2021年高考数学冲刺双曲线.pdf

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1、双曲线【考 纲 要 求】1 .了解双曲线图形的实际背景及形成过程：2.掌握双曲线的定义、几何图形、标准方程及简单性质;3 .掌握双曲线的简单应用：4 .理解解析几何中数形结合思想的运用.【知识网络】【考点梳理】考点一、双曲线的定义在平面内，到 两 个 定 点 勺、以 的距离之差的绝对值等于定长2 a (|P F|-|P F j|=2 a|F F|)的动点P的轨迹叫作双曲线.这两个定点尸、E叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.1 2要点诠释：(1)双曲线的定义中，常 数2 a应当满足的约束条件：归 勺-尸 尸 =2 4|,这 可 以 借 助 于 三角 形 中 边 的 相 关 性 质“两

2、边之差小于第三边”来理解；(2)若 常 数。满足约束条件:|叫一叫=2a 0),则此时的曲线是双曲线的靠 的一支；(3)若 常 数。满足约束条件：归 勺 卜 仔 勺 卜2”|勺1|，则此时的曲线是两条射线；(4)若 常 数。满足约束条件：|尸勺|一|P Q =2 a F，|，则此时的曲线不存在.考 点 二、双曲线的标准方程Y2 V2(1)当焦点在X轴 上 时，双曲线的标准方程：_一0=1(。0,匕 0),其 中。=2+4；。2 /7 2V2%2(2)当 焦 点 在y轴 上 时，双曲线的标准方程：-=1 (a 0,b 0),其 中。2=。2+核.要点诠释：(1)只有当双曲线的中心为坐标原点，对称

3、轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到双曲线的标准方 程；(2)在双曲线的两种标准方程中，都 有C2=G+枕;(3)双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当心 的系数为正时，焦点在x轴上，双曲线的焦点坐标为(c,0),(-c,0)；当产的系数为正时，焦点在y轴上，双曲线的焦点坐标为(0,c),(0,-c).考点三、双曲线的简单几何性质X2 V2双曲线一一L=1 m 0/0)的简单几何性质(1)范围：垢2。,y&R ；(2)焦点(土c,0),顶点(a,0),实轴长=2。，虚轴长=2 6,焦距=2 c；(3)离心率是e =1 ；a 渐 近 线：y =J.aV2 X2双曲线 =1(4

4、 0)的简单几何性质Q 2 b2(1)范围：y|y一。或y?。,x e R；(2)焦点(0,士C),顶点(0,士a),实轴长=2 a,虚轴长=2 b,焦距=2 c；(3)离心率是0 =1；a(4)渐近线：y=-x.b考点四、有关双曲线的渐近线的问题(1)己知双曲线方程求渐近线方程：若 双 曲 线 方 程 为 二 一 或=1=渐近线方程三 一 拉=0n t g =0ny=2 x。2 h2 a 2 b 2ab a(2)已知渐近线方程求双曲线方程：若渐近线方程为y =2 x 0 g =o n双曲线可设为上一 g i =九a a b a 2 b2X2 V2.J C 2 V2 c(3)若双曲线与一一 J

5、 =1有公共渐近线，可 设 为 一 一 二 二九(九()，焦点在x轴上，入 e 1；顶点到焦点的距离：4勺=月=。-。，性 勺=4勺=。+。；(4)P F F1 2中结合定义|P勺 一|P,|=2 a与余弦定理，将有关线段|甲、PF,|4尸,|和角结合起来.【典型例题】类型一：求双曲线的标准方程例1.根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）与 双 曲 线 二 一 之=1有共同的渐近线，且 过 点（一3,2百）；9 1 6（2）与 双 曲 线 正 一 卷 二1有 公 共 焦 点 且 过 点（3/，2）【解 析】JQ2（1）解法一：设双曲线的方程为一一。2由题意，得。_4a 3(-3)2 (2 曲

6、)2-19解 得。2=下，枕=449164 V2所 以 双 曲 线 的 方 程 为 方 一 1X2 V2解 法 二：设 所 求 双 曲 线 方 程 为 三 一k=九（九工0）,9 1 6将点（3,2 代 入 得 九 二 不，X2 V 2 1 4X2 V 2.所以双曲线方程为k -=：即 k-r =l9 1 6 4 9 4（2）解法一：设双曲线方程为-2 1=1。2 b2由题意易求c=2/又双曲线过点(3/,2),.当 生 =1Q 2 b?XV6Z2+/?2=(2y/)2,.Q2=1 2,2=8X2 V 2故所求双曲线的方程为行-年1 2 o1.解法二：设双曲线方程为X2 216-k 4+上1,

7、将点（3户,2）代入得女=4,所以双曲线方程为【总结升华】先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定。、。.在 第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.（1）求双曲线的方程，关键是求。、b,在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.（2）若已知双曲线的渐近线方程以 土 制=0,可设双曲线方程为42X2-从 2=九（入工0）.举一反三：【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程.（1）一

8、渐近线方程为3x+2y=0,且双曲线过点”（8,6 .（2）虚轴长与实轴长的比为3:4,焦距为1 0.【解析】X V Y2 V 2（1）依题意知双曲线两渐近线的方程是2：=0,故设双曲线方程为彳-今=九，点M(8,6J3)在双曲线上，82(63)2、,-=入，解得九=4,4 9%2 V2.所求双曲线方程为隹-k=1.Io 36(2)由己知设 =4火，8=3%,则c=5&(A0)依题意2c=1 0&=10,解得&=1.X2 V2.V2 X2.双曲线方程为)1或+=1 16 9 10 9类型二：双曲线的焦点三角形例2.中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点尸和尸，且I/1=2 8，又

9、椭圆I 2 I 2长半轴与双曲线实半轴之差为4,离心率之比3:7.（1）求椭圆与双曲线的方程；（2）若P为这两曲线的一个交点，求“P F的余弦值.1 2【解析】（1）设椭圆方程为一+。2X2=1（6!/?。），双曲线方程京2=1 ，4 =4，r _7则，c c，解得；一：一=3:7.A=3.la A 1：C =.,.枚=。2 -C 2=36,B2=C2-A2=4.X2 V2.X2 V2故所求椭圆方程为芯+1 =1,双曲线方程为丁=L49 36 9 4（2）由对称性不妨设交点P在第一象限.设I群l=V,PF l=V.I I 2 2由椭圆、双曲线的定义有：=r1r2VVfill得解14,6.=2=

10、2-VTV十一VIVI由余弦定理有cos”/，V 2+V 2-(2C)2 41-2-=一2 V V 51 2举一反三:【变 式I】设P为 双 曲 线 心 一 冷1上的一点，F；勺是该双曲线的两个焦点，若1=3 2则 尸 花 的面积为（）A.6邪 B.12 C.1273 D.24【解析】依据双曲线的定义有1尸勺1尸 勺=2 2,由1尸/:12尸1=3:2得1？1=6、1尸尸1=4,1 2 1 2又I /尸|2=(2c)2 =4x13=52,则1 2N F P F=0,即b P J.P b ,1 2 1 2所以=1 2,故选B.叮2例3.已知双曲线实轴长6,过左焦点尸的弦交左半支于A、8两点，且I

11、A 5 I=8,设右焦点尸，求12AABF的周长.2【解析】由双曲线的定义有：IA尸I AE 1=6,B F -B F 1=6,2 I 2 I X v/.(I AFJ+IBF 1)-(1 AF l+IBF 1)=12,Ag|J(I/IF l+l I)-1 AB 1=12 :I i+1 M j=2+1 A B|=2 0故A4如的周l+IBF l+IA8l=28,2 2 2举一反三：无2 V2【变 式1】已知双曲线的方程-J =L点A、B在双曲线的右支上，且线段AB经过双曲线的右焦点F?,|AB|=m,F|为另一焦点，则AABFi的周长为（）A.2a+2m B.4a+2m C.a+m D.2a+4

12、m【答案】B例4.已知双曲线的方程是16x2-9），2=144.（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;（2）设尸和b是双曲线的左、右焦点，点尸在双曲线上，且1尸尸14尸尸1=32,求NF P F的大小1 2 12 12【解析】X2 V2(1)由 16x2-9y2=144 得k =9 165 4；.a =3,b=4,c=5.焦点/(一5,0)、F(5,0),离心率6 渐近线方程为y=5 x.2 3 3(2)II PF -P F 11=2a=6,1 2/厂八厂 P F 2+P F 2-F F|2/.cos Z F P F =-1-2-u_2-12 2 P F W P F I1 2(I P

13、 F-P F 1)2+21 PF II PF-F F h=-1-2-1-2-1_2 2PF WPF I1 236+64-100 八=-=064：.4F PF=90。1 2举一反三JQ2 V2【变 式1】已知尸、尸是双曲线三=1的两个焦点，P在双曲线上且满足1尸产IJP F 1=32,则12 9 16 12NFPF=。I 2【答案】90X2 V2【变 式2】已知双曲线KT-=1,P为双曲线上一点，F、E是双曲线的两个焦点，并且24 16 2NFPF=60,求 AFPF 的面积。I 2 1 2【答案】16JT类型三：离心率【高 清 课 堂：双 曲 线 及 其 性 质404777例1】例5.在 平

14、面直角坐标系X。)，中，若 双 曲 线 上-=1的 离 心 率 为 占，则机的值为m+41 1 y 2【解析】双 曲 线-=1中，Q2=加力2=机2+4且 加 0m m2+4所 以。=m+m2+4m,C 2 m+m2+4 u贝IJ2=一 =-=5a2 m解 得m=2举一反三：【变 式1】已 知 双 曲 线 二-二=1与X轴正半轴交于A点，F是它的左焦点，设B点坐标为(0,b),且ABLBF,则双曲线的离心率为().1 +/3 R 1 +/5 _ 2+#n 2+岳A、-8、-0、-D、-2 2 4 4【答案】B【变式2】若椭圆.2=1,（.小。）的 离 心 率 为 半，则 双 曲 线 合 Q 1

15、 的离心率为【答案】乎X2 V2例 6.双 曲 线 菽-茄=1 eb。）的焦距为2 C,直线/过点。）和。b）,且点（2 到直线/的距离与点4（-1。）到直线/的距离之和s N-c.求双曲线的离心率e的取值范围.【解析】直线/的方程为b x+ay-ab=O.由点到直线的距离公式，且 a l,得到点（1,0）到直线/的距离h(a-i)+2同理得到点（-1,0）到直线/的距离=义 竺 22 ya2+/?2s=d+d1 2ab 2ab+/724 ,由 se c,得2ab4十,c即 5 a Jc 2 -。2 2 2 c 2.于是得5-1 2 2 e 2.即 4 e 4-2 5 e 2+2 5 W0.解不等式，得:l,所以e的取值范围是 e。）的两个焦点，A和 8是以。为圆心,以|0 勺为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 A3是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A.事B.x/5【解析】连 接/4,则/是 直 角 三 角 形，且N F尸4=30。,1 1 2 I 2令尸 A=机，则 A=J3m,FF=2m,1 2 1 2即2。AF/Al=(1)加，2c FF=2m,2 1 1 22c 2所以e=J多+1,故选D.2a 73-1