2022-2023学年江苏省南通高一上学期期中数学试题（解析版）.pdf

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1、2022-2023学年江苏省南通中学高一上学期期中数学试题一、单选题I .已知集合汽=3,4,5 ,则N的真子集的个数为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【分析】集合的元素是个，则其真子集个数是2-1个.【详解】N =3,4,5,则洋的真子集为:0,3,4,5 ,3,4,3,5 ,4,5 .故选：C2.下列图象中，表示函数关系y=的 有（）【答案】C【分析】根据函数的概念逐一判断即可.【详解】根据函数的概念知，对于定义域内任意x,都有唯一确定的y和它对应，由图象可看出，对于A,当x=o时，y有两个值与其对应，不符合；对 于B,当x=o时，y有两个值与其对应，不符合；对于c,符合定义域

2、内任意x,都有唯一确定的，和它对应，可表示函数关系；对于D,当x=i时，y有无数个值与其对应，不符合.故选：c.3.已知函数 力=（加2-是幕函数，且xe（O,y）时，/（x）单调递减，则m的值为（）A.-1B.IC.2 或-1D.2【答案】A【分析】利用暴函数的定义及性质列式计算并判断.【详解】=（浮一相-1）/,+止3是幕函数，*/H2-7 W -1 =1 ,即（/%2）（7+1）=0 ,解得加=2,或加=一1,又当X O,4 W）时，/（力单调递减，加+加一3 0 不合题意，舍去；当机=-1,m 2+相_ 3=_ 3 0,符合题意，故加=一1.故选：A.4.镜片的厚度是由镜片的折射率决定

3、，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验.某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为狗，次，夜.则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（）A.甲同学和乙同学 B.丙同学和乙同学C.乙同学和甲同学 D.丙同学和甲同学【答案】C【分析】判断出行，物，正的大小关系即可得出答案.【详解】（为 =5 2=25,（J 2）0 =25=32.V 25 /2.，有 粥 0 我.又因为镜片折射率越高，镜片越薄，故甲同学创作的镜片最厚，乙同学创作的镜片最薄.故选：C.5 .已知为实数，使“V x e 3,4,x-a 4 B.a 5

4、 C.a3 D.a 4【答案】B【分析】根据全称量词命题的真假性求得的取值范围，然后确定其充分不必要条件.【详解】解：依题意，全称量词命题：V x e 3,4,x-a x 在区间 3,4 上恒成立，所以。4,所以使“以 3,4 空-4 5”.故选：B6.已知函数 x)由下表给出，若%)=1)+/(3/(4),贝拉。=X1234小)1312A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【分析】结合表格数据可得/(1)+/(3 卜/(4)的值，进而可求得了(%)的值，即可求得吃.【详解】由题可得,/()=1)+/(3 (4)=1 +以 2 =3,则)=2,故 为=4.故选:D.【点睛】本题考查了函数值的

5、求法，利用表格中的数据是解决本题的关键,属于基础题.7.己知函数“X)的定义域为-2,2,则函数g(x)=3 x)+J?的定义域为()A.(0,1 B.0,y C.-J D.【答案】D【分析】根据题意列出不等式组，求解即可.(-2,x 2 卜2 领 B x 2【详解】要使g(x)有意义，则 l-x c ,即 x(xf”0,解得0 x，2，所以函数g(x)的定义域为(0，1 .故选：D.8 .一次速算表演中，主持人出题：一个3 5 位整数的3 1 次方根仍是一个整数，下面我报出这个3 5位数，请说出它的3 1 次方根.这个3 5 位数是未等主持人报出第一位数字，速算专家己经写出了这个数的3 1

6、次方根：1 3.其实因为只有一个整数，它的3 1 次方是一个3 5 位整数.速算专家心中记住了右表(表中常用对数为近似值).请你也尝试借助此表求一求：一个3 1 位整数的6 4 次方根仍是一个整数，这个6 4 次方根是()真数常用对数真数常用对数20.3 01 11.0 430.48121.0840.60131.1150.70141.1560.78151.1870.85161.2080.90171.2390.95181.26101.00191.28A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【分析】由题意可知103 4 a g IO-,两边取对数，然后计算出。的取值范围，查表即可得出答案.【详解】

7、解：由题意得：.-103 a6 410:l,.103 0 10l g 0 3 1，.3041ga64 3 1,即30641ga31,30 31fellt lg ,即0.46875 lg a 0 的解集是卜;.2）,则下列对于系数”，匕，c 的结论中，正确的是（）A.a0 C.a+h+c0 D.a-b+c 0【答案】ABC【分析】由一元二次不等式与一元二次方程根的关系及韦达定理可得仄c 可用。的代数式表示，检验各选项即可得结果.a0 a0【详解】由题意知：一：+2=/=/,=-2 a 21 c c c=-a x 2=i2 aA 项：a 0,即：B 项正确；3 3C 项：a+b+c=a a-a=a

8、 0,即：C 项正确；2 23 3D 项：a-b+c=a+a-a=a 0 时，/(x)=x2+l-l,则当xvO 时，/(x)=-x2-+l【答案】BC【分析】对于A,根据集合的定义即可判断；对于B,利用复合函数的单调性即可判断；对于C,利用对数的换底公式及运算性质即可判断；对于D,利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式即可判断.【详解】对于A,集合A=L2中元素为数，集合8=(1,2)为点，可知表示的不是同一个集合，所以 A 选项错误；对于B,根据3+2工-工2 2 0 解得函数f(x)=j3 +2 x-d 的定义域为 1,3,令 f=3+2%-则 y-y/t,r=3+2 x-炉为二次函数，开

9、口向下，对称轴为x=l,所以函数，=3+2 x-f 在区间(1,1)上单调递增，在区间(1,3)上单调递减，函数y=，为增函数，根据复合函数的单调性可知函数/(力=用 左，的单调增区间为(T )，所以B 选项正确;对于C,因为log23=a,log?7=b,根据对数的换底公式可得log42 56=log?56=log?（7x8）=匾7+晦8=log?7+log 23=6+3log,42 log,（7 x 6）log,7+log2 6 log2 7+log2 3+log,2 a+b+l所以C 选项正确;对于D,因为当x 0 时，/(x)=x2+-l,可令x 0,所以 T)=(T+号-IT,又因为

10、/(X)是定义在(-8,0)U(0,M)上的奇函数，所以/口)=-/(-力=-/+：+1,与题干结果不符，所以D 选项错误.故选：BC.1 1.已知4 0,b 0,且 2a+妨=1,则()A.2。-劝-1 B.&+2 6 2 1 C.ab-64 8【答案】ACD【分析】对于A,利用换元结合不等式的性质即可求解；对于B、C、D 三个选项可以利用基本不等式证明求解.【详解】对于A,因为2+8匕=1,所以勿=1一幼，又因为 0,力 0,所以加=l-8 b 0,B PO Z?-,所以2 a-汕=1 一 防一汕=1一 1的,8又因为所以-1方-助 -=-=一，2 2 2 8当且仅当a=4 b,即=!，6

11、=L 时等号成立，可知D 选项正确.4 16故选：ACD.1 2.定义在（T l）上的函数F（x）满足x）+.f（y）=W j,当l x 0时，/（x）=一求解判断；CD.令彳=占，y=-x2,且 公 、2，由优）=斗）+-）=/仁 二 五 判断其符号即可.【详解】解：令x=y=o得 （）+0）=/（）,即得/（o）=o,A正确；在定义域范围内令y=-x得 X）+T）=O）=O,即得X）是奇函数，B正确;令 X=X|,y=-x2,且王 x2,所 以/（占）一/（）=/（由）+/（-）=/：一%，又玉一 马 0 且.一1 X 1，-1 X2 0,即 0,所以即，&）0),贝 lj/(r)=r +

12、旦=r +2 +-2 2./(7+2)-2 =8-2 =6.x 2+t 2+t V 2+t当且仅当f =2 时取等.所以j 4 三的最小值为&故答案为：6四、双空题1 6.已知函数/(x)=2!4y,其中m o,x-2nvc-5m,x m(1)若函数/(X)在(0,+8)单调，则实数m 的范围是；(2)若存在互不相等的三个实数演，W，使得/&)=/(9)=/)，则函数y=VT T 嬴-，的值域为.【答案】(0,3 (e,-1)【分析】（I）利用单调性的定义进行处理.（2）利用函数图象以及换元法来处理.【详解】（1）当上 46时,/（x）=2|x|,在（0,峰）单 调 递 增,当 时,f（x）=

13、x2-2 m x+5 m,其对称轴为工=，所以/（x）在（，,+oo）上单调递增，若函数/（x）在（0,+8）单调，则/-2 m2+5?2 2|，”|=2?，解得0?2-2/2+5?，即，-3?0,解得，”3 或机 2,所以 y=一（产 T）=-/+f +l ,其对称轴为f =g,所 以 =-+11在（2,+8）上单调递减，所以y-2 2+2 +l =-l,则函数y=y/+m-m 的值域为（0,-1）.故答案为：（0,3,（-,1）.五、解答题1 7.（1）求8 _（百-0+的值；!_ 1（2）已知1X+XT=1 4,求 三+“+4的值.X2+X-2-2008 4【答案】（1）-;（2）-【分

14、析】（1）利用指数事的运算性质化简计算即可;（2）把 平方，结合x+x-=1 4即可求得1 利用x2+x-2=（x+/）2-2可得f+x-2的人 I-人 人 I-人 /值，代入所求的式子即可得答案.【详解】81；-心 一 +偿j=（34）L+（|=3-l+|q；/I 1 2 I（2）+/x+/+2 =16,0,=4，x2+x-2=（x+x-y-2 =194,.丁+”+4-4+4=4.*+/_ 2 0 0 194-200 31 8.已知命题P：对任意实数x,不等式 -2 x+0都成立，命题4：关于x的方程24/+4（机-2）+1 =0无实数根.若命题。，4有且只有一个是真命题，求实数机的取值范围

15、.【答案】（1,2 u p，y）【分析】先求出夕真、4真时机的取值范围，根据题设条件可得。真 7假或P假 7真，从而可求出实数，的取值范围.【详解】若 真，对任意实数X,不等式,我2-2+；0都成立.当?=0时，显然对于任意实数x,不等式-2x+；0不都成立当zwO时，,解得加 2m0P 真时，m2；若q真,则方程4/+4（m-2）x+l=0无实数根，A 16（?-2）2-16 0,；.夕真时，l/n3.命题。、4中有且仅有一个真命题，.当P真夕假时，加2且”e（8,lU 3,T 8）,故实数m的取值范围是：加2 3；当P假4真时，?42且故实数，的取值范围是：1机4 2；综上，实数m的取值范

16、围为。,2 5 3,及）1 9.已知函数x）=坐 是 定 义 域（-L1）上的奇函数.（I）确定“X）的解析式:(2)用定义证明：x)在区间(-1,1)上是减函数:解不等式f(i)+f(/)o.【答案】(1)力=告；(2)证明见解析；【解析】(1)利用奇函数的定义f(-x)=-/(x),经过化简计算可求得实数b,进而可得出函数y =/(x)的解析式;(2)任取毛、马 -1 )，且玉 与，作差与)-/(切，化简变形后判断%,)-/(七)的符号,即可证得结论；(3)利 用 奇 函 数 的 性 质 将 所 求 不 等 式 变 形 为 再 利 用 函 数 y =/(x)的定义域和单调性可得出关于r 的

17、不等式组，即可解得实数r 的取值范围.【详解】(1)由 于 函 数/.(力=坐 是 定 义 域(-U)上的奇函数，则/(一尤)=一/(外，X 1-x+b x+b即()2+广一,化简得人=0,因此,(2)任取 4、X j e(-l,l),且王X 2，即Aj 1 司(考-1)一(片-1)_ 伍一幻(菁玉+1)(j t f-1)(2-1)(占 T (X +1)-1)(%+1)v-1 x,x2 0 ,xx2+1 0 ,X,-1 0,x2-1 0.,(石)-)0，.,(%)/(%)，因此，函数y=f(x)在区间(T,1)上是减函数;(3)由(2)可知，函数y =/(x)是定义域为(-1,1)的减函数，且

18、为奇函数,由/(f _ l)+/(r)0 得 f(r _ l)_/(0 =/(T),所以解得:,1.-1 Z 1 一因此，不等式/-1)+/(。0 的解集为【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数、利用定义法证明函数的单调性以及函数不等式的求解,考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.2 0.某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示，曲线A 3是以点E为圆心的圆的四分之一部分，其中E(0,r)(0 0）的一部分；C D L O D,垂足为。，且 8 恰好等于E的半径，假定拟建体育馆的高。3=50（单位：米，下同）.F OD x试将。户用。和，表示;（2）若要求体育馆侧面的最大宽度

19、。尸不超过75米，求。的取值范围.【答 案】DF=5Q-f+口,（0 r=50-f,进而求解出C点坐标后,可知。F=50T+（2）根据题意，。尸=50 7+J L 4 7 5恒成立，即”之 了 匚 叠 恒 成 立，再根据基本不等式求最值Y（IT 十 十 DU即可得答案.【详解】（1）解：由抛物线方程得：8（0,50）.BE=5 0-1,:BE,CQ均为圆的半径，.CD=50T,圆的半径为：5 0 7,C（2,5 0 T）,入抛物线方程可得5 0 T =-ox；+5 0,解 得 x0=A，:曲 线A B是以点E为圆心的圆的四分之一部分，其中E（0 ）,A F L x轴，垂足为F,OF=AE=5

20、0-t,：.DF=OF+OD=5 0-t+-,（0 r 2 5）.（2）解：要求体育馆侧面的最大宽度。尸不超过75米,D F=5 0-t+%5,整理可得：7 7 6 2 5+5 0.(),25,625t H-2-2-痘-=50(当且仅当f=25时取等号),!_LZ+6 2 5+50-1 0 0,C l 2-.100的取值范围为：击，+8)2 1.已知集合4=卜 卜=J2X-X?,集合8=小 2-刀+“-/().(1)若ADB=A,求”的取值范围;在 A c B 中有且仅有两个整数，求。的取值范围.【答案】0J；(l,2U E,0).【分析】(1)根据二次根式的性质，结合一元二次不等式的解法、集

21、合并集的性质分类讨论进行求解即可；(2)根据集合交集的定义，结合题意进行求解即可.【详解】(1)由2、一/20=0 4 工 4 2,所以4=0,2.由 X X+Q Q 0(x )x (1 )0,因为A u 3 =A,所以当a=l-a 时，即”=!时，不等式为(x-：)2 l-a 时，即时，B=(l-a,a),210 K 1 a 1 1要想B=只 需=a 4 1,所以彳“41；a 2 2 2当 a l-a 时，即时，B=(a,l-a),2上 工(OMa 1 1要想8=A,只需a0,而4 彳，所以0 4。二，1 a 0 2 2 2综上所述：a 的取值范围为0,1;(2)由(1)可知：当a=；时，8

22、=0,此时A c 8 =0 不符合题意；由(1)可知：当时，B=(l-a,a),2要想AcB中有且仅有两个整数，只需l-a 0a2-0 l-a 2f l-a 0 1由 。2 印 找 2,显然a，,所以152,由0 1-4 1 2所以1 “42；由(1)可知：时，B=(a,l-a),2a 0要想4cB中有且仅有两个整数，只需K ,/、，或由a-la0 9 而 一，即一 1 ”0,ll-a2 2由0 a 2所以一 1 ”0,综上所述：的取值范围为(1,2 U -1,。).【点睛】关键点睛：根据一元二次方程两根的大小确定一元二次不等式的解集，分类讨论是解题的关键.2 2.对于定义域为。的函数y =/

23、(x),如 果 存 在 区 间 同 时 满 足：X)在口?,内是单调函数；当定义域是/”,时，“X)的值域也是 见,则称，,”是该函数的“优美区间写出函数/(月=3/的一个优美区间，；(2)求证：函数g(x)=4 +B不存在“优美区间”；(3)已知函数y =(x)=少-e R,a*0)有“优美区间”,当。变化时，求出-机的最大a2x值.【答案】(1)。2 答案见解析亚3【分析】(1)结合“优美区间”的定义，即可写出函数x)=g/的一个“优美区间”；I=n(2)若函数存在“优美区间”，可得函数g(x)在 孙网上单调递减，从 而 可 得 、，联立可推出 g(n)=m矛盾，即可证明结论；h(in)=

24、m.八(3)函数人(x)有“优美区间”，结 合 单 调 性 可 得,；,说明私是方程。，2-(/+加+1 =0的/?()=n两个同号且不等的实数根，结合根与系数的关系可求得加，的关系，进而可求得 一m的最大值.【详解】(1)021是/(x)=g x 2的一个“优美区间”，证明如下：y=g r在区间 0,2上单调递增，又，(0)=0,八2)=2,.y=gx2 的值域为 0,2,/.10,2是f(x)=x2的一个“优美区间”.(2)设 孙川是函数g(x)的定义域的子集.由X=0,可得 八出 (一8,0)或 川 口 (0,+8),函数g(x)=4+自在 7,可上单调递减.X,64+=n若 是 函 数

25、g(x)的“优美区间”，则 1 ,.O4+=相n两式相减得，-=n-mf贝16(一加)=九_ 加,m n mn,6,/n m,/.mn=o,n=一,m则4+色=色，显然等式不成立，m m函数g(x)=4+9不存在“优美区间”.X(3)川x)的定义域为x lx w O,私用是函数万。)的定义域的子集，则 O,nq(-,0)或 m,h c (0,+8),而函数y=(X)=S+少 7a x=丝1 _，一在 m,n上单调递增,a a2x若m,m 是函数(力的“优美区间”，则(2)=mh(n)=n 是 方 程 四 一 一=八 即/V _(/+a)x+l =O 的两个同号且不等的实数根.a a x=,加，同号,只需 =(+)2-4/=/5 +3)(-1)0,解得a 1或a m,，当a=3时，一加取得最大值名叵.3