2022年数学高考试题解析03导数及其应用.pdf

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1、1.【2 0 2 2 年全国甲卷】当 =1 时，函数/(%)=Q l n%+?取得最大值一2,则/(2)=()A.-1 B.C.一 D.12 2【答案】B根据题意可知/(1)=-2,尸 =0即可解得a,b,再根据尸(盼即可解出.因为函数/定义域为(0,+8),所以依题可知，/=一 2,(=0,而/=5，所以b =2,b=0,即a=2,b =2,所以尸)=：+喜，因此函数f(x)在(0,1)上递增，在(1,+8)上递减，x=l 时取最大值，满足题意，即有尸(2)=-1 +：=-/故选：B.2 .【2 0 2 2 年全国甲卷】已知a=#,/?=c os；,c =4 s in；,则()A.c b a

2、 B.b a c C.a b c D.a c b【答案】A由：=4 t an：结合三角函数的性质可得c b；构造函数/(%)=c os%4-1%2-l,x e(0,+8),利 用 导 数 可 得 a,即可得解.因为 =4 t an：因为当%G(0,7)/S in x%例 呼 1,所以cb；设f (%)=c os x 4-|x2 l,x E (0,4-oo),r(x)=-s in x 4-%0,所以/(%)在(0,+8)单调递增，则f f()=O,所以 c os；一,0,所以b a,所以c b a,故选：A3 .【2 0 2 2 年新高考 1 卷】设a=0.1 e ，,b =3，c=l n 0.

3、9,则()A.a b c B.c b a C.c a b D.a c -1),因为/(x)=W-1 =一 充，当xe(-l,o)时，f(x)0,当X e (0,+8)时尸(%)0,所以函数/X x)=l n(l +x)-x在(0,+8)单调递减，在(1,0)上单调递增，所 以 居)/(。)=0，所以1 吗 一；c,所以 一/(。)=。,所以1 吟+2 0,故卷-石，所以M而故a b,设g(x)=xex+l n(l -x)(0 x 1),则g(x)=(x+l)ez+令/i(x)=ex(x2-/i(x)=ex(x2+2%1).当0 x a一 1 时,h.(x)0,函数h(x)=eq/-1)+1 单

4、调递增，又九(0)=0,所以当0 c x /一1 时，h(x)0,所以当0%0,函数g(x)=xe*+l n(l -尤)单调递增，所以g(0.1)g(0)=0,HP O.l e0 1 l n 0.9,所以a c故选：C.4.【2 0 2 2 年新高考1 卷】(多 选)已知函数f(x)=x 3-x +l,贝 i j()A.f(x)有两个极值点 B.f(x)有三个零点C.点(0,1)是曲线y =/(x)的对称中心 D.直线y =2 x是曲线y =/Q)的切线【答案】AC利用极值点的定义可判断A,结合/(x)的单调性、极值可判断B,利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.由题，f M=3/-1,

5、令/(%)。得%争 敷 _ 与令 广(乃 0,f$=1 一等 0,/(2)=一 5 /(y)0,即函数/(%)在 停,+8)上无零点，综上所述，函数/(x)有一个零点，故 B错误；令八(刀)=%3 一工，该函数的定义域为R,h(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=则h(x)是奇函数，(0,0)是九(x)的对称中心，将h(x)的图象向上移动一个单位得到/。)的图象，所以点(0,1)是曲线y =f(x)的对称中心，故 C正确；令r(x)-3 x2 1 =2,可得x-1,又/(I)-/(1)-1 当切点为(1,1)时，切线方程为y=2 x -L当切点为(一1,1)时，切线方程为y =2 x+3

6、,故 D错误.故选：AC.5.【2 0 2 2 年全国乙卷】已知x=X 和x=&分别是函数/(x)=2 a*e x2 (。0 且 1#1)的极小值点和极大值点.若/%2,则 a 的取值范围是.【答案】,1)由 i，%2 分别是函数/(%)=2 a*-e/的极小值点和极大值点，可得 6(一 8,%i)u (%2，+8)时，/(%)。，再分a 1 和0 a 1 两种情况讨论,方程2 1 n a ax-2 e x=0 的 两 个 根 为 即 函 数 y =I n a Q与函数y =e x的图象有两个不同的交点,构造函数g(x)=lnQ/利用指数函数的图象和图象变换得到g(x)的图象，利用导数的儿何意

7、义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.解：f (%)=2 1 n a -ax 2 ex,因为%i，%2 分别是函数人久)=2 产-e产的极小值点和极大值点，所以函数/(X)在(一 8,与)和(外,+8)上递减，在(不,2)上递增，所以当 W (8,%1)U (工 2，+8)时，/，(%)。，若al时，当 0,2 e%V 0,则此时f (x)0,与前面矛盾，故Q1不符合题意，若0 Q V 1 时，则方程2 1 n a -ax-2 ex =0 的两个根为如 孙即方程In a -ax=ex 的两个根为乙，外，即函数y =In a Q”与函数y =e%的图象有两个不同的交点,V0a 1,函

8、数y =/的图象是单调递减的指数函数，又 l n a Of：.y=In a 产的图象由指数函数y =向下关于%轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的|l n a|倍得到，如图所示：设过原点且与函数y =g(x)的图象相切的直线的切点为(%o n a a”。)，则切线的斜率为g (&)=l n2a Q*。，故切线方程为y -In a ax =In 2 a ax(x x0),则有 In a ax =x0n2 a 解得%o =*，则切线的斜率为In 2 a .a i n a =el n2a,因为函数y =In a Q”与函数y =e%的图象有两个不同的交点，所以

9、e l M a v e,解得工 a e,e又0 a 1,所以e-a 0和x 0时设切点为(x o，l n x。)，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出出,即可求出切线方程，当x 0时y =In x,设切点为(x o，l n x()，由V=；，所以y l x=x o=，所以切线方程为y-I nx0=*a-*o)，又切线过坐标原点，所以一l n x =i(-x0),解得=e，所以切线方程为y -1 =1(x-e),即 y =-Xie当x 0,解得a 0,，a的取值范围是(-8,-4)U (0,+8),故答案为：(-8,-4)U (0,+8)7.【2 0

10、 2 2年新高考2卷】曲线y =l n|x|过坐标原点的两条切线的方程为若M=-1,求 a；求。的取值范围.【答案】3(2)-l,+o o)(1)先由人乃上的切点求出切线方程，设出g(x)上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出a 即可；(2)设出g(x)上的切点坐标，分别由f(x)和g(x)及切点表示出切线方程，由切线重合表示出a,构造函数，求导求出函数值域，即可求得a 的取值范围.由题意知,/(-I)=-1 -(-1)=0,fix)=3x 2 _ 1,/(_ 1)=3-1 =2,则旷=/(%)在点(一1,0)处的切线方程为y =2(x +1),即y =2 x +2,设该切线与g(x

11、)切于点(%2,9(%2)，=2 x,则g (%2)=2x2=2,解得x2=1 则g(l)=l +a =2 +2,解得a 3；(2)f(x)=3 x2-1,则y =f(x)在点(/(Xi)处的切线方程为y -(x f -xx)=(3x f -l)(x x ,整理得y =(3*-l)x -2 婢,设该切线与g(x)切于点(X2，g(&)，g (x)=2 x,则d(*2)=2*2,则切线方程为y-(x f +a)=2X2(X-x2),整理得y =2 x2x 一媛+a,则 葛I二黑,整理得a =好-2 婢=(乎一 02-2 H =滂-2君-|好+；，令九(%)=2%3 1 x2+%则/i (x)=9

12、 x3 6x2-3 x=3 x(3%+l)(x 1),令九(%)0,解得一1 V%1,令(%)0,解得一1 或0V%VI,则%变化时，的变化情况如下表:X(8T136,。)0(0,1)1(1,+8)0+00+九(无)52 7714-17则九(x)的值域为-1,+8),故a 的取值范围为-1,+8).9.【20 22年全国甲卷】己知函数/(x)=7 I n x+x-a.若“幻 2 0，求 a的取值范围；(2)证明:若/(x)有两个零点力,2，则环 0,再利用导数即可得证.(1)/(x)的定义域为(0,+8),八 x )=G妥):T+1=31%、+(一 =U(6+i)令/(x)=Q,得 x=1当x

13、 e (0,1),f(x)0,f(x)单调递增f(x)/(I)=e +1 -a，若f (x)0,则e +1 -a 0,即 a e+1所以a 的取值范围为(一 8,e +1(2)由题知J(x)一个零点小于1,一个零点大于1不妨设/1 x2要证 1,即证“1 心因为f (%1)=f (次)，即证/。2)/(3即证、I n x+%I n x 0,x 6(1,4-o o)即证字 2 I n x 0下面证明%1 时，1 O J n x|(x-|)i,则g(x)=C _ M e (1 +4-(-款=；(1 一 九 _ j(l _ 设中=?(X l)”(x)=(；-爰)J =妥 e 0所以*Q)W(l)=e

14、，而 j 0,所以g(x)0所以g(%)在(1,+8)单调递增即g(%)g(l)=0,所以g -%ex 0令h(x)=Inx -i),%1所以九(X)在(1,+8)单调递减1-t即/i(x)/i(l)=0,所以Inx-(x-)0,所以Xi%?【点睛】关键点点睛：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式/i(x)=ln x-*x 这个函数经常出现，需要掌握1 0.【2022年全国乙卷】已知函数/(x)=a x /一(a+l)lnx.(1)当a=0时，求f(x)的最大值；若/(x)恰有一个零点，求 a 的取值范围.【答案】1(2)(0,+8)(1)由导数确定函数的单调性，即可得

15、解；(2)求导得/(%)=所),按照。w 0、0 a 1结合导数讨论函数的单调性,求得函数的极值，即可得解.当a =0 时，/(x)-l n x,x 0,则/(x)=/一=皆，当工 (0,1)时,尸(%)0,f(x)单调递增;当K 6(1,+8)时，f(x)0,则,(x)=a+=叱？-?当a WO时，ax-IWO,所以当x 6(0,1)时，/(x)0,/(x)单调递增；当#6(1,+8)时，/z(x)0,/(x)单调递减；所以f(x)m a x=/(l)=a-l。，此时函数无零点，不合题意；当0 a 1,在(0,1),(，+8)上，fx)0,/(x)单调递增；在(1,上，f (x)0,单调递减

16、；又/(l)=a-l 1 时，i 0,f(x)单调递增；在G，1)上，f Q)0,又/媪)=备 一 那+混。+1)1 必 当 n趋近正无穷大时，/喧)趋近负无穷，所以f(x)在(0、)有一个零点，在+8)无零点，所以f(x)有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为(0,+8).【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.1 1.【20 22年全国乙卷】已知函数f (x)=l n(l +%)+。我一(1)当Q=1 时，求曲线y =/(%)在点(0 J(0)处的切线方程；若f(x)在区间(一1,0),(0,+8)各恰有一个零点

17、，求a的取值范围.【答案】y =2x(2)(-8,-1)(1)先算出切点,再求导算出斜率即可(2)求导，对a 分类讨论，对x 分(0,+8)两部分研究/(X)的定义域为(1,+8)当a =1 时,f(x)=ln(l+x)+5/(0)=0,所以切点为(0,0)f(x)=2 +一,(0)=2,e 1+x e所以切线斜率为2所以曲线y =f(x)在点(0)(0)处的切线方程为y =2 x(2)dx/(x)=ln(l+x)+ea,、1 ,矶 l x)ez+a(l-x2)=+匚=67 1 +而设 gQ)=e*+Q(i 一 7)1 若a 0,当x G (-1,0),g(x)=ex+a(l-x2)0,即(x

18、)0所以/(%)在(一1,0)上 单 调 递 增(%)/(0)=0故/(%)在(-1,0)上没有零点，不合题意2 若一 1 a 0所以g(X)在(0,+8)上单调递增所以g(%)g(0)=1 +a 0,即/(无)0所以/(%)在(0,+8)上单调递增,/(久)/(0)=0故f (%)在(0,+8)上没有零点，不合题意3 若Q 0,所以g(x)在(0,+8)上单调递增5(0)=1 +a V。,0(1)=e 0所以存在m 6(0,1),使得g(m)=0,即/(=0当%e(0,0J(x)单调递增所以当 工 (0皿/(乃 V f(0)=0当X -4-00,/(x)T +o o所以f (x)在(m,+8

19、)上有唯一零点又(0,m)没有零点，即f(x)在(0,+8)上有唯一零点当x e(-1,0),g(x)=+a(l-x2)设九(x)=g(x)=ex-2 ax/tz(x)=J 2 a 0所以g(x)在(一1,0)单调递增y(-l)=-+2 a 0e所以存在?i e(一1,0),使得“(?1)=0当X e(-l,n)，5z(x)0,g(x)单调递增,g(x)g(0)=1 +a 0e所以存在t e(一l,n),使得g(t)=0,即1=0当x 6(-Lt),/。)单调递增，当x G (t,0),f(x)单调递减有 x -l,/(x)一 一 8而f(0)=0,所以当x e(t,0),/(x)0所以x)在

20、(1,t)上有唯一零点,(t,0)上无零点即f(x)在(一1,0)上有唯一零点所以a 1时，e-x =b的解的个数、x-ln x =b的解的个数均为2,构建新函数九(x)=丁+I n x -2 x,利用导数可得该函数只有一个零点且可得/(x),g(x)的大小关系，根据存在直线y =b与曲线y =/(x)、y =g(x)有三个不同的交点可得b的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.(1)/(x)=e-a x的定义域为R,而尸(x)=e*-a，若a 0,此时/(x)无最小值，故a 0.g(x)=a x -I n x的定义域为(0,+o o),而g(x)=a -：=与三.当x I n

21、a时，f(x)I n a时，f(x)0.故f(x)在(I n a,+8)上为增函数,故/(x)m i n -/(I n a)=a-a ln a.当0 x5时，g(x)5时，g(x)。，故g(x)在,+8)上为增函数，故g(X)m i n =d()=1 -I*.因为f (%)=ex-Q X和g(%)=Q%-I n x有相同的最小值，故1 -=Q-a ln a,整理得到匕=I n a,其中Q 0,a 1+a设。=震7n a,a 0,贝灯=品一合 士。，故g(a)为(0,+8)上的减函数，而g(l)=0,故g(a)=。的唯一解为a =1 故 肃=I n a的解为Q=1.综上，a =1.由(1)可得/

22、(x)=px%和g(%)=%I n x的最小值为 1 -I n i =1 I n：=1.当b l时，考 虑/一 x =b的解的个数、x -I n x =b的解的个数.设S(x)=eX-x b,S,(x)=ex-1,当x 0时,S x)0时，S (x)0,故S(x)在(8,0)上为减函数，在(0,+8)上为增函数，所以S(x)m i n =5(0)=1 -b 0,S(b)=e-2 b,设u(b)=eb-2 b,其中b l,则/(b)=-2 0,故u(b)在(1,+8)上为增函数,故“(b)u(l)=e-2 0,故S(b)0,故S(x)=丁 一%-6有两个不同的零点，即/一 x =b的解的个数为2

23、.设7(x)=x -I n x b,7v(x)=?，当0 xl时，T(x)l时，(x)0,故7(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+8)上为增函数，所以 T(x)m i n =T(l)=l-b 0 T Q”=eb-2 b 0,T(x)=x -I n x -b有两个不同的零点即x -I n x =b的解的个数为2.当b=1,由(1)讨论可得x ln x =b、e x =b仅有一个零点，当b 1.设/i(x)=e*+I n x -2 x,其中x 0,故(x)=e*+；-2,设s(x)=ex-x -1,x 0,则s 0,故s(x)在(0,+8)上为增函数，故s(x)s(0)=0即 J%+1,所以(

24、x)x +-l 2-l 0,所以h(x)在(0,+8)上为增函数,而无(1)=e-2 0,故九(无)在(0,+8)上有且只有一个零点沏，4 0 1 且：e当0 V%V&时，九()。即 J x x ln%B P/(x)与时，/i(x)0即 J x x ln x B|J/(x)g(x),因此若存在直线y =b 与曲线y =/(%)y=g(%)有三个不同的交点，故匕=/(%0)=g(&)1，此时e 一 =b 有 两 个 不 同 的 零 点%0%0),此时-I n x =b 有两个不同的零点%o，%4(O x0 1 1,故:1?_ ：即/+久 4=2 X。.x1 XQ D【点睛】思路点睛：函数的最值问

25、题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.13.【2022年新高考2 卷】已知函数/(x)=%一 丁.(1)当a =l B j,讨论/(x)的单调性；当久0 时.，/(x)ln(n+l)-【答案】/(%)的减区间为(一8,0),增区间为(0,+8).a 士 I 见解析(1)求出广。)，讨论其符号后可得f(x)的单调性.(2)设“乃=xeax-J+1，求出九00,先讨论a ；时题设中的不等式不成立，再就0 a 结合放缩法讨论九(X)符号，最后就a 1恒成立，从而可得l n(n +1)I n n q 对任意的?！e

26、 N*恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.当a =l 时，/(x)=(x -1)/,则f=)=xj，当x0 时，f(x)0 时，f(x)0,故/(的减区间为(一 8,0),增区间为(0,+8).设九。)=xeax-/+1,则九(0)=0,又(x)=(1+a x)ea x-ex,设g(x)=(1+ax)eax-ex,则g Q)=(2a +-ex若a 3，则g，(0)=2 a-l 0,因为g(x)为连续不间断函数，故存在X。e(o,+8),使得v x e(o,%o)，总有g(%)0,故g(x)在(O,%o)为增函数，故g(x)g(0)=0,故h(x)在(O,X o)为增函数，故h(x)h(0

27、)=-1,与题设矛盾.若0 0,总有l n(l +x)%成立，证明：设S(x)=l n(l +x)-x,故S(x)=上 -1=0,故S(x)在(0,+8)上为减函数,故S(x)5(0)=0即l n(l 4-x)x 成立.由上述不等式有 jx+ln(l+ax)一 x ax+ax-x=2ax _ x Q)故九G O 0总成立，即/l(x)在(0,+8)上为减函数，所以h(x)九(0)=-L当a W 0时，有()=ea x 一 /+Q/以 1-1 +0=0,所以九(%)在(0,+8)上为减函数，所以九(%)h(0)=-1.综上，a 0,总 有%一 J+1 V 0成立，令t =j ，则亡 1,/=ex

28、f X=21n 3故2t l n t t2-1即21n t 1恒成立.所以对任意的nWN*,有21n 叵 叵 一口,n ri n+l整理得到：l n(n +l)-l n n l n 2-I n l +l n 3-l n 2+-+l n(n+l)-l n n-l n(n +1),故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.1 4.【2022年北京】已知函数/(X)=JlnQ+x).求曲线y =f(x)在点(0,f(0)处的切线方程；(2)设g

29、(x)=f(x),讨论函数g(x)在 0,+8)上的单调性；(3)证明：对任意的s,t 士(0,+8),有/(s +t)f(s)+/(t).【答案】(l)y =x(2)g(x)在 0,+8)上单调递增.证明见解析(1)先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程；(2)在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解；(3)令m(x)=/(x +t)-/(x),(x,t 0),即证m(x)m(0),由第二问结论可知m(x)在 0,+8)上单调递增，即得证.解：因为/(X)=e l n(l +x),所以/(0)=0,即切点坐标为(0,0),又/(x)=e l n(l +

30、x)+W)，二切线斜率k =尸(0)=1，切线方程为：y =x解:因为。0)=(。)=:(仙(1+工)+士)，所以g(久)=J(ln(l+%)+号 一 高)，令/!(x)=ln(l+x)+W-a ，则 九 口)=左 一 六+高=，九(%)在 0,+8)上单调递增,九(%)九(0)=1 0 ,(%)0在 0,+8)上恒成立，g(x)在 0,+8)上单调递增.(3)解：原不等式等价于/(s +t)-f(s)/(t)-/(0),令m(%)=f(x +t)-/(x),(x,t 0),即证m(%)m(0),Vm(x)=f(x +t)-/(%)=ex+tln(l+%+)exln(l+x),x+t XW(x

31、)=产 皿 1+x+t)+-exln(l+x)-第=g(x+t)-g(x),由(2)知g(x)=/(x)=e*Q n(l+x)+-)在 0,+8)上单调递增,；.g(x+t)g(x),0.TH。)在(0,+8)上单调递增，又因为K 0,/.m(x)m(0),所以命题得证.1 5.【2022年浙江】设函数/(%)=克+ln%(%0).求/(%)的单调区间；已知a,b e R,曲线y=/(%)上不同的三点01，/(/),(2，/(久 2)，0 3，/(心)处的切线都经过点(a,b).证明：(i)若a e，则0 Vb-/(Q)X：-1)；(ii)若0 V Q e，%i V 2V x3，则2+W +；

32、：一音.C Q BE x3 a&e(注:=2.71828是自然对数的底数)【答案】f(x)的减区间为(0,；)，增区间为(：,+8).(2)(i )见解析；(i i)见解析.(1)求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.(2)(i )由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立,(i i)k=m=-l,则题设不等式可转化为h +t 3 -2 -之 侬:：)如:，之),结合零点满足的方程进一步转化为I n m +6T)(：3)T:m+12)0,利用导数可证该不等式成7 2(7 7 1+1)立.尸(工)=-京+;失，当0 x：,f (x)：，/z(x)0,故/(x)

33、的减区间为(0,f),f(x)的增区间为(；,+8).(i)因为过(a,b)有三条不同的切线，设切点为(%,/(/)N=1,2,3,故/()一匕=/()(看一。)，故方程f(x)-b=f(x)(x -a)有 3个不同的根，该方程可整理为G-芯)。-a)-比 一 I n x +b=0,设 9(x)=C-蓑)。-a)-i n x +b,则ga)=：一 志+(1+。一一：+泰=一点(%_ e)(x -a),当0%Q 时，g(%)0；当e x 0,故g(x)在(0%)，Q+8)上为减函数，在(&Q)上为增函数，因为g(x)有 3个不同的零点，故。储)0,故 S-*)(e-a)-f-ne+b 0,整理得

34、到：84+1 1 1(1 =/(砌，2e2a此时 b _ /(a)-+I n a)+|=I n a,设 (a)=|I n a,则i f(a)=0,故(0)为(+8)上的减函数，故(a)V|-1%=o，故0b-/(a)*-l).(i i)当0 a e时，同(i)中讨论可得：故g(%)在(0,a),0+8)上为减函数，在(a/e)上为增函数，不妨设与 x2 x3,则0 V Q V 不 V e 0，故 -号)(e-a)-f-n+b 0 且(三-六)(a-a)-I n a+6 0,e 2e 2e a 2a 2a整理得到：-+l Z)-+l n a,2e 2e因为 X x2 x3,故 0 V 与 1，小

35、=：1,要证：患 即 证2+t】+t3?守即证：呼气+J .一 管,即证：(。+13+t3-0,2即证:t i +t3-2-(7 n-1 3)(7 n 2-m+1 2)367n(ti+J)而一(ni+1)亡 1 4-+lni+b=0 且一(zn+1)3+修 +ln 3+b=。,故I n h l n t：3 +(*抬)一(巾+1)(0 J)=0,故S +t 3-2-公X铐故即证：一公铐 0fl-t37 2即 证.(k+l)l +(m T 3)(m 2 m+1 2)0,k-1 72记=1,贝的，出)=谷的 一 一 2 i n k)0,K 1(兄 一，N设“(k)=k 一 三 一2 nkf 则优()

36、=l+-|-=0 即 d(k)0,故3(k)在(l,+8)上为增函数，故w(k)(p(m).所以0十k-l(m-13)(m2-m+12)7 2(m+l)l n m (7 n-13)(7 n2-7 n+12)-1-，m-1 7 2记3(m)=I n m +如 当 前 詈 产 U 2,o m 1,则 3,C m)=(m T)2(3m 3-20m 2-49 n t+7 2)(7 7 1-1)2(3 3+3)9-7 2m(m+l)2 72 mo+1)2 所以3(m)在(0,1)为增函数，故3(m)3(1)=0,故 Inm+(m-DOnTSWn-m+l Z)即(m+l)l n m (?1-13)(而一仇

37、+12)7 2(m+l)-K i 7 2故原不等式得证：【点睛】思路点睛：导数背景下的切线条数问题，一般转化为关于切点方程的解的个数问题，而复杂方程的零点性质的讨论，应该根据零点的性质合理转化需求证的不等式，常用的方法有比值代换等.2022年高考模拟试题1.(2022全国南京外国语学校模拟预测)设函数/(x)在 R上存在导数/(X),对于任意的实数 x ,有 尤)+-=2/,当 x e (9,()时，(x)+4 2x ,若 f(+2)+(，)+e%n,in-2则 实 数 用 的 取 值 范 围 是()A.1,2)B.(v,l U(2,+o o)C.-2,2)D.S，-1 U(2,同【答案】D构

38、造函数g(x)=/(x)-x 2+4x,得到g(x)为奇函数,g(x)在 R 上单调递减，分加-2 0两种情况，利用奇偶性和单调性解不等式，求出实数，的取值范围.f(x)+4 2 x,/,(x)+4-2x 0.令 g(x)=/(x)-x2+4x,且 g，(x)=/(x)2x+4,则g(x)在(r，。上单调递减.又；f(x)+f(-x)=2 xi,g(x)+g(-x)=/(x)-x2+4x+/(-x)-x2-4x=f (x)+/(-x)-2/=0,g(x)为 奇 函 数,g(x)在R上单调递减.”T+2)+7)+4 g 2 m,m-2./(加 +2)+/(机)+4 2及*+4加 ,-V 0.m-

39、2当m-2 0,即机2时,，(机+2)+/(机)+4 2a 2+4a20,即/(/n +2)-(7 M +2)-+4(，w +2)2-.f (，)-加2 +4?即 g(/n+2)2g(m),由于 g(x)在 R上递减,则/H+2 4TH,解得：m-,m 0,即机 2 时、f(m+2)+f(m)+4-2 m2+4/M-,所以机2.综上所述，实数机的取值范围是(,-1 U(2,M).故选：D.【点睛】构造函数，研究出构造的函数的奇偶性和单调性，进而解不等式，是经常考查的一类题目,结合题干信息，构造出函数是关键.2.(2022内蒙古 海拉尔第二中学模拟预测(理)已知函数/(x)=o e*+n0 0)

40、,若对任意实数x l,不等式/(x)N l n(x-l)总成立，则实数。的取值范围为()C.g,+8)D.9 收)【答案】D将所求不等式变形为e ，+x+I n。2 e M(T +I n (x-1),构造函数g (x)=e +x,可知该函数在 R上为增函数，由此可得出I n a N l n(x-l)x,其中x l ,利用导数求出力(x)=l n(x 1)x的最大值，即可求得实数。的取值范围.当x l 时，由/(x)N l n(x-l)可得e A-+l n a+l N l n(x T)，即 e+l n x-l +l n(x-l)=eh l(l)+l n(x-l),构造函数g(x)=e*+x,其中

41、xeR,则g(x)=e*+1 (),所以，函数g(x)在R上为增函数，由 ev+l n l n(x-l),H P l n a l n(x-l)-x,其中 x l,令(x)=l n(x l)x,其中x l,贝=-1 =.当I 0,函数/i(x)单调递增,当x 2 时，/2r(x)p-.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，解题的关键就是将所求不等式进行转化，通过不等式的结构构造新函数，结合新函数的单调性来求解.3.(20 22 江苏无锡 模拟预测)已知。=1 1 1 3/=6-屋=(9-31 113把-3,则“，。的大小为()A.a b c B.acb C.c a b

42、 D.b c e 时，求导得：r(x)=lz 学(),X X则函数/(X)在 e,+8)上单调递减，又。=坐=/(3),f e =/(e),3 e3(3-I n 3)3 谓、3e3e3显然e 3 ,则有f(1)f(3)/(e),所以ca 6.故选：C【点睛】思路点睛：某些数或式大小比较问题，探讨给定数或式的内在联系，构造函数，分析并运用函数的单调性求解.4.(20 22福建三明一中模拟预测)己知e为自然对数的底数，a,b均为大于1的实数，若ae,+l+b b n b,则()A.b e,+l C.ab e【答案】B由题意化简得到e I n e 4/,设 x)=x ln x,得到/(e )/2)，

43、结合题意和函数 x)e e e的单调性，即可求解.由a e +人 b ln b,binb-b=b(lnb-l)=bn-,即e I n e ,e e e设 x)=x】nx,可得/(e )0,可得e l,又因为如n b-l)0,6 0,所以即be,所以2 1,e当x l 时，/,(x)=ln.r+l 0,可 得 函 数 在(1,y)为单调递增函数，所以e e 叫e故选：B.5.(20 22 河 南 开封市东信学校模拟预测(文)已知函数/(x)=e*-/n x,则曲线y =f(x)在点(1,/)处的切线方程为()A.e x +2y-e =0 B.e x-2y +e =0 C.e x 2y-e =0

44、D.e x +2y +e =0【答案】B根据导数的几何意义及点斜式方程即可求解.r(x)=e,f(l)=e-=f.2 x 2 2又/=e-|x ln l=e,切点为(l,e)所以曲线y =f(x)在点(1,/)处的切线的斜率为k =/=|,所以曲线y =f M在点(1 J(D)处的切线方程为y-e =(x-l),B|J e x-2y +e =0.故选：B.6.(20 22 湖北模拟预测)若过点(，”,)(6 0)可作曲线=-/三 条 切 线，则()A.0 n /n3 C.0 D.0/?=-m3【答案】A设 切 点 为 根 据 导数的几何意义写出切线的方程，代入点(,乂“0),转化为方程有 3

45、个根，构造函数g(r)=2/3 m 2-，利用导数可知函数的极值，根据题意列出不等式组求解即可.设切点为,一打,由 y =-V n V =-3/,故切线方程为 y +/=-3z2(x-r),因为(m,)(;。,g(。为增函数,当，(-八0)时，g，(力v 0,g(。为减函数,且，一 0 0 时，g(/)0 0,t +0 0 时，g(f)+0,所以只需g )极 大 值=8(瓶)=_ 机3_ 0 -女值 八、八，解得g()极 小 值=g=f o 且xwl,所以:(力=里 ，所以当0 x l 和l x e 时/(x)e 时;(x)0,叩 x)在(0,1)和(l，e)上单调递减，在(e,+8)上单调递

46、增，且 f(e)=l,函数f(x)的图象如下所示：令f =/(x),设方程产+w+l =0 的两根分别为乙、t2,A =o2-4,当/()时，0 2或2,由4+/2=_ 4 0,0,所以40,60由图可得/(x)F与制=芍各有一个解，符合题意，若 a 2,r,f2=l 0,可设勺4 0,tt e(0,1),t2 e(l,+o o),由图可得x)=4无解，劝=芍有两个解，符合题意，综上可得。的取值范围为(-8,-2)U(2,X O)；故选：A8.(2 02 2河南安阳模拟预测(理)已知函数f(x)=-3(l n x)2+a x,若xeQ 时，/(x)在x =l处取得最大值，则实数。的取值范围是(

47、)A.卜。，!B.(-o o,0 C.(0,|A 仔，)【答案】B根据题意/(X)当x e l,e 2 时恒成立，整理得a(x l)V 3(l n x)2,当口口1时，y=a(x-l)在g(x)=3(l n x)2图像的下方，结合图像分析处理.根据题意得f M f W当x e l,e 1时恒成立则一3(l n +o x W a ,B P 7(x-l)0对V x e(O,l)恒成立，则实数。的取值范围为()A.17，：B./,+00)c.D.(0,：【答案】B由 题 设 有 畔 止，构造/(*)=叱，利用导数研究其单调性及值域，将问题转化为ae x xa e x在(0,1)上恒成立，再构造g(x

48、)=/结合导数求参数范围.由题设可得达华 叱，令/(*)=叱，则f(a e,)/(x)在(0,1)上恒成立，ae x x由尸(x)=上 等，在(O,e)上:(x)0；在(e,+8)上/(x)0；所以f(x)在(0,e)上递增；在(电田)上递减，且/(1)=0,在(0,1)上 x)0,而。0,x所以，只需在(0,1)上恒成立，即。丁恒成立，X1 Y1令g(x)=G，则/(幻=三 0,即g(x)在(0,1)上递增，故a Z g(l)=)故a的取值范围为：，+8).故选：B【点睛】关键点点睛：不 等 式 化 为 畔 里 上，构 造/(*)=比 研 究 单 调 性，进一步将问题转化为a e x x研究

49、a e”x在(0,1)上恒成立.1 0.(2 02 2 湖北 黄冈中学模拟预测)已知a,b为正实数，直线丫 =。与曲线y =l n(x +6)1 4相切，则一+7的最小值为()a bA.8 B.9 C.1 0 D.1 3【答案】B设切点为(/，%),求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切点的坐标，可得。+匕=1,再由乘1 法结合基本不等式，即可得到所求最小值.设切点为(不，%),y =l n(x +。)的导数为 y,x+b由切线的方程y =x-。可得切线的斜率为1,令 占 =1 田=1-%王)十 则 为=l n(l-/?+Z?)=0 ,故切点为(1-6,0),代入y =x-a,

50、得。+匕=1,。、b为正实数，m i.1 4 z 4、0 4 、lb 4 a 八则I=(+6)(I)=5 H-1-2 5 +2、-=9，a b a h a h ya b当且仅当=1 2 时，1上+4 3取得最小值9,3 3 a b故选：B1 1.(2 0 2 2 河南平顶山市第一高级中学模拟预测(理)已知函数x/(x)=a(e*+1)-2(a e R).e若g(x)=eJ/(x),讨论g )的单调性;(2)若/(x)有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】答案见解析；(2)(0,1).(1)对函数进行求导，分为。4 0 和。0 两种情形，根据导数与0的关系可得单调性；(2)函数有两个零点即g