同济第六版高等数学课后答案.pdf

《同济第六版高等数学课后答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济第六版高等数学课后答案.pdf（131页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、习 题 1-11.设 一=(一 8,-5)U(5,+8),3=T0,3),写 出 及 小(心 5)的 表 达 式.解 A B)c=Ac(因 为 xeJ fixeB)夕./(/)且 y曰(B)nyeg M B),所 以 j(A r y B)C).4.设 映 射/：x y,若 存 在 一 个 映 射 g:A X,使 g/=/x，/*=/y,其 中 以、分 别 是 X、丫 上 的 恒 等 映 射，即 对 于 每 一 个 xeX,有/xmx；对 于 每 一 个 联 匕 有 7ry=y.证 明:/是 双 射，且 g 是/的 逆 映 射:g=r-证 明 因 为 对 于 任 意 的 ye 丫，有 x=g(y

2、)eX,且 大 x)5/g(y)=/1,尸 y,即 丫 中 任 意 元 素 都 是 X 中 某 元 素 的 像，所 以/为 X 到 丫 的 满 射.又 因 为 对 于 任 意 的 Xi，X2,必 有 人 X1)MX2),否 则 若 寅 XI月(X2)=gL/(xD=g/(X2)=为=丫 2.因 此/既 是 单 射，又 是 满 射，即/是 双 射.对 于 映 射 g:Y-X,因 为 对 每 个 ywY,有 g(j)=xwX,且 满 足/(x)=/g(y)=4尸%按 逆 映 射 的 定 义,g 是/的 逆 映 射.5.设 映 射/：X T y,z u v.证 明：(1 尸)A 4；(2)当/是 单

3、 射 时,有 尸(/(/)=.证 明 因 为 xeA=/)4 e；=/)=疝 尸(/(/),所 以/(/U)n4(2)由 知 尸(AZ)Q4另 一 方 面，对 于 任 意 的 诉 尸(/)=存 在 片 儿 4),使/T(y)=x=Xx)=y.因 为 ye儿 4)且/是 单 射，所 以 x e 4 这 就 证 明 了 尸(A/)u4.因 此 尸 夕 4)=/.6.求 下 列 函 数 的 自 然 定 义 域：(l)y=j3x+2;解 由 3x+220得 x 4.函 数 的 定 义 域 为-/+2.(2)尸 7；l-xz解 由 1-2/0得 存 1.函 数 的 定 义 域 为(-8,-1)口(-1,

4、1)。(1,+8).(3)j=-Vl-x2;X解 由#0 且 l-x20得 函 数 的 定 义 域)=-1,0)50,1.尸 由 解 由 4-X2 0得|x|2.函 数 的 定 义 域 为(-2,2).(5)y=sin 我;解 由 应 0 得 函 数 的 定 义。=0,+8).(6)p=tan(x+l);解 由 X+1H5(60,1，2,)得 函 数 的 定 义 域 为 xk7V+-(k=0,1,2,-(7)y=arcsin(x-3);解 由 卜-3区 1得 函 数 的 定 义 域。=2,4.(8)y=V3-x+arctan;x解 由 3-也 0 且 xO得 函 数 的 定 义 域 D=g 0

5、)0(0,3).(9)月 n(x+l);解 由 X+l0得 函 数 的 定 义 域 D=(-l,+oo).1(产 ex.解 由 存 0 得 函 数 的 定 义 域 氏(-*0)u(0,+8).7.下 列 各 题 中，函 数./(X)和 g(x)是 否 相 同？为 什 么?(D/(x)Tgx2,g(x)=21gx;(2)Xx)=x,g(x)=V;(3)/(X)=Vx4-X3,g(x)-xy/x-l.(4)/(x)=l,g(x)=sec2x-tan2x.解 不 同.因 为 定 义 域 不 同.(2)不 同.因 为 对 应 法 则 不 同,x0时,g(x)=-x.(3)相 同.因 为 定 义 域、对

6、 应 法 则 均 相 相 同.(4)不 同.因 为 定 义 域 不 同.8.设 夕(x)=mXI soi万-3匹 3奴?)，奴-?)，奴-2),并 作 出 函 数 尸 4r)的 图 形.解 y)=|siny|=y,仪 5)qsin5|=*，(-y)=|sin(-y)|=,奴-2)=0.6 6 2 4 4 2 4 4 29.试 证 下 列 函 数 在 指 定 区 间 内 的 单 调 性：(1)歹=7匚，(-8,1);l-x(2)产 x+ln x,(0,+8).证 明(1)对 于 任 意 的 X1,应 6(-8,1),有 1-X1 O,1-X20.因 为 当 X1X2时,凹 一 歹 2=1 X 1

7、%2(1 X)(l 巧)0,所 以 函 数 片 盘 在 区 间-J)内 是 单 调 增 加 的.(2)对 于 任 意 的 孙。(0,+8),当 XiX2时,有 弘 一 为=(X+In$)一(巧+In%2)=(西 一 巧)+In 3 o,x2所 以 函 数 尸+ln x 在 区 间。+8)内 是 单 调 增 加 的.io.设 y(x)为 定 义 在(-/,/)内 的 奇 函 数，若 人 打 在(0,/)内 单 调 增 加，证 明 人 幻 在(-/,o)内 也 单 调 增 加.证 明 对 于 Vxi,X2(-/,0)且 Xi-X2.因 为/(x)在(0,7)内 单 调 增 加 且 为 奇 函 数，

8、所 以/-X2)T1),/(X2)T(X 1),危 2)习(XI),这 就 证 明 了 对 于 Vxi,x2e(-/,0),有/(X1)兀，所 以 g(x).如 果 7(x)和 g(x)都 是 偶 函 数，则 尸(-x)=/(x)g(x)=/(x)g(x)=E(x),所 以 F(x)为 偶 函 数，即 两 个 偶 函 数 的 积 是 偶 函 数.如 果/(X)和 g(x)都 是 奇 函 数，则 司(一)4-分 8(-丫)=4 切-8伊)戌 用()=e(幻，所 以 F(x)为 偶 函 数，即 两 个 奇 函 数 的 积 是 偶 函 数.如 果 五 x)是 偶 函 数，而 g(x)是 奇 函 数，

9、则(-x)=/(-x)-g(-x)=f(x)-g(x)=(x)-g(x)=-F(x),所 以 F(x)为 奇 函 数，即 偶 函 数 与 奇 函 数 的 积 是 奇 函 数.12.下 列 函 数 中 哪 些 是 偶 函 数，哪 些 是 奇 函 数，哪 些 既 非 奇 函 数 又 非 偶 函 数？(l)y=xl-x2);(2)y3x2-x3;尸 1-X2.l+2(4)p=x(x-l)(x+l);(5)产 sinx-cos x+1;尸 ax+ax2解 因 为/(-X)=(-口-(一%)勺=%2(1 f)=/)，所 以/(X)是 偶 函 数.由 _A-X)=3(-X)2-(T)3=3 X 2+X 3

10、可 见 人 X)既 非 奇 函 数 又 非 偶 函 数.(3)因 为/(X)=1-(-幻 2l+(-X)2I-/1+X2=X),所 以 加)是 偶 函 数.(4)因 为 X x)=(-x)(x-l)(-x+l)=-x(x+l)。-1)=Mx),所 以)是 奇 函 数.(5)由/(-x)=sin(-x)-cos(-x)+l=-sinx-cos x+1 可 见/(x)既 非 奇 函 数 又 非 偶 函 数.(6)因 为/(f)=左 竽 3=二 2=/(x),所 以,/)是 偶 函 数.13.下 列 各 函 数 中 哪 些 是 周 期 函 数？对 于 周 期 函 数，指 出 其 周 期：(l)y=c

11、os(x-2);解 是 周 期 函 数，周 期 为/=2立(2)尸 cos 4x;解 是 周 期 函 数，周 期 为/=会.(3)y=l+sin 兀 x;解 是 周 期 函 数，周 期 为 1=2.(4)尸 xcos%;解 不 是 周 期 函 数.(5)y=sin2x.解 是 周 期 函 数，周 期 为 1=兀 14.求 下 列 函 数 的 反 函 数：(1)产 炳；解 由 尸 叼 得 可 3_1,所 以 产 归 T 的 反 函 数 为 尸 工 3-1.*;解 由 片 会 得 x=悬,所 以 产 R 的 反 函 数 为 尸(3)(od-b分 0);cx+d解 由=生 空 得 X=生 也，所 以

12、 歹=丝”的 反 函 数 为 丁=也 包.cx-Vd cy-a cx+d cx-a(4)y=2sin3x;解 由 产 2sin 3x得 工=上 心 抽 会，所 以 产 2sin3x的 反 函 数 为 尸 garcsin5.(5)尸 l+ln(x+2);解 由 产 l+ln(x+2)得 X=/T-2,所 以 产 l+ln(x+2)的 反 函 数 为 产 一 1-2.“(6)、y=-2-”-.2、+1解 由 片 三 得 X=1 0 g 2 4,所 以 尸 三 的 反 函 数 为 片 10g2户.2V+1 l-y 2A+1-x15.设 函 数 _/(x)在 数 集 X 上 有 定 义，试 证：函 数

13、 人)在 X 上 有 界 的 充 分 必 要 条 件 是 它 在 X 上 既 有 上 界 又 有 下 界.证 明 先 证 必 要 性.设 函 数/(X)在 X 上 有 界，则 存 在 正 数 M,使/(x)|M0,即 这 就 证 明 了 左)在 X 上 有 下 界-和 上 界 M.再 证 充 分 性.设 函 数/(X)在 X 上 有 下 界 K 和 上 界 K2,即 K/(x)W K2.取 止 max K 收|,贝 U-M KK2 M,即 fx),2=sin(2-)=sin=l.o 4 2 4 2(3)y=&,w=l+x2,xj=l,%2=2;解 y=y/l+x2,.=Jl+F=发,y2=y/

14、l+22=A/5.(4)y=e u=x2,x=0,M=1；解 y=ex2,=eQ2=1,%=/=e.2 x(5)产,X=l,X2=-1.解 y=e2x,yi=e2=e2,y2=e2(1)=e2.1 7.设./(x)的 定 义 域。=0,1,求 下 列 各 函 数 的 定 义 域：尬)；解 由 得 恸 4 I,所 以 函 数/(/)的 定 义 域 为 _,1.(2)义 sinx);解 由 OWsinxWl得 2 胫 区(2+1)%(=0,1,2)，所 以 函 数/(sin x)的 定 义 域 为 2%行(2+1)司(77=0,1,2-).(3)Ax+a)(a0);解 0r+tzl-a x-a,所

15、 以 函 数/(x+a)的 定 义 域 为 a,1-0.(4)危+7)十 危 一 翅 办 0).解 由 0白+。义 时 函 数 无 意 义.11 8.设/(x)=(0-1N 1形.1解/Ig(x)=0-1B Q f 1|e-v|=l,即/g(x)=-1x0g(x)=e x)=e|x|l|x|=l,即 g(x)=曲 11 9.已 知 水 渠 的 横 断 面 为 等 腰 梯 形，斜 角 街 40。(图 1-3 7),当 过 水 断 面 ABCD的 面 积 为 定 值 So时，求 湿 周 与 水 深 人 之 间 的 函 数 关 系 式，并 指 明 其 定 义 域.图 1-37-V _?一 解。=焉，

16、乂 从 j 三 一/3 瓦 8 C+(8 C+2 c o t4 0)=So 得 j bBC=?-cot40/,所 以 hz=5o+2-cos40h sin 40自 变 量 的 取 值 范 围 应 由 不 等 式 组/?0,争-cot40%0确 定，定 义 域 为 0%JSoCOt40.20.收 敛 音 机 每 台 售 价 为 90元，成 本 为 60元.厂 方 为 鼓 励 销 售 商 大 量 采 购,决 定 凡 是 订 购 量 超 过 100台 以 上 的，每 多 订 购 1台，售 价 就 降 低 1分，但 最 低 价 为 每 台 75元.(1)将 每 台 的 实 际 售 价 p 表 示 为

17、订 购 量 x 的 函 数；(2)将 厂 方 所 获 的 利 润 尸 表 示 成 订 购 量 x 的 函 数；(3)某 一 商 行 订 购 了 1000台，厂 方 可 获 利 润 多 少？解 当 0白 W100时，P=90.令 O.Ol(xo-lOO)=9O-75,得 xo=16OO.因 止 匕 当 转 1600 时,p=75.当 100r1600 时，p=90(x 100)x0.01=91 0.01%.综 合 上 述 结 果 得 到 90 0 x100p=91-0.Olx 100 x160030 x 0 x100(2)P=(p-60)x=31x 0.01x2 100cx1600(3)P=31

18、xl 000-0.01 x 10002=21000(元).习 题 1 21.观 察 一 般 项 与 如 下 的 数 列/的 变 化 趋 势，写 出 它 们 的 极 限：(l)xh=解 当 一 8时，为 7=310,limj=o.(2)x”=(-l*;解 当 7 8 时，x=(_D_L-O,lim(-iy/=O.n 一 8 n=2+3；解 当 一 8时，xn=2H-y 2,l一 im8(2dn-y乙)=2.*翳 解 当 7 8 时，xw=-z1=l一 一 J-0,lim七 1二 1.%+1 4+1“T8+1 X*(-1).解 当 8 时,X=(一 1)“没 有 极 限.COS-2.设 数 列 x

19、 的 一 般 项 x产-.问 limx=?求 出 N,使 当 N 时,x 与 其 w oo极 限 之 差 的 绝 对 值 小 于 正 数/当=0.001时，求 出 数 N.解 lim xw=0.|cos-|1 1|xw-0|=Vr0,要 使|X 一 0|,只 要，也 就 是 取 N 吧，则 有*-0|.当=0.001 时，N=J=1000.3.根 据 数 列 极 限 的 定 义 证 明：(1)lim=0;分 析 要 使 小 一 0上=.n n y/E证 明 因 为 V Q O N=4,当 N 时，有 四 一 0|002+1 2分 析 要 使 I 貂 只 须 上-2/7+1 2 2(2+1)4/

20、7 4 4 e证 明 因 为 VOTN=d,当 N 时，有 18 分 析 要 使 I 五 运 如 b 应 运 j=/2 之 N时，有.病+浮 所 以 nlim近 三 1.一 8 y(4)lim0.9999=1.分 析 要 使 0.99 9 T=L,只 须 焉 l+lgL10w*10 T 证 明 因 为 VoO,mN=l+lgJ,当 V N时，W|0.99-9-l|oo M oo X”未 必 有 极 限.证 明 因 为 l一 im8=q,所 以 V o O T N e N,当 N 时，有 从 而|z/|-|7|-i7|f.这 就 证 明 了 T8数 列 也/有 极 限，但 数 列 x,J未 必

21、有 极 限.例 如 lim|(-但 lim(-l)不 一 8 一 8存 在.5.设 数 列 x,J有 界，又 limy”=O,证 明：limx=O.一 8证 明 因 为 数 列 X”有 界，所 以 存 在 阴，使 V WZ,有 陶 又 lim%=0,所 以 V o O N e N,当 N 时，有 山 当.从 而 当 N 时，有 一 8 Mxyn-xnynMyn M e,所 以 limxy=0.一 86.对 于 数 列%,若 X2bi-a(左-8),x2k Ta(k-=),证 明：8).证 明 因 为 X2bi-a(AT8),x2k-a(T8),所 以 W Q 0,K,当 2A 12K1 有|M

22、 b L。|；3A：2,当 2人 2K2时，有 的 一 水.取 N=max 2K|-l,2K2,只 要 N,就 旬 x-水.因 此 X”(8).习 题 1-31.根 据 函 数 极 限 的 定 义 证 明：(1)lim(3x-l)=8;X T 3分 析 因 为|(3x-l)-8|=|3x-9|=31x-3|,所 以 要 使|(3x-1)-8|O门 3=g,当 0|x 36时，有|(3X-1)-8|,所 以 lim(3x-l)=8.x73(2)lim(5x+2)=12;x-2分 析 因 为|(5x+2)-12|=|5x-10|=5tx-2|,所 以 要 使|(5x+2)-12|,只 须|X-2|

23、&.证 明 因 为 V O,m b=$,当 0 A 2|b时，有|(5X+2)-12|-2 X+2分 析 因 为|弟 一(_4)卜|可 卢 卜 x+2小-(-2)|,所 以 要 使|W-(-4)|,只 须|-(-2)|0 3=,当 0W-(-2)|b时，有 仔 川 得 所 以 lim虻 W=T.x 2 X+2 lim 兜=2.s-l 2x4-12分 析 因 为|需 2|*2 x 2|=2|x(f|,所 以 要 使|寓-2|O b=；,当 0十 一(一 时，有 赍 2|由 所 以 W 需 2=2.2.根 据 函 数 极 限 的 定 义 证 明:(1)limX 8分 析 因 为I l+x3 1 I

24、 I 1+/一 工 3 I 1I 2x3 2 I 2x3 2|x|3所 以 要 使 I察-扑，只 须 即 曲 自 证 明 因 为 V o,m x=j=,当|x|X时，有 边 州-收 所 也 察 书 lim平=0.-Vx分 析 因 为 证 明 因 为 W Q O X=C，当 xX时，有 塞 川 3,所 以 lim芈=0.X-V X3.当 X T 2 时，尸 24.问 S等 于 多 少，使 当|x 2|b时，y f 0.001?解 由 于 当 X T 2 时,|X-2|T 0,故 可 设|%-2|1,即 1 a 3.要 使|X2-4|=|X+2|X-2|5|X-2|0.001,只 要 以-2|气

25、以=0.0002.取 应 0.0002,则 当 0|x 2|3时，就 有|?-4|0.001.4.当 X i e 时，产 与 二 T,问 X等 于 多 少，使 当|x X 时,Al|0.01?x+3解 要 使 1 M H 卜 号 成 只 要 心 府=厮，故 旌 厮 5.证 明 函 数 4 x)=M当 X T O 时 极 限 为 零.证 明 因 为/(x)-O|=|M-O|=|x|=|x-O|,所 以 要 使 1Z(X)-O|,只 须 用.因 为 对 V Q O,三 层，便 当 0|x-0|a时 有|/(x)-O|=|x|-O|06.求/(x)=工，奴 工)=区 当 x-0时 的 左、右 极 限

26、，并 说 明 它 们 在 X T O时 的 极 X X限 是 否 存 在.证 明 因 为 lim/(x)=lim=lim 1=1,XTO-x-0-X XTO-lim/(x)=lim=lim 1=1,x-0+XTO+X x-0+lim/(x)=lim f(x),xo-x-o+所 以 极 限 lim/(x)存 在.x-0因 为 lim(p(x)=lim=lim=-1,x-O x-0 X x 0 Xlim(p(x)=lim=lim=1,x-0+XTO+X XTO+Xlim 姒 x)w lim(p(x),x 0-x 0+所 以 极 限 lim奴 x)不 存 在.x-07.证 明：若 XT+oo及 X7

27、-8 时，函 数 於)的 极 限 都 存 在 且 都 等 于 4 则 lim f(x)=A.x 8证 明 因 为 lim f(x)=A,lim f(x)-A,所 以 Vi0,x-oo X 4-0 0i|0,使 当 x-X 时，有 次 x)/|0,使 当 x%时，有 贝 x)-4|X时，有|/(x)T|0,使 当 O|x-xo|3时,有 f(x)-AE.因 此 当 x(r庆 xx()和 xox0,使 当 xo-4xxo 时，旬 加)-；30,使 当 刀 0%甑+时，有 取 层 min4,，则 当 O|x-xo|6时，W x()-0 xxo及 沏%的+医，从 而 有&)4|Xo).9.试 给 出

28、x 7 8 时 函 数 极 限 的 局 部 有 界 性 的 定 理，并 加 以 证 明.解 X 7 8 时 函 数 极 限 的 局 部 有 界 性 的 定 理 如 果 次 X)当 X T 8 时 的 极 限 存 在，则 存 在 X0及 胚 0,使 当 N X 时,证 明 设 兀 C)7Z(XT8),则 对 于=1,止 0,当 恸 X 时，有/(x)-Z|=l.所 以 殴)|=改)一 幺+4|4聆)-4|+0及 M0,使 当 恸 X 时,次 x)|0时，g)=2x,伙 x)=3x都 是 无 穷 小，但 lim号，造?不 是 无 i o p(x)3 p(x)穷 小.2.根 据 定 义 证 明：(1

29、)夕=比?当 x 7 3 时 为 无 穷 小；(2)=xsin当%0时 为 无 穷 小.x证 明 当 用 3 时|历=|左 普 卜 x 3|.因 为 V Q O凸 应 自 当 0卜 36时，有 1=|=x-3=e,所 以 当 x f 3 时 夕=以 为 无 穷 小.x+3(2)当/0 时 刈 目 x|sin 国 x-0|.因 为 V Q O T 应/当 0|x-0|6时，有 X|y|=|x|sin|x-O?=,所 以 当 x-0时=xsin为 无 穷 小.x3.根 据 定 义 证 明：函 数 夕=为 当 X T O时 的 无 穷 大.问 x 应 满 足 什 么 条 件,X能 使 阴 1。4?证

30、 明 分 析|止|卜|2+斗 2 5-2,要 使 小 M 只 须 2此 即 X X|X|XI叶 击 证 明 因 为 使 当 0A0|,A/+2 1 x 1所 以 当 X T 0 时，函 数 丁=1立 是 无 穷 大.X取 代 10+则 旌/s 当 时，心 iot4.求 下 列 极 限 并 说 明 理 由：,28 X,1-r2(2)lim/.x70 1-x解 因 为 生 1=2+L 而 当 X7 8 时 L 是 无 穷 小，所 以 lim至 1=2.X X X 1 8 X（2）因 为 它（，而 当 一 时 为 无 穷 小,所 以!吧 宫=1.5.根 据 函 数 极 限 或 无 穷 大 定 义，填

31、 写 下 表：_小）7 8 Ax)-+oo X)-XXQV0,30,使 当 0vx-Xo|倒 寸，有 恒/(X)-/|x()+xXox ooVo,3X0,使 当 恸 x 时，有 恒|/(x)|Mx-X T-co解/(x)-N./(X)8/(X)7+8/(X)T 8X一 劭 3 0,抽 0,使 当 0|x-x()|Sl寸，有 恒 贝 x)-Z|0,三 苏 0,使 当 0 c A 对 0,3(0,使 当 0,一 劭|MVAO,3 0,使 当 0卜-刈 51寸，有 恒 大 x)%o+也 0 苏 0,使 当 0r-x()ai寸，有 恒/(X)*0,抽 0,使 当 0 4 刀 0MVA0,3&0,使 当

32、 0r-x().X/M0,3&0,使 当 0r-x()ai寸，有 恒 X 7 X 0一 V Q O T苏 0,使 当 0 x()T(5n寸，有 恒 火 X)-Z|0,3(0,使 当 Oxo x0,30,使 当 0()-X0,3 0,使 当 0 x()-x(5n寸，有 恒 加)8VE0,3A0,使 当|x|X时，有 恒 fx)-A0,3A0,使 当 恸 X 时，有 恒 l/(x)|MVf0,3A0,使 当|x|X时，有 恒/(x)MVf0,3A0,使 当 恸 X 时，有 恒,/(x)4-00VoO,3A0,使 当 xX时，有 恒 fx)-A0,3X0,使 当 xX时，有 恒 lAx)|MVf0,

33、环 0,使 当 xX时，有 恒 为 x)M.X/oO,止 0,使 当 xX时，有 恒 X-8V o O,W O,使 当 x-X时，有 恒 fx)-A0,使 当 xMV Q O,3A0,使 当 xM/0,止 0,使 当 x-X时，有 恒 Ax)M例 如 歹(2女 力=2ATFCOS2左 m 2 左(上 0,1,2,),当 左 充 分 大 时，就 有 IM2 左 砌 当 X+8 时，函 数 尸 XCOS x 不 是 无 穷 大.这 是 因 为 VM0,找 不 到 这 样 一 个 时 刻 N,使 对 一 切 大 于 N 的 x,都 有 伏 x)|.例 如 兴 2壮+乡=(2而+gcos(2+乡=0(

34、七 0,1,2,),对 任 何 大 的 N,当 人 充 分 大 时，总 有 x=2 但(x)|=00,在。1 中 总 可 以 找 到 点 必，使 _y(x*)M例 如 当Xk=-(=0,1,2,)2k兀 吟 时,有 y(xk)=2k7T+,当 人 充 分 大 时,y(xk)M.当 x-0+时，函 数 y w U in!不 是 无 穷 大.这 是 因 为 X XPM0,对 所 有 的 多 0,总 可 以 找 到 这 样 的 点 使 0 x/a但 M/)M 例 如 可 取 x1k A=2k兀(上 0,1,2,),当 k 充 分 大 时,x8,但 兴 4)=2七 zsin2左 mO 2 X-3解 1

35、加 头=奖=-9.x-2 X-3 2-3v 思 曷 2 _鼻;解 x粤 方 1=售 三=后 竽 解 赠 甘=:用 霜=四 品=9(4)lim 1+xso 3X2+2X解 lim4x3-2 x2+x l i m4 x-2 x+l=lXTO 3X2+2X XTO 3X+2 26lm-010解 lim(i+1厂 一 厂=im X+2x+/?2 x2=iim(2x+A)=2x.20 h。一 0 h(6)lim(2+);x-8 x x解 lim(2-+-V)=2-lim-+lim-=2.x 7 8 X xz x 7 8 x X 7 8 Xzr2 _ i lim J；一；x02x-x-l解 lim=lim

36、X 82x2-x-l X oo1-，191 1 2-乙-yX X，(8)lim 产+：;XT8 X4-3 X2-12解 lim,=0(分 子 次 数 低 于 分 母 次 数,极 限 为 零).x-8 x-3x-I或 _L+_Llira 广+：-=lim 二 二 0.xTg x4-3x2-l x oo 2 1丁 一 彳 解 A7j ih m x?、6X+8=h1*m(x 2)(-x 4).x-2.一 4，-2 2.4 x2-5x4-4 x-4(X-l)(X-4)X T4 x-1 4-1 3(10)lim(l+-)(2-4)；x-8 x X解 lim(1+)(2-r)=lim(1+)-limX 8

37、 X XZ X 8 X X 8(11)lim(l+4+一 8 2 4=1x2=2.解 lim(l+!+nT8 2 41-=lim-=2.ng 11-21+2+3+(-1).(12)lim 一 8(n-X)n布 丑.1+2+3H-F(w 1).2 1 v 1 1用 车 lim-z-=lim A-=lim-=.w o o 几 z w o o 2 w 0 n 2(13)lim(+D(+2)(+3)；解 l i m(n+l)(n+2)(n+3)=|(分 子 与 分 母 的 次 数 相 同，极 限 为 最 高 次 项 系 数 之 比).或 lim(+l)(+?(+3)=j_ Hm(l+U(l+2)(1+

38、3)=1.5 T8 n n n 5(14)啊 年 L-3)；XT1 1-X 1解！呼 士-31-x3)=lim 1+1+-3=一 1加(I)(x+2),.si(l-x)(l+x+x2)H(l-x)(l+x+x2)=_li m 2=_lXTll+X+%22.计 算 下 列 极 限:则 在 解 因 为*5=方，所 以!吧 1等=8r2(2)lim.；x-8 2x4-1v2解 lim产 7=8(因 为 分 子 次 数 高 于 分 母 次 数).i s 2x4-1(3)lim(2x3-x+l).解 lim(2x3 x+l)=8(因 为 分 子 次 数 高 于 分 母 次 数).X 83.计 算 下 列

39、 极 限：(1)limx2 sin;x-0 X解 lim/sinL。(当 x 7 O 时,/是 无 穷 小，而 sin1是 有 界 变 量).1 0 x x lim陋 吗 XT8 X解 lim理 皿=limLarctanx=O(当 x 8时，!是 无 穷 小,X T 8 x X-8X X而 arctan x 是 有 界 变 量).4.证 明 本 节 定 理 3 中 的(2).习 题 1-51.计 算 下 列 极 限：xt2 X-3解 1汕 头=头=一 9.x-2 x-3 2-3丫 2_(2)lim z;解 x辱 言=黑$=51 r 2x+l(3)lim z XT X2-l解 Hm五 尧 1(1

40、)2书 即 用 Z r吧 曷=殳(4)lim4x3；2 x 2+x;i o 3X2+2X解 lim 4/=1而 竺 2：+1XTO 3X2+2X XTO 3X+2 2+-解 lim(把(匚=lim 7 4 2 二 片 二 HmQx+2)=2x.2 0 h 2 0 h OT O(6)lim(2-4-);X T x x解 lim(2-+4-)=2-lim-+lim 4 7=2.X-8 X XZ X O O X X 8 X，丫 2 1 三 T；解 lim c：J,=limX 8 2x l X oo1-x2 _11 2,X X.2(8)lim 9 丁；;x-3 x-I2解 lim 4，二+；,=0(分

41、 子 次 数 低 于 分 母 次 数,极 限 为 零).x-8 x-3 x-I或 1,17-7lim 广+：-=lim x=0.XToo/_ 3 2 _ A-oo _2_ 1声 一 彳 解 lim x；-6x+8=t m。-)加 一 乎 三.XT4X2一 5x+4 X 4(X l)(x 4)XT4 X 1 4 1 3(10)lim(l+i)(2-4)；XT8 X X解 lim(l+-)(2-y)=lim(l+-)-11111(2)=1x2=2.x-8 X XZ x 8 x x-x2(11)lim(l+J+);T8 2 4 2解 lim(l+)H+、)=lim-2.nT8 Z 4 2 T8 1

42、1-12(12)lim 1+2+3+；+(T)；一 8(一 1)Ap r 1+2+3+(-1)?1 v z7 1 1rn lim-z-=lim 4二 g lim.一 8“Tg 2 w 0 n 2(13)lim(+D(*)(+3)；-8 5 3解 Hm(+1)(味)(+3)=2(分 子 与 分 母 的 次 数 相 同，极 限 为 T 00 5 5最 高 次 项 系 数 之 比).或 lim 一 8 5处 1)(+2)(+3)=ii m(i+l)(i+2)(1+3)=j_5 一 n n n 5(;解！呼 士 一 3)_jm l+x+x2-31-x3 X T I(l-x)(l+x+x2)=-l i

43、m(Jx)(x+2)n(l-x)(l+x+x2)=_li m 2=_1X5 1+X+大 2.计 算 下 列 极 限:解 因 为 则 制 脸 犯 所 以 则 V 李=8r2(2)lim.；XT82x+l2解 lim4=8(因 为 分 子 次 数 高 于 分 母 次 数).x-8 2x4-1(3)lim(2x3-x+l).XT8解 lim(2x3-x+l)=8(因 为 分 子 次 数 高 于 分 母 次 数).XT83.计 算 下 列 极 限：(1)limx2 sin-;x-0 X解 lim/sinLo(当 x-0时,f 是 无 穷 小，而 sin1是 有 界 变 量).X T O x x lim

44、迪 些.XT8 X解 lim更 逛 空=limLarctanx=O(当 x 7 8 时，!是 无 穷 小，X78 x x-8 x x而 arctan x 是 有 界 变 量).4.证 明 本 节 定 理 3 中 的(2).习 题 1-71.当 x 7 0 时,2 x-f与 相 比，哪 一 个 是 高 阶 无 穷 小？2 3 2解 因 为 lim v=l i m P=O,x-0 2 x xz x-0 2 X所 以 当 x 0时,x2-x3是 高 阶 无 穷 小，即 X2-X3=O(2X-X2).2.当 X 7 1时，无 穷 小 1-X和(1)1-V(2)；(l-N)是 否 同 阶？是 否 等 价

45、?解(1)因 为 lim I-=lim f l+x+x)=Hm(l+x+x2)=3,X T 1 1-x X T 1 1-x xT所 以 当 X T l时，1-X和 l f 3 是 同 阶 的 无 穷 小，但 不 是 等 价 无 穷 小.y(l-X2).(2)因 为-=glim(l+x)=l,所 以 当 X T 1时，1 T 和 是 同 阶 的 无 穷 小，而 且 是 等 价 无 穷 小.3,证 明：当 x-0时，有：(1)arctan x x;(2)s e c x-.证 明 因 为 国 中 二 业 舄 1(提 示：令 1*n x,则 当 D 时,y-。)，所 以 当 x 0时，arctanx

46、X.(2)因 为 limS e产-l=21iml；cosxX T O 1 2 x-0 x2C O S X22sin2 2si 吟 lim/=lim(2.)2x-0 xZ x-0 XT 2所 以 当 x 0 时 secx-l%.4.利 用 等 价 无 穷 小 的 性 质，求 下 列 极 限:tan3x2x 号(,机 为 正 整 数);(3)l i mtan x in x.so sirPx(4)_ sin x-tan x_(Vl+x2-l)(Jl+sinx-1)解 lim tan 3x=li m3x=32x x o 2X 2 呵 端 为 吧,0oon mnm.nocosxsin2x vo xz c

47、osx 2(4)因 为 sinx-tanx=tanx(cosx-l)=-2tanxsin2-2 x()2=-y x3(x 0),前+.2_1=/X,/-1 2(x 0),/(1+x2)2+Vl+x2+1 3/l+sinx-l=sinx=$沦 x(7 0),Jl+sinx+1_ 1%3所 以 sin x-n x 一;2二=一 3(V l+x2-l)(V l+sinx-l)lx2.%5.证 明 无 穷 小 的 等 价 关 系 具 有 下 列 性 质：(1)a a(自 反 性)；若 a 区 则 上 发 对 称 性)；(3)若 a 以 后 则 叱 乂 传 递 性).证 明(l)lim 9=l,所 以

48、a a;a(2)若 a 夕,则 lim4=1,从 而 lim N=l.因 此 小 a;p a(3)若 a/?，止 limy=lim-y lim=l.因 此 比 习 题 1-81.研 究 下 列 函 数 的 连 续 性，并 画 出 函 数 的 图 形:(l)/(x)=j x0 xlxl x-l x-l+x r l+所 以 lim/(x)=l,从 而 函 数 在 4 1处 是 连 续 的.XT1综 上 所 述，函 数/(X)在 0,2 上 是 连 续 函 数.(2)小)=：f;”解 只 需 考 察 函 数 在 m-1和 x=l处 的 连 续 性.在 1处，因 为 火-1)=-1,并 且 lim f

49、(x)=lim 1=1/(-1),x-rlim f(x)=lim x=-l=/(-I),XT-1+XT-1+所 以 函 数 在 x=-l处 间 断，但 右 连 续.在 X=1处，因 为 负 1)=1,并 且 lim/(x)=lim x=lR(l),lim f(x)-lim 1=15/(1),x-i-x-r x-i+x-i+所 以 函 数 在 X=1处 连 续.综 合 上 述 讨 论，函 数 在(-8,-1)和(-1,+8)内 连 续，在 4-1处 间 断，但 右 连 续.2.下 列 函 数 在 指 出 的 点 处 间 断，说 明 这 些 间 断 点 属 于 哪 一 类，如 果 是 可 去 间

50、断 点，则 补 充 或 改 变 函 数 的 定 义 使 它 连 续：(D y=J，/二,一 1,4 2；x-3x+2解 尸 2：T c4 飞 a?因 为 函 数 在 m 2和 x=l处 无 定 义，所 以 m 2和 x2-3x+2(x-2)(x-l)是 函 数 的 间 断 点.因 为 limy=lim=4 二=8,所 以 m 2是 函 数 的 第 二 类 间 断 点；1 2，1 2 X2-3 X+2因 为 lim y T im F半=-2,所 以 x=l是 函 数 的 第 一 类 间 断 点，并 且 是 可 去 间 断 x1 X 1(x 2)点.在 m l 处，令 尸-2,则 函 数 在 m