 中，C=90，BC=2，AC=4，P 是斜边 AB上的一个动点，PDAB，交边 AC于点 D（点 D 与点 A、C 都不重合），E 是射线 DC 上一点，且EPD=A 设 A、P 两点的距离为 x，BEP的面积为 y（1）求证：AE=2PE；（2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当

7、 BEP 与 ABC 相似时，求 BEP 的面积 A C B P D E 蝶型平行不平行三母子型四一线三等角型三等角型相似三角形是以等腰三角形等腰梯形或者等边三角形为背景一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示五一线三直角型形形为背景或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角几种常见的基本图形如下当题目的条件中只有一个或者两个直角时就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似这往往是很多压轴题的突破口进而将三角形优秀教案欢迎下载一线三直角的变形相似三角形典型例题母子型相似三角形例如图梯形中对角线交于点交延长线于求证例已知如图中点在

8、中线上求证例已知如图等腰中于分别交于求证如图已知为的角平分线为的垂直平分线求证已优秀教案 欢迎下载（2）双垂型 1、如图，在 ABC 中，A=60，BD、CE 分别是 AC、AB 上的高 求证：（1）ABDACE；（2）ADEABC；(3)BC=2ED DEABC 2、如图，已知锐角 ABC，AD、CE 分别是 BC、AB 边上的高，ABC 和 BDE 的面积分别是 27 和 3，DE=62，求：点 B 到直线 AC 的距离。EDABC（3）共享型相似三角形 1、ABC 是等边三角形，DBCE 在一条直线上,DAE=120,已知 BD=1，CE=3，求等边三角形的边长.ABCDE 2、已知：如

9、图，在 Rt ABC 中，AB=AC，DAE=45 求证：（1）ABE ACD；（2）CDBEBC 22 EDCAB(4)一线三等角型相似三角形 例 1：如图，等边 ABC 中，边长为 6，D 是 BC 上动点，EDF=60 （1）求证：BDECFD（2）当 BD=1，FC=3 时，求 BE 例 2：（1）在ABC中，5ACAB，8BC，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、C A D B E F 蝶型平行不平行三母子型四一线三等角型三等角型相似三角形是以等腰三角形等腰梯形或者等边三角形为背景一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示五

10、一线三直角型形形为背景或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角几种常见的基本图形如下当题目的条件中只有一个或者两个直角时就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似这往往是很多压轴题的突破口进而将三角形优秀教案欢迎下载一线三直角的变形相似三角形典型例题母子型相似三角形例如图梯形中对角线交于点交延长线于求证例已知如图中点在中线上求证例已知如图等腰中于分别交于求证如图已知为的角平分线为的垂直平分线求证已优秀教案 欢迎下载 点B重合），且保持ABCAPQ.若点P在线段CB上（如图），且6BP，求线段CQ的长；若xBP，yCQ，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（2）正方形A

11、BCD的边长为5（如下图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持90APQ.当1CQ时，求出线段BP的长.例 3：已知在梯形 ABCD 中，ADBC，ADBC，且 AD5，ABDC2（1）如图 8，P 为 AD 上的一点，满足BPCA 求证；ABPDPC 求 AP 的长（2）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A、D 不重合），且满足BPEA，PE 交直线 BC 于点 E，同时交直线 DC 于点 Q，那么 当点 Q 在 DC 的延长线上时，设 APx，CQy，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；当 CE1 时，写出 AP 的长 CBAD 例

12、 4：如图，在梯形ABCD中，ADBC，6ABCDBC，3AD 点M为边BC的中点，以M为顶点作EMFB，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF（1）求证：MEFBEM；（2）若BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；（3）若EFCD，求BE的长 A B C P Q A B C D C D A B P A B C D A B C 蝶型平行不平行三母子型四一线三等角型三等角型相似三角形是以等腰三角形等腰梯形或者等边三角形为背景一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示五一线三直角型形形为背景或者在一条直线上有一个顶点在该直线

13、上移动或者旋转的直角几种常见的基本图形如下当题目的条件中只有一个或者两个直角时就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似这往往是很多压轴题的突破口进而将三角形优秀教案欢迎下载一线三直角的变形相似三角形典型例题母子型相似三角形例如图梯形中对角线交于点交延长线于求证例已知如图中点在中线上求证例已知如图等腰中于分别交于求证如图已知为的角平分线为的垂直平分线求证已优秀教案 欢迎下载 1、如图，在 ABC 中，8ACAB，10BC，D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且CADE(1)求证：ABDDCE；(2)如果xBD，yAE，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域；(3)当点D是BC的中点

14、时，试说明 ADE 是什么三角形，并说明理由 2、如图，已知在 ABC 中，AB=AC=6，BC=5，D 是 AB 上一点，BD=2，E 是 BC 上一动点，联结 DE，并作DEFB，射线 EF 交线段 AC 于 F（1）求证：DBEECF；（2）当 F 是线段 AC 中点时，求线段 BE 的长；（3）联结 DF，如果 DEF 与 DBE 相似，求 FC 的长 FBACDE 3、已知在梯形 ABCD 中，ADBC，ADBC，且 BC=6，AB=DC=4，点 E 是 AB的中点 （1）如图，P 为 BC 上的一点，且 BP=2求证：BEPCPD；（2）如果点 P 在 BC 边上移动（点 P 与点

15、 B、C 不重合），且满足EPF=C，PF 交直线 CD 于点 F，同时交直线 AD 于点 M，那么 当点 F 在线段 CD 的延长线上时，设 BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；A B C D E 蝶型平行不平行三母子型四一线三等角型三等角型相似三角形是以等腰三角形等腰梯形或者等边三角形为背景一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示五一线三直角型形形为背景或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角几种常见的基本图形如下当题目的条件中只有一个或者两个直角时就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似这往

16、往是很多压轴题的突破口进而将三角形优秀教案欢迎下载一线三直角的变形相似三角形典型例题母子型相似三角形例如图梯形中对角线交于点交延长线于求证例已知如图中点在中线上求证例已知如图等腰中于分别交于求证如图已知为的角平分线为的垂直平分线求证已优秀教案 欢迎下载 当BEPDMFSS49时，求 BP 的长 4、如图，已知边长为3的等边ABC，点F在边BC上，1CF，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边EFG，直线,EG FG交直线AC于点,M N，（1）写出图中与BEF相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设,BEx MNy，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（

17、4）若1AE，试求GMN的面积 (5)一线三直角型相似三角形 例 1、已知矩形ABCD 中，CD=2，AD=3，点P 是AD 上的一个动点，且和点A,D 不重合，过点P 作CPPE，交边 AB 于点 E,设yAExPD,，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围。EBCADP 例 2、在ABC中，OBCACC,3,4,90o是 AB 上的一点，且52ABAO，点 P 是 AC 上的一个动点，OPPQ 交线段 BC 于点 Q，（不与点 B,C 重合），设yCQxAP,，试求y关于 x 的函数关系，并写出定义域。E D C B A P QCBAOP蝶型平行不平行三母子型四一线三等角型

18、三等角型相似三角形是以等腰三角形等腰梯形或者等边三角形为背景一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示五一线三直角型形形为背景或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角几种常见的基本图形如下当题目的条件中只有一个或者两个直角时就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似这往往是很多压轴题的突破口进而将三角形优秀教案欢迎下载一线三直角的变形相似三角形典型例题母子型相似三角形例如图梯形中对角线交于点交延长线于求证例已知如图中点在中线上求证例已知如图等腰中于分别交于求证如图已知为的角平分线为的垂直平分线求证已优秀教案 欢迎下载 FABCD

19、E1.在直角ABC中，43tan,5,90BABCo，点D 是BC 的中点，点E是AB 边上的动点，DEDF 交射线 AC 于点 F（1）、求 AC 和 BC 的长（2）、当BCEF/时，求 BE 的长。（3）、连结 EF,当DEF和ABC相似时，求 BE 的长。FDCBAE 2.在直角三角形 ABC 中，DBCABC,90o是 AB 边上的一点，E 是在 AC 边上的一个动点，（与A,C 不重合），DFDEDF,与射线 BC 相交于点 F.(1)、当点 D 是边 AB 的中点时，求证：DFDE (2)、当mDBAD，求DFDE的值（3）、当21,6DBADBCAC，设yBFxAE,求 y 关

20、于 x 的函数关系式，并写出定义域 FABCDE 3.如图，在ABC中，90C ，6AC，3tan4B，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作90DEF，EF交射线BC于点F设BEx，BED的面积为y（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如果以B、E、F为顶点的三角形与BED相似，求BED的面积.FDCBAE蝶型平行不平行三母子型四一线三等角型三等角型相似三角形是以等腰三角形等腰梯形或者等边三角形为背景一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示五一线三直角型形形为背景或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转

21、的直角几种常见的基本图形如下当题目的条件中只有一个或者两个直角时就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似这往往是很多压轴题的突破口进而将三角形优秀教案欢迎下载一线三直角的变形相似三角形典型例题母子型相似三角形例如图梯形中对角线交于点交延长线于求证例已知如图中点在中线上求证例已知如图等腰中于分别交于求证如图已知为的角平分线为的垂直平分线求证已优秀教案 欢迎下载 Q P D C B A 4.如图,在梯形ABCD中，CDAB,34tan,4,2CADAB，PDABADC,900是腰BC上一个动点(不含点B、C),作APPQ 交CD于点Q.(图 1)(1)求BC的长与梯形ABCD的面积；(2)当D

22、QPQ 时,求BP的长；(图 2)(3)设yCQxBP,试求y关于x的函数解析式,并写出定义域.Q P D C B A 蝶型平行不平行三母子型四一线三等角型三等角型相似三角形是以等腰三角形等腰梯形或者等边三角形为背景一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示五一线三直角型形形为背景或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角几种常见的基本图形如下当题目的条件中只有一个或者两个直角时就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似这往往是很多压轴题的突破口进而将三角形优秀教案欢迎下载一线三直角的变形相似三角形典型例题母子型相似三角形例如图梯形中对角线交于点交延长线于求证例已知如图中点在中线上求证例已知如图等腰中于分别交于求证如图已知为的角平分线为的垂直平分线求证已