高二数学期末复习题（解析版）.pdf

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1、专题1.1 一元函数的导数及其应用【知识回顾】（一）导数的概念1.函数在X=xo处的导数定义：称函数y=/U）在=沏处的瞬时变化率l im _ _/（）=l im 为函数）=负工）在=的处的导数，记作了（的）或y x A x AD A x=如 即/（%）=l im =l im /（/+）-/（/）6T。AY A。AX2.函数式x）的导函数称函数/（x）=l im xf（X）为式x）的导函数.以-A v（-）基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1.基本初等函数的导数公式原函数导函数./U）=c（c 为常数）/(x)=0X x)=y(n SQ*)f(x)=n xn,/(x)=s in xf(x)

2、=co s xf i x)=co s Xf(x)=s iiu人劝=炉f(x)=ax na危)=e/W=exX x)=l o g x/()xl n a,/(x)=l n x/（X）=：2.导数的运算法则（1）网）土 g（x）y=/（x）g，a）；（2）/（x g（x）=/（x）g（x）+Ox）g&）；（3）器卜八 力g?喘3（，）（g（x）邦）.（4）复合函数的导数复合函数y=?（x）的导数和函数y=/（）,w=g（x）的导数间的关系为y x=yu-Ux,即y对 x 的导数等于y 对 的 导 数 与u对 x 的导数的乘积.（三）函数y =/（x）在=%处的导数几何意义函数_/U)在点xo 处的导

3、数/(xo)的几何意义是在曲线y=/(x)上点(xo,火 xo)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s 对时间f 的导数).相应地，切线方程为y-A xo)=A xo)(x-xo).(四)利用导数研究函数的单调性在(2。)内可导函数/(x),/(X)在(a,。)任意子区间内都不恒等于0.f x)2 0 =f(x)在(a,b)上为增函数./(x)0=/(x)在(a,Z?)上为减函数.(五)函数的极值(1)函数的极小值：函数y=f(x)在点x=a 的函数值f(a)比它在点x=a 附近其它点的函数值都小，f(a)=O,而且在点x=a 附近的左侧f(x)0,则点a 叫做函数y=f(x)的极小值点，f(

4、a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)函数的极大值：函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大，f(b)=O,而且在点x=b附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.(六)函数的最值(1)在闭区间 a,b 上连续的函数f(x)在 a,b 上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在 a,b 上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在 a,b 上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)

5、为函数的最小值.(七)技能技巧1.构造函数构造函数求x),“D：当条件中含“+”时优先考虑求x);当条件中含“一”时优先考虑XfMx(2)构 造 函 数：条件中含/一碇x)”的形式；构造函数成比)：条件中含“研照式)+人词”的形式.(3)构造函数 ：条件中含了(x)式。的形式.e(4)构造函数以D:条件中含7 X x)s in x-/x)co s x”的形式.s in x2.极值点偏移问题(1)对于函数)=兀0在区间(a,人)内只有一个极值点期，方程|x)=0的解为M，尬且ax x2 2%型，构造函数F(x)=/(x)/(2xo x)；对结论为忘 品型，构造函数尸(x)=/a)-/(?|,通过

6、研究5(x)的单调性获得不等式.(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换r=平化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明.规律特点展示一、命题规律(1)以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；(2)单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结合考查，综合性较强.其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性.(3)导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等.解答题难度较大，常与不等式的证明、方程等结合考查，且有综合化更强的趋势；

7、(4)单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现;(5)单独考查导数的运算题目极少.对导数的运算的考查，主要通过考查导数的几何意义、导数的应用来体现.对导数的几何意义的考查，主要有选择题、填空题，也有作为解答题的第一问.常见的命题角度有：求切线斜率、倾斜角、切线方程.确定切点坐标问题.已知切线问题求参数.切线的综合应用.二、真题展示1.(2 0 2 1 全国高考真题(理)设a =2 1 n l.0 1,&=l n l.0 2,C=VLO 4-1.则()A.a h c B.b c a C.h a c D.c a lnl.02=/7,所以下面比较c 与“，方 的大小

8、关系.记小)印一百+1,则 。)=。,/(力备一后二卷霜由于 1 +4X-(1+X)2 =2X-X2=X(2-X)所以当 0r 0,B|J V 1+4X(1 +X),/，(X)0,所以f(x)在 0,2 上单调递增，所以 0.01)0)=0,即 21nl.0 1 5 5-1,即。；令 g(x)=In(1+2x)+1,则 g(0)=0,g，(x)=-1r 2=,+2x y/l+4x(l+2x)Vl+4x由于l+4 x-(l+2x =-4x2,在 x0 时,I +4X-(1 +2X)2 0,所以g(x)0,即函数g )在 0,+8)上单调递减，所以g(0.01)vg(0)=。,即1 讨.0 2 4

9、 5?-1,即 bc;综上，bca,故选：B.2.(2021.全国.高考真题(理)设a w O,若x=。为函数f(x)”(x-a)2(x-b)的极大值点,则()A.ab C.aba2【答案】D【解析】【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对 0 进行分类讨论，画出，(#)图象，即可得到，方所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若=匕，则/(x)=a(x-a)3 为单调函数，无极值点，不符合题意，故b.J(x)有x=a 和x=b 两个不同零点，且在x=左右附近是不变号，在 x=b 左右附近是变号的.依题意，方&为函数/=4工 一/0-?的极大值点，在

10、x左右附近都是小于零的.当.6,/（%）0时，由x 8时，/（%）0,画出/（x）的图象如下图所示:由图可知人，”（）,故 岫/.综上所述，ab a2成立.故选：D3.（2 02 1.北京高考真题）3知函数f（x）=|l g力辰-2,给出下列四个结论:若左=0,f（x）恰 有2个零点；存在负数人,使得J。）恰有个1零点；存在负数%,使得/（X）恰有个3零点；存在正数%,使得/*）恰有个3零点.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.【答案】【解析】【分析】由f(x)=O可得出随目=4+2,考 查 直 线=履+2与曲线g(x)=|lgR的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可

11、判断各选项的正误.【详解】对于，当 =0时，由/(可=|怆乂-2=0,可得苫=+或x=1 0 0,正确；对于，考查直线y=+2与曲线y=-lgx(Oxl)相切于点P(f,-lgf),对函数y=7 g x求 导 得 一 康由题意可得to+2=-lgr:1 解得，k=-rlnlOet -100,100.k=-Igee所以，存在k=-100lge0,使得/(x)只有一个零点，正确;对于，当直线y=H+2过点(1,0)时，人2=0,解得 =2,所以，当-yIge上-2时，直线y=A x+2与曲线y=-lgx()xl)有两个交点,若函数/(x)有三个零点，则直线丫 =+2与曲线y=-lgx(Oxl)有两

12、个交点，100,c I(X p k l)有一个交点，所以，e ，此不等式无解,k+20因此，不存在 1)相切于点P(Mgr),(kt+2 =gt 卜=100e对函数y=igx求导得y=一，由题意可得，I，解 得，Ige,xln 10 K=-k =故答案为：.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围.4 .（2 02 1.全国高考真题）已知函数

13、/（幻=卜-”,王0,0,函数 X）的图象在点A（xja）和点8（七,）的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M,N 两点，则取值范围是.【答案】（0,1）【解析】【分析】结合导数的几何意义可得内+Z =。，结合直线方程及两点间距离公式可得 AM =y J +e2 x-I x J,BN =1 +e2-|x2|,化简即可得解.【详解】/、I -ex,x0由题意，x)=K 则尸（x）h-e x()所以点 A(,l-e再)和点 8(孙-1),kA M=-e kBN=淖,所以-e*+x2=0,所以 AM:y-+ex =-ex(x-x J,M(0,e X e*+1,所以=J%2+(石)=y/+e2 X -

14、|x,|,同理忸N|=J F+e”2 .|x2|,所以北 闿 _ V l+e 2：.|x J _所以门对一认+2%.冈一=e e(O,l).故答案为：（。,1）【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件占+=0,消去一个变量后，运算即可得解.5 .（2 02 1全国高考真题）已知函数/（幻=（%-1）/-加+6.(1)讨论/(X)的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：/5)只有一个零点12Q)a 2 a；2 2 0 a 2 a.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；(2)由题意结合

15、(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.【详解】由函数的解析式可得：/(x)=x(e%)，当“4 0 时，若x 9,0),则尸(x)0J(x)单调递增;当0 0J(x)单调递增，若x e(ln(加),0),则尸(x)0J(x)单调递增；当时，/(x)N O J(x)在 R上单调递增；当ag时，若x e(3,0),则尸(x)O J(x)单调递增，若x O,ln(2),则/(x)0,/(x)单调递增；(2)若选择条件：由于;故I v 2 a 4 e 2,则人一 1 0,而函数在区间(,0)上单调递增，故函数在区间(F,o)上有一个零点./(in(2 a)=2 q ln(2 Q)-

16、l-Q ln(2 a)_+h叫 +2=2 a ln（2 a）-叩 n（2 a）丁=a I n（2/7）2 -I n（2 t z）J,由 于;q,l2ae2,故a ln（2 a）2-ln（2 a）w 0,结合函数的单调性可知函数在区间（0,y）上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件：由于（）；,故2 a 1,则 0）=力 一”叱一 1 4,4 a 0,而函数在区间（0,+。）上单调递增，故函数在区间（0,+e）上有一个零点.当人 0时,构造函数（x）=e x 1,则当XYO,0）时,“（x）0,H（x）单调递减,当x e（0,4 0,（力单调递增，注意到（0）=0,故 意（X）恒成立，

17、从而有：ex x+l,此时：/（x）=（x-l）e%-a x2-f e （x-l）（x+l）-a c2+b=（l-a）x2+伍-1）,当 x 巨 时,（l-a）x2+（b-l）0,V -a取/叵+1,贝厅（x 0）0,即:0）0,而函数在区间（0,M）上单调递增，故函数在区间（0,+8）上有一个零点.2 a ln（2 a）-l-a ln（2 a）+2a=2 a ln（2 a）-a ln（2 a）=a I n（2 a）2 I n（2），由于 0 a v；,0 2a 19 故a ln（2 ）2 -1n（2 a）0,结合函数的单调性可知函数在区间（TO,0）上没有零点.综上可得，题中的结论成立.【点

18、睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.6.(2021全国高考真题(理)设函数，(x)=l n(a-力,已知x =()是函数y =(x)的极值点.(1 )求 4；设 函 数 g(x)=:悬.证 明;g(x)|.【答案】(1)a=；(2)证明见详解【解析】【

19、分析】(1)由 题 意 求 出 由 极 值 点 处 导 数 为 0 即可求解出参数 由 得 g(=黄x+l n(可l -x)X 1且 XH0,分类讨论X 0,1)和x e(3,0),可等价转化为要证g(x)x l n(l-x)在 x e(O,l)和x e(-o o,0)上恒成立，结合导数和换元法即可求解【详解】(1)由 x)=l n(a-x)n/(x)=!,y =y =l n(a-x)+,X C LX U又x =0 是函数y =(x)的极值点，所以y (O)=l n a=O,解得a=l；(2)方法一:转化为有分母的函数由(I )知，g(x)x +l n(l-x)x l n(l-x)而片+%其定

20、义域为(e,o)um).要证g s,即 证 而 匕+：1,即 证 舟 5“1 x-1-X X(i )当工(0,1)时,*0,?旨.令 X)-后,因为9 )=己-正 干=消 了 0,所以尸(X)在区间(0,1)内为增函数，所以F(x)F(O)=O.IX-1xS当.7 )时,会?0,即证皿-)一由 分 析 知 尸 3在区间(-8,0)内为减函数，所以尸(x)F(0)=0.综 合(i)(ii)有g(x)0J n(l-x)0,/.x l n(l-x)x l n(l-x),化简得x +(l -x)l n(l-x)0；同理，当x y,0)时，要证g(%)二自I x)1 v x 0,/.x l n(l-x)

21、x l n(l-x),化简得%+(1_ 4)加(1_力0；令 M x)=x +(17)l n(l-x),再令/=l x,则 f O,l)U(l，”)，X =l-t,令 0(f)=l-f+fl n r,r(r)=-I +I n r+1 =I n r,当fe(O,l)时，d(f)*(1)=0；当，c(l,+o o)时,夕)0,e。)单 增,故。)0(1)=0；x+l n fl-x)/、综上所述，g(x)=-77一 1 在 X (F，0)U(0,1)恒成立.x l n(1 -x)方法三:利用导数不等式中的常见结论证明令夕(x)=l n x-(x -l),因为“(%)=1=,所 以9(%)在区间(0,

22、1)内是增函数，在区间X X(L”)内是减函数，所以夕0)4奴1)=。，B|J nx 0 且-声 1,I n-1，即一l n(l x)-.1-x -x -x -x 1-x x-1(i )当 x e(),D 时，O A l n a-x)7,所以7；三 =1 一，即1 +1 1，x-I n(l-x)x x I n(l-x)x所以 g(x)0,同理可证得g(x)Lx-1综 合(i)(i i)得，当 x l 且 x/0 时，KG,即 g(x)-,当X(HO,0)时，转化为证明皿1-幻 然后构造函数，利用导数研x-x-1究单调性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当xe(O,

23、l)时，x+(l-x)ln(l-x)0成立和当xe(-oo,0)时，x+(l-x)ln(l-x)0成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数S(x)=l n x-(x-l),利用导数分析单调性，证得常见常用结论In x V x-1 (当且仅当x=l 时取等号).然后换元得到ln(l-x)一1,分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不x-l等式，有一定的巧合性.热点考题解析热点0 1导数的几何意义与计算【典 例 1】(2021.全国.高考真题)若过点(兄。)可以作曲线y=e，的两条切线，则()A.eb a B.ea bC.0 a e*D.0b

24、 =的 图 象，根据直观即可判定点力)在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线y=/上任取一点P(t,e),对函数y=/求导得/=e 所以，曲线y=，在点P 处的切线方程为y-e=e(x-r),即y=e x+(lT)d,由题意可知，点(。力)在直线y=d x+(lT)d 上，可得6=a e+(lT)d=(a+l T)d,令/(/)=(+l)d,则 r(f)=(a T)d.当，0,此时函数/单调递增，当 。时，此时函数/单调递减，所以，由题意可知，直线y=b与曲线y=/(f)的图象有两个交点，则1rax=e,当r 0,当/a+l时，/(r)0,作出函数/的图象如下图所示：由图可

25、知，当0%e时，直线y=b与曲线y=的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线y=e 的图象如图所示，根据直观即可判定点（6。）在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知06e.【典例2】（2。21全国高考真题（理）曲 线 八 在 点 ,，）处的切线方程为一【答案】5 x-y +2 =0【解 析】【分 析】先验证点在曲线上，再 求 导，代入切线方程公式即可.【详 解】由题，当x =I时，y =-3,故点在曲线上.求 导得:2(x+2)-(2 x-l)5(x +2)?(X+2所 以 川-产5.故切线方程为5 x-y +2 =0.热点0 2利用导数研究函数的单调性【典 例3】【多选

26、题】(2 0 2 1全国高一课时练习)设函数兀)在R上为增函数，则下列结论不一定正确 的 是()A.尸 Jr；在R上为减函数 B.产|/(x)|在R上为增函数C.产一二K在R上为增函数 D.)=-火工)在R上为减函数/(x)【答 案】A B C【解 析】令/(幻=%可 判 断 出ABC不正确，利用单调函数的定义判断可得结果.【详 解】1 1 ,对 于A,若*x)=x,则，在R上不是减函数，A错误；，(%)1 I R对 于B,若r)=x,则严在R上不是增函数，B错 误；对 于C,若式x)=x,则yn-TKu-L，在R上不是增函数，C错 误；/(x)x对 于D,函数人处在R上为增函数，则对于任意的

27、为，X2GR,设X|0，则 尸 一/W在R上为减函数，D正确.故选：A B C【典 例4 (2 0 2 0 四川 省 高 三 三 模(理)定义在 实 数 集R上 的 函 数f(x)满足/(x +l)=/(l x),且当 x N l 时，/(X)是增函数，则 a=/(l o g 3 2),&=/f-l o g7 51-j,c=7(3)的 大 小 关 系 正 确 的 是().A.abcB.bcaC.c ahD.h ac【答案】C【解析】/U+l)=/(l-x),/(X)关于X=1对称,又 .xN l时，/。)是增函数，/(10g32)=/(2-10g3 2)=/Tog 有-=log6 2=log3

28、 4,1 log3 4 log3-3,b a c.故选：C.【点睛】先判断出函数/(幻的单调性，然 后 判 断 仇c之间的大小关系，利用单调性比较出之间的大小关系.一般地，比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.【典例5】(2020 江苏省睢宁县局级中学局三月考)已知./(x)=0(x)|.公在x w -1,1上恒成立，则实数a的取值范围是【答案】-1,0【解析】作出函数y=7(x)1和y=在 T,1上的图像，如下图所示由图可知，当直线y=以 在阴影部分之间时，满足内在上恒成立I -

29、1)1=1，所以 A(-Ll)当直线 =公 经过点A时，。=一1当直线 =以 恰好是x轴时，。=0所以1工。40所以。的取值范围是1 1,0 故答案为：一 1,0【规律方法】1 .利用单调性求参数的范围（或值）的方法（1）视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；（2）需注意若函数在区间 a,3上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.（3）注意函数单调性呈现的三种方式：定义式、比值式酒？二，）、及一刖与兀一兀n）关系式.2 .利用分离参数法；3 .对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）。3x）恒 成 立 刁（x）,皿；（2）a J

30、（x）恒成立【典例6】（2 0 2 1 全国高考真题（文）设函数/（x）=a 2/+以 _ 3 1 nx +l ,其中a 0.（1）讨论/（x）的单调性；（2）若y =x）的图象与x 轴没有公共点，求。的取值范围.【答案】（1）x）的减区间为（o，J,增 区 间 为+8）；（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据/（1）0 及（1）的单调性性可得/（x）n,m 0,从而可求。的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为（。,+力），又/（X）=（26+3）（办-1）,X因为。0,x 0,故2 m:+3 0,当0 x 5 时，r（x）L时，,f（x）0;a

31、 a所以f（X）的减区间为（o，J ,增区间为（T+s（2）因为 1）=/+。+1 0 且 y =x）的图与X 轴没有公共点，所以y=f（x）的图象在X 轴的上方，由(1)中函数的单调性可得/(x)m in=/(：)=3 _ 3 1 n：=3+3 1 na,故 3+3 1 na 0 即e【点睛】利用导数研究函数单调性的关键(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.牢记“定义域优先”.(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认.(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.热点0 3 利用导数研究函数的极值、最值【典例7】(2 0 2 1 全国高考真题)函数/

32、(x)=|2 x-l|-2 1 nx 的 最 小 值 为.【答案】1【解析】【分析】由解析式知/(X)定义域为(0,+8),讨论0 x 4；、1 X l,并结合导数研究的单调性，即可求f(x)最小值.【详解】由题设知：,f(x)=2 x-1 1-2 I nx 定义域为(0,+8),.,.当时，/(x)=l-2 x-2 l nx ,此时/(x)单调递减；12当一 尢工1 时，/(x)=2 x-l-2 1 nx,有广(曾=2 l 时,/(x)=2 x-l-2 1 nx,有/(x)=2-0 ,此时/a)单调递增；x又一(X)在各分段的界点处连续，综上有：O v x V l 时，F3单调递减，X 1

33、时，单调递增；A /(x)/(l)=l故答案为：L【典例8】(2 0 2 1 北京高考真题)己知函数 x)=亍 言.(1)若a =0,求曲线y =/(x)在点(1J )处的切线方程；(2)若在x =-1处取得极值，求/(x)的单调区间，以及其最大值与最小值.【答案】(1)4 x+y-5 =0；函数/(x)的增区间为(e,-1)、(4,钙)，单调递减区间为(-1,4),最大值为1,最小值为【解析】【分析】(1)求出/(1)、r 的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；(2)由r(-i)=o可求得实数”的值，然后利用导数分析函数r(x)的单调性与极值，由此可得出结果.【详解】(1)当a=0时，=则=

34、.1)=1,/=-4,1X此时，曲线y=x)在点(1 J)处的切线方程为kl=Y(x l),即4x+y-5=0；0 _ 9 v-_2(f +Q)2x(3 2x)2,(_ 3x_ tz)(2)因为/(x)=一,则尸(x)=-1一-=一一1,x-+a(x2+a)(x2+0；当x时，x)0.所以，x)a (T)=l，X)(4)=T【点睛】1.由导函数的图象判断函数y=7U)的极值，要抓住两点(1)由)，=/(x)的图象与x轴的交点，可得函数y=/(x)的可能极值点；(2)由y=/(x)的图象可以看出y=/(x)的函数值的正负，从而可得到函数)，=/(x)的单调性，可得极值点.2.求函数_/(x)在

35、a,切上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(“，力内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值火a),他).(3)将函数次x)的各极值与火a),_/(/;)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.热点0 4 导数与不等式的证明【典例 9】(2022辽宁二模)已知函数/(x)=-x(?w R).(1)若直线y =x+b 与/*)的图像相切，且切点的横坐标为1,求实数，*和 匕的值；(2)若函数/(X)在(0,+o o)上存在两个极值点X,三，且x,2.【答案 (i)%=-i,=_ !(2)证明见解析【解析】【分析】(1)利用导数的几何意义求解即可.In x,+In X,In x,-In

36、 x,(2)首先根据题意得到一_-=,从而得到X,+x2 X,-x2 五+“l n 工*n X 1+l n x,=X/n =竺，再利用换元法，=%(。)得到只需证X,-X2 x2 2 _ X2x2I n _2(/1)0 即可.f+1(1)由题意，切点坐标为卜，-;加-1)J(x)=l n x-，n r ,所以切线斜率为八1)=-?=1,所以帆=-1,1 3 3切线为=整理得y =所以(2)由(1)矢 口/(x)=l n x-/n r.由函数/(x)在(0,+)上存在两个极值点内,当，且4 2,只 需 证 空 仲 2,只需证l n f 生二；,t-t+只需证 In r-3 二 0.r +1 t(

37、r +1)-故g=l n f-三 2,在 w(O,l)上 递 增,g(f)g=0,即g(f)=l n f-迎?2.【典 例 10(2021全国高考真题)已知函数”x)=x(l T n x).(1)讨论 x)的单调性；(2)设“，b为两个不相等的正数，且引n a-a l n Z =a-6,证明：2 +?e.a b【答案】(1)4 X)的递增区间为(0,1),递减区间为(1,+8)；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性.(2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令=?=，命题转换为证明：2 m+0；当x l,y)时

38、，/,(x)0,从而/(3 ，得：(l,e),a b a b b令 g(x)=/(2-x)-f(x),则 g(x)-/(2-x)-f x)=ln(2-x)+In x=ln(2x-x2)=lnl-(x-1)2,当X(O,1)时，g x)g(l)=0,从而 f(2 x)/(x),所以/(2-：)/(i)=/(，由(1)f#2-B p 2 0,/(x)在区间(l,e)内为增函数，h x)he)=e,从而x+f(x)e,所以！+/()e.b b又由上()4)，W-(l-ln-)=/(-)=/(7),a a a a a b所叫由得21+：e.a b A、二 一、日小&n ,八i In。nb 1 1 ln

39、 +l nb +方法一【最优解】：力111.-1 1 1。=口-。变形为-=,所以-=-a h h a a bA1 1令一 =2,一 =.a b则上式变为m（l-如zn）=（l一 如）,于是命题转换为证明：2 m+n e.令/(x)=x(l-ln x),则有/(“)=./(),不妨设m2.要证：m+n 2on /(2-帆)f(2-ni)0加)-2-加)0.令 g(x)=/(x)-2-x),xe(O,l),贝 iJg，(x)=r(x)+f(2_x)=_lnx_ln(2_x)=_lnx(2_x)N_lnl=0,g(x)在区间(0,1)内单调递增，所以g(x)2.再证机+加，所以(1-In )+v

40、e=相+v e.令 (x)=x(l-l n x)+x,x(l,e),所以(x)=l l n x 0,故力(力在区间(Lc)内单调递增.所以v(e)=e.故B Pm+ne.综合可知2 F 2同证法2.以下证明+X 2 l，由 (1 -皿耳)=X 2(1-1口 工2)得司(1-1口%)二为口一1 1 1(a),I n%1 =l-i ,t 要证*+工2 0，只需证(l +r)%v e,两边取对数得l n(l +，)+l n X|1,即 l n(l +f)+l 包 vl,H R T l n(l +f)Intt t-/、l n(1 +5)/八 、-l n(l +s)记 g(s)=-4(。收)，则 g(s

41、)=l s1 1记2)=*()，则($)=而 彳-下 。,所以，力在区间(0,y)内单调递减./?(S)/7(0)=0,则g(s)0,所以g(S)在区间(o,+O0)内单调递减.由 f(1,+0 0)得-1 e(O,K ),所以 g(f)g(f-l),处&皿t.t-1 方法四:构 造 函数法,小 ,口 I n。I n。1 1 .1 1由已知得-；一=-，令-=X ,7 =/，a b b a a b不妨设不 三，所以xj=/(w).由(I )知，0 x,1 x2 e,只需证2 X 1+w 2同证法2.eH、十 rL A 1 1 2 d-F I n X冉证明百十马e.令 心)=ld监0以3)=J-

42、x-e(1)2P|令(p(x)=I n x+2(0 x 0(e)=0,/(x)0,hx在区间(0,。内单调递增.1 -I n x.1 -I n 1 -I n x.x.-e因为。-，所以,即 匚 忌 音/、/、1 -I n X.X.X.xx-e又因为/(不)=/(巧)，所 以 匚 篇=?，；=，x in人 o 人 人 人 今 o即尤 一夕2年一%,(玉 一/)(%+-6?)0.因为王 匕，所以芭+工)6,即1 +!e.a b综上，有 一2 L +：e结论得证.【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能.方法二

43、：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.方法四：构造函数之后想办法出现关于办+%-e g(x)的基本方法(1)若兀0与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明7 U)而n g(x)m a x.(2)若r)与g(x)的最值不易求出，可构造函数(x)=./(x)g(x),然后根据函数/?(x)的单调性或最值，证明/i(x)0.(3)通过题目中已有的或常用的不等式进行证明.(4)利用赋值法证明与正整数有关的不等式.热点0 5恒成立问题与有解问题【典 例1

44、1】(2 0 2 2.江苏.昆山柏庐高级中学高二期中)已知“X)的定义域是(0,+/),f x)为 一(力的导函数，且满足x)/-2“2)的解集是()A.(-2,1)B.2)U(t+)C.(1,2)D.l)U(2,+o)【答案】B【解析】【分析】构造函数(x)=卒，利用导数判断函数单调性，根据单调性建立不等式求解即可.e【详解】令/心)=坐，则/(x)=/(x)；f(x)0,所以函数M x)在区间(O,+a )上单调递增，所以e-/(x2+x)e：-2/(2)=/z(x2+x)/?(2)x2+x 2 -解之得x l,即原不等式的解集为(9,-2)U(1,M),故选：B.1 1【典 例 1 2(

45、2 0 2 2 辽宁二模)己知不等式a l n Y-士+/对任意xe(0,l)恒成立，则实x数a的 最 小 值 为.【答案】q【解析】【分析】先将不等式e*-之产，-2 a l n x变形为1 _n e：a-nx2 a,再构造函数f(x)=x-l n x(x o),利用函数单调性可得，x2 a,再分离参数转化为(0 x l),然后求出函数(x)=xl n x(xe(0,l)的最小值，即解出a的最小值.xi nx【详解】由题意，不等式可变形为l-1 -2 a l n x,X得1 一 I n 1之/_l n/对任意工 (0,1)恒成立.设f(x)=x-l n x,则)”(”)对任意x e (0,1

46、)恒成立，:(x)=1 -：=?,当O X 1 时，r(x)i 时，r a)o,所以函数/a)在。,”)上单调递增.当X G(0,l)时，/e，因为求实数。的最小值，所以考虑”0 的情况，此;时针 1,因为函数“X)在。,内)上单调递增，所以要使/(e：/(一)，只需两边取对数，得上，42a l nx,X由于x w(O,l),所以./xmx令(x)=x l nx(x w(O,l),贝|J (x)=l nx +l,令(X)=O,得x =J,易得妆”在(0,j上单调递减，在g,1)上单调递增,所 以 爪=咽=所 以 岛 所以2 2-e,所以实数。的最小值为-|.故答案为：【点睛】(1)由不等式恒成

47、立求参数的取值范围问题的策略求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题.分离参数法，将参数分离出来，进而转化为“X)m a x或。矶T)m i n的形式，通过导数的应用求出兀V)的最值，即得参数的范围.(2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别.热点0 6零点问题【典 例1 3】(20 22全国 高三专题练习)已知函数x)=a e -l n(x+l)+l na-1,若函数无)有且仅有两个零点，求a的取值范围.【答案】e(O J)【解析】【分析】函数/(X)有两个零点，转化为a e*+l n(a e*)=l n(x+l)+(x+l)有两个解，构造函数r 4-

48、1恤)=，+h V,由函数以。单调递增，可得。有两个解，进而可得结果.e【详解】解：函数F(x)有两个零点，即/(x)=0=a e +l n+x =l n(x+l)+x+l有两个解，即 aex+I n(枇 工)=l n(x+1)+(x+1)有两个解，设/(r)=r +l nf,则(r)=l +1 0,单调递增,r 4-1.a e =x+l(x -l)有两个解，即a =h(x -l)有两个解.1-U.1X令S(x)=-(X -1),贝！J s 0,s(x)单调递增,当x e(0,+o o)时,s (x)。,r J-1所以当xT时，e(O,l 0 6 Z 0,且满足对V x e 0,+8)时，x)

49、.O 恒成立.(1)求实数”的取值范围；(2)令 g(x)=/(x)-型?，判断g(x)在区间内的零点个数，并说明理由.(参考数据:x+1 V 2)e2 4.8 J【答案】0 0,缩小。的范围，再证明。在这个范围内/(x)N O 恒成立即可；(2)根据零点存在定理，结合函数的单调性可判断.(1)一方面，当x =0 时，/(0)=1-0,所以另一方面，/(x)=e*-a(l-s i nx)=e*+a s i nx-。，令*(x)=/(x),p x)=ex+aco s x,当x e 0,+o o)时，Q,所以夕(x)即尸(x)在 0,+a )单调递增,又因为f(0)=1-八 0,所以尸(x)20

50、恒成立，所以/)在 0,+8)上单调递增，所以f(x)2/(0)2 0 符合题意，即(2)g(x)=e*-ax+c o s x)-2 a +-,所以g (x)-e+as i nx-a-y,x +1(x +1)2令(x)=g(x),所以(x)=e +acosx+-j(x +1)，当 可-吟)时,/?(x)0.所以a(x)即g 0所 以 叫 0,5,使 g(玉()=0,且X W(-1,/)时,g(x)0,g(x)在1 为句单调递增,又因为g(-|)=e 3-t j f-|+c o s f-|+l 0,g(仆0)=-0,n,g(-)=e-2 a-2+-万-，0，+12所以g(x)在区间(-1,0),