AG不等式的证明及其推广._中学教育-高考.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 平均不等式 AG不等式：1.中学里面我们称之为基本不等式：（1）ab2ba（a,b0）（2）abba0（a,b同号）（3）a2+b22ab（a,b为实数）2.推广：设a=(a1,，an)，ak0，1nk，则 An(a)=nkkan11称为a1，an的算术平均值，Gn(a)=nnaaa21称为a1,，an的几何平均值 Gn(a)An(a)，即nnaaa21naaan21 称为AG不等式，当且仅当a1=a1=an时等号成立.AG不等式是最重要的基本不等式，利用这个不等式，可将和的形式缩小为积的形式，或者将积的形式放大为和的形式，因而这可以叙述成两个等价的共轭命题：（1）其和为S

2、的n个正数之积，在这些数都相等的时候最大，最大值为(S/n)n.（2）其积为的n个正数之和，在这些数都相等的时候最小，最小值为n2.因此 AG不等式有许多独特的应用价值，例如在几何学中求最大最小问题时，给定表面积的所有长方体中，正方体具有最大的体积；而给定体积的所有长方体中，正方体具有最小的表面积等.3.加权形式的 AG不等式：Gn(a,q)An(a,q)，式中Gn(a,q)=kknkqa1）（，An(a,q)=nkkkaq1，qk0，nkkq11，通过对数变换可以将这两种平均联系起来，记lna=(lna1,，lnan)，则lnGn(a,q)lnAn(a,q)，即正数a1，an的加权几何平均G

3、n(a,q)的对数等于a1，an的对数lna1,，lnan学习必备 欢迎下载 的加权算术平均.同时，对于加权形式的 AG不等式的进一步推广是：设ajk0，qk0，且nkkq11，则 mjkijnkqa11)(kmjjknkqa)(11，当且仅当mjjjaa111=mjjjaa122=mjjnjnaa1，（j=1,，m）时等号成立.4.关于 AG不等式的证明：这里面介绍的是几个典型的、简洁的和新的精彩的证明方法，为了叙述方便，下面将nnaaa21naaan21记为 Gn(a)An(a)，并设a1，an是不全相等的正数（因为a1=a1=an时，等号成立），与nnaaa21naaan21等价的是：若

4、nkka11，则nkkna1;若nkka11，则nkka1(n1)n.1821 年 Cauchy 用反向数学归纳法给出了一个精彩的证明：第一步：假设n=k时，nnaaa21naaan21成立，容易推出n=2k的时候该式也成立：kaa2k21=21（kaaak21+kaaakk2k21）21(kaa 1)1/k+(k21aak)1/k)(k21kk1aaaa1/2k 由此推出n=2m时，nnaaa21naaan21成立.的几何平均值即称为不等式当且仅当时等号成立不等式是最重要的基本不等式利用这个不等式可将和的形式缩小为积的形式或者将积的形式放大为和的形式因而这可以叙述成两个等价的共轭命题其和为的

5、个正数之积在这些数都相等例如在几何学中求最大最小问题时给定表面积的所有长方体中正方体具有最大的体积而给定体积的所有长方体中正方体具有最小的表面积等加权形式的不等式式中通过对数变换可以将这两种平均联系起来记则即正数的加权几何平均等号成立关于不等式的证明这里面介绍的是几个典型的简洁的和新的精彩的证明方法为了叙述方便下面将记为并设是不全相等的正数因为时等号成立与等价的是若则若则年用反向数学归纳法给出了一个精彩的证明第一步假设时成立学习必备 欢迎下载 第二步：设n2m，则比存在rN，使得n+r=2m.)()()(11nnnnnnnnAAaarnAAaarnArnA1/(n+r)（有r个An连乘）=rA

6、nGnn1/(n+r).即nAn+rnGnnAr.从而nnGA.另外一种思路是从11nnGA推出nnGA 成立，事实上 nnnnnnAaaanAaanAnAA21n1111/(n+1)，即nAn+1nnAaa 1，从而nAnnaa 1=nGn，即nnGA.同时也可以用数学归纳法来证明下式的成立 nkka11，则nkkna1 证明如下：n=1时，命题显然为真.假设1n时，命题为真，当 1n时，若所有的1kx，则其和等于 1n，不然不妨设1,111nxx（对若干个ix进行一个排列，把最小的重新定为1x，最大的定为1nx），我们记11nxxy，这时便有132yxxxn，由于归纳假设 nyxxxn32

7、 另外，11)1(11111111nnnnxxxxxxyxx +得，111nxxn，因而对 1n的情况也成立，证毕！(Ehlers,1954)教材大多采用的是利用函数的凹凸性去证明，这里我们直接证明加权平均不等式，AG 不等式只是其中的一种特殊情形。的几何平均值即称为不等式当且仅当时等号成立不等式是最重要的基本不等式利用这个不等式可将和的形式缩小为积的形式或者将积的形式放大为和的形式因而这可以叙述成两个等价的共轭命题其和为的个正数之积在这些数都相等例如在几何学中求最大最小问题时给定表面积的所有长方体中正方体具有最大的体积而给定体积的所有长方体中正方体具有最小的表面积等加权形式的不等式式中通过对

8、数变换可以将这两种平均联系起来记则即正数的加权几何平均等号成立关于不等式的证明这里面介绍的是几个典型的简洁的和新的精彩的证明方法为了叙述方便下面将记为并设是不全相等的正数因为时等号成立与等价的是若则若则年用反向数学归纳法给出了一个精彩的证明第一步假设时成立学习必备 欢迎下载 下证明：Gn(a,q)An(a,q)，式中Gn(a,q)=kknkqa1）（，An(a,q)=nkkkaq1，qk0，nkkq11，证明：注意到如果ka中有等于 0 时，不等式自然成立，现在只需要考虑ka都是正数的情况.因为指数函数)exp(xxe为严格的上凸函数，所以我们有：nkka1)(kq=knkknkkknkkka

9、aa111explnlnexp，当且仅当ka都相等的时候成立。这时候我们再令,1nknk,2,1时，该式子就是非负的几何平均数不大于算术平均数（AG不等式）还可以利用 Young 不等式：a1/pb1/q bqap/1/1，pqp1,1/1/1，得到 1na1/n 1nA(1-1/n)11111nnAnna 记G 1na1/n 1nA(1-1/n)，A11111nnAnna.则 )1()1(2111nAnGGGAAAAAnnnnnn1/2n，即.11nnGA 证毕！（Diananda）补充说明的是 young 不等式的证明：Young 不等式（p-q不等式）：设111,0,qpqp，则当p1时

10、，成立 的几何平均值即称为不等式当且仅当时等号成立不等式是最重要的基本不等式利用这个不等式可将和的形式缩小为积的形式或者将积的形式放大为和的形式因而这可以叙述成两个等价的共轭命题其和为的个正数之积在这些数都相等例如在几何学中求最大最小问题时给定表面积的所有长方体中正方体具有最大的体积而给定体积的所有长方体中正方体具有最小的表面积等加权形式的不等式式中通过对数变换可以将这两种平均联系起来记则即正数的加权几何平均等号成立关于不等式的证明这里面介绍的是几个典型的简洁的和新的精彩的证明方法为了叙述方便下面将记为并设是不全相等的正数因为时等号成立与等价的是若则若则年用反向数学归纳法给出了一个精彩的证明第

11、一步假设时成立学习必备 欢迎下载|1|apab p|1bqq；当10p的时候，不等式反向，当且仅当|ab p-1的时候等号成立.证明这个不等式的方法有许多，这里只给出四种证明的方法：代数方法：利用 Bernoulli 不等式：.11).(10,0 xxx再取xq,1bq/ap.(Bernoulli 不等式的证明很容易，只需要用数学归纳法即可证明，这里不再去证明)微分法：固定,0 x求一元函数 xyqyqpxpy11在),0上 的 极 值，在00 xy（式中11q）时取到最小值.即 .00yy 积分法：设 xy是,0a上严格递增的连续函数，比较面积得 0,00badyydxxabba（这里的和函

12、数互为反函数），然后我们取 xx p-1即可证得！考虑二元函数 xqypxyxf),(1/py1/q 在凸域 0,:,yxyxD上的凸性.Lagrange 乘数法：求 nnxxxf1在条件axxn1下的最大值，作辅助函数 nxxxF11/n+)(1axxn.的几何平均值即称为不等式当且仅当时等号成立不等式是最重要的基本不等式利用这个不等式可将和的形式缩小为积的形式或者将积的形式放大为和的形式因而这可以叙述成两个等价的共轭命题其和为的个正数之积在这些数都相等例如在几何学中求最大最小问题时给定表面积的所有长方体中正方体具有最大的体积而给定体积的所有长方体中正方体具有最小的表面积等加权形式的不等式式

13、中通过对数变换可以将这两种平均联系起来记则即正数的加权几何平均等号成立关于不等式的证明这里面介绍的是几个典型的简洁的和新的精彩的证明方法为了叙述方便下面将记为并设是不全相等的正数因为时等号成立与等价的是若则若则年用反向数学归纳法给出了一个精彩的证明第一步假设时成立学习必备 欢迎下载 F对kx求偏导数0kxF，得出 .,1,nknkxxfk即 对k求和，得到.1anxxnxnfn即 axf)(.由以上两个式子，我们可以得到 naxk.于 是f在nana,点 取 得 最 大 值，nananan即nnnxxnnaxx111.再补充利用四个个不等式去证明的方法：利用不等式 xx 1exp，得出 nnn

14、knknknknknkAGAaAanAa111 1expexp)0exp(1n.利用不等式xx)exp(e ex，即.ln xex 于是.,1,lnnkaeakk 我们可以选择权系数,0),(1knqqqq且nkkq1,1使得.)(),(1eqaqaGknkkn 于是从.,1,lnnkaeakk式子对k求和，得到 knkknknkknkkkkkkqaeqaeaqeaqlnln1111，这就是加权平均不等式.的几何平均值即称为不等式当且仅当时等号成立不等式是最重要的基本不等式利用这个不等式可将和的形式缩小为积的形式或者将积的形式放大为和的形式因而这可以叙述成两个等价的共轭命题其和为的个正数之积在

15、这些数都相等例如在几何学中求最大最小问题时给定表面积的所有长方体中正方体具有最大的体积而给定体积的所有长方体中正方体具有最小的表面积等加权形式的不等式式中通过对数变换可以将这两种平均联系起来记则即正数的加权几何平均等号成立关于不等式的证明这里面介绍的是几个典型的简洁的和新的精彩的证明方法为了叙述方便下面将记为并设是不全相等的正数因为时等号成立与等价的是若则若则年用反向数学归纳法给出了一个精彩的证明第一步假设时成立学习必备 欢迎下载 利 用 不 等 式,01lnxxx得 到,1l o gkkkkAaAa对k求 和 得 到，,0)log(11nAaAannkknknk即.0)log(loglog1

16、nnnnnknkAGnnAGAa从而我们得到,0lognnAG即1nnAG.证毕！利用不等式.0,1)1()(xnnxnx 取)(1nAax 1/(n-1)，则从不等式上方的不等式得到nAn121naaann-1，对上式逐次使用不等式得到：nAn2321naaaann-2)(21nnGaaan.证毕！（Akerberg,B.1963）5.深度的推广 我们通过加权平均不等式来证明：设miiiikminka1.1,1,0,1,0则有不等式iminkiknkmiiikaa1111 证明：当上述右边等于 0 时，显然左边也等于 0.我们考虑右边不为 0 的情况，利用加权平均不等式，得：miiminki

17、knkikinkminkikikiinkninkikikmiinkiknkmiiikaaaaaaaa111111111111111 的几何平均值即称为不等式当且仅当时等号成立不等式是最重要的基本不等式利用这个不等式可将和的形式缩小为积的形式或者将积的形式放大为和的形式因而这可以叙述成两个等价的共轭命题其和为的个正数之积在这些数都相等例如在几何学中求最大最小问题时给定表面积的所有长方体中正方体具有最大的体积而给定体积的所有长方体中正方体具有最小的表面积等加权形式的不等式式中通过对数变换可以将这两种平均联系起来记则即正数的加权几何平均等号成立关于不等式的证明这里面介绍的是几个典型的简洁的和新的精彩

18、的证明方法为了叙述方便下面将记为并设是不全相等的正数因为时等号成立与等价的是若则若则年用反向数学归纳法给出了一个精彩的证明第一步假设时成立学习必备 欢迎下载 当且仅当m个向量iniaa,1，mi,1.成比例时成立.证毕！特殊的情况：当kkxam1,2p，)(2kkyaq，1,1,12121qp时，这就是 Hlder 不等式，nkkkyx1nkkpx11/p+nkkqy11/q 上式中当且仅当向量pxpxn)(,)(1与向量qyqyn)(,)(1成比例时等号成立.再对上式中取2,2qpn时就得到 Cauchy 不等式.当且仅当nxx,1和向量nyy,1成比例时等号成立.当然还能推导得到 Mink

19、owski 不等式，这里由于篇幅有限，不再叙述，请感兴趣的读者参考其他书籍！的几何平均值即称为不等式当且仅当时等号成立不等式是最重要的基本不等式利用这个不等式可将和的形式缩小为积的形式或者将积的形式放大为和的形式因而这可以叙述成两个等价的共轭命题其和为的个正数之积在这些数都相等例如在几何学中求最大最小问题时给定表面积的所有长方体中正方体具有最大的体积而给定体积的所有长方体中正方体具有最小的表面积等加权形式的不等式式中通过对数变换可以将这两种平均联系起来记则即正数的加权几何平均等号成立关于不等式的证明这里面介绍的是几个典型的简洁的和新的精彩的证明方法为了叙述方便下面将记为并设是不全相等的正数因为时等号成立与等价的是若则若则年用反向数学归纳法给出了一个精彩的证明第一步假设时成立