2021-2022学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期中数学试卷（学生版+解析版）.pdf

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1、2021-2022学年广东省深圳市龙 岗区布吉中学髙二（上）期中数学试卷、单 选 题（共 8 小题,每小题5 分,满分 40分）I.（5 分）已知;=（2,-3,I）,则下列向量中与最平行的是（）A.(1,1,1)B.(-2,-3,5)C.(2,-3,5)D.(-4,6,-2)2.(5 分)已 知 点 4(2,0),8(3,-V 3),则直线AB的倾斜角为()A.30 B.45 C.120 D.1353.(5 分)已知向量展=(1,0,1),b=(2,0,-2).若(证+b)G +局 =2,贝 等于（）A.1 B.-C.-D.一5 5 54.（5 分）若两平行直线x+2y+m=0（m 0）与

2、x 3=0 之间的距离是遅,则 什 =（）A.0 B.1 C.-1 D.-25.（5 分）已知直线 y=x+l与曲线C:久 2+凜=1相 交 于 8 两 点,F（0,-1）,则AB的周长是（）A.2 B.2V2 C.4 D.4726.（5 分）已知椭 圆C：+=1（ab0）的左,右焦点分别 为Fi,P 是 C 上a1 bl点,P F i垂直于x轴,|尸 i|=l,/F iF 2P=30,则C 的方程为（）7.(5 分)点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4 的内部,则a 的取值范围是()A.-14?1 B.0 a l C.。1 D.a=+8.（5 分）唐朝诗人李顽的诗 古从军行开头两句

3、说:“白日登山望烽火,黄昏饮 马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问 题“将军 饮 马”问 题,即 将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边 饮 马后再回军 营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系 中,设 军 营所在区域为r+y 2 W 2,若将军从 点 A（3,0）处出发，河岸线所在直线方程为x+）=4,并假定将军只要到达军 营所在区域即回到军 营,则“将军 饮 马”的最短总路程为（）A.2V5B.V17-V2C.V17D.3-V 2二、多选 题（共 4 小题,每小题5 分,选 对但不全的得2 分,有选 错的得0 分,满分 20分）（多选）9.（5 分）2020年 11月 28日,

4、“嫦娥五号”顺利进入环月轨道,其轨道是以月球的球心尸为个焦点的椭 圆（如图所示）.已知它的近月点A（离月球表面最近的点）距离月球表面，千 米,远月点B（离月球表面最远的点）距 离 月 球 表 面 千 米,为椭圆的长 轴,月球的半径为R 千米.设 该 椭 圆的长 轴 长,焦距分别 为2a,2 c,则下列结 论正（多选）10.（5 分）在三维空间中,定义向量的外积:2 x 叫做向量日 与 的外积,它是个 向 量,满足下列两个条件:;丄（a x 6）,b丄（a x 6）,且，b和征x b 构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致,如图所示）；a x b 的模|a x b|=

5、|a|b|sin （-AiBiCiDi中,有以下四个结 论,正 确 的 有（）A.ABrxAC=ADr x DBB.AB x AD=AD x ABC.G x D与B方向相同D.6|品 x:I与正方体表面积的数值相等（多选）11.（5 分）圆。1：/+雜=0 和圆。2：/+2厂 4丫=0 的交点为A,B,则有()A.公共弦A B所在直线方程为x-y=OB.线段A B中垂线方程为x+y-1=0V 2C.公共弦A B的长为匚D.P为圆O i上一动点,则P到直线A B距离的最大值为日+1(多 选)1 2.(5 分)在三棱锥 P-A B C 中,丄 平 面 A B C,AC BC,且 B 4=A C=8

6、 C=1,则下列说法中正确的有()A.AC1.PBB.平面B丄平面A B CC.二面角C-P 3-A的大小为6 0D,三棱锥尸A 8 C外接球的表面积为3T T三、填 空 题(共 4 小 题,每小题5 分，满 分 20分)1 3.(5分)直 线 :x+m)4 1=0与直线:y=2 x-l垂直，则胆=.1 4.(5分)与 圆(x-2)2+(y+3)2=6同圆心且过点P (-1,1)的圆的方程是.1 5.(5分)若三棱锥尸A 8 C的三条侧棱两两垂直,且满足=P B=P C=1,则点P到平面A B C的距离是.x2 y21 6.(5分)已知椭圆:+=1 (a f e 0)的左、右焦点分别为尸1,尸

7、2,P为椭圆上的a2 bz一 点,乃与椭圆交于 若P F i Q的内切圆与线段尸人在其中点M处相切，与 P Q 切于2,则 椭 圆 的 离 心 率 为.四、解 答 题(共 6 小 题,满 分 70分)1 7.(1 0 分)已知向量之=(2,4,-2),b =(-1,0,2),c=(x,2,-1).(1)若a,求向;(2)若b丄六 求(a-c)-A i B C i D i 中,A B=A D=,AA=2,Z A A D=Z A i A B=6 0,Z D A B=9 QQ,M为A i。与。1的交点.若 =Z,而=1,=(1)用Z,b,K表示B M；(2)求 的 长;(3)求8M与A C所成角的余

8、弦值.1 9.(1 2分)动点到两定点距离的比值为非零常数入,当入1时,动点的轨迹为圆,后世称之为阿波罗尼斯圆己知两定点A、B的坐标分别为:A (4,0),B(1,0),动点M满足 A M=2 B M.(1)求动点M的阿波罗尼斯圆的方程;(2)过P (2,3)作该圆的切线，,求/的方程.2 0.(1 2分)如 图，四棱锥中,底 面A 8 C。为直角梯形，AB/CD,2 A B=2 A D=CD,A D L C D,侧面 外丄面B C Q,为正三角形，E为中点.(1)求证:A E面 P 8 C；(2)求A E与平面以8所成的角的大小.2 1.(1 2分)如图,在三棱台A BC-D E中,平面4C

9、 F丄平面ABC,Z A C B=Z A C D=4 5a,DC=2BC.(1)证明:B C L B D；(2)求二面角F-C D -B的正弦值.2 2.(1 2分)已知椭圆C:+=l(a b 0)经过点(0,2),且e =浮.az oz 厶(I )求椭圆C的方程;（I I ）若直线=+Z 与椭圆。相切于点M,与直线=相交于点N.已知点尸（-2,0）,且 PM丄PN,求此时的值.2021-2022学年广东省深圳市龙 岗区布吉中学高二(上)期中数学试卷参考答案与试题解析、单 选 题(共 8 小题,每 小题5 分,满分 40分)1.(5 分)已 知:=(2,-3,1),则下列向量中与最平行的是()

10、A.(1,1,1)B.(-2,-3,5)C.(2,-3,5)D.(-4,6,-2)【解答】解:若 =(-4,6,-2),则=-2 (2,-3,1)=-2 a,所以之.故选:D.2.(5 分)已 知 点 A(2,0),8(3,遮),则直线AB的倾斜角为()A.30 B.45 C.120 D.135【解答】解:点 A(2,0),8(3,-V 3),则直线A 8 的斜率=空 堂=一 百,则直线的倾斜 角 I20,故选：C.3.(5 分)已知向量之=(1,1),b=(2,0,-2).若(k之+b)(之+看)=2,贝 等于()3 2 1A.1 B.C.D.一5 5 5【解答】解:向 量之=(1,1),b

11、=(2,0,-2),所以+r=(+2,0,k-2),之+kb=(2A+1,0,-2A+1),又(k 之 +一)(之+kb)=2,所 以(k+2)+1)+(k-2)(-2H1)=2,解得k=i故选：D.4.(5 分)若两平行直线x+2y+m=0(z n 0)与 3=0 之间的距离是遅,则m+n=()A.0 B.1 C.-1 D.2【解答】解:,两直线+2y+?=0(0)与 X 3=0 平行,/-2=0,解得 =2.又两平行直线x+2）+加=0（/0）与 x 3=0 之间的距离是遅,.g+3|y/l2+22-V 5.解得 m=2./+=0.故 选:A.5.（5 分）已知直线y=x+l与曲线C：/+

12、陰=i 相交于 3 两 点,F（0,-1）,则AB的周长是（）A.2 B.2V2 C.4 D.4或【解答】解:曲 线 C：/+=1的焦点坐标（0,1）与（0,-1）,直 线 y=x+l经过椭圆的焦点,所以直线，：y=x+l与曲线C:+=1相交于A,B两 点,F（0,-1）,则4 8 F 的周长是:4a=4V2.故选：D.x2 y26.（5 分）已知椭圆C：+=1（a b 0）的左,右焦点分别为1,尸 2,P 是 C 上a2 b乙点,P Q 垂直于轴,|P F i|=l,/乃乃尸=30,则 C 的方程为（）x2 y2 x2 y2A.+=1 B.+=19 3 9 64x2 2y2 4x2 4y2C

13、.一 +=1 D.+=1【解答】解:PF1垂直于七轴,IP 1|=L N 2尸=30,.,在 RtZP尸 中,tan300=r f r =PF2=2PFI=2,l”2l I&F2I=V 3,即 c=苧,IPF1I+IP+21=2 小*2,ci=1 +2=3,艮 卩 a=,3-2=3-4-9-4;椭 圆 c 的方程为+=1-故选：c.7.（5 分）点（1,1）在 圆（x-a）2+Cy+a）2=4 的 内 部,则 a 的取值范围是（)A.-l a lB.0 a lC.a 1 D.a=【解答】解:因为点（1,1）在圆（x-a）2+（a）2=4 的内部,所以表示点（1,1）到圆心（a,-a）的距离小于

14、2,即（l-a）2+（1-（-a）2 2两边平 方 得:（1 -a）2+（a+1）2V组化简得 1,解得一故选：A.8.（5 分）唐朝诗人李顽的诗 古从军行开头两句说：“白日登山望烽火,黄昏饮 马傍交河.”诗中隐含着个有趣的数学问 题“将军 饮 马”问 题,即 将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边 饮 马后再回军 营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系 中,设 军 营所在区域为+V W 2,若将军从 点 A（3,0）处出发,河 岸线所在直线方程为x+y=4,并假定将军只要到达军 营所在区域即回到军 营,则“将军 饮 马”的最短总路程为（）A.2V5 B.V 17-V 2 C.V1

15、7 D.3-V2【解答】解：设点 A 关于直线x+y=4的对称点（a,b）,设 军 营所在区域为的圆心为C,根据题意,4C 一夜为最短距离,先求出4 的坐标,A的中点为（吟,直线4啲斜率为1,故直线 AA,Jy=x-3,（a+3 b.由 +=4,联立得3 =a-3故。=4,b=L所以 A，C=V42+I2=V17,故 AC-V2=V 17-V 2,故选：B.二、多选 题（共 4 小题，每小题5 分,选 对但不全的得2 分,有选 错的得0 分,满分 20分）（多选）9.（5 分）2020年 11月 2 8 日,“嫦娥五号”顺利进入环月轨道,其轨道是以月球的球心尸为个焦点的椭 圆（如图所示）.已知

16、它的近月点A（离月球表面最近的点）距离月球表面，刀千米,远月点8（离月球表面最远的点）距离月球表面“千 米,AB为椭圆的长 轴,月球的半径为R 千米.设 该 椭 圆的长 轴 长,焦距分别 为2a,2 c,则下列结 论正确 的 有（）【解答】解:由题意可得:AB=2a=m+n+2R,所以。=夢+/?,故B正 确,A错 误,又AF=m+H=a-c,所以c=am/?=+/?-m R=写 ,故C正 确,D错误,故选:BC.（多选）10.（5分）在三维空间中,定义向量的外积:x 叫做向量”与b的外积,它是个 向 量,满足下列两个条件:丄（a x b）,b丄（a x h）,且 和x 构成右手系（即三个向量

17、的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致,如图所示）；x 的模向x引=|而b|sin v,b C 表示向量2,b的夹角）.在正方体ABC。A181Goi中,有以下四个结 论,正 确 的 有（）A.AB1xAC=AD1xDBB.AB x AD=AD x ABC.xD与方向相同D.6|BCx 4cl与正方体表面积的数值相等【解答】解：对于 由a x 模的定义知,a x b|=|a|6|sin =|/?|a|sin =b x a|,所以 A 对;对于 B,由 b和友x b 构成右手系知,之与之方向相反,再由A知,a x b =-b x a,所以B错;对于 C AiCiBiD i,A 1 C 1

18、丄5 8 1 n Aici丄平面 8 5 1 0 1 0,B iu 平面 8 8 1。1 =2 1 丄Ai。,BDLAD,再由右手系知,力 云 X。与8 同 向,所 以 C对;-v 2对于，正方体棱长为 a,6BC X AC=6|SCmC|sin45=6yj2a,a,=6a,正方体表面积 为6 a2,所以对.故选:ACD.(多选)1 1.(5分)圆0 1：/+缄=0和圆0 2：/+)2+2 x-4 y=0 的交点为A,B,则有()A.公共弦AB所在直线方程为x-y=0B.线段 AB中垂线方程为x+y-1=0C.公共弦A8 的长为V2D.P为 圆。上动点,则P 到直线AB距离的最大值 为女+1【

19、解答】解：.圆0 1：/+2 x=0 和圆0 2：+缄 4=0的交点为B,圆(9 I与圆0 2 公共弦AB所在的直线方程为x -y=0,故 A正确;.!(1,0),。2(-1,2),0 1 0 2 所在直线斜率为1,；线段 AB的中垂线的方程为y-0=-(x-1),即x+y-l=O,故 B正确;圆 01：7+y2-2x=0的圆心为0 (1,0),半 径 =1,圆心Oi(1,0)到直线x-y=0 的距离=1 4242=2-到直线A 8距离的最 大 值 時+1,圆 01与圆02公共弦AB的长为2丿!-：=鱼,故 C 错误,正确.故 选:ABD.(多 选)12.(5 分)在三棱锥P-A B C 中,

20、布丄平面A8C,AC LBC,且 =AC=BC=1,则下列说法中正确的有()A.ACLPBB.平面B4B丄平面ABCC.二面角C-P 3-A 的大小为60D,三棱锥P-AB C 外接球的表面积为3 1 T【解答】A.分析法:若AC丄P B,则有因为AC丄8C,PBCBC=B,则 4 c 丄平面PBC,由此可得AC丄P C,这个这个结论与丄AC相 矛 盾,故 A 错误;B.因为布丄平面ABC,平面雨8,所以根据面面垂直的判定定理可得,平面物B丄平面A 8 C,故 B 正确;C.过点C 作 CC1 刑,以点C 为坐标原点,CA,CB,CCi点所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系(如下图)

21、，则有A(I,0,0),B(0,1,0),P(1,0,1),所以G=(0,0,1),BP=(1,-1,1),CB=(0,1,0),设平面8 的个法向量为薪=(a,b,c),贝 噸第工“设平面C尸 8 的个法向量为=(r,s,t),则电康二*=。.=a 设二面角C-P 8-A 的平面角为0,则有cos8=cosV薪,n =1,即 得 0=60.故。正确.D.根据题意,可将三棱锥尸-ABC添补 为底面为正方体,则可得其外接球的直径为正方体的体对角线,即 2 R=g,因此可得R=卓,所以外接球的表面积 为S=4n/?2=3n（如下图）.故。正确.故选:BCD.三、填空题（共 4 小题,每 小题5 分

22、,满分 20分）13.（5 分）直线:x+1=0 与直线 y=2 x-l垂直，则祖=2.【解答】解:.直线仙 x+1=0与直线 y=2 r-l 垂直,A 2X1+（-1）X m=0,解得m =2.故答案为2.14.（5 分）与圆（x-2）2+（y+3）2=6 同圆心且过点 尸（-1,1）的圆的方程是（x-2）2+（y+3）2=25.【解答】解:圆（X-2）2+（尸3）2=6 的圆心坐标 为（2,-3）,所以圆的半径为:R=V（2+I）2+（-3 -l）2=5,故圆的方程为（x-2）2+（y+3）2=25.故答案为：（x-2）2+（+3）2=25.15.（5 分）若三棱锥尸 A8C的三条侧棱两两

23、垂直,且满足 必=P B=P C=1,则点 P 到平面 ABC的距离是.【解答】解：设点尸到平面A8C的距离为在三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两垂直且侧棱长 为1,二三棱锥P-A B C是正三棱锥,：.A B=B C=A C=2,:4ABC=0,根据 VA PBC=Vp-ABC,1 1 Q 1 V3可得一 x-x 1=-x-x h,3 2 3 2 3 V3即点P到平面A B C的距离为.3x2 y216.(5 分)已知椭 圆:+=1(fe 0)的左、右焦点分别 为Q,Fi，P为 椭 圆上的az 一 点,PF2与椭 圆交于。.若PFiQ 的内切圆与线段 P乃 在其中点M处相 切,与 尸。切于 2

24、,则 椭 圆的离心率为更【解答】解:例为|的中点,.尸 Fl。的内切圆与线段PF在其中点”处相切，与P Q切于尸 2,.由内切圆的性质可 得,PM=PF2，P为 椭 圆上的一点，：.PFi+PF2=2 a,：.PM=-a,I尸 2|=侬,|P尸 i|=和,设 尸 1。的内切圆与 Q Q 切于C,结合内切圆的性质可得,|FiC|=|FiM=冢,P&与椭圆交于Q,MQF2+QFi=2a,VC,尸2为切点,.由内切圆的性质可得,|。=|。尸2|,又.1 尸 10=和,，I Q C|=I Q F 2 l=！a,.尸 Fi Q 为等边三角形，.2c=.c 和e=a=T-地必T V3故答案为:.四、解 答

25、 题(共 6 小 题,满 分 70分)17.(10 分)已知向量=(2,4,-2),b=(-1,0,2),c=(x,2,-1).(1)若a c,求|c|；(2)若b丄，求 途”)2 l+”)的值.(x=2k【解答】解:(1).,存在实数使得”=后,可 得:2=4k,解得x=l.1-1=-2k|c|=y/12+22+(I)2=V6；(2)b c,/.&?=-x+0-2=0,解得x=-2.：.c=(-2,2,-1).(a-”)(2b+”)=(4,2,-1),(-4,2,3)=-16+4-3=-15.18.(12 分)如图,在平行六面体 ABCQ-AIBICIDI 中,AB=AD=,AA=2,ZAA

26、D=ZAAB=60,ZDAB=90,M 为 4 c l 与。1 的交点.若应=Z,黛)=”.(1)用 b,1表示BM；(2)求 3M 的长;(3)求8M与AC所成角的余弦值.A B【解 答 解:易=+&M=A1 +舗 1 =1 +鼻。AA+2(AD AB)=c+(b a)；(2)VBM2=c+a)2=c2+c-/?c-a 4-ib2+a2-Z?-a=4+2x1 X 2-2 X IX 2 +4 X P 4-4 X P-2 x l x l x O=r：.BM=挈,即 BM=挈;)-t -(3)AC=a+b,|4C|2=(a+b)2=a2+2a.b=2,则|AC|=VI,T T T-T -T-L -

27、S L 1又C BM=(Q+b)c+(-a)=ac+bc+!2+2 Q=a c+b c=lx 2 x +lx 2 x =2.cos =BM-AC _ 2 2BMAC 零 x&319.(12分)动点到两定点距离的比值为非零常数人,当 入W1时,动点的轨迹为圆,后世称之为阿波罗尼斯圆已知两定点、8的坐标分别为:A(4,)、8(1,0),动点 例 满足 AM=2BM.(1)求动点”的阿波罗尼斯圆的方程;(2)过P(2,3)作该圆的切线/,求/的方程.【解答】解:(1)设动点M坐标为(x,y),则AM=(x 4)2+产,B M=7(x-l)2+y2,又知 AM=2BM,则(%-4)2+y2=2 (尤-

28、1)2+y 2,得7+,2=4.(2)当直线，的斜率存在为 时,则直线，的方程为=2k+3,，与圆相切,则d=7+引=2,得k=髙，此时，的方程为5x-12y+26=0；戸 1 2当直线/的斜率不存在时，此时直线/的方程为x=2,综上:直线/的方程为x=2 与 5x-12y+26=0.20.(12分)如 图,四 棱 锥 尸 ABC。中,底 面 ABC。为直角梯形,AB/CD,2AB=24。=CD,A。丄C。,侧面/?4。丄面 8C。，必。为正三角形,E 为尸。中点.(1)求 证:AE面 PBC；(2)求 AE与平面以B 所成的角的大小.【解答】(1)证明:取 PC中点,连接E、BF,因为E 为

29、 P。中 点,所 以 EC。,E F=C D,又因为 A8C。，2AB=CD,所以 7 AB,EF=AB,所以四边形48尸 E 为平行四边形，所以AE8尸,因为BFu平面PBC,AE|=8=与=劣,.*.0=30,|4F|-|n|2J3 厶所以AE与平面B1B所成的角的大小为30.21.(12分)如图,在三棱台ABC-OE中，平面ACF。丄平面ABC,Z A C B=ZACD=4 5 ,DC=2 BC.(1)证明:B C丄B D；(2)求二面角F-C D-B的正弦值.【解答】(1)证明:如图,过点。作。丄 C,交 AC与点。,连接。B,由。=45,。丄AC,所以CD=五CO,由平面AC尸。丄平

30、面A B C,平面ACFOA平面ABC=AC,。匚 平面ACF。，故。丄平面A B C,又 BCu平面ABC,所以DOLBC,由/ACB=45,BC=CD=-C 0,贝 BOA.BC,y.DOQBO=O,DO,8。(=平面 BO。，所以BC丄平面BDO,又。8b 0)经过点(0,2),且e =浮.az oz z（I ）求椭圆C 的方程;（I l ）若直线 丫=+与椭圆C 相切于点M,与直线 x=A O 相交于点N.已知点 尸（-2,0）,且 P M 丄P N,求此时 殯）的值.【解答】解:（I ）由已知得,c 42e =一a =亏2b=迎之一渉=2,解得件:，X2 V2椭圆的方程为+=1.8

31、4（I I）设 N（xo，0）设直线方程为=+m,代入一+=1 得/+2 （kx+m）2 =8,8 4化简得（2+1）/+4 k w c+2 2 -8=0,由 =(4km)2-4 (2 必+1)(2m2-8)=0,得8必+4-m=0,加 2=8 必+4,*M 2km-8k,.-8 fc.4方程的解为 =-,y=kx+m=k9-+加=,2/+1 m m rn则M（若,令设 N（須），yo）,则 ）=依）+m,则 N（x（）,A 阳）+加）,所以在 x 轴存在 P（-2,）使 MP丄AfQ.PN=（x0+2,fcx0+m）,加=（噤+2,PM PN=（x0+2）（丝+2）+（/cx04-m）=0,-4（）-16+2无（阿+8加=0,沏=一（2加_轨%所以M=-4.