近四年的自考线性代数(经管类04184)历年真题及答案.pdf

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1、全 国2008年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设 A为三阶方阵且|A|=2 则|3A，A|=（D ）A.-108 B.-12 C.12 D.10813A|=3|A=27 x (-2)2=108 .2.如果方程组vA.-23x,+上 3 一七=04X2-X3=0 有非零解，则 上(B )4 尤 2+k 七=0B.-1 C.1 D.23%-10 4 -10 4 k=34 -1=12(Z+l)=0,k=-l,4 k3.设 A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是(D )A.A B=B A B.(A +B)-

2、1=A-1+B-1C.|A +3|=|A|+|例 D.(A +B)T=AT+BT4.设 A为四阶矩阵，且|川=2,贝 U|A*|=(C )A.2 B.4 C.8 D.12A*=A n-=A 3=23=8.5.设夕可由向量%=(1,0,0),%=(0,0,1)线性表示，则 下 列 向 量 中 夕 只 能 是(B )A.(2,1,1)B.(-3,0,2)C.(1,1,0)D.(0-1,0)尸=勺+k2a 2=(k,0,k2)6.向量组的秩不为$（sN2）的充分必要条件是（CA.全是非零向量B.%,%，4 全是零向量C.中至少有一个向量可由其它向量线性表出D.%,。2,M s中至少有一个零向量%的秩

3、不为S 线性相关.7.设4为机x矩阵，方程A X=O仅有零解的充分必要条件是（C ）A.A的行向量组线性无关 B.A的行向量组线性相关C.A的列向量组线性无关 D.A的列向量组线性相关A X=O仅有零解o A）=o A的列向量组线性无关.8.设A与8是两个相似阶矩阵，则下列说法第送的是（D FA.|A|=|B|B.秩(A尸秩(B)C.存在可逆阵 P,使 p T A P =8 D.A E-A A E-B9.与矩阵A=-1 0 0-0 1 00 0 2相似的是（A ）一A.1 0 00 2 00 0 1_B.1 1 00 1 00 0 2C.1 0 01 1 00 0 2_D.1 0 10 2 0

4、0 0 1有相同特征值的同阶对称矩阵 一 定（正交）相似.10.设有二次型/区,2，与）=4一 元；+君，则/（和巧,七）（C ）A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定当 玉=12=，9=0时，/0；当 玉=0/2=1，七=0时/0.总之，/有正有负二、填 空 题（本大题共10小题，每小题2 分，共 20分）k 1 111.若 =0,则 上 一.1 2 2k 11 2=22-1=(),k=214.设 A为 3x 3矩阵，且方程组A v=O 的基础解系含有两个解向量，则秩伊）=112.设 4=3 20 11 4 1 0 2，B=0 1 0,贝 I J A B=-3012 61 04 2A B=

5、3 20 11 4-1 0 21 0=3 2 60 1 01 4 213.设 A 二2 0 O-0 1 00 2 2,则 A i =1/2 0 00 1 00-1 1/2-2 0 0 1 0 0-()1 0 0 1 00 2 2 0 0 1-2 0 0 1 0 0-0 1 0 0 1 00020-21-1 0 0 1/2 0 0-()1 0 0 1 00 0 1 0-1 1/2秩(A)=一/*=3-2 =1.15.已知A有一个特征值-2,则3=屋+2 E 必有一个特征值6 .2=2 是 A的特征值，则 万+2=（-2 9+2 =6 是 8 =4 2+2 E 的特征值.16.方程组X +/一 尤

6、 3=0 的通解是占（一 1，1，尸+无2（1，0，1）。X =F+X3 0 1 0,秩是22 O J、0 0 0J2 0 018.矩阵A=0 2 0的全部特征向量是0 0 2仁(1,0,0)7 +&2(0,1,0)，+左 3(0,0，1)T 3#2,4不全为零).19.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且 8与 A相似，则1231=16-00卜 =X(1)1 4 =九 2=%=2,A E A =000，010 01-1-01001-1-01001 一100-2 1-2-100-21-2-100-21-2-11001/2-1 1/2 1/2-1 1/2-01001 -101 -1001-

7、1/21 l/2_-1/21 1/223.设 4=-1001000221 1 08=0 2 2,且 A,B,X满足(七一”尸 丁乂:后，求 X,X，0 0 3解：由（石一5 14）7 3 7*=石,W B(-B-1A)rX =E,即（应：一期3一丁）丁X=石，(B-A)TX=Ef X-l=(B-A)T200020001T200020001x=1/20001/200012 4.求向量组%=(1,1,2,4),%=(031,2),3=(3,0,7,14),%=(2,1,5,6),%=(1,7 20)的一个极大线性无关组.解:032J-124、q-124）U-124、q-124、3120312031

8、2031207 14-0312T0000T0000156031-2000-4000-4-120,0（）0-4;W004)100001000010-1200-5600-162300 xx=-16 +x4+5X5尤 2=23-2X4-6X5 二 0X4 =X5 =，通解为%卜也2300+公-201o;+k?5)-6002 6.设 A=2-20-21-20-20求 P使 P-AP为对角矩阵.解：|X E 川=A 22022-1202=2(2-1)(Z-2)-4(Z-2)-4 Z=23-322-6 2+82=(23+8)-32(2+2)=(2+2)(A2-22+4)-3A(2+2)=(Z+2)(22-

9、5 A +4)=(2+2)(2-1)(2-4),特征值 4 =2,彳 2=1，=4 .对于4=-2 解齐次线性方程组(N E-A)x =O ：A E-A=42T2002 T一 2,2-322-一2,0、-1-220、2-2,-(2010-1-200、2,010-n-iof l 0-010-1/2、-10，对于4=1 ,解齐次线性方程组(A E-A)x =0：1期=产x2=x3,基础解系为%=0/2、1A E-A =r-12k02 0、f-10 22 112020、f-110I。2220)f-110、2200、10-10k0020-1、100T 0010、1/2 ；13基础解系为%=-1-1/2

10、17对于4=4,解齐次线性方程组（检-A）x =0：A E-A =(2222320 (2 22 f40120、2420、（）2100、2,01100、23-0、0010-2、2，(2-2X =213V犬2=2巧，基础解系为。3 =77 211 1一1-1/212、-21 ,则P是可逆矩阵，使PT=r-20 00、04,四、证 明 题（本大题6 分）27.设%,%，。3是齐次方程组ALO的基础解系，证明%,4+的，%+%+。3也是由=的基础解系.证:（1）AA=0 的基础解系由3个线性无关的解向量组成.(2)%,%，%是4=0的解向量,则4,%+%，%+%+%也是A t=O的解向量.(3)设占+

11、k2(a,+a2)+k3(+a2+2,则5A|=（A ）D.5|A|A.(-5)M|A|B.-5|A|C.51 Al(1 2、5.设4=,则|A*|=(B)(3 4jA.-4B.-2C.2D.4|A*|=|A|T=|AT=1 23 4=-2.6.向量组囚,，4（s2）线性无关的充分必要条件是（D）A.a”。2,%均不为零向量B.%，0；2,中任意两个向量不成比例C.%,%八一,0 中任意5-1 个向量线性无关D.4,a 2,%中任意一个向量均不能由其余s-l 个向量线性表示7.设 3 元线性方程组A v=。，A的 秩 为 2,小，%，%为方程组的解，彷+2=（2,。，4）7,彷+%=（1,_

12、2,1）T，则 对 任 意 常 数 方 程 组 A x=6 的通解为（D）A.（1,0,2）7+乂 1,-2,1）B.（1,-2,1）7+%（2,0,4）C.（2,0,4），+%（1,-2,1）7 D.（1,0,2尸+k（l,2,3）T取 加=6 的特解：=$/+2）=（1，0,2）,；A x=0 的基础解系含一个解向量：a =%-7?3=（/+%）-S i +%）=（1,2,3），.8.设 3 阶方阵A 的特征值为1,-1,2,则下列矩阵中为可逆矩阵的是（D）A.E-A B.-E-A C.2 E-A D.-2 E-A一2 不是A 的特征值，所以I 2E A/0,-2E A 可逆.9 .设 2

13、=2 是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵（4尸必有一个特征值等于（A）A.-B.-C.2 D.4424=2 是 A 的特征值，则（外 尸=!是（屋尸的特征值.1 0.二次型/（占,工 2，巧,了4）=寸+X；+X；+2 巧 4的 秩 为（C ）A.1B.2 C.3 D.4A=10 0 00 10 00 0 11n n i iT70 0()0 10 00 0 11n n n n,秩为3.二、填 空 题 a:题3生1(）小题1A于 小 题 12分,共 20分）1 1.ax行 列 式 的a3许瓦%b2“他a 2b 3a 3b 3=_0行成 比例值为1 2.设矩阵A=q324,1，1Io1、,则APT

14、=，3 2、/7 4/,T(2A PT=U 4)c;1 3.设矩阵A=o o r0 1 1J 1 b 0 -11、,贝！1 A-=-1 1 0 .J o.(0 0 1 1 0 0、0 110 10111001,-10、01 1 0 0 P110 100 110 0,r1 1 0 -1 0 1 1 p 0 0 0 -1 P-010-110010-1 1 0 .k0 0 1 1 0 o j 1 0 0 1 1 0 0,1 4.设矩阵A=1 2 2、2 t 3、3 4 5,，若齐次线性方程组Ax=O 有非零解，则 数 占 2.|A|=1 2 22 t 33 4 5=1 2 20 t-4-10 -2

15、-1二t-4-1-2-1=2 t=0 f t=2.1 5.已知向量组=11-2A，02=71、-2 1,a3=0 的秩为2,则数/=-2.T 1 A2.p l +l 0k-U-l 0 ,.k 1 ,k 2.k-2Qk2、三、计算题(本大题共6 小题，每小题9 分，共 54分)21.计算行列式。=11111 12 00 30 01004的值.11 1 11 1111 11111 11解：120 001-1-10 1-1-101-1-1=-210 300-12-10 01-2001-21 0 0 40-1-130 0-2200 0-21 02 2.已知矩阵人=1 -1、0 11)(30 ,B=1d

16、 1。0 1、1 01 4,（1）求 A 的逆矩阵A”；（2）解矩阵方程A X =8.1 0解：(1)I -1、0 11 1 0 0、(0 12 0 0 1 J 1 0 1 21-100 0、(0 11 0 0 -1 -1-1 1 00 )(0 0 1-1P-0、00 0 2-1 -1 A 2(2)X =A-B=2、T-1-21-1 W 3-1 11 人。0 1W 51 0=41 4J I-2-2-2、-3-21 0 0、0 0 1 0 -0 1 一11 J2 3.设向量a =1 T-1解：(1)A =aTp =-1i i -o r-ii i -J=(-1,1,1,-1),求(1,1,1,1)

17、=(2)A2=11-1(1)矩阵 4=。，#；(2)A-111-A1-1 -11-1 -1*C11 T11-P 4-4-44、-1-11-444-4-1-11-444-411-4-4424.设 向 量 组%=(-1,2,4)%=(O,？)=(3,0,7,1 4)=(-i,2,0)r,求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.1 0 3 1、0 3 1、10 3 1、-13 0-10 3 3 00 1 1 0解：（%,%，%，）=2 17 2-0 1 1 0-0 1 1 0、4 2 1 4 0;、0 2 2-4；(0 1 1 2,0001003100100-2TJ

18、00 001003100roobT00001003100n013向量组的秩为3,%,%,4是一个极大线性无关组，%=3%+a2+（）%.+2X3=125.已 知 线 性 方 程 组-天+通-3巧=2,（1）求当a为何值时，方程组无解、有解;2%-x2+5/=a（2）当方程组有解时,求出其全部解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.解:(A,b)=(i-i、201-12-35-12I 0 2-1、0 1-110 -1 1 a+2,2-10(1)a r 3时,方程组无解，a =-3时，方程组有解;（2）。二 一3时,0 2-T(A/?)-0 1 -1 1(0 0 0 0,X =-1 21 3

19、(-1X2=1 +巧，全 部 解 为1+攵1 .X3 =X326.设矩阵A二%1,（1）求矩阵4的特征值与对应的全部特征向量;a)TT 10、0010-1、1 +3,11)72（2）判定A是否可以与对角阵相似，若可以，求可逆阵尸和对角阵A,使得PAP =A.4 8 7W：A E-A=22-1 0 24-9 =(2-1)(2-9),特征值 4=1,22=9.1%2对于4=1,解齐次线性方程组Q E A）x=0：AE-AJ 7-f 1，卜=一 ，基 础 解 系 为 必=卜 ，对应的全部特征向、-1 -1 J （）0J =x2 I 1 J量为占%（是任意非零常数）；对于4 =9,解齐次线性方程组（A

20、E 一 A）x=0 ：AE-AJ 1-I f（I-7L尸|=7占，基础解 系 为。2=门，对应的全部特征向1 7 J I。0 ）=X2 V 7量 为 七%(七是任意非零常数)./_ 7、(10、令尸=,A=,则P是可逆矩阵，使得P-AP =A.U d l o 9；四 证 明 题(本 题 6 分)27.设阶矩阵A满足A?=A,证明E-2 A可逆，且(E-2 A)T=-2 A .证：由 A 2=A,得(E-2 A)(E-2 A)=E-4 A +4 A2 =七 _4 A+4 A =E ,所以 E-2 A 可逆，且(E 2 A)T=E 2 A .全国自考2008年 7 月线性代数(经管类)试卷答案一、

21、单项选择题(本大题共1 0小题，每小题2分，共2 0分)1.设3阶 方 阵A=四,。2，。3,其 中(i=i,2,3)为A的 列 向 量，且|A|=2,则|B|=|ai +3a2,a2,a3|_(c )A.-2 B.0C.2 D.6f x1+x2=02.若方程组1k x LX2=0有非零解，则k(A)A.-1 B.0C.l D.23.设A,B为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是(C )A.|A B|=|A|B|B.(A B)-1=B-1 A-1C.(A+B)-l=A-l+B-1 D.(A B)T=B TA T4设A为三阶矩阵,且|A|=2,则|(A*)-1|=(D )1A.4 B.lC.2 D

22、.45.己知向量组A：%,。2，（1 3，1 4 中。2,。3,线性相关，那 么（B）A.%，。2,。3，。4 线性无关 B.%,。2，1 3，（1 4 线性相关C.%可由a2，a3，c t 4 线性表示口.。3，（4 线性无关6.向量组a-。2,a、的秩为心且 弋，则（C）A.线性无关B%,0 4,%中任意 个向量线性无关C.%，。2,a 中任意什1 个向量线性相关D.%，。2,a 中任意 J个向量线性无关7.若A与 B相似，则（D ）A.A,B都和同一对角矩阵相似 B.A,B有相同的特征向量C.A-X E=B-X E D.|A|=|B|8 .设%,。2 是A x=b 的解，n 是对应齐次方

23、程A x=O的解，则（B ）A.n+%是 A x=O 的解 B.n+（a-a 2）是 A x=O 的解C.%+。2 是 A x=b 的解 D.a-a 2 是 A x=b 的解9.下列向量中与。=（1,1,-1）正交的向量是（D ）A.a=（1,1,1）B.a2=（-1,1,1）C.a3=（1,-1,1）D.a4=（0,1,1）-1 1 1 0 .设 A=U -2 ，则二次型f（xl,*2 内 1 人*是（B ）A.正 定 B.负定C.半正定 D.不定二、填空题（本大题共1 0 小题，每小题2分，共2 0 分）1 1 .设A为三阶方阵且|A|=3,贝 1 1 2 A l=_ 2 4.1 2 .已

24、知a=（1,2,3）,贝|尸 丁&|=0.1 2 0 1 6-4 00 3 0 0 2 01 3 、r.t 设人0 0 2，则n r A*，0 0 31 4 .设A为 4X5的矩阵，且 秩（A）=2,则齐次方程A x=0 的基础解系所含向量的个数是3.1 5 .设有向量%=（1,0,-2）,a2=（3,0,7）,a3 =（2,0,6）.则由，。2，。3 的秩是 2.1 6.方程 xl+x2-x3=l 的通解是=（1 。,。）+T,l W+&（I,。）,A-1=-（A-E）1 7.设 A 满足 3 E+A-A 2=0,贝 ij 31 8 .设三阶方阵A的三个特征值为1,2,3.贝 i|A+E|=

25、_24.1 9.设Q 与B的内积(a,B )=2,II 3 II=2,则内积(2 a+B -8 )=_ _ _-8.1222 0.矩阵A=三、计算题2 1.2 2.3-11-102计算6 阶行列式2 5已知A=U 3所对应的二次型是32+2 七2 X j X2+2%|%3+4X2X31300002000000001000000（）（）2（）01=1 8i 1 2R_ 4 -3-*9 D 2 1”,C=L5 一 2 ，X 满足 A X+B=C,求 X.-2 -81 3000020X2 3.求向量组由=(1,2,1,3),a2=(4,-1,-5,-6),。3=(1,-3,4-7)的秩和其一个极大线

26、性无关组.12134-1-5-61 1 4-3 0 9-4 0 0-70 01500秩为2,极大无关组为3,22 4.当a,b 为何值时，方程组X|+X2+X3=1X2-X3=12 x,+3 x2+(a+2)X3=b +3有无穷多解？并求出其通解.a=T,6=0 时有无穷多解。通解是=（0,1,0）+_ 2,1,1）3 -12 5.已知A,，求其特征值与特征向量.特征值彳=4,2 =1 0,4 =4 的特征向量左（1，_ 1）；1 =1 0 的特征向量女（1,一 7）7-2 -1 4=1 1 +3 1-3 -92 6,.攻n.AA=L-1 2，求宓A4n.2L1-3 1 +3 四、证明题（本大

27、题共1 小题，6 分）2 7.设a 为 A x=0 的非零解，为 A x=b（b*0）的解，证明。与B 线性无关.+%2P-0A（kla+k2P）=A0=0=Z A a+何邓=0+k2bk）b=0 f&=0证明：囚+幺=0-=0-k=0所以a 与P线性无关。全国2009年 1 月高等教育自学考试线性代数试题及答案课程代码：04184试卷说明：在本卷中，4,表示矩阵A的转置矩阵，4”表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，表示方阵A的行列式，A 表示矩阵A的逆矩阵，秩（A）表示矩阵A的秩.一、单项选择题（本大题共1 0小题，每小题2分，共2 0分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求

28、的。请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设A为n阶方阵，若A 3=O,则 必 有（D ）A.A=O B.A 2=。C.AT=O D.|A|=02设A,5都是n阶方阵,且=3,1=-1,则田5卡（A ）A.-3 B.-C.-D.33 33.设4为5X4矩阵，若秩（4）=4,则秩（5德）为（C）A.2 B.3 C.4 D.54.设向量。=（4,-1,2,-2）,则下列向量中是单位向量的是（B ）A1 -1 c 1 clA.-a B.-a C.-a D.a3 5 9 2 55.二次型危i j 2）=5 x；+3岩的规范形是（D ）A2。A.y C22 C.-y2+2y D.y：

29、+於6.设A为5阶方阵，若秩（4）=3,则齐次线性方程组A x=0的基础解系中包含的解向量的个数是（A ）A.2 B.3 C.4 D.57.向量空间W=（U y,z）以+y=0的维数是（B ）A.l B.2 C.3 D.4（1 28.设矩阵人=，则矩阵A的伴随矩阵A*=（B ）（4 3）（3 2、（3 一2、,3 4、（3 -4、A.U 1J B.1-4 I ）C,2 1J D.1-2 1 J1 1 1 1、9.设矩阵人、0 0 0 3,则A的线性无关的特征向量的个数是（D)A.l B.2 C.3D.410.设A,B分别为机X和机XZ矩阵，向量组（D是由A的列向量构成的向量组，向量组（II）是

30、 由（A,B）的列向量构成的向量组，则 必 有（C）A.若（I）线性无关，则（II）线性无关 B.若（D线性无关，则（II）线性相关C.若（II）线性无关，贝lj（1）线性无关 D.若（II）线性无关，则（I）线性相关二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。2 r11.设 A=(3,1,0),8=-4 0,则 A B=(2,3).J 3 12.已知向量。=(3,5,7,9),B=(-1,5,2,0),如果 a+f=,则&=(4 0,-9).13 .设A,5 为 6阶方阵，且 秩(A)=6,秩(B)=4,则 秩(A B)=4.14 .

31、已知3阶方阵A的特征值为1,-3,9,则=-1.315.二次型犬X l X 2,X 3 X 4）=X；+3 君+2%-x：的正惯性指数为_3 _.16 .设 A为 3阶方阵，若（4 7|=2,则 卜 3 A I=-54 .17.已知向量。=（1,2,-1）与向量=（0,1,y）正交，则产 2.18.设非齐次线性方程组4 x=b 的增广矩阵为10、。19.20.0 0 21 0-10 2 4x=1 -2c2，则该方程组的结构式通解为_=2 +c ,（c 为任意常数）一.6Jx3=3-2 c设 3 为方阵，且|阴=3,则|配|=闻.1 2 07-2 0、设矩阵A=3 7 0,则=_-3 1 00、

32、0 0 1,三、计 算 题（本大题共6 小题，每小题9 分，共 54分）5 3 3 33 5 3 3计算行列式改3 3 5 33 3 3 55 3 3 314 3 3 31 3 3 31 3 3 33 5 3 314 5 3 31 5 3 30 2 0 0解：D=14=14=1123 3 5 3 14 3 531 3 5 30 0 2 03 3 3 514 3 3 51 3 3 50 0 0 222.求向量组。尸（1,4,3,-2)a2=(2,5,4,-1),%=(3,9,7,-3)的秩.1 2 3、“23、4 5 901 1解：）=T,故秩为2。3 4 7000、一 2-1 一3,0,D2

33、0,D3。2，。3线性无关，故1，鱼，q3线性相关，即。|+2 a3，。2-。3，S+2 a2线性相关。全国2009年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）0-1 11.3 阶行列式|%|=1 0-1中元素。2的代数余子式42=（C）-1 1 0A.2B.-1C.1D.2421=-1 11 0=1.2.设矩阵4=a a2421+a a22+a2，则必有（A）a2 a21Ja1 7A.PP?A=B B.P)PA=B C.AP P)=B D.AP2Pl=B3.设阶可逆矩阵A、B、C满足A 3 C=E,则B T=（D），B=舄=1 oU

34、A.A C B.C A C.A C D.CA由 A 3 C=E,得C B TAT=,B-=C A.0 1 0、4.设3阶矩阵A=0 0 1，则A?的秩为(B)0 0,A.0B.1C.2D.30 1 oYo 1 o W o 0 nA20 0 10 0 10 0 0,A?的秩为1.(0 0 0人0 0 ojI。0 OJ5.设1 ,。2，。3，二 4是一个4 维向量组，若已知。4 可 以 表 为 的 线 性 组 合，且表示法惟一，则向量组四，%，%，%的秩为（c）A.1 B.2 C.3 D.4%，。2，。3 是。”。2，。3，。4的极大无关组，四，二2，。3，。4 的秩为36.设向量组,。2，23，

35、。4线性相关，则向量组中（A）A.必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B.必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C.必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D.每一个向量都可以表为其余向量的线性组合7.设。,。2，夕3是齐次线性方程组=。的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（B ）A.ai,a2,ai+a2B.a+a2,a2+%,%+%C.al,a2,al c r2 D.ax-a2,a2-a3,a3 ax只有四+a2,a2+。3，。3+四 线 性 无关，可以作为基础解系.（2 0 A8.若2阶矩阵A相似于矩阵8=,为2阶单位矩阵，则与矩阵E A相似的矩阵是（C ）12

36、-V（0）f-1 0、（0、3=-3=21 21+a 22 A22+23423=1x(-3)+(-2)x 2+3 x 1=-4.(i 2 I1 3.设4=,则 A22A +：=l-l oj1 4.设A为2阶矩阵，将A的 第2列 的（一2）倍 加 到 第1列得到矩阵8.若B=C ：），则（02)(021f-2A2-2A +E=(A-E)2=1-JJA=_5 2将B的第2列的2倍加到第1列可得A=11 415.设3阶矩阵A=0 0 1、0 2 2,则一、3 3 3)0 0(A,E)=0 2 316.设向量组%,a2=(1,-2,1),a?=(11，2)线性相关，则数。=66 0-6 0 2、“6

37、0 0 0-3 2、rl 0 0 0-1/2 1/3、-020-210-020-210-0 1 0-1 1/2 0、。0 110 0k0 0 1 1 0 0,pol l 0 0,0-1/2 1/3、A-1 1/2 0J 0，17.已知西=(1,O,-1)T,X2=(3,4,5)T是3元非齐次线性方程组Ax=8的两个解向量，则对应齐次线性方a 1 11 -2 11 1 -2=a 1 1-a -3 01 +2。3 0-a -3 ,=6+3a=0,a =2.1 +2 3程组/民=0有一个非零解向量 =.勺=(2,4,6)丁(或它的非零倍数).1 8.设2阶实对称矩阵A的特征值为1,2,它们对应的特征

38、向量分别为%=(1,1)7,1 2=(1，7,则数k=.(a b(a设 A=人 汗，由 A%=l a,B P 1b、了得”=1一人，d=b；由A%=2。，即(-h b 4VJC =2r n (i-h+b k,H；,可 得&=一1.1 9.已知3阶矩阵A的特征值为0,2,3,且矩阵3与A相似，则|3+E|=3+上的特征值为1,1,4,|吕+石|=以(_1“4=.2 0.二次型/(占，X 3)=。|%2尸+*2 -了3尸的矩阵A=/(%1,x2,x3)=(x：-2XX2+x；)+(x；-2X2X3+x；(1 -1 0)=x：-2x)x2+2xf-2X2X3+,A=-12-1.I-1 1；三、计 算

39、 题（本大题共6 小题，每小题9 分，共 54分）121.已知3阶行列式|为|二x5X2-1304中元素q 2的代数余子式412=8,求元素。21的代数余子式421的值.解：由A%=一x504=-4x=8,得 =-2,所以 A 2=-2 3-1 4=-(-8+3)=522.已知矩阵4=二11、,B=-1 10 2,矩阵X满足A X +B=X,求X.解：由 A X +8 =X,得（E-A）X =8,于是X=(E-A)lB=x134(73尸/3 n3j(1/3 )23.求向量组%=(1,1,1,3)、%=(一1，-3,5,1)/，%=(3,2,1,4)7，=（-2,-6,10,2）丁的一个极大无关

40、组,并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出.-1-1(-1-2解:-3-6-2-1-4-2-1-4-110-412-7325一2、13一2、3006-00000421 04-0-5810-70 J一2、-1-1一2、-12、-2-1-4-2-1-4-2-43130-0-0000-7(0100(00010000000 J0(000000 J-10/00100-2、q02 0 100 0、0 00001000、200 J%,，43是一个极大线性无关组,%=0%+2a 2+()%.ax+x2+x3=024.设3元齐次线性方程组 X +ax2+匕=0，x+工2+=0(1)确定当。为何值时，方程组

41、有非零解;(2)当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解.a解：|A|=111 1 。+2a 1 =。+21 a。+21 1 1a 1 =(a +2)11 a 11 1 1 1a 1 =(a +2)0 a-1 a 0 010i 2-1=(a +2)(a 1产，a =2或a =l时，方程组有非零解:(2)a =-2时，0X=X3 =，基础解系为尤3=巧%2为任意实数100n0 ,-1、基 础 解 系 为 1r-ro，全 部 解 为 2 0 1、25.设矩阵8=3 1 3、4 0 5,(I)判定B是否可与对角矩阵相似，说明理由;(2)若8可与对角矩阵相似，求对角矩阵/I和可逆矩阵P,使尸T 8

42、P=A.4 一 2 0解：(1)|A E B=3 A 1-4 0-1-32-5=U-1)A-2-4-12-5=(2-l)(22-72+6)=(2 I)-(A -6),特征值4=4=1，4=6.对于4=4=1,解齐次线性方程组(/I E -B)x=O：-1 0AE-B=-3 01 4 0-n p一3 一 0-4J 1 0001)0ojx=-x3(0、X2=X2,基础解系为P =1%3=X3 1O,对 于 友 二6,解齐次线性方程组(2E 3)x=0：3阶矩阵B有3个线性无关的特征向量,(40-1、p0 1/4、玉=/3门/4、A E-B=-35一3 T 0 1-3/4,3x2=x3,基础解系为p

43、3=43/4、-40100o，X3 X3、L所以8相似于对角阵:(2)令 A0、06;01匹=巧x2=-2X3,X3 X3(1 =-2,单位化为P 3=丁 屈、-2/V 6.1/V 6 /-1/V 201/V 21/V 6 1ro-2/V 6，则P是正交矩阵，使得夕丁人夕=01/V 6)0、03,经正交变换p令21o111-010010 x=4后，原二次型化为标准形/=0.y；+3*四、证 明 题（本题6分）27.已知A是阶矩阵，且满足方程A?+2A =0,证明A的特征值只能是0或一2.证：设；I是A的特征值，则满足方程万+24=0,只能是4=0或 =2.全国2009年7月高等教育自学考试线性

44、代数（经管类）试题答案一、单 项 选 择 题（本 大 题 共 10小 题，每 小 题 2 分，共 20分）1.设A,B,C为同阶方阵，下 面 矩 阵 的 运 算 中 不 感 文 的 是（C ）A.（A +B）T=AT+BT B.I A B|=|A|BC.A（B+C）=BA +CA D.（A B）T=BTATA(B+O=A B+AC,未必等于 R4+C4.A.-24aa2a32.已知a2a22a23=3a3la32a33B )2a122a13那么a2a2223二（-2a3 -2a32一 233B.-12C.6D.123.若矩阵A可逆，则下列等式成立的是（C ）2。2。2 2。3a2l a22。2

45、3_ 2%一2 3 2 2 3 3=2x(-2)xa 1 a2 1 3a2 a22。2 3a3。3 2 a33=2 X (2)x 3 =12.A.A =A B.|/l|=0|A|C.(A2)-1=(A-1)2 D.(3 A)-1=3 A-1A2(A-)2=(A 4-1)2=E2=E,所以(A 2)T =(-)2.-3 1 -24.若4=,B=1 5 2的 是(D )A.A BC B./-4 f-2 32 1 CTBTo 2 一,。=则下列矩阵运算的结果为3 x 2矩阵3 -1 2_C.CBA D.CTBTATA与C都是2x 3矩阵，由此可以将前三个选项排除.5.设有向量组A：a,a2,ai,a

46、4,其中%如 线性无关，则（A ）A.四,03线性无关B.%,a2，%，%线性无关C.%,附,。3，?4线性相关 D.&2，%，。4线性相关整体无关n 部分无关.6.若四阶方阵A的秩为3,则（B ）A.A为可逆阵 B.齐次方程组A x=O有非零解C.齐次方程组A r=0只有零解 D.非齐次方程组A x=8必有解|*=0,=。有非零解.7.设A为“X”矩阵，则元齐次线性方程A r=0存在非零解的充要条件是（B ）A.A的行向量组线性相关 B.A的列向量组线性相关C.4的行向量组线性无关 D.A的列向量组线性无关A r=0存在非零解的充要条件是r（A）n,即A的列向量组线性相关.8.下列矩阵是正交

47、矩阵的是（A ）A.A可逆B.|A|0C.4的特征值之和大于0D.A的特征值全部大于0k0 0 10.设矩阵A =0k-2正定，则（C )0-2 4A.k 0B.k 0C.kD.k 二、填 空 题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）k 0)D=k 0 9 D2=0 卜 0,A=Z O O0 k-20-2 4=4k(k-1)0 0 kl.11.设 A =(l,3,1),B =(2,l),则ATB=、3 (2,1)=26、一21、32 1 012.若 1 3 1 =0,则氏=k 2 12 1 01 3 1k 2 1=2 1 01-k 1 0k 2 12 1=k+1 =0 k=.1-k 11

48、2 013.设 4=2 0 0,则 A*=,0 1 31 4.已知 A?-2 A-8 E =O,则(A +)T=A i =0103=0,A2=2103=-6,A31=2000=0,A 2 =2-0C3=-6,22=1003=3,A32=,1一 200=0,A 3 =2001=2,A23=1021=-1,A33=1220=-4,0-6 0 _A =-63 02-1-4由A?-(A +E)2 A-8 E =CT：MA2-2 A-3 E =5 E,(A +E)(A -3 E)=5E ,=E ,所以(A +)T =(A 1 5.向量组%=(1,1,0,2),%=(1,0,1,0),%=(0,T,2)的

49、秩为口 1 0 2)f l 1 0 2(1 0 2 1 0 1 00-1 1-2-0-1 1-2,秩为2.(0 1 -1 2)0 17 2,0 0 0 0 J16.设齐次线性方程A r=0 有解4，而非齐次线性方程且A x=8 有解，则 J +是方程组_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _的解.由 A J =0,A r)=b,可得 入 e+7/)=A J +A =0+/?=6,即彳+是 A x=Z?的解.17.方 程 组+=的基础解系为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _出+巧=018.向量 a =（3,2/1）,=（，,一 1,2,1）正交，贝卜=Ho；:H；:力.x=

50、x3X2=X3 基础解系为r i、-iiLX3 -X3由(a,)=0,即 5f 1=0,r=1.19.若矩阵A=与矩阵8=3 相似，则0 4 a x相似矩阵有相同的迹，所以l +4 =3 +x,x =2.2 0.二次型/（七,工2，%3）=工：+2x；+项2-3 项/对应的对称矩阵是A =1 1/2-3/2)1/2 2 0 3/2 0-3 J三、计 算 题（本大题共6 小题,每小题9 分，共 54分）1 -3402 1.求行列式。=4 035的值.2 02-27 6-221 -34 01-3 4 04 3 51 3 8解：D =4 03 54 03 5=(3)x 2 2-2=3 x 0 2 0