直角三角形等腰直角三角形斜边直线专题(韩)_中学教育-中考.pdf

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1、.专业.直角三角形、斜边中线、等腰直角三角形专题 一、直角三角形的性质 1一块直角三角板放在两平行直线上，如图，1+2=度 2如图，ABC 中，BAC=90，ADBC，ABC 的平分线 BE交 AD 于点 F，AG 平分DAC，求证：BAD=C；AEF=AFE；AG EF 3如图所示，在ABC 中，CD，BE是两条高，那么图中与A 相等的角有 4如图，已知ABC 中，ABAC，BE、CF 都是ABC 的高，P 是 BE上一点且 BP=AC，Q 是 CF 延长线上一点且 CQ=AB，连接 AP、AQ、QP，求证：APQ 是等腰直角三角形 二、含 30角的直角三角形的性质 5在 RtABC 中，A

2、CB=60，DE 是斜边 AC 的中垂线，分别交 AB、AC于 D、E两点若 BD=2，求 AD 的长.专业.6如图，AOP=BOP=15，PC OA 交 OB 于 C，PDOA 于 D，若PC=6，求 PD 的长 7如图所示，矩形 ABCD 中，AB=AD，E为 BC 上的一点，且 AE=AD，求EDC 的度数 8如图，ABC 为等边三角形，点 D 为 BC 边上的中点，DFAB 于点 F，点E在 BA 的延长线上，且 ED=EC，若 AE=2，求 AF 的长 9如图所示，已知1=2，AD=BD=4，CEAD，2CE=AC，求 CD 的长 平分线交于点平分求证如图所示在中是两条高那么图中与相

3、等的角有如图已知中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点若求的长专业如图交于的长如图所示已知求的长专业如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形已知锐角中分别是边上的高是线段的中点连接若求的周长若求证若求的度数专业如图在中是上一点分在中将边沿斜边上的中线折叠到若求专业如图中为中点在上且若求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证已知如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜想专业如图已知在中延.专业.10如图，在 RtABC 中，ACB=

4、90，B=30，AD 平分BAC，DEAB 于 E，求证：（1）CD=DE；（2）AC=BE；（3）BD=2CD；三、直角三角形斜边中线问题 11如图，在ABC 中A=60，BMAC 于点 M，CN AB 于点 N，P 为BC 边的中点，连接 PM，PN，求证：PMN 为等边三角形；12已知锐角ABC 中，CD，BE 分别是 AB，AC 边上的高，M 是线段 BC的中点，连接 DM，EM（1）若 DE=3，BC=8，求DME 的周长；（2）若A=60，求证：DME=60；（3）若 BC2=2DE2，求A 的度数 平分线交于点平分求证如图所示在中是两条高那么图中与相等的角有如图已知中都是的高是上

5、一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点若求的长专业如图交于的长如图所示已知求的长专业如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形已知锐角中分别是边上的高是线段的中点连接若求的周长若求证若求的度数专业如图在中是上一点分在中将边沿斜边上的中线折叠到若求专业如图中为中点在上且若求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证已知如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜想专业如图已知在中延.专业.13如图，在ABC 中，D 是 BC 上一点，AB=AD，E、F 分

6、别是 AC、BD 的中点，EF=2，求 AC 的长 14如图，在ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 为边 BC 上一动点，PEAB 于 E，PFAC 于 F，M 为 EF中点，求 AM 的最小值 15如图，在ABC 中，ACB=90，B=20，D 在 BC 上，AD=BD，E为 AB 的中点，AD、CE 相交于点 F，求DFE等于多少 16如图，在 RtABC 中，ACB=90，将边 BC 沿斜边上的中线 CD 折叠到 CB，若B=50，求ACB=平分线交于点平分求证如图所示在中是两条高那么图中与相等的角有如图已知中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的

7、直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点若求的长专业如图交于的长如图所示已知求的长专业如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形已知锐角中分别是边上的高是线段的中点连接若求的周长若求证若求的度数专业如图在中是上一点分在中将边沿斜边上的中线折叠到若求专业如图中为中点在上且若求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证已知如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜想专业如图已知在中延.专业.17如图，ABC 中，AB=AC，D 为 AB 中点，E在 AC 上，且 BEAC，若DE=5，AE=8，求 BC 的长度

8、 18如图，在平行四边形 ABCD 中，以 AC 为斜边作 RtACE，又BED=90 求证：AC=BD 19已知：如图，在 RtABC 中，ACB=90，点 M 是 AB 边的中点，CHAB 于点 H，CD 平分ACB （1）求证：1=2（2）过点 M 作 AB 的垂线交 CD 延长线于 E，求证：CM=EM；（3）AEB 是什么三角形？证明你的猜想 平分线交于点平分求证如图所示在中是两条高那么图中与相等的角有如图已知中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点若求的长专业如图交于的长如图所示已知求的长专业如图在中平分于求

9、证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形已知锐角中分别是边上的高是线段的中点连接若求的周长若求证若求的度数专业如图在中是上一点分在中将边沿斜边上的中线折叠到若求专业如图中为中点在上且若求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证已知如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜想专业如图已知在中延.专业.20如图，已知在ABC 中，延长 CA 到 D，使 BA=BD，延长 BA 到 E，使CA=CE，设 P、M、N 分别是 BC、AD、AE 的中点求证：PMN 是等腰三角形 四、等腰直角三角形问题 21如图，ACB、CDE 为等腰

10、直角三角形，CAB=CDE=90，F 为BE的中点，求证：AFDF，AF=DF 22已知等腰直角三角形 ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，AE 平分CAB 交CD 于 E，在 DB 上取点 F，使 DF=DE，求证：CF 平分DCB 平分线交于点平分求证如图所示在中是两条高那么图中与相等的角有如图已知中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点若求的长专业如图交于的长如图所示已知求的长专业如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形已知锐角中分别是边上的高是线段的中点连接若求

11、的周长若求证若求的度数专业如图在中是上一点分在中将边沿斜边上的中线折叠到若求专业如图中为中点在上且若求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证已知如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜想专业如图已知在中延.专业.23如图，OBD 和OCA是等腰直角三角形，ODB=OCA=90 M是线段 AB 中点，连接 DM、CM、CD 若 C 在直线 OB 上，试判断CDM 的形状 24如图，已知点 D 在 AC 上，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，点 M为 EC 的中点（1）求证：BMD 为等腰直角三角形；（2）将图中的ADE 绕点 A 逆时针旋转 45，如

12、图所示，则（1）题中的结论“BMD 为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由 25已知：如图ABC 中，A=90，AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E，F分别在线段 AB，AC 上，且EDF=90（1）求证：DEF为等腰直角三角形；（2）求证：S四边形 AEDF=SBDE+SCDF；（3）如果点 E运动到 AB 的延长线上，F在射线 CA 上且保持EDF=90，平分线交于点平分求证如图所示在中是两条高那么图中与相等的角有如图已知中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点若求的长专业如图交于的长如图所示已知求的长专业如

13、图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形已知锐角中分别是边上的高是线段的中点连接若求的周长若求证若求的度数专业如图在中是上一点分在中将边沿斜边上的中线折叠到若求专业如图中为中点在上且若求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证已知如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜想专业如图已知在中延.专业.DEF还仍然是等腰直角三角形吗？请画图说明理由 26ABC 中，ABC=45，ABBC，BEAC 于点 E，ADBC 于点 D（1）如图 1，作ADB 的角平分线 DF 交 BE于点 F，连接 AF求证：FAB=FB

14、A；（2）如图 2，连接 DE，点 G 与点 D 关于直线 AC 对称，连接 DG、EG 依据题意补全图形；用等式表示线段 AE、BE、DG 之间的数量关系，并加以证明 27如图，在ABC 中，ACB=90，AC=BC，D 为 BC 中点，DEAB，垂足为点 E，过点 B 作 BFAC 交 DE 的延长线于点 F，连接 CF、AF、AD，AD与 CF 交于点 G （1）求证：ACD CBF；（2）AD 与 CF 的关系是 ；（3）求证：ACF 是等腰三角形；（4）ACF 可能是等边三角形吗？（填“可能”或“不可能”）平分线交于点平分求证如图所示在中是两条高那么图中与相等的角有如图已知中都是的高

15、是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点若求的长专业如图交于的长如图所示已知求的长专业如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形已知锐角中分别是边上的高是线段的中点连接若求的周长若求证若求的度数专业如图在中是上一点分在中将边沿斜边上的中线折叠到若求专业如图中为中点在上且若求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证已知如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜想专业如图已知在中延.专业.直角三角形斜边中线等腰直角三角形专题 参考答案与试题解析 1【解

16、答】解：如图，1=3，2=4（对顶角相等），3+4=90，1+2=90 故答案为：90 【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，对顶角相等，熟记性质是解题的关键 2如图，ABC 中，BAC=90，ADBC，ABC 的平分线 BE交 AD 于点 F，AG 平分DAC，给出下列结论：BAD=C；AEF=AFE；EBC=C；AG EF其中正确的结论是（）平分线交于点平分求证如图所示在中是两条高那么图中与相等的角有如图已知中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点若求的长专业如图交于的长如图所示已知求的长专业如图在中平分于求

17、证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形已知锐角中分别是边上的高是线段的中点连接若求的周长若求证若求的度数专业如图在中是上一点分在中将边沿斜边上的中线折叠到若求专业如图中为中点在上且若求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证已知如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜想专业如图已知在中延.专业.A B C D【分析】根据同角的余角相等求出BAD=C，再根据等角的余角相等可以求出AEF=AFE；根据等腰三角形三线合一的性质求出 AG EF【解答】解：BAC=90，ADBC，C+ABC=90，BAD+ABC=90，BAD=C

18、，故正确；BE是ABC 的平分线，ABE=CBE，ABE+AEF=90，CBE+BFD=90，AEF=BFD，又AFE=BFD（对顶角相等），AEF=AFE，故正确；ABE=CBE，只有C=30时 EBC=C，故错误；AEF=AFE，AE=AF，AG 平分DAC，AG EF，故正确 平分线交于点平分求证如图所示在中是两条高那么图中与相等的角有如图已知中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点若求的长专业如图交于的长如图所示已知求的长专业如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形

19、已知锐角中分别是边上的高是线段的中点连接若求的周长若求证若求的度数专业如图在中是上一点分在中将边沿斜边上的中线折叠到若求专业如图中为中点在上且若求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证已知如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜想专业如图已知在中延.专业.综上所述，正确的结论是 故选 C 【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键 3如图所示，在ABC 中，CD，BE是两条高，那么图中与A 相等的角的个数有（）A1 个 B2 个 C

20、 3 个 D4 个【分析】根据已知条件 CD，BE 是两条高可知：A+DCA=90，ABE+BHD=90，A+ABE=90，CHE+HCE=90，再根据同角的余角相等即可得到答案【解答】解：CD AB，CDA=BDH=90，A+DCA=90，ABE+BHD=90，BEAC，A+ABE=90，CHE+HCE=90，A=BHD=CHE，故选：B 平分线交于点平分求证如图所示在中是两条高那么图中与相等的角有如图已知中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点若求的长专业如图交于的长如图所示已知求的长专业如图在中平分于求证三直角三角

21、形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形已知锐角中分别是边上的高是线段的中点连接若求的周长若求证若求的度数专业如图在中是上一点分在中将边沿斜边上的中线折叠到若求专业如图中为中点在上且若求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证已知如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜想专业如图已知在中延.专业.【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是根据垂直得到有哪些角互余 4如图，已知ABC 中，ABAC，BE、CF 都是ABC 的高，P 是 BE上一点且 BP=AC，Q 是 CF 延长线上一点且 CQ=AB，连接 AP、AQ、QP，判断A

22、PQ 的形状 【分析】利用 BE、CF 都是ABC 的高，求证1=2，然后求证ACQ PBA，利用 AQ=AP，AQ AP，即可证明APQ 是等腰直角三角形【解答】解：APQ 是等腰直角三角形 BE、CF 都是ABC 的高，1+BAE=90，2+CAF=90（同角（可等角）的余角相等）1=2 又AC=BP，CQ=AB，在ACQ 和PBA 中，ACQ PBA AQ=AP，CAQ=BPA=3+90 QAP=CAQ 3=90 AQ AP 平分线交于点平分求证如图所示在中是两条高那么图中与相等的角有如图已知中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的

23、中垂线分别交于两点若求的长专业如图交于的长如图所示已知求的长专业如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形已知锐角中分别是边上的高是线段的中点连接若求的周长若求证若求的度数专业如图在中是上一点分在中将边沿斜边上的中线折叠到若求专业如图中为中点在上且若求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证已知如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜想专业如图已知在中延.专业.APQ 是等腰直角三角形 【点评】此题考查学生对全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的理解和掌握，难度不大，属于基础题 5（2016 秋泰山区期中）

24、在RtABC 中，ACB=60，DE 是斜边 AC 的中垂线，分别交 AB、AC 于 D、E两点若 BD=2，则 AD 的长是（）A3 B4 C 5 D4.5【分析】根据直角三角形的性质求出A 的度数，根据线段垂直平分线的性质得到 DA=DC，解答即可【解答】解：ACB=60，B=90，A=30，DE 是斜边 AC 的中垂线，DA=DC，ACD=A=30，BD=2，平分线交于点平分求证如图所示在中是两条高那么图中与相等的角有如图已知中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点若求的长专业如图交于的长如图所示已知求的长专业如图

25、在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形已知锐角中分别是边上的高是线段的中点连接若求的周长若求证若求的度数专业如图在中是上一点分在中将边沿斜边上的中线折叠到若求专业如图中为中点在上且若求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证已知如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜想专业如图已知在中延.专业.AD=4，故选 B【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键 6（2016 秋大丰市月考）如图，AOP=BOP=15，PC OA 交 O

26、B 于 C，PDOA 于 D，若 PC=6，则 PD 等于（）A4 B3 C 2 D1【分析】过点P 作PEOB 于E，根据两直线平行，错角相等可得AOP=COP，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和求出PCE=AOB=30，再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半解答【解答】解：如图，过点 P 作 PEOB 于 E，PC OA，AOP=COP，PCE=BOP+COP=BOP+AOP=AOB=30，又PC=6，PE=PC=3，AOP=BOP，PDOA，PD=PE=3，故选 B 平分线交于点平分求证如图所示在中是两条高那么图中与相等的角有如图已知中都是的高是上一点且是延长

27、线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点若求的长专业如图交于的长如图所示已知求的长专业如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形已知锐角中分别是边上的高是线段的中点连接若求的周长若求证若求的度数专业如图在中是上一点分在中将边沿斜边上的中线折叠到若求专业如图中为中点在上且若求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证已知如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜想专业如图已知在中延.专业.【点评】本题考查了直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半，三角形的一个外角

28、等于与它不相邻的两个角的和的性质，以及平行线的性质，作辅助线构造出含 30的直角三角形是解题的关键 7（2015 春兰溪市期末）如图所示，矩形ABCD 中，AB=AD，E 为 BC 上的一点，且 AE=AD，则EDC 的度数是（）A30 B75 C 45 D15【分析】根据矩形性质得出C=ABC=90，AB=CD，DC AB，推出AE=2AB，得出AEB=30=DAE，求出EDC 的度数，即可求出答案【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，C=ABC=90，AB=CD，DC AB，AB=AD，E为 BC 上的一点，且 AE=AD，AE=2AB，AEB=30，ADBC，AEB=DAE=30，AE=

29、AD，ADE=AED=（180EAD）=75，平分线交于点平分求证如图所示在中是两条高那么图中与相等的角有如图已知中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点若求的长专业如图交于的长如图所示已知求的长专业如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形已知锐角中分别是边上的高是线段的中点连接若求的周长若求证若求的度数专业如图在中是上一点分在中将边沿斜边上的中线折叠到若求专业如图中为中点在上且若求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证已知如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延

30、长线于求证是什么三角形证明你的猜想专业如图已知在中延.专业.ADC=90，EDC=9075=15，故选 D 【点评】本题考查了矩形性质，三角形的角和定理，平行线性质，等腰三角形的性质，含30 度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出ABC 和EBA的度数，题目比较好，是一道综合性比较强的题目 8（2013 春校级期末）如图，ABC 为等边三角形，点 D 为 BC 边上的中点，DFAB 于点 F，点 E 在 BA 的延长线上，且 ED=EC，若 AE=2，则 AF 的长为（）A B2 C+1 D3【分析】过点 E 作 EHAC 交 BC 的延长线于 H，证明ABH 是等边三角形，求出 CH

31、，得到 BD 的长，根据直角三角形的性质求出 BF，计算即可【解答】解：过点 E作 EHAC 交 BC 的延长线于 H，H=ACB=60，又B=60，EBH是等边三角形，平分线交于点平分求证如图所示在中是两条高那么图中与相等的角有如图已知中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点若求的长专业如图交于的长如图所示已知求的长专业如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形已知锐角中分别是边上的高是线段的中点连接若求的周长若求证若求的度数专业如图在中是上一点分在中将边沿斜边上的中线折叠

32、到若求专业如图中为中点在上且若求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证已知如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜想专业如图已知在中延.专业.EB=EH=BH，CH=AE=2，ED=EC，EDC=ECD，又B=H，BED=HEC，在BED 和HEC 中，BEDHEC，BD=CH=2，BA=BC=4，BF=BD=1，AF=3 故选：D 【点评】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半、等边三角形的三个角都是 60是解题的关键 9（2012 春古冶区校级期中）如图所示，已知1=2

33、，AD=BD=4，CEAD，2CE=AC，那么 CD 的长是（）平分线交于点平分求证如图所示在中是两条高那么图中与相等的角有如图已知中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点若求的长专业如图交于的长如图所示已知求的长专业如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形已知锐角中分别是边上的高是线段的中点连接若求的周长若求证若求的度数专业如图在中是上一点分在中将边沿斜边上的中线折叠到若求专业如图中为中点在上且若求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证已知如图在中点是边的中点于点平分求

34、证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜想专业如图已知在中延.专业.A2 B3 C 1 D1.5【分析】在 RtAEC 中，由于=，可以得到1=2=30，又 AD=BD=4，得到B=2=30，从而求出ACD=90，然后由直角三角形的性质求出CD 【解答】解：在 RtAEC 中，=，1=2=30，AD=BD=4，B=2=30，ACD=180303=90，CD=AD=2 故选 A【点评】本题利用了：（1）直角三角形的性质；（2）三角形角和定理；（3）等边对等角的性质 10（2012 秋包河区期末）如图，在RtABC 中，ACB=90，B=30，AD 平分BAC，DEAB 于 E，以下结论

35、（1）CD=DE；（2）AC=BE；（3）BD=2CD；（4）DE=AC 中，正确的有（）平分线交于点平分求证如图所示在中是两条高那么图中与相等的角有如图已知中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点若求的长专业如图交于的长如图所示已知求的长专业如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形已知锐角中分别是边上的高是线段的中点连接若求的周长若求证若求的度数专业如图在中是上一点分在中将边沿斜边上的中线折叠到若求专业如图中为中点在上且若求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证已知如图

36、在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜想专业如图已知在中延.专业.A1 个 B2 个 C 3 个 D4 个【分析】根据角平分线的性质可得 CD=DE，AC=BE，结合含 30角的直角三角形的性质可得 BD=2CD，而 AC 和 BD 不一定相等，所以可得出答案【解答】解：ACB=90，B=30，AD 平分BAC，DEAB，DC=DE，ADC=ADE=60，AD 平分CDE，AC=AE，在 RtBDE 中，B=30，BD=2DE=2CD，在 RtADE 中，DE=AE=AC，正确的有（1）、（2）、（3），故选 C 【点评】本题主要考查角平分线的性质及含 3

37、0角的直角三角形的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键 11（2015 秋江阴市期中）如图，在 ABC 中A=60，BMAC 于点 M，CN AB 于点 N，P 为 BC 边的中点，连接 PM，PN，则下列结论：PM=PN；PMN 为等边三角形；下面判断正确是（）平分线交于点平分求证如图所示在中是两条高那么图中与相等的角有如图已知中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点若求的长专业如图交于的长如图所示已知求的长专业如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形已

38、知锐角中分别是边上的高是线段的中点连接若求的周长若求证若求的度数专业如图在中是上一点分在中将边沿斜边上的中线折叠到若求专业如图中为中点在上且若求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证已知如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜想专业如图已知在中延.专业.A正确 B正确 C 都正确 D都不正确【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断正确；根据直角三角形两锐角互余的性质求出 ABM=ACN=30，再根据三角形的角和定理求出BCN+CBM=60，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和求出BPN+CPM=120，从而得到MPN=60，

39、又由得 PM=PN，根据有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形可判断正确【解答】解：BMAC 于点 M，CN AB 于点 N，P 为 BC 边的中点，PM=BC，PN=BC，PM=PN，正确；A=60，BMAC 于点 M，CN AB 于点 N，ABM=ACN=30，在ABC 中，BCN+CBM 18060302=60，点 P 是 BC 的中点，BMAC，CN AB，PM=PN=PB=PC，BPN=2BCN，CPM=2 CBM，BPN+CPM=2（BCN+CBM）=260=120，MPN=60，PMN 是等边三角形，正确；平分线交于点平分求证如图所示在中是两条高那么图中与相等的角有如图已知中都

40、是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点若求的长专业如图交于的长如图所示已知求的长专业如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形已知锐角中分别是边上的高是线段的中点连接若求的周长若求证若求的度数专业如图在中是上一点分在中将边沿斜边上的中线折叠到若求专业如图中为中点在上且若求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证已知如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜想专业如图已知在中延.专业.所以都正确 故选：C 【点评】本题主要考查了直角三角形 3

41、0角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握性质是解题的关键 12已知锐角ABC 中，CD，BE分别是 AB，AC 边上的高，M 是线段 BC的中点，连接 DM，EM（1）若 DE=3，BC=8，求DME 的周长；（2）若A=60，求证：DME=60；（3）若 BC2=2DE2，求A 的度数 【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线性质求出 DM=BC=4，EM=BC=4，即可求出答案；（2）根据三角形角和定理求出ABC+ACB=120，根据直角三角形斜边上中线性质求出 DM=BM，EM=CM，推出ABC=BDM，ACB=CEM，根据三角形角和定理求出即可；（3）求出

42、EM=EN，解直角三角形求出EMD 度数，根据三角形的角和定理求出即可【解答】解：（1）CD，BE分别是 AB，AC 边上的高，BDC=BEC=90，平分线交于点平分求证如图所示在中是两条高那么图中与相等的角有如图已知中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点若求的长专业如图交于的长如图所示已知求的长专业如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形已知锐角中分别是边上的高是线段的中点连接若求的周长若求证若求的度数专业如图在中是上一点分在中将边沿斜边上的中线折叠到若求专业如图中为中

43、点在上且若求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证已知如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜想专业如图已知在中延.专业.M 是线段 BC 的中点，BC=8，DM=BC=4，EM=BC=4，DME 的周长是 DE+EM+DM=3+4+4=11；（2）证明：A=60，ABC+ACB=120，BDC=BEC=90，M 是线段 BC 的中点，DM=BM，EM=CM，ABC=BDM，ACB=CEM，EMC+DMB=ABC+ACB=120，DME=180120=60；（3）解：过 M 作 MN DE 于 N，DM=EM，EN=DN=DE，ENM=90，EM=DM

44、=BC，DN=EN=DE，BC2=2DE2，（2EM）2=2（2EN）2，EM=EN，sinEMN=，EMN=45，同理DMN=45，DME=90，DMB+EMC=18090=90，平分线交于点平分求证如图所示在中是两条高那么图中与相等的角有如图已知中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点若求的长专业如图交于的长如图所示已知求的长专业如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形已知锐角中分别是边上的高是线段的中点连接若求的周长若求证若求的度数专业如图在中是上一点分在中将边沿斜边

45、上的中线折叠到若求专业如图中为中点在上且若求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证已知如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜想专业如图已知在中延.专业.ABC=BDM，ACB=CEM，ABC+ACB=（180DMB+180EMC）=135，BAC=180（ABC+ACB）=45 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的角和定理，解直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，本题综合性比较强，有一定的难度，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 13（2014 春区校级期中）如图，在ABC 中，

46、D 是 BC 上一点，AB=AD，E、F分别是 AC、BD 的中点，EF=2，则 AC 的长是（）A3 B4 C 5 D6【分析】连结 AF由 AB=AD，F是 BD 的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出 AFBD再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC=2EF=4 【解答】解：如图，连结 AF 平分线交于点平分求证如图所示在中是两条高那么图中与相等的角有如图已知中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点若求的长专业如图交于的长如图所示已知求的长专业如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为

47、边的中点连接求证为等边三角形已知锐角中分别是边上的高是线段的中点连接若求的周长若求证若求的度数专业如图在中是上一点分在中将边沿斜边上的中线折叠到若求专业如图中为中点在上且若求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证已知如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜想专业如图已知在中延.专业.AB=AD，F是 BD 的中点，AFBD 在 RtACF 中，AFC=90，E是 AC 的中点，EF=2，AC=2EF=4 故选 B 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半 利用等腰三角形三线合一的性质得出 AFBD 是解

48、题的关键 14（2011 秋堰市期末）如图，在 ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 为边 BC 上一动点，PEAB 于 E，PFAC 于 F，M 为 EF中点，则 AM 的最小值为（）A2 B2.4 C 2.6 D 3【分析】先求证四边形AFPE 是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用相似三角形对应边成比例即可求得 AP 最短时的长，然后即可求出 AM 最短时的长 平分线交于点平分求证如图所示在中是两条高那么图中与相等的角有如图已知中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点若求的长专业如

49、图交于的长如图所示已知求的长专业如图在中平分于求证三直角三角形斜边中线问题如图在中于点于点为边的中点连接求证为等边三角形已知锐角中分别是边上的高是线段的中点连接若求的周长若求证若求的度数专业如图在中是上一点分在中将边沿斜边上的中线折叠到若求专业如图中为中点在上且若求的长度如图在平行四边形中以为斜边作又求证已知如图在中点是边的中点于点平分求证过点作的垂线交延长线于求证是什么三角形证明你的猜想专业如图已知在中延.专业.【解答】解：连结 AP，在ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，BAC=90，PEAB，PFAC，四边形 AFPE 是矩形，EF=AP M 是 EF的中点，AM=AP，根据直线

50、外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即 APBC 时，AP 最短，同样 AM 也最短，当 APBC 时，ABPCBA，=，=，AP 最短时，AP=4.8 当 AM 最短时，AM=2.4 故选 B 【点评】此题主要考查学生对相似三角形判定与性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定的拔高难度，属于中档题 平分线交于点平分求证如图所示在中是两条高那么图中与相等的角有如图已知中都是的高是上一点且是延长线上一点且连接求证是等腰直角三角形二含角的直角三角形的性质在中是斜边的中垂线分别交于两点若求的长专业如图交于的长如图所示已知求的长专业如图在中平分于求证三直角三