2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编11计数原理（全国通用版）含解析.pdf

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1、2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题11计数原理一、选择题1.（2 0 2 0 年新高考I 卷（山东卷）第3题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1 个场馆,甲场馆安排1 名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A.1 2 0 种 B.9 0 种C.6 0 种 D.3 0 种2.（2 0 2 0 新高考n卷（海南卷）第6题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（）A.2种 B.3 种 C.6 种 D.8 种3.（2 0 2 1 年高考全国乙卷理科第6 题）将 5名北京冬奥会志

2、愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1 个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.6 0 种 B.1 2 0 种 C.2 4 0 种 D.4 80 种24.（2 0 2 0 年高考数学课标I 卷理科第8 题）（x +2）（x +y）5 的 展 开 式 中 的 系 数 为 （）XA.5 B.1 0 C.1 5 D.2 05.（2 0 1 9 年高考数学课标I I I 卷理科第4题）（1 +2，）（1 +x）4的展开式中x3的系数为（）A.1 2 B.1 6 C.2 0 D.2 46.（2 0 1 8年高考数学课标i n 卷（理）第5

3、 题的展开式中一 的 系 数 为（）A.1 0 B.2 0 C.4 0 D.807.（2 0 1 7 年高考数学新课标I 卷理科第6 题）（1+=1 ）（1 +x）八6 展开式中F7的 系 数 为（）XA.1 5 B.2 0 C.3 0 D.3 58.（2 0 1 7 年高考数学课标HI 卷理科第4题乂x +y）（2 x-_ y）的 展 开 式 中 的 系 数 为（）A.-80 B.-4 0 C.4 0 D.809.（2 0 1 7 年高考数学课标I I 卷理科第6题）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1 项，每项工作由1 人完成，则不同的安排方式共有（）A.1 2 种 B.1 8 种

4、C.2 4 种 D.3 6 种1 0.（2 0 1 6 高考数学课标I I 卷理科第5 题）如图，小明从街道的E 处出发，先到尸处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）（）A.2 4 B.1 8 C.1 2 D.91 1.（2 0 1 5 高考数学新课标1 理 科 第 1 0 题）（f+x+y）5 的展开式中，/的 系 数 为（）A.1 0 B.2 0 C.3 0 D.6 01 2.（2 0 1 3 高考数学新课标2理科第5题）已知（1 +o x）（1 +的展开式中一 的系数为5,则。等于（）A.-4 B.-3 C.-2 D.-11

5、 3.（2 0 1 3 高考数学新课标1 理科第9题）设机为正整数，（x +y）2 展开式的二项式系数的最大值为。，（x +y 产加展开式的二项式系数的最大值为b,若 1 3 a=7 b,则 掰=（）A.5 B.6 C.7 D.8二、多选题1 4.（2 0 2 1 年新高考全国I I 卷第1 2 题）设正整数 =4-2+a 2 +4 _/2 1+4-2 ,其中qe 0,l ，记。+%.则()A.y(2)=t y()B.(y(2 +3)=+2X2（1 +X）4,所以 1 的系数为C；+2 C：=4 +8 =1 2,故选A.【点评】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数，是

6、常规考法。【题目栏目】计数原理 二项式定理 二项展开式通项公式的应用【题目来源】2 0 1 9 年高考数学课标I I I 卷理科第4题6.（2 0 1 8 年高考数学课标H I 卷（理）第5 题）的展开式中小 的 系 数 为（）A.1 0 B.2 0 C.4 0 D.8 0【答案】c，,Y 5-（2解析：I x2+-I 展开式的通项公式为=C；-2r,令 1 0 3 r =4,解得尸=2,故含/的系数为C12?=40,故选C.【题目栏目】计数原理 二项式定理 二项展开式通项公式的应用【题目来源】2 0 1 8 年高考数学课标H I 卷（理）第5 题7.（2 0 1 7 年高考数学新课标I 卷理

7、科第6 题）（1 +31 ）（1 +工）A6 展开式中一?的 系 数 为（）A.1 5 B.2 0 C.3 0 D.3 5【答案】C【解 析】因 为（1 +二）（1 +%）6=1-（1 +/6+4（1 +乃 6,则（1 +刈 6 展 开 式 中 含%?的 项 为X X1-点/=1 5/,二.（1 +）6展开式中含/的项为.以一=匕工？,故一 前系数为1 5 +1 5 =3 0，选 C.x x【考点】二项式定理【点评】对于两个二项式乘积的问题，第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项,分析好公 的项共有几项，进行加和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项式展开

8、式中的r 不同.【题目栏目】计数原理 二项式定理 二项展开式通项公式的应用【题目来源】2 0 1 7 年高考数学新课标I 卷理科第6 题8.（2 0 1 7 年高考数学课标H I 卷理科第4题）（x +y）（2 x-y）5 的 展 开 式 中/的 系 数 为（）A.-8 0 B.-4 0 C.4 0 D.8 0【答案】C【解析】（x +y）（2 x-y）=x（2 x-_ y）+y（2 x-y），由（2 x y）5展开式的通项公式：&|=。；（2 广（用可得：当r=3时,x（2 x y）5展开式中/的系数为C；X2 2X（-1）3 =-4 0 ,当r=2 时）（2 x 月展开式中AV 的系数为C

9、；X2 3 X（1）2 =8 0 ,则/艮 的 系 数 为 80 40=40.故选C.【考点】二项式展开式的通项公式【点评】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成:第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式,建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和 r 的隐含条件，即”,均为非负整数，且 如 常 数 项 指 数 为 零、有理项指数为整数等）;第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.【题目栏目】计数原理 二项式定理 二项展开式通项公式的应用【题目来源】2017年高考数学课标山卷理科第4 题9.（

10、2017年高考数学课标II卷理科第6 题）安排3 名志愿者完成4 项工作，每人至少完成1项，每项工作由1 人完成，则不同的安排方式共有（）A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.36 种【答案】D【命题意图】本题主要考查基本计数原理的应用，以考查考生的逻辑分析能力和运算求解能力为主.【解析】解法一：分组分配之分人首先分组将三人分成两组，一组为三个人，有/=6 种可能，另外一组从三人在选调一人，有 C；=3 种可能；其次排序两组前后在排序，在对位找工作即可，有/=2 种可能；共计有36种可能.解法二：分组分配之分工作工作分成三份有C；=6种可能，在把三组工作分给3 个人有=6 可能，共计有

11、36种可能.解法三：分组分配之人与工作互动先让先个人个完成一项工作，有 用=24种可能，剩下的一项工作在有3 人中一人完成有C；=3种可能，但由两项工作人数相同，所以要除以4=2,共计有36种可能.解法四：占位法其中必有一个完成两项工作，选出此人，让其先占位，即有C；C：=18中可能；剩下的两项工作由剩下的两个人去完成，即 有 彳=2 种可能，按分步计数原理求得结果为36种可能.解法五：隔板法和环桌排列首先让其环桌排列，在插两个隔板，有C；=6种可能，在分配给3人工作有=6种可能，按分步计数原理求得结果为36种可能.【知识拓展】计数原理属于必考考点，常考题型有1.排列组合；2.二项式定理，几乎

12、二者是隔一年或隔两年交互出题，排列组合这种排序问题常考，已经属于高考常态，利用二项式定理求某一项的系数或求奇偶项和也已经属于高考常态，尤其是利用二项式定理求某一项的系数更为突出.【题目栏目】计数原理 组合问题【题目来源】2017年高考数学课标H卷理科第6题10.（2016高考数学课标II卷理科第5题）如图，小明从街道的E处出发，先到尸处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）【解析】ET 尸 有=6种走法，尸-G有C；=3种走法，由乘法原理知，共6x3=18种走法故选B.【题目栏目】计数原理 组合问题【题目来源】2016高考数学课标II

13、卷理科第5题11.（2015高考数学新课标1理科第10题）（x2+x+y）5的展开式中，/步 的 系 数 为（）A.10 B.20 C.30 D.60【答案】C解析:在（V+x +y y的5个因式中,2个取因式中/剩余的3个因式中1个取X,其余因式取y,故/产的系数为C；C；C；=3 0,故 选C.考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.【题目栏目】计数原理 二项式定理 二项展开式通项公

14、式的应用【题目来源】2015高考数学新课标1理科第10题12.（2013高考数学新课标2理科第5题）已知（1 +ax）（l+x 的展开式中/的系数为5,则。等于（）A.4 B.-3 C.-2 D.-1【答案】D解析：(1+ax)(1+x)5 中 含 的 项 为：(C；+，即 C：+Cla=5,a=-1考点：（1）10.7.1 求二项展开式的指定项或指定项系数；难度：B备注：高频考点【题目栏目】计数原理 二项式定理 二项展开式通项公式的应用【题目来源】2013高考数学新课标2 理科第5 题13.（2013高考数学新课标1 理科第9 题）设用为正整数，（x+y）2展开式的二项式系数的最大值为a,（

15、x+歹产川展开式的二项式系数的最大值为6,若 1 3 a=7 b,则（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B解析：由题知即4，b=C黑；：.13C=7C；：,即1 3x,：）!=7 x（2黑 邛,m.ml（m+l）!m!解得?=6,故选B.考点:（1）10.7.2 求最大系数或系数最大的项；（2）13.1.1 函数与方程思想.难度：A备注：高频考点【题目栏目】计数原理 二项式定理 二项展开式通项公式的应用【题目来源】2013高考数学新课标1理科第9 题二、多选题14.（2021年新高考全国II卷第12题）设正整数=a0-2+a2+其中记 ()=%+%+%.贝 IJ ()A.研 2)=0()

16、B.研 2 +3)=矶)+1C.。(8”+5)=0(4+3)D.co(2-1)=M【答案】ACD解 析：对于 A 选 项，a)(n)a0+ax-ak,2n=a0 1 21+(Z 1 -22+-+ak_i-2k+ak-2k+l,所 以，a)(2n)=a0+at+-+ak=a)(n),A 选项正确；对于 B 选 项,取=2,2+3=7=1.2+1.2+1.22.-.),1-(X+y)8 的展开式中含 的项为 C/2y6)C江3/5=_2 8 x2y6；X)X（1?）+少 了 的 展 开 式 中 的 系 数 为 _28故答案为：-28【题目栏目】计数原理 二项式定理 二项展开式中的系数和问题【题目来

17、源】2022新高考全国I 卷第13题16.（2020年高考数学课标n 卷理科第14题）4 名同学到3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1 名同学，则不同的安排方法共有 种.【答案】36解析：4 名同学到3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1 个小区，每个小区至少安排1名同学 先取2 名同学看作一组，选法有：C：=6现在可看成是3 组同学分配到3 个小区，分法有：4=6根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6 x 6=36种故答案为：36.【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档

18、题.【题目栏目】计数原理 两个计数原理的综合应用【题目来源】2 02 0年高考数学课标n 卷理科第14 题17.（2 02 0年高考数学课标in卷理科第14 题）（x 2 +2）6的展开式中常数项是（用数字作答）.X【答案】2 4 0解析：,（犬+2）其二项式展开通项：一 （小=.胪 2（2），=晨（2）5当12 3r =0,解得厂=4（炉+2）的展开式中常数项是：C；.24=C；-16=15X16=240.故答案为：2 4 0.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握（a+b）”的展 开 通 项 公 式 考 查 了 分 析 能 力 和 计 算 能 力，属

19、于基础题.【题目栏目】计数原理 二项式定理 二项展开式通项公式的应用【题目来源】2 02 0年高考数学课标I I I 卷理科.第14 题18.（2 018 年高考数学课标卷1（理）第15题）从 2位女生，4位男生中选3 人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种.0 （用数字填写答案）【答案】16解析：方法一：直接法，1 女 2男，有 C 2 1c；=12,2女 1 男，有 C 2 2 c 4,=4根据分类计数原理可得，共 有 12+4=16种，方法二，间接法：C63-C43=2 0-4 =16.【题目栏目】计数原理 排列问题【题目来源】2018年高考数学课标卷1（理）第15题

20、19.（2016高考数学课标I卷理科第14题）（2x+的展开式中，d的系数是_ _ _ _ _ _ _ _ _ 用数字填写答案）【答 案】1 0【解 析】设 展 开 式 的 第 左+1项为,丘0,1 2 3,4,5 G=C（2x）（4=C 25Tx后.k5-当5 5 =3时，k=4,即 4=C；25TX-2 =1 0/.故答案为 10.【题目栏目】计数原理 二项式定理 二项展开式通项公式的应用【题目来源】2016高考数学课标I卷理科第14题20.（2015高考数学新课标2理科第15题）（a+x）（l+x）4的展开式中x的奇数次幕项的系数之和为3 2,则a=.【答案】3分析：由已知得（1 +）4

21、=1+4+6 x 2+4/+/，故（a+x）（l+x）4的展开式中x的奇数次事项分别为4ox,4ax3,x,6x3,x5,其系数之和为4 a+4。+1+6+1=32,解得 a=3.考点：二项式定理.【题目栏目】计数原理 二项式定理 二项展开式通项公式的应用【题目来源】2015高考数学新课标2理科第15题21.（2014高考数学课标2理科第13题）（x+a）的展开式中，炉 的系数为1 5,则。=.（用数字填写答案）【答案】|解析：Cox7a3=15a7 C；。/=1 5,=故 a=；考点：（1）求二项展开式的指定项或指定项系数；（2）组合数的运算。难度：B备注：常考题【题目栏目】计数原理 二项式

22、定理 二项展开式通项公式的应用【题目来源】2014高考数学课标2理科第13题22.（2014高考数学课标1理科第13题）（x y）（x+y）8的展开式中/v的系数为.（用数字填写答案）【答案】-20解析：（x+_y）8展开式的通项为却1 =玛 8-,（尸=0,1,，=C；孙7=8盯 7 z=C 2/=28x2/(x-y)(x +y)的展开式中/y，的项为x8号 一28%66=-2 0 除7,故系数为一20.考点:(1)求二项式展开式的指定项系数(2)二项式的通项公式(3)函数与方程的思想难度:B备注:常考题【题目栏目】计数原理 二项式定理 二项展开式通项公式的应用【题目来源】2014高考数学课标1理科第13题