超几何分布与二项分布（新高考地区专用）（解析版）.pdf

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1、考点2 0超几何分布与二项分布口 知识理解一.分布列1.离散型随机变量的分布列(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量.所有取值可以一-列出的随机变量叫做离散型随机变量.(2)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为XI，X2，Xi，Xn，X 取每一个值X i(i=l,2,，)的概率P(X=Xi)=pi，则称表XX2XiXnPP1P2PiPn为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，具有如下性质：P仑 0，;=1,2,.；p1+p2+p i+p”=l.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.二.两点分布如果随机变量X 的分布列为X01p1

2、pp其中0pl,则称离散型随机变量X服从两点分布.其中P=P(X=1)称为成功概率.三.超几何分布1.概念：一般地，设有N 件产品，其中有M(MSV)件次品.从中任取5SV)件产品，用 X 表示取出的 件产品中次品的件数，那么 P(X=伏=0,1,2,m).即X01mpC kcbc 肌*c为其中?=minM,n,且“SV,M0).在古典概型中，若用(A)表示事件A 中基本事件的个数，则 P(8|A)=1 苧一.I l(2)条件概率具有的性质OWP(B|A)W1;如果B和 C 是两个互斥事件，则P(BUC A)=P(BA)+P(C A).考向一离散型随机变量的分布列的性质 例 1(1)(2020

3、 全国高三专题练习)随机变量X 的分布列如表：若 E(X)=2,则(X)=()X124P 2ab(2)(2021 浙江高三)已知随机变量X 的分布列是X123pJ _ 2j_3a)贝 UE(2X+a)=(A.537B.-37C.一2D.23T【答案】A（2）C【解析】（i）由分布列的性质以及期望公式可得E(X)=g +2a+4Z?=2,1a+b=2 解得a=b=（X）=；（l-2）-+；（2-2）-+；（4-2）-=.故选：A.(2)由分布列的性质可得 +1+a=l,得。=,，所以，E(X)=l x l +2 x l+3 x i=-,2 3 6 2 3 6 3(1 1 5 1 7因此，E(2

4、X+a)=E 2 X+=2 E(X)+：=2x +=.故选：c.6)6 3 6 2【方法总结】1.随机变量是否服从超几何分布的判断若随机变量X 服从超儿何分布，则满足如下条件：（1）该试验是不放回地抽取 次；（2）随机变量X 表示抽取到的次品件数（或类似事件），反之亦然.2.离散型随机变量分布列的求解步骤明确随机变量的可能取值有哪些.且每一个取值所表示的意义明取值1要弄清楚随机变为的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率求概率画 表 格-按规范要求形式写出分布列1做 检 验-利川分布列的性质检验分布列是否正确三.若 丫=*+其中”，方是常数，X 是随机变量，贝 U(l)E(A)=h。(%)

5、=0,其中 为常数；(2)E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)；(3)E(X+X2)=(XI)+(X2)；(4)D(X)=E(X2)-(E(X)2；(5)若 X”X2相互独立,则 E(XX2)=E(XIE(X2);(6)若 XN,/),则 X 的均值与方差分别为：仇X)=，D(X)=r.【举一反三】1.(2020 全 国高三专题练习)随机变量才的分布列如下，P(14X V 4)的 值 为()X01234P0.10.20.3X0.1A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9【答案】C【解析】随机变量才的分布列知：x=l-0.1-0.2-0.3-0.1=0.3,P(1X

6、(X)=9 x =5,D(3X+1)=5.故选：B.93.(2020 全国高三专题练习)若随机变量X的分布列为X123p0.2a3 a则a的 值 为(）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】B【解析】由题意可得，0.2 +。+3。=1，解得。=0.2.故选：B.4.（2 0 2 0 浙江高三其他模拟）随机变量乃的分布列如下表，已知P（x M 2）=g,则当8 在（）,；）内增大时（）X123PabcA.E（X）递减，Z）（X）递减 B.（X）递增C.（X）递减，O（X）递增 D.E（X）递增【答案】B【解析】因为P（x 2）=g,所以a +6 =；,c=g,所以E（X）=a +

7、2 8+3 c=2+,所以当人在（）,；）内增大,o（x）递减,o（x）递增:时，E（x）递增;所以 D（X）=a 0一（2+。）了+“2-（2 +。）了+扣-（2+。）了=”+|H 5 ,4所以当6在（）,（）内增大时，D（X）递减.故选：B.考向二超几何分布【例 2】（2 0 2 0 全国高三）“花开疫散，山河无恙，心怀感恩，学子归来，行而不缀，未来可期”，为感谢全国人民对武汉的支持，今年樱花节武汉大学在其属下的艺术学院和文学院分别招募8名和1 2名志愿者参与网络云直播.将这2 0名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：厘米）.若身高在1 7 5 cm及其以上定义为“高个子”，否则定义为“非高

8、个子”，且只有文学院的“高个子”才能担任兼职主持人.艺术学院 文学院91 58 991 61 2 5 8 96 5 01 73 4 67 21 80 1I 1 9(1)根据志愿者的身高茎叶图指出文学院志愿者身高的中位数.(2)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，则从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少；(3)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用J表示所选志愿者中能担任“兼职主持人”的人数，试写出J的分布列，并求&的数学期望.7 9【答案】(1)1 6 8.5 cm；(2)(3)分布列见解析，1 0o【解析】(1)根据志愿者的身高茎叶图知文学院志愿者身高为

9、：1 5 8,1 5 9,1 6 1,1 6 2,1 6 5,1 6 8,1 6 9,1 7 3,1 7 4,1 7 6,1 8 0,1 8 1,其升高的中位数为：1681 6 9=1 6 8.5 c m；2(2)由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有1 2人，Q1 2按照分层抽样抽取的5人 中“高个子”为5 x二=2人，“非高个子”为5 x二=3人,2 0 2 0C2 7则从这5人中选2人，至少有1人为高个子的概率尸=1-清=正；(3)由题可知：文学院的高个子只有3人，则J的可能取值为0、1、2、3,川 C；V 1 0 5 八 C C 3 0 1 5故 Pe=o)=Pe=I)=A=C

10、8 DO 2o C8 JO ZoPC=2)=管=P 4=3)=牛=卷C8 JO C8 JO即J的分布列为：所以 E(J)=0X2 +1X竺+2XU +3X=22 8 2 8 5 6 5 6 80123P52 81 52 81 55 615 6【举一反三】1.(2 0 2 1 全国高三专题练习)为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查,学习时间按整小时统计，调查结果绘制成折线图如下:人数54321分 女-c-F-一-1-1-1-1-1-123456 学习时间女 物 计 图男生统计图(1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数；(2)若从学习时间

11、不少于4小时的学生中选取4人，设选取的男生人数为才,求随机变量才的分布列及均值以力；(3)试比较男生学习时间的方差S；与女生学习时间的方差学 的大小.(只需写出结论)【答案】(1)240人；(2)分布列见解析，2；(3)S；s；.【解析】(1)由折线图可得共抽取了 20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小时的有4人.故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为400X 1|240.(2)学习时间不少于4小时的学生共8人,其中男生人数为4,故X的所有可能取值为0,1,2,3,4.由题意可得cc3（六1）=P（X7 0-3 5,、del_16 _ J_7 0-3 5

12、C4 1PCM）=一C：70所以随机变量1的分布列为01234P1708351835835170 8 8 8 二均值 （%-ox +1X+2X 一+3X +4X-N70 35 35 35 70（3）由折线图可得s；s；.2.（2020 全国高三专题练习）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名五年级学生进行了问卷调查得到如下列联表（平均每天喝500mL以上为常喝，体重超过50机 为肥胖）：常喝不常喝总计肥胖2不肥胖18总计304己知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为百.（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否在犯错误概率不超过0.005的前提下认为肥胖与常喝碳酸

13、饮料有关？请说明你的理由；（3）若常喝碳酸饮料且肥胖的学生中有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中抽取2人参加电视节目，设正好抽到的女生为X名，求随机变量X的分布列与期望.参考数据:P(K2 k)0.1 5 00.1 0 00.0 5 00.0 2 50.0 1 00.0 0 50.0 0 1k2.0 722.70 63.84 15.0 2 46.6 3 57.8791 0.82 8（参考公式：K2,其中 =a+/?+c +d)n(ad-bc)2(+b)(a+c)(c +d)(b+d)【答案】（1）答案见解析；（2）在犯错误概率不超过0.0 0 5的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关；理由见

14、解析；（3）答案见解析.填表如下：x+2 4【解析】（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，则*=，解得x =6,常喝不常喝总计肥胖628不肥胖41 82 2总计1 02 03 0由已知数据可求得：K2=2 x 4)2 工8 5237,879，1 0 x 2 0 x 8x 2 2因此在犯错误概率不超过0.0 0 5的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关;（3）依题意，常喝碳酸饮料的肥胖者男生有4名，女生有2名，随机变量X的取值分别为0、1、2,.P(x=o)=i=1）二 等】p(X=2)=c：1 5则随机变量X的分布列为:X012P281 511 52 Q i 2因此随机变量X的期望E（X）=0 x

15、+l x R +2 -,n =a +h +c +d(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)P(K2ka)0.1 0 00.0 500.0 1 02.7 0 63.8 4 16.6 3 5【答案】（1）填表见解析；没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关；（2）分布列见解析;均值为4 0 +x 8【解析】（1）设“通过电视收看世界杯”的女生为工人，则一二 不，解得工二6,男生收看1 0不收看6合计16女生合计61681 41 43 0由已知数据得:K2_ 30X(10X8-6X6)21 6 x1 4 x1 6 x1 4 1.1 58=Lc 2P(X=2)=乎C2，3，a 8X的分布列为

16、:X012P87381 1 3 5X 的均值为：E(X)=0 xl +l xl +2 x-=-.8 2 8 4考向三条件概率4【例3】(2 0 2 0 四川省新津中学高三开学考试)长春气象台统计，7月1 5日净月区下雨的概率为 不，刮风的概率为亮，既刮风又下雨的概率为，设事件A为下雨，事件3为刮风，那么P(A|8)=()13 2 3A.-B.-C.-D.2 4 5 8【答案】B4 2 1【解析】由题意,可知P(A)=.,P(B)=.,P(A B)=,1利用条件概率的计算公式，可得(4|8)=二建=野=3,故选B.P(B)41 5【方法总结】条件概率的3 种求法定义法先求 P(A)和 P(A 8

17、),再由尸(8|A)-KU求 P(8|A)(A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数(A),再求事件A8所包含的基本事件数”(A B),得 P(8|A)=嚅缩样法缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简【举一反三】1.(2 0 2 0 江苏省漂阳中学高三开学考试)甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件4为“四名同学所选项目各不相同”，事件6为“只有甲同学选羽毛球”，则 P(A|B)=()8 2 3 3A.-B.-C.-D.一9 9 8 4【答案】B【解析】事件A3：甲选

18、羽毛球旦四名同学所选项目各不相同，所以其它3名同学排列在其它3个项目，且互不相同为大，事件8：甲选羽毛球，所以其它3名同学排列在其它3个项目，可以安排在相同项目为3 3,、娱%手,故 选:B不(2)(2 0 2 0 四川眉山市仁寿一中高三月考)现从4名男医生和3 名女医生中抽取两人加入 援鄂医疗队”，用 A表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则 P(B|A)=()14 2 3A.-B.-C.-D.一3 7 3 4【答案】A【解析】由已知得？（4）=号一=有9 =13 ,尸（46、）=曾C：=有3 =71则尸如）=瑞=1=；，故选：A3.（2 0 2 0

19、黑龙江大庆市大庆实验中学高三开学考试）2 0 2 0 年初，我国派出医疗小组奔赴相关国家，现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件/=4 个医疗小组去的国家各不相同，事件3=”小组甲独自去一个国家”，则 P （加8）=（）4959【答案】A44【解析】由题意P(A)=2,P(A B)=尸(A),.P(AB)=P(AB)_ 不P(B)-4 x3 3F2一.故选：A.94.（2 0 2 0 黑龙江牡丹江市牡丹江一中高三开学考试）一个不透明的袋子中，放有大小相同的5 个小球，其中3个黑球，2个白球，如果不放回的依次取出2个球.在第一次取出的是黑

20、球的条件下，第二次取出的是白球的概率是（）13 3 2A.-B.C.-D.一2 1 0 5 5【答案】A2 1【解析】第一次取出黑球后，剩余4个球，其中2 个白球，所 以 第 二 次 取 出 的 是 白 球 的 概 率 是.故 选：4 2考 向 四 二 项 分 布【例 4】（2 0 2 0 全国高三专题练习）某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如图：（1）比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些;（2）以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过1 5 分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，

21、预测在接下来的2 次周练中，甲、乙两名同学失分均超过1 5 分的次数X 的分布列和均值.【答案】(1)甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大，乙同学做解答题相对稳定些；(2)分布列见解析，O【解析】(1)xm=(7+9+1 1 +1 3+1 3 +1 6+23+28)=1 5,x 乙二一(7+8+1 0+1 5+1 7 +1 9+21+23)8 8=1 5,5 2甲=(-8)2+(6)2+(4)2+(2尸+(-2)2+12+82+1 32 =4 4.7 5,8乙8 一甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的

22、方差大.所以乙同学做解答题相对稳定些.3 1(2)根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过1 5 分的概率分别为月=9,8=三，8 23两人失分均超过1 5 分的概率为明=,16才的所有可能取值为0,1,2.依题意，X 0 B 2,-,p(x=z)=c；，左=0,1,2则才的分布列为X012P169256391289256片的均值O)=2x三3=3.16 8【方法总结】二项分布问题的解题策略判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一;其二是重复性，即试验是独立重复地进行了 次.【举一反三】1.(20 20 全国高三专题练习)为研究家用

23、轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取1 0 0 名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在 5 5 名男性驾驶员中，平均车速超过 1 0 0 k m/h 的有4 0 人，不超过1 0 0 k m/h 的有1 5 人；在 4 5 名女性驾驶员中，平均车速超过1 0 0 k m/h 的有 20 人，不超过1 0 0 k m/h 的有25 人.（1）在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过1 0 0 k m/h 的人中随机抽取2 人，求这2 人恰好有1 名男性驾驶员和1 名女性驾驶员的概率；（2）以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3 辆，记这

24、3 辆车平均车速超过1 0 0 k m/h 且为男性驾驶员的车辆为反求 才的分布列.25【答案】（1）；（2）分布列答案见解析.52【解析】（1）平均车速不超过1 0 0 k m/h 的驾驶员有4 0 人，从中随机抽取2 人的方法总数为，记“这 2人恰好有1 名男性驾驶员和1 名女性驾驶员”为事件4 则事件所包含的基本事件数为C：5-C；5,所以所求的概率尸（A）=等（2）根据样本估计总体的思想，从总体中任取1 辆车，平均车速超过100km/h且为男性驾驶员的概率为P(X=I)=C40 2 八,故 X口100 5所以P（X=O）=/54125P(X=2)=C；所以X 的分布列为X0123P27

25、125541253612581252.（20 20 全 国高三专题练习）某学校用“1 0 分制”调查本校学生对教师教学的满意度，现从学生中随机抽取1 6名，以茎叶图记录了他们对该校教师教学满意度的分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）:教学满意度7 7 9 98 5 6 6 6 7 7 8 99 3 5 5 6 8（1）若教学满意度不低于9.5 分，则称该生对教师的教学满意度为“极满意”.求从这1 6 人中随机选取3 人，至少有1 人 是“极满意”的概率；（2）以这1 6 人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校所有学生中（学生人数很多）任选3人，记X 表示抽到“极满意

26、”的人数，求 X 的分布列及数学期望.1 7 3【答案】（1）；（2）分布列见解析，E（X）=-.【解析】（1）1 6 人中满意的有4人，不满意的有1 2 人，设A 表示所抽取的3人中有i 个人是“极满意”，至少有1 人 是“极满意”记为事件A ,1 1则抽出的3 人都不满意的概率为P（4）=若=,2 81 1 1 7所以 P（A）=1-P（4）=1-蕨=薮，Z o Z o（2）X 的所有可能取值为0,1,2,34 11 6 人中满意的有4人，不满意的有1 2 人，随机抽取一人极满意的概率 为 一=一,1 6 4所以 X 8（3,3所以p(x =o)=彳27764P（X=1）/J图 磊,P（X

27、=2）=C；4用啥P(X=3)=/*.所以X 的分布列为X0123p2 76 42 76 496 416 4所以E(X)红 xl+2x 2+L6 4 6 4 6 4343.(2 0 2 0 凯里市第三中学高三月考)北京是历史悠久的千年古都，现在是中国的政治、经济、文化等多领域的中心，历史文化积淀深厚，自然人文景观丰富，科学技术发达，教育资源众多，成为当代绝大多数人的理想向往之地.凯里市为了将来更好的推进“研学游学”项目来丰富中学生的课余生活，帮助中学生树立崇高理想，更好地实现人生价值.为了更好了解学生的喜好情况，某组织负责人把项目分为历史人文游、科技体验游、自然风光游三种类型，并在全市中学中随

28、机抽取1 0所学校学生意向选择喜好类型，统计如下:类型历史人文游科技体验游自然风光游学校数442在 这1 0所中小学中，随机抽取了 3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游学意向类型的概率(假设每所学校在选择研学游学类型时仅能选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响).(1)若这3所学校选择的研学游学类型是历史人文游、自然风光游，求这两种都有学校选择的概率；(2)设这3所学校中选择科技体验游学校的随机数X ,求X的分布列与数学期望.【答案】(1)/；(2)分布列见解析，E(X)=.【解析】(1)由题设学校选择历史人文游、科技体验游、自然风光游的概率分别为P(A)、P(B)、尸(C),2 2

29、 1则易知尸(A h，P(C)=-,所以这3所学校选择的研学游学类型是历史人文游、自然风光游的概率为K=CP(A).P(Q2+CP(A)2 P(0=曜)、嘴)6 1 2 _ 1 81 2 5 1 2 5 1 2 5 ；2(2)由题知这3所学校中选择科技体验游学校的概率为P(B)=-,2 1 3选择非科技体验游学校的概率为P2=P(A)+P(C)=所以X 的所有可能值有：0,1,2,3,则 P(X=O)=C；P(3)P(X=I)=GP(B)1 厅P(X =2)=C；P(5)2 g=仁(|)2弓 =鸿7 Q QP(x=3)=C；P(B)3 g=C；(g)3(7。=茂所以X 的分布列如下:X0123

30、P2712554125361258T251.（2 0 2 0 全 国高三专题练习）已知随机变量力的分布列如下：若随机变量，满足y=3X-i,则 r 的方差。（y）=（）X013P132aA.1B.2C.3D.9【答案】D【解析】由分布列的性质，可得1 +工+。=1,解得。=1，则 E（X）=0 x 1+lx+2 x L =l,3 2 6 3 2 6所以0（*）=（0 _1）2 X+（1 _1）2*,+（3 _1）2*工=,3 2 6又因为y=3 X l,所以。（y）=3 2 x ）（X）=9 x l=9.故选：D.2.（2 0 2 0 全 国高三专题练习）随机变量自的分布列如下:-101Pab

31、c其中a,b,C成等差数列，则D&的最大值为（）2A.-3【答案】A5 2 3B.-C.-D.一9 9 41 2【解析】因为a,b,c成等差数列，.2 b=a+cj.,a+b+c=b=,c=3 3i -2/.E g=-a+c=-2 a+,D =一l+2 a-g)x a+2 a-x b+(l+2 a g)x g a=Ta2+a+2 =T a j+20 g 0,1 4 ,1 4、，=(+)3 +/?)=5 +5 +2a b a b a b=92当且仅当b=2 a =一时取等号31 4即一+7的最小值为9a b故答案为：91 3.（2 0 2 0 全国高三专题练习）小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅

32、游，每人只去一个景点，设事件力为“4个人去的景点不相同”，事件B为“小赵独自去一个景点”，则P（A|B）=.【答案】三2【解析】小赵独自去一个景点共有4 x 3 x 3 x 3 =1 0 8种 情 况,即（5）=1 0 8,4个人去的景点不同的情况有蜀=2 4种，即（4?）=2 4 ,所以 P（A|3）二n(AB)(B)2 41 0 8292故答案为：.14.（2020 全 国 高 三 其 他 模 拟）伟大出自平凡，英雄来自人民.在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从 学 生 会6名 男 生 和8名女生骨干成员中选出2人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用A表示事件“抽 到 的2名队长性别相

33、同”，8表 示 事 件”抽 到 的2名队长都是男生”，则P（B|A）=.【答 案】【解 析】由已知得尸（A）=C4G=,P（AB）=，C14 91 C4 9115则 P(B A=尸()=以=(1 P(A)43 43-91故答案为:154315.（2020 全 国 高 三 专 题 练 习）夏、秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼涧游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长到15厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.1 5,雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.0 5,若该批鱼苗中的一

34、个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功 溯 流 产 卵 繁 殖 的 概 率 为.【答 案】y【解 析】解 析 设 事 件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事 件5为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P（A）=0.15,P（A8）=0.0 5,2（6|4）=誓兽=瞿=：P（A）0.15 3故答案为：16.（2020 全 国 高 三）一个袋中装有大小相同的5个 白 球 和3个红球，现 在 不 放 回 的 取2次球，每次取出一个 球，记 第1次拿出的是白球”为 事 件A,“第2次拿出的是白球”为 事 件3,则P（3|A）是一4【答 案】一7/、5/、5x4 5/x P（AB

35、 4 4【解析】由题可知：尸（:招 外 六 厂 才 所以P（同A）=-T =J故答案为：-17.（2020 四川省内江市第六中学高三）某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6 名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第 一 个 出 场 的 概 率 为.【答案】74【解析】设事件4 “学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”；事件6：“学生丙第一个出场”，对事件4甲和乙都不是第一个出场，第一类：乙在最后，则优先从中间4 个位置中选一个给甲，再将余下的4 个人全排列有C A：种；第二类：乙没有在最后，则优先从中间4个位置

36、中选两个给甲乙，再将余下的4 个人全排列 有 尺 四 种，故总的有八（4）=。1 父+&8.对 事 件 此 时 丙 第 一 个 出 场，优先从除了甲以外的4 人中选一人安排在最后，再将余下的4 人全排列有C：蜀种故/8、n（AB C-=/=/-（A）C4-Ai+-A_4故答案为:I18.（2020 浙江高三其他模拟）随机变量X 分布列如下表，则。=；E（X）=.答案】5：1 ；X012Pa22a2J_4【解析】2a2 H ,a ,E（X）=Ox 1-lx 卜 2x =1 .故答案为:一；1.2 4 2 4 2 4 219.（2020 全国高三专题练习）己知随机变量J 的分布列如下:J123则。

37、=，方差。(J)=P2a2a2【答案让1 2 a 1+a+=12 2,1【解析】由题意可得0 21 ，解得a =,2O 2,7066 5 x3 5 x2 5 x7 5 13x7网购迷非网购迷合计年龄不超过4 0岁204565年龄超过4 0岁53035合计2575100所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过4 0岁有关;（2）由频率分布直方图可知，网购迷共有2 5名，由题意得年龄超过4 0岁的市民人数J的所有值为0,1,2,则%=0)=蜉C1=19 p(=i)=iC210 Ck1i 1=l)C；5 30 1 7 C；5 3c2p=2)=mC2 5130.J的分布列为0

38、12P1 93 0313 021.（2020 全 国高三专题练习）我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别如下表:空气污染指数05051 100101 150151200201 250251 300300空气质量优良轻微污轻度污中度污中度重污重污染我们把空气污染指数在0 100内的称为4 类天，在 101 200内的称为6 类天，大于200的称为C类天.某市从2014年全年空气污染指数的监测数据中随机抽取了 18天的数据制成如下茎叶图（百位为茎）：032 68 90112 38 67 73 90212 38 52 78 80330 47 63467 93（1）从 这 18天中任取3 天，求

39、至少含2 个 类天的概率；（2）从 这 18天中任取3 天，记才是达到/类天或8 类天的天数，求 才的分布列.【答案】（1）高23；（2）分布列见解析.4 0 8【解析】（1）从 这 18天中任取3 天，取 法 种 数 为=8 1 6种不同的取法，其中3 天中至少有2 个A类天的取法种数为 C：5+C =4 6 种，所以这3 天至少有2 个 4 类天的概率为P =,=三.8 1 6 4 0 8（2）X的所有可能取值是3,2,1,0,C3 7当 X=3 时，P（X=3）=g =当 X=2 时，P（X=2），1 0 2_ 3 5品 1 0 2当 X=1 时，P（x=l）=，当 x=o 时，P（X=

40、O）=三,所以X的分布列为X3210P7W23 51 0 21 53 453 422.（20 20 全国高三专题练习）20 20年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过6 0 0元（含6 0 0元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有1 0个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有1 0个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，

41、有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减2 0 0元.（1）若两个顾客均分别消费了 6 0 0元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1 0 0 0元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？【答案】（1）一 二；（2）选择第二种方案更合算.1 4 4 0 0【解析】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球,C 2 c l 1设顾客享受到免单优惠为事件A，则尸（4）=-=而，所以两位顾客均享受到免单的概率为P=尸（A）P（A）=总 质；（2）若选择方案一，设付款金额为X元，则X可能的取值为0、50 0、7 0 0 1 0

42、0 0.P（X =0）=-=1 ,p（X=5 0 0）=3=7,）4 1 2 0 1 7 1 2 0rlC2 7 1尸（X=7 0 0）=,P（X=1 0 0 0）=l-a 4 0 1 2 07 _ _ _7 9 11 2 0-4 0-1 2 0故X的分布列为,X050 07 0 01 0 0 0P1T 2 071 2 074 09 11 2 0I 7 7 91所以 E（X）=0 x +50 0 x +7 0 0 x +1 0 0 0 x =9 1 0 （元）.1 2 0 1 2 0 4 0 1 2 0若选择方案二，设摸到红球的个数为y，付款金额为Z,则Z =1 0 0 0 -2 0 0 Y

43、,3 g故=3、式元由已知可得丫 81 3,松所以 E(z)=E(1(X X)-2(X)K)=l(X X)-2(X)E(y)=82()(元).因为E（X）E（Z）,所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算.2 3.（2 0 2 0 全国高三专题练习）某单位共有员工4 5人，其中男员工2 7 人，女员工1 8人.上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5 名员工进行考核.（1）求抽取的5 人中男、女员工的人数分别是多少；（2）考核前，评估小组从抽取的5 名员工中，随机选出3人进行访谈.设选出的3人中女员工人数为X求随机变量彳的分布列和数学期望；（3）考核分笔试和答辩两项

44、.5 名员工的笔试成绩分别为7 8,85,89,9 2,9 6；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为9 5,88,1 0 2,1 0 6,9 9.这 5 名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记s；,s；试比较s：与3的大小.（只需写出结论）6 C C【答案】（1）男员工3人，女员工2人；（2）分布列见解析，=：（3）【解析】（1）抽取的5 人中男员工的人数为2x27=3,女员工的人数为axl8 =2.4 5（2）由（1）可知，抽取的5 名员工中，有男员工3人，女员工2 人.所以，随机变量才的所有可能取值为0,1,2.r3C 0 1根据题意，P（X=（）=+JP（x=D=晋啥 P（X=2）=等得随机

45、变量才的分布列是:X012P1106103l o数学期望 EX=0+lx +2x =1.(3)S：.24.（20 20 辽 宁高三月考）江苏实行的“新高考方案：3 +1 +2”模式，其中统考科目：“3 ”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“1”指首先在在物理、历史2 门科目中选择一门；“2”指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门某校，根据统计选物理的学3 2 4生占整个学生的一；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，选地理的概率为一.（1）求该校最终选地理的学生概率；（2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X .求随

46、机变量X =2的概率；求X的概率分布列以及数学期望.7 4 4 1 21【答案】（1）历；戏）而；分布列见解析，E（X）=布.3 2 1 4 7【解析】（1）该校最终选地理的学生为事件A ,P（A）=-x-+-x-=7因此，该校最终选地理的学生为历;(7(2)由题意可知，X B 3,4 4 1loj LToJ-iooop(X=3)=俏p Y 3 4 3I io J-io6o所以，随机变量X的分布列如下表所示:X0123P2710 0 018 910 0 04 4 110 0 03 4 310 0 0.-.E（X）=3 x=.k 10 1025.（20 20 渝中区重庆巴蜀中学高三其他模拟）甲、

47、乙两名同学进行乒乓球比赛，规定每一局比赛获胜方 记1分，失败方记0分，谁先获得5分就获胜，比赛结束，假设每局比赛甲获胜的概率都是（1）求比赛结束时恰好打了 7局的概率;（2）若现在的比分是3比1甲领先，记J表示结束比赛还需打的局数，求J的分布列及期望.15 7【答案】（1）;（2）分布列见解析，-6 4 2【解析】（1）恰好打了 7局甲获胜的概率是=或(2 八 128恰好打了 7局乙获胜的概率是P2=故比赛结束时恰好打了 7局的概率P =+A =三.6 4（2）J的可能取值为J =2,3,4,5,(2)=(94P(3)=C；r!W，2 4)=呢臣P=5)=C；g)g)3xl =l,故J的分布列

48、为J2345p11114444则 4 的数学期望 E(J)=2x；+3 x；+4 x；+5 x；=g.26.（20 20 全国高三专题练习）某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务劳动.（1）求男生甲或女生乙被选中的概率；（2）设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件8,求P（A）和P（5|A）.【答案】（1）|；（2）P（A）=；，P（3|A）=|.【解析】(1)某班从6名班干部(男生4人、女生2人)中任选3人参加学校的义务劳动，总的选法有C；=20种，男生甲或女生乙都没有被选中的选法：=4则男生甲或女生乙被选中的选法有20-4=16种，男生甲或女生乙被选中的概率为P=g；(2)总的选法有=20种，男生甲被选中的选法有C：C；=10种，.P(A)=g,男生甲被选中、女生乙也被选中选法有C-C：C：=4种，,P(AB)=:，一、尸(AB)2在男生甲被选中的前提下，女生乙也被选中的概率为P(8|A)=F7s=1.P(A)5