2022-2023学年苏教版必修第一册基本不等式复习讲义.pdf

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1、专 题3.2基本不等式一、考情分析-重要不等式-基 砒 知 识 卜 一（基本不等式基本不等式与最值基本不等式H基本不等式1-T基本题型卜-利用基本不等式求函数的最-变形技巧：“1”的 代 换-1忽视等号成立的条件而致误1-利用基本不等式比较数的大，口基本不等式的应用一证明与最值问题卜（-,T和定积最大jH基地知识H ;1-1 y 7丁和最小L（字母轮换不等式的证法-基 本 题 型 卜 一求参数的取值范国问题T均值不等式在实际问题中的加二、考点梳理【基本不等式（或）均值不等式】2【基本不等式的变形与拓展】1.（1）若a,/?R,则/+2之2出?；（2）若/?,则 十（当且仅当。=6时取一 22.

2、（1）若。0力0,则 巴 心 之 至；（2）若。0乃 0,则。+之2而（当且仅当。=匕 时2取=）；若a 0fb 0,则ab 0,则x +，2 2（当且仅当x =l时取=）；若x 0,则且+2 2 2 (当且仅当a =b时取=)；若 曲。0,则 q+2 2 2,即h a b a b a或0 +2 K 2 (当且仅当。=人时取b a5.一个重要的不等式链:6.函数“力=依+。0 力 0)图象及性质函数/(x)=a x +(4、6 0)图象如右图所示:X(2)函数/(x)=o x +(a、b 0)性质:x值域：(-o o,-2,+8 卜7.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两

3、个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值,正所谓 积定和最小，和定积最大；(2)求最值的条件 一正，二定，三相等；均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.三、题型突破(-)利用基本不等式求最值2例 1.(1)若x 0,则尤+的最小值为.x【答案】2拒【解 析 -x 0 x+-2 y 2 ,当且仅当x=2 n x =&时 取 等 号.X X(2)、(2021浙江高二学业考试)已知正实数X、满足个=2,则x+y 的最小值是()A.B.2 及 C.2 D.72【答案】B【分析】利用基本不等式可求得结果.【详解】由基本不等式可得x+y 2 2而=20，

4、当且仅当x=y=0时，等号成立.因此，X+N的最小值是2夜.故选：B.【变式训练-1】、(2022浙江高三专题练习)已知X/0,则x+3的取值范围是()XA.(-oo,-4 B.4,+oo)C.y,-4 U 4,+8)D.R【答案】C【分析】分别讨论x 0 和x 0 时，x+-2,x-=4,当且仅当=一，即x=2时等号成立，X X X4所以x+-4,+co),X当 X0 时，x+-=-+l时，函数y=4x+_的最小X-1值 为()A.8 B.7 C.6 D.5【答案】A【分析】根据给定条件配凑，再利用均值不等式求解即得.【详解】当x l 时，y=4x+=4(x-l)+4 2J4(x-l)-+4

5、=8,当且仅当x-x-V x-11 34(x-l)=，即=一时取x-2所以当x=A3 时，函数y=4 x+17的最小值为8.2 x-1故选：A例 2.(1)、(2020浙江省杭州第二中学高一期中)(多选题)几个原本中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理成定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明.现有图形如图所示，C 为线段A B 上的点，且A C =a,BC=b,。为A 8 的中点，以A B 为直径作半圆，过点C 作 A B 的垂线交半圆于3,连接。，AD,B D,过点C 作。的垂线，垂足为E,则该图形可以完成的无字证明有()A.b

6、0）B.cT+b2 2aba 0,b 0）C,9 Nj（a0，&。）D,0,占 0）【答案】AC【分析】直接利用射影定理和基本不等式的应用求出结果.【详解】解：根据图形，利用射影定理得：C D2=D E O D,OD =A B =a+h）,C D2=A C C B =ab,n P_ C D2 _ ah所以 访=正2由于OD.CD,所以土也.2由于CD.QE,r jrN 而.卫2 =一(。力口)所 以 a+h 1 1 a h故选：AC.（2）.（2021陕西省子洲中学高二开学考试（理）数学里有一种证明方法叫做P roofswithoutwords,也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字

7、解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形AABC中，点。为斜边AB的中点，点。为斜边AB上异于顶点的一个动点，设=B D =b,则该图形可以完成的无字证明为（）A.-Q,b 0)C.3 -0,Z 0)a+boa+b a+b A.八、丁 气 9 力。)D.a2+b2 2fab(a 0,b 0)【答案】B【分析】根据等腰直角三角形的性质，分别表示0C和CO,根据长度关系，判断选项.【详解】由图可知，O C =A B =-,O D =O B-BD=-li在中，CD=J o e?+o n?=住 也 1 ,显然 O

8、C W C D,即a+b la2+b22 -v -T 故选：B.【变式训练2-1】、（2 0 2 1 浙江金华市方格外国语学校高一月考）（多选题）己知。0,b 0,下列命题中正确的是（）A.若a+b=2,则 l g a +l g 方 0 B.若 ab-a-2b=0,则 a +29C.若n+b =2,则3 正 D.+=.则而+“+%2 1 5 +6 布b ab 2 2 a +1 b+2 3【答案】A C【分析】对于A B 选项，构造合适的表达式，利用基本不是求最值即可；而对于C D 选项，需要消元,将表达式化简成关于或人的表达式，接着整理化简，最后利用基本不等式求解即可.【详解】若a+b =2,

9、则劭4学）一 =1,当且仅当。=1 1=1 时等号成立，所以l g a +l g b 4 0 成立，故A正确；若而一 a 2b=0,则 0 =a +,a+2b=ab=xax2b 0,所以6 1,.7 1 r 4 6 +14 a,_ 3 从+汕+7右。/?+/?=2。+3 6 +7=-+3 0+7=-b-l b-l所 以 也 任 丝 2 6 +型+14*2后+1 4=1 4+6#,b-l b-l当且仅当人=#+l,a =2+域时等号成立，故 D错误；2故选：A C【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是一正一一各项均为正；二定一一积或和为定值；三相等一一等号能否取得，若

10、忽略了某个条件，就会出现错误.【变式训练2-2】.（2020江苏省南京市第十二中学高一月考）（多选题）下列命题正确的是（）c 44A.若 a 工 0,则矿 H 7 N 4 B.若。0,Z?0,则 a +D.若 a v O,b o,则 +3 之2 42:=4,当 且 仅 当/=：na=2时取cr V a-a正确；4对 B,若。=1,则。+=-5,错误；a对 D,因为。0,b 0,2 0,则：+222、解=2,当且仅当乌=2=。=6 时b a b a b a b a取 正 确.故选：A C D.（二）不等式变形技巧：“1”的代换2 1例 3.（1）（2020六安市裕安区新安中学）已 知 都 是 正

11、 数，且 一+=1,则x+y 的最小%y值等于A.6B.472C.3+2&D.4+2&【答案】C【详解】（工+丁）（2 +，=互 +2 +3 2 2 0,。彳1）的图象恒过定点A,若点A 在直线7nx+y-1 =0（根 0）上，则一+的最小值为.m n【答案】4【解析】函数丁 =1（。0,。声1）的图象恒过定点4（1,1）,l m+l-n-l=0,m+n=,m,n 0,（方法一）：m+n mn=A2,2、/2 2 2=4（当且仅当 m=n=1V mn m n m n 2时等号成立）.（方法二）：一+=（一+一）。7 7 +）=2+N2+2 J-=4 （当m n m n m n v m n且仅当

12、m 二 n=,时等号成立）.21 9（3）.（2021江西宜春市丰城九中高二期中（文）已知a 0,Z?0,a+h=l,则一+：的a b最小值是【答案】16【分析】利用基本不等式求得上1 +Q的最小值.a b【详解】依题意，+2=m+力 x+2）=io+2+%之 10+2J2%=io+6=i6.a b a b a b N a b当且仅当=:1 ，3时等号成立.4 4故答案为：16【变式训练3-1】.（2018河北石家庄市石家庄一中高一期中（文）若 正 数 满 足L+1 =1,则4 +/?的最小值为（）a bA.7 B.1（）C.9 D.4【答案】C【解析】分析：由，+=1,可得4。+匕=（4a+

13、b）仕+，进而展开用基本不等式可得最小值.a b a b）详解：由，+=1,可得44+8=（4。+人）（工+!）=4+色+2 +125+21网.2=9.a h b）b a b a当且仅 当 空=2,即a=3,b=3时4。+。有最小值9.b a 2故选C.【变式训练3-2】、（2022江苏高三专题练习）设正实数。，b满足4+力=1,则（）A.?有最小值4 B.，石有最小值;C.G +6有 最 大 值&D./十有最小值g【答案】ACD【分析】对于选项A：利用基本不等式中，结合1的灵活用法，即可求解；对于选项BCD：使用基本不等式而494区 尹 即 可 求 解.【详解】选项 A：+=（t?+Z?）（

14、+）=2+2+2J =4，取等号时a=b=,故 A 正确；a h a b a h a b 2选 项B：而4=g,取等号时=%=g,所 以 而 有 最 大 值 故B错误；选项 C：（a+/h）2=a+b+2yab=+2yah ,取等号时”=匕=3,故D正确.故选：ACD.【变式训练3-3】、（2020浙江省淳安县汾口中学高一月考）已知。0,b 0,a+2b=3,2 1则 的 最 小 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.a bQ【答案】I【分析】1 7 1?1 1将1 =：（。+2）代入得至14+：=（二+:）（“+2份，再利用基本不等式可求最小值.3 a b a b 3【详解】解：b

15、 0,。+%=3,2 1 2 1 1 -+-=（-+-）（+2 Z?）x-a b a b 3.4b a4+二 a b34 2 14b a3+3a9b=?,（当且仅 当 竺=即 =6=时取等号），3a b 2 49 1 Q 一+7的最小值为w ;a b 3故答案为：g(三)均值不等式在实际问题中的应用例4.(2020江苏省震泽中学高一月考)中欧班列是推进 一带一路 沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3 m,底面积为12m2,且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙

16、，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为Am(2x0)；若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求。的取值范围.【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元.(2)【分析】(1)设 总 造 价 为 元，列出y=90()(x+电)+72()().利用基本不等式求解函数的最值即可.X(2)由题意可得，9005+”)+7200迎 也 必 对 任 意 的xe2,6恒成立X X.竺 孚 。+1+6。恒成立，

17、利用基本不等式求解函数的最值即可.X+l X+1【详解】解：(1)设甲工程队的总造价为y元，依题意左右两面墙的长度均为由(2。4),则屋子前面新建墙体长为1萼7相，x则 y=3(150 x 2x+400 x 2)+7200=900U+)+7200(2轰*6)X XOj900(.r+)+7200.900 x2x L +7200=14400.x v x当且仅当尤=，即x=4时等号成立.X所以当x=4时，加=14400,即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元.(2)由题意可得，9 0 0*+)+7200 900。*刈对任意的x e 2,6恒成立.X X即（x+4）-+从而。+

18、4）-即X+I+2 +6”恒成立，X X x+1 x+1x +1 H-+6.2、/（x +1）-+6 =1 2.x+v x+9当且仅当x +l =，即x =2 时等号成立.x+1所以0 =华（5+4 =10004+力，定义域为（0,8 0.（2）y =1 0 0 0 f-1 v+-1 0 0 0-2|=1 0 0 0 /（元），当 了丫二一，得 v=2 ,因为0三 8 0,所以当0+2历 1+3而 3，9当 且 仅 当=y时等号成立，44m,3故选：BCD,1?2（2）.（2021阜阳市耀云中学高二期中）设若+恒成立，则k的最大值为.【答案】6+4应【分析】由基本不等式求得不等式左边的最小值即

19、可得参数范围.【详 解】因为0 vm（）对一切工（1,住）X 1恒 成 立，则 实 数 机 的 取 值 范 围 是（）A.m 8 B./%8 D.-1 0【答 案】D【分 析】OQ由参变量分离法可得r 2 x +利用基本不等式求出当x e（l,E）时，2 x +一、的最x-1 x-l小值，由此可求得实数机的取值范围.【详 解】由参变量分离法可得-机0,2JCH-=2(x 1)H-+2 W 2 2(x 1)j-+2=1 0 ,当且仅当x =3时，等号成立，故-m-1 0.故选：D.2【变式 训 练5-2】.（20 21江苏省海州高级中学高一月考）不 等 式2 x+m +三 0对一切x-1x e（

20、l,+-6【分 析】2?不等式2R+/%H-。化为2(x 1)H-m-2,利用基本不等式即可得解.x-l X-1【详解】22解：不等式 2x +w d-0 化为：2(x-1)H-m-2,x-l x-lQ x l,z.2(x-l)+-.2x l2(x-l)-=4 f 当且仅当 =2 时取等号.X-l V X-l2丁不等式2X+7+-。对一切不(1,+-6,故答案为：加-6.(五)利用基本不等式证明例6、(2021,江苏省苏州实验中学高一月 考)已知正实数a,b,x,y.(1)若(x-1)(y -1)=4,求 x y 的最小值；(2)证明：土+艺 2里 士 空，并指出等号成立的条件.x y x +

21、y【答案】(1)9；(2)具体见解析.【分析】(1)将原式化为孙-3 =x +y,进而通过基本不等式构造关于府 的二次不等式，进而得到答案；(2)对题目进行分析，进而对(x+y)(+2 进行化简，然后运用基本不等式，最后变形即可.【详解】(1)因为a,b,x,y 都是正实数，原式化简得：xy-3=x+y2yxy,所以(7 )-2 7 -3 2 0=(7 +1)(7 -3)20 ,则7 2 1=刈 29,当且仅当x=y=3 时取=(2)因为a,b,x,y 都是正实数，所以(x+y)+=a2+b2+g i +之 2/+尸+2 J 生 以【xyj x y N X y=/+/+2。=(。+8)2,则

22、土+lJ ),当且仅当 bx=时 取 J .x y x+y例 7、(2021 浙江高一期末)已知正数0,b,c 满足a+b+c=3.(I)求32 +24的最小值；3.a b c【答案】(I)2；(II)证明见解析.【分析】(I)利用常量代换法有a+l+8+c=4,结合基本不等式求得问题的最小值.(II)观察多项式的每两项的乘积得到的结果，利用基本不等式的性质，求得多项式的最小值.【详解】(I).a+b+c=3=a+l+b+c=42 2 1 ,2 2、/,、J 2S+c)2(a+l)/.-+-=-(-+-)(+l+/?+c)=-2 +-+-+2a+1 b+c 4 a+b+c 4+l b+c2(b+c)2(a+1)1-4-4+2c+=2,当且仅当a+l=8+c=2时，取得等号,即 冷+会 的 最 小 值 为 2(II)_be +一ac +一aba b c1 ,bc ac ab be=-(+2 a b c aac ab、1 -+了+丁 寸=g(2c+2/?+2a)=Q+/?+C=3当且仅当a=b=c=l 时等号成立.【点睛】方法点睛：常量代换结合不等式基本性质解决分式不等式的最值问题.