复变函数与积分变换课后答案2.pdf

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1、复 变 函 数 与 积 分 变 换 课 后 答 案（苏 变 萍 陈 东 立）高 等 教 育 出 版 社（第 二 版）武 汉 大 学 珞 珈 学 院 第 一 章.2第 二 章.37第 三 章.85第 四 章.107第 五 章.151第 一 章 第 一 篇 复 变 函 第 I 章 复 数 与 复 变 函 数 1.1 内 容 要 点 1.复 数 的 各 种 表 示 法 代 数 表 示 法：z=+iy.三 角 表 小 法；z=r（cos，isin夕）.指 数 表 示 法：z 二，屋.2.黛 数 的 代 数 运 算 及 几 何 意 义 复 数 的 加 减 法：Z 土 z?=（阳 土+2）+i（y i 士

2、 冷）复 数 的 乘 法：Z和 二（孙”2-力 力）+（%】+物 复 数 的 除 法：工 安 空+i普 乎 5#。）.Z2 xj+yi x1+修 定 理 1 两 个 复 数 乘 积 的 模 等 于 它 们 模 的 乘 积；两 个 复 数 乘 积 的 辐 角 等 于 它 们 辐 角 的 和.定 理 2 两 个 复 数 商 的 模 等 于 它 们 模 的 商；两 个 复 数 商 的 辐 角 等 于 破 除 数 与 除 数 的 辐 角 差.3.扩 充 复 平 面、平 面 点 集 4.复 变 函 数 的 概 念 及 其 几 何 意 义 定 义 1 设。是 一 个 给 定 的 复 数 集，如 果 有 一

3、 法 则/,对 于 每 一 个 数 z G O,总 有 确 定 的 复 数 w 和 它 对 应.则 称/是。上 确 定 的 复 变 数 函 数（简 称 复 变 函 数）.记 作 W-/Q）.数 集 D 叫 做 这 个 函 数 的 定 义 域.5.初 等 函 数 的 定 义 及 性 质 1.2 教 学 要 求 和 学 习 注 意 点 I.教 学 要 求牢 固 掌 握 复 数 的 各 种 表 示 方 法 及 其 运 算，了 解 区 域 的 概 念，理 解 复 变 函 数 的 概 念，了 解 指 数 函 数、对 数 函 数,嘉 函 数 和 三 角 函 数 的 定 义 及 它 们 的 主 要 性 质.

4、重 点：复 数 的 运 算，复 变 函 数 的 概 念.难 点：初 等 函 数 中 的 多 值 函 数 的 理 解.2.学 习 注 意 点(1)下 面 的 证 明 过 程 错 在 何 处？题 目：证 明 若 Z|Z2Z3=O,则 Z,Z 2-3 中 至 少 有 一 个 为 零.证：设 4=r*e(=1,2,3),则 Z z2z3=ri r 2 r 3/|*2+P=0.门，r 2,口 中 至 少 有 一 个 为 零，J.Z i，Z 2，的 中 至 少 有 一 个 为 零.答：证 明 过 程 的 设 是 错 误 的，当 Z=0 时，Z 不 具 有 指 数 表 达 式.正 确 的 证 明 为：若 Z

5、 3#0,则 Z iZ2=Z l：2 卜 3：)=0,若 32 H o，则 Z=Z 2,=0,故 Z，Z 2,句 中 至 少 有 一 个 为 0.(2)下 面 的 解 题 过 程 错 在 何 处？题 目：求 益 的 全 部 单 根.解：86=(23)1=2 i=el(ln 2+v 2 U)=el.e=土 般,答；此 解 题 过 程 在 第 二 步 到 第 三 步 的 推 导 时 出 错 了，正 确 的 是：在 复 数 范 围 内(23)l=(2V*n)i=V2e3E，a=0,1,2).在 实 数 范 围 内(23)i=2i.(3)下 面 的 解 题 过 程 错 在 何 处？题 目：设=-1+-

6、/3 i,Z2=-1+i.求 a r g z j z2 解：A r g z,z2=A r g z j+2 3二 T 林+2 k H3 41 7-7 T+247C,17,.a r g 2 j2=-2 答；一 加&rgZZ2 W(,a职 ZZ2=磊 穴 是 错 误 的 正 确 答 案：由 ArgZ?2=三+2时,得 1 J u7argzjzz=-不 n.(4)证 明：(a)Ln(i2)=A+-1-j rci=yLni(A=0,1,2f-*);(b)Lni22Uii.1 i证：(a)r/Ln(i，)=询 电(内)+(2上 冗+号 卜，(2 M 处=(五+于)i,方 5=-+2 麻 卜=(十”,J.L

7、n(J2)=(4=0,1,2,).(b)Lni2=Ln(-1)=(2k+1)TOT21.ni=2(%+2&irb=(4fc 4 1 而，Lni2 R 2 Lni.1.3 释 疑 解 难 1.复 方 程 az2+Az+c=O(亍 0)的 求 根 公 式 z=1 a+彳 6 中 6?-2a4Q C 为 什 么 要 求 不 等 于 0.答：因 为 关 于 复 数 方 根 加:/(即 J)的 定 义 中 要 求 纺 六。，若 z=O 必 有 切=0.而 J F=7 2 为 复 数 方 根 的 形 式，因 此 公 式 中 7-4 欧 xo.事 实 上，因 为(U2+bz+e=0 T若-4ac=0,贝！1

8、3b2,2,证 明：(a)若 lnz=lnr+i0(，O,g e 0,-K 9 0,Re(Z2)0 时，ln(Z4)=Inzi+Inz2+2km(k=0)0 或 R e(/0 时，fargzj+argz2,largzj+aig2 I义 唔(丸 22)=.argZ+aigZ2 2汽,I argzi+aTgz?I 兀.In 1 Z z?I=In I I+Ln I Z21,In(ziZz)=Inzi+lnz2+2为 力(k=0,1).当 Re(zi)0 且 Re(z2)tr.In I 72 I=In I Zj I+In I z2 I,ln(zj z2)=Inz+lnz2+2km(4=0,I).综 上

9、 所 述，对 任 何 非 零 复 数 句 和 Z2都 有 lnlz/2)=Mz+lnz2+2kni(左=0,1)4.求 证：三 个 复 数 Z1,Z2,町 成 为 等 边 三 角 形 顶 点 的 必 要 与 充 分 条 件 是：Z：+Z；+Z：=ZZ2+%2彳 3+23列.证：三 角 形 句 句 句 是 等 边 二 角 形 的 必 要 与 充 分 条 件 为；向 量 2 Z2绕 Z旋 转 4 g 或-住 得 向 量 77三，即 z?-Zi=（Z?-z i）e”或 Z 3 一 4 1 7 3.Z 3-Z 1 1 V3.一 Zs-2 72T 1=了 2 Z-V2=土，不 I两 边 平 方 化 简

10、得 结 论.1.4 典 型 例 题 例 1 将 复 数 Y J化 为 三 角 表 示 式 和 指 数 表 示 式.-1+1解：2 7=1 311-口=我 遇 喀(1-D=一 点，二 手+：的 三 角 表 示 式 为：co s(-市)+isin(-),的 指 数 表 示 式 为：戏 e-?.-1+1例 2 若(1+少=(1-,试 求 冗 的 值.解：由(l+M=(l-i)“可 得：21(cos 号+isin 明=2 cog 等+i面 铝,则 得 n=4/c(L 为 整 数).例 3 判 断 Im(z)=l 是 否 为 区 域？答：点 集 Iz llm(z)=11不 是 区 域.因 为 此 点 集

11、 的 每 一 个 点 都 不 是 内 点，依 照 区 域 的 定 义 知 其 不 是 区 域.例 4 判 断 Im(z)3so 是 开 区 域 还 是 闭 区 域，有 界 否？答：依 平 面 点 集 部 分 有 关 开 区 域、闭 区 域、有 界 集 和 无 界 集 的 概 念,Im(z)0为 无 界 的 开 区 域,Im(z)=0 为 Im(z)0 的 边 界，故 Im(z)0 为 无 界 的 闭 区 域.例 5 如 果 复 数 a+i b 是 实 系 数 方 程 aoz+%-+”+ar t_ jz+册=0 的 根，那 么 a-泌 也 是 它 的 根.证：因 为 a0(2)n+5 T+a_

12、iz+a=a。(z)+a(尸 i)+a“_ 三+4=toz+a/i+册-iz+a“=aozn+alzni+a _ z+a=0,所 以，若 z=a+i 6 为 上 述 方 程 的 根，则 其 共 扼 复 数 5=a-访 也 为 方 程 的 根 例 6 为 什 么 在 复 数 范 围 内 Icoszl w L k i n z I这 1 未 必 总 成 立？答：设 z=工+i y,则 cosz=cosxchy-isinxshy,I cos 2:1=V(cosxchy)2+(sinxshy)2=：v(1+sh2y)cos2x+sin2xsh2y=V C O S2J C+sh*y.当 shy 1 时，有

13、 I coszI 1；当 y f 8 时/C O S Z I f 8,所 以，I C O S 2 I w 1 未 必 总 成 立.同 理 I sinz I 应 1也 未 必 总 成 立.例 7 证 明：若 z 在 圆 周 I zl=2 上，那 么-r；j一 z-4z+3 3证：l/-4 z2+3 l I Z4-4 Z2I-3 0|?|-I4z2l-3=3,1 1 Z4-4 Z2+3 W.例 8 求(-&+&i)上 的 所 有 的 根、单 根，并 说 明 几 何 意 义.1 3 I解：所 有 的 方 根：(-a+&丁=(2田 2%刃=e(了+了)(-=0,1,+2,).单 根:一 e孕，也 患

14、花 者,.几 何 意 义：半 径 为 超 的 圆 内 接 等 边 三 角 形 的 三 个 顶 点.1.5 习 题 选 解 1.1.4 证 明：(a)-(Z#O,Z 2 X。)；z z2?2(b)=(Z 3#O,Z 4/O)Z3Z4 z3 Z41.1.5 证 明：(j+Z2)*=，其 中 Z i，Z2为 任 意 的 复 数，为 正 i s 0整 数.,6,证：当 e=1 时，等 式 显 然 成 立.设 B=m 时，(zj+Z2)m=2 c z 厂 k城 成 立，则 当 几=m+1 时，m(Z 1+Z2)1”=(Z|+i-0=S r-2+L 短 i=0 上=0m+1.m+l-A 3_ 7，*12

15、Z2 k=0故 结 论 成 立.1.1.7 证 明：(a)云+3i=2-3i;(b)iz=-i彳；(c)(2+i)2=3-4i;(d)t(2 i+5)(7 2-i)l=V 3l2z+5 l.证：(a)z+3i z+3i=z-3i;(b)iz=i*z=-iz;(c)(2+i)2=(r n)2=(2-i)2=3-4 i；(d)l(2 i+5)(-i)l=l 7 2-i H 2 i+5l=V 3l2z+51=6 l 2 z+5L1.1.8 应 用 数 学 归 纳 法 证 明：当 n=2,3,时，(a)2+z2+”+Z=Z,+Z2+Z”；(b)Z1Z2，Z=Z1 22 Z”.证：(a)ZI+Z2=ZI

16、+2Z.设 ZI+Z 2+Z m=勺+的+Zm，而 Zi+司+Zg+Zm+i=Zi+Z 2+Z,+Zg+i=Zi+狈+Zg+Z*八/.结 论 成 立.(b)Z Z 2=Z,Z 2.设 Z iW“m=Z Z 2 Zm，而 ZlZz-.Z Z m+i=ZZ2 Z1n口 一=Z j Z2，+t-7 结 论 成 立.1.1.9 证 明：虚 lzlmlRe(z)l+IIm(z)l.证：/+/注 2 I 4 I I y I,2(2+y2)Jt2+21 x I I y I+y2,二 212|2(1%1+lyl)2,72 I z I I Re(z)I+I Im(z)I.1.1.10证 明：当 22，句 为 非

17、 零 复 数 时，你 二=”!.=上 L.Z2Z3 I 司 句 I I 宝 I I Z3 I证:l.l.H 证 明：当 IZ3I w l z/时，不 等 式 w 上 W”一 成 立.?3+”lz3l-lz4lI Z+a I I Z I+I 4 IIZ3+Z 4 1、IZ31-IZ41Z 1+Z2Z3+Z41.1.12 证 明：当 Izl 1 时，|lm(l-Z+3证：|Im(1-z+z2)I=I Im(1-x+iy+x2-y2+2xyi)|=I y+2xy I w I,I+21%I I y I 忘 3(I z I 1).1.1.15 证 明：以 z()为 中 心，/?为 半 径 的 圆 的 方

18、 程 Iz-zgl=R 可 以 写 成:lzl2-2Re(o)+lz0|2=R2.证：；lz-zol2=(z-z0)(-20)-(z-z0)(z-i0)=22-Z0Z-2Z Q+Q=I Z I2-(ZOZ+点 0)+I ZQ I2=I z I2-2Re(五 0)+I%I 以 Zo为 心，R 为 半 径 的 圆 的 方 程 可 以 写 为：lzl2-2Re(2z0)+112=相.1.1.1 6 证 明：双 曲 线/一 尸=1 可 以 写 成/+/=2.8-2/.双 曲 线/-y=1 可 以 写 为：，2+#=2.1.1.18就 以 下 各 种 情 况，分 别 求 argz.八 急；尢；(c)z=

19、(f_i)6.(a)z=-=1+百 i解：(b)工+但 2 2，27rargz=;_ i 1=-2-2广-Z37ra%z=1；1.(c)argz=n.1.1.19 利 用 复 数 的 三 角 表 达 式 或 指 数 表 达 式 证 明：(a)(-l+i)7=-8(l+i);(b)(l+73i)-10=2-H(-l+V3i).证：(a)(-1+i)7=&、(学+2痴)=6 e-%=-8(l+i);(b)(1+V3i)-10=2l0e(f+2A,n)(-10)=2_,0e3*1=2-(-1+V3i).1.1.20 证 明：(a)l/l=1；(b)3=e；(c)e源.叱=四 十 一 纥)(A=2,3

20、,-).证：(a)I eltf I=I CQS9+isin&I=1;(b)e3=cosG-isin=cos(-6)+isin(-8)=e-;(c)v e%e%=e(4+%).设 e%e*=e R+则 9 1.1.21 当 ziKO 时，求 Argz.(a)z=z；(尼=1,2,)；(b)z=if1.解:(a)V z=z；=(/*/=小 咽，Arg2=nArgZi;(b),/彳=(门 屋 i)-l=r%-%,/.Argz=-Argzj.1.1.22 证 明：若 Re(z。O,Re(Z2)0,那 么 a学(Ng)=argZ|+argN2,证：,/Re(z()0,Re(z2)0,It Tt K TV

21、*-y 打 眄-y ga y，-7T argz,+argz2 2)=I Zi I I z?I 时,cos(81-B?)=1,即 8、8?=2!CK(A=0,l,土 2,).反 之，当 防-%=2尿 时，R e(Z 5 2)=I Z I I Z2 I 结 论 成 立.1.2.1 求 下 面 各 复 数 的 所 有 的 方 根、单 根，井 说 明 几 何 意 义.(a)(2i)5;(b)(c)(-1)1;(d)(-16)1;(e)A;(f)(-4V2+4V2i)l.解：(a)所 有 的 方 根：(2i)l=(2er+n)z=&e(*；)R(4=0,1,2,).单 根：&e 乳&e%几 何 意 义：

22、半 径 为 女 的 圆 的 直 径 的 两 端 点.(b)所 有 的，方 根：(1-V3i)l=72(e-f,+2iff)i 10=&e(D m(*=0,I,2,-单 根：缶 多 缶 冠 几 何 意 义：半 径 为 日 的 圆 的 直 径 的 两 端 点.(C)所 有 的 方 根：(-l)；=e 9 m+2.)=e；12*+i*(A=o,1,2,),单 根：eNe,eK几 何 意 义：单 位 圆 内 接 等 边 三 角 形 的 三 个 顶 点.(d)所 有 的 方 根：(-1 6=2 看 出 2 1)=2/+1*(A=0,1,2,).n 3 7 r Sn 7”单 根：2e，2ej,2eH2eT

23、.几 何 意 义：半 径 为 2 的 圆 内 接 正 四 边 形 的 四 个 顶 点.(e)所 有 的 方 根：8i=(8e2in,)l=V2eT1(Z e=0,1,土 2,单 根：4 2,2e乳 后 e筝，&e,，2普，存 者,.几 何 意 义：半 径 为 正 的 圆 内 接 正 六 边 形 的 六 个 顶 点.(f)所 有 的 方 根：(-4 6+4&吊=2e%+2 2=2e(T*?)m(右=0,士 1,单 根：2e 2em,2e右.几 何 意 义：半 径 为 2 的 圆 内 接 等 边 三 角 形 的 三 个 顶 点.2,).1.2.2(a)令 a 为 实 数，证 明：a+i 的 二 次

24、 方 根 为 土。a?+1且 a=arg(a+i).(b)由(a)及 当，这 里 A=证 明：士 vrA=4(V A+a+i V A-a)-V2证：(a)(a+i)2=(兀 2+i)?e 2-=/leJ1,(A=-/a2+1,a=arg(a+i)，/,结 论 成 立.(b)土，e2=(cos g+isin 令)，cosa=-7,11 a/1+cos a/4+acs 2=q 不 一 a/1-sm 万=4cos a i A-a22A土 4A.e2=i-L(，力+a+i*/4-a)V21.2.3(a)证 明：二 次 方 程 a?+仇+c=0(a，0)当 a”,c 为 复 常 数 时 的 求 根 公

25、式 是-6+v 62-4ac这 里 62-4 a c#0,(b)试 用(a)的 结 果 求 方 程/+2z+(1-i)=0 的 根.证：(a)*/az2+c=0,4 a2z2+4 abz+4 f=|/1=(z-.1.2.5 建 立 恒 等 式 1+z+z?+z=；3 Q K I),并 导 出 1-zI s in(”+/)01+cos8+cos2(?+cos nd=+-(0 6 2n).2&2sin-提 示：关 于 第 一 个 等 式 可 记 S=1+Z+/+/,并 考 虑 S-z S.关 于 第 二 个 等 式 可 在 第 一 个 等 式 中 令/=/.证：设 S=1+z+z?+z”,则 S-

26、zS=1-zn+l.12 若 记 z e巴 贝 J1 i(n+I)61+e0+e29+e,nS=;1-e11-cos(.+1)3-isin(n+-cos。+isind)1+cos0+cos26+cosn=(1-COS6)2+sinJ1 cosg-co(m+1)0+cosn1=，+2-2 cos 9cm nd cosn/?cos5+sin nosing2cosnsin2+-4sin2-yXr+2+nMsin cus-y4sin2 112sm/n+1十,82sin e1.3.2 画 出 以 下 各 种 情 形 相 应 的 闭 区 域 的 草 图.(a)-?r argz K(Z#0);(b)IRe(

27、z)i 0.解：(a)带 截 痕 z=x(x w O)的 复 平 面(图 1.1.1)；(b)整 个 复 平 面(图 1.1.2);图 1.1.2(c)(x-1)2+(图 1.1.3);(d)I x I lyl(图 1.1.4);1.3.3 设 S 为 由 Izl 1 和 lz-21 1 两 点 集 构 成 的 开 集，请 说 明 为 什 么 S不 是 连 通 的.解：因 为 从 z=0 到 z=2 的 任 何 一 条 折 线 都 不 完 全 属 于 S,由“连 通”的 定 义 知，5 不 是 连 通 的.131.4.2求 函 数 g(z)=+占(z=x+iy)的 定 义 域,并 证 明 当

28、xO,y 0 Jy I 0 且 1夕 1 1 时,f(z);g(z).1.4.3 写 出 函 数 f(z)=，+z+l 的 f(z)=(，,)+注(不，y)形 式.解：/(z)=(x+iy)3+#+iy+l-%3-3xy2+%+1+i(y+3x2 y-y3)-1.4.4 设/(z)=%2-y2-2y+i(2x+2xy)，写 出/(z)关 于 z 的 表 达 式.解：/(2)=x2-y2+2xyi+2xi-2y=(4+iyy+2i(%+iy)-z2+2iz.1.5.2 求 z 的 值(a)e，=-2;(b)e2=l+73i;(c)e2,l=l.解：(a)v ei:2 巧。咒 x=ln2,y=(2

29、k+1)K,/.z=ln2+(24+1)7ri(4=0,1,2t,);(b):/-J=2e如 2,x=ln2,y=(2L+g)兀，z=)n2+(2及+寺)T H(4=0,1,2,*)；(c)*.*2z-1=Lnl=Ini+2A：7ri,14.z=J+(A=0,1,2,*)*1.5.3 证 明：Ie，I w。”.2 2 2 n 2 i,2 2 2证：；11 I=l e-y+2”=e“r,el21=e+,二 l e L e i M.1.5.4 证 明：le-勺 0.证：le-2 r I=e2x,当 R e(z)=*0 时，le-2 1,反 之，要 想 I e-1 0./.I e-2 ll 0.1.

30、5,5 证 明:(a)ex=e1；(b)小=当 且 仅 当 z=仆=0,1,2,).证：(a)eJ=ez-，r=e*(cosy-isiny)=ea(cosy+isiny)=e(b)e“=/,e】=尹,/.-z=z+2 k 穴).z=kn R=0,1,2,)，反 之，当 z 二 k 室 时.建=(-1)上，了=萨=(-1)*,二 e”=e,:,，e“=F 当 且 仅 当 z。府(4=0,1,2,).1.5.6(a)若/为 纯 虚 数，z 有 什 么 限 制？(b)证 明：若 e,为 实 数，则 Im(z)=An(力=0,1,2,).证：(a)当/=e”(coy+isiny)为 纯 虚 数 时，c

31、o8y=0,/.Im(z)=A K+-y(A=0,1,2,).(b)设 z=+iy,则 当 e，=ex(cosy+isiny)为 实 数 时，sin 夕=0,/.Im(z)=为 北(及=0,1,2,).1.5.7 证 明：(a)ln(l-i)=t n 2-手：；L 4(b)Ln(1+看 i)=ln2+2(4+4 卜 i(A=0,l,2,).证：(a)ln(1-i)=InV2-乎 i=ln2-y i;4 2 4 15(b)Ln(1+7i)-Jn2+-yoti+=ln2+2(A+/)?r i(/r=0,1.2,).1.5.11 证 明：若 Re(Nj)0,R”z2)0,那 么 ln(N g)=In

32、i+In zi.证：由 1.1.22 知 Re(Zi)0,R e(Z 2)0 时，包 鸟(21%2)=包 眄+aig2 nl z/z I=Ini Zi I+1口 1 Z21,I n z g=Ini ZZ2 I+iarg(z1Z2)=In I Zi I+In I z21+i(argzi+argzj)=InZ+lnz2=In I Z I-In I z2+沃 喀 布-iArgz2二 Ln z j-LDN2,结 论 成 立.1.5.14 证 明：当=0,1,2,时,(a)(I+i),=e(Y+2*如；(b)(-1)：=e&T证：(a)(1+i+=0j吗(b)(_ 吊=-1)=如 1白=券 内(声 0,

33、k=0,1,2,).1.5.15 求 值：(a)(l-i 尸；(b)号(-1 仔)解；(a)(l-i)*=e4,Lna-,)=e4,M-2%R)=e(-8.e，2 in 2；(b)辛-1-e)=e3呜(-的=e3m(1号+2痴)=_好 2 一 6%)/.由 E=e“j 证 明：(-1+百。引=2 4 2.(-1+7 3 i)2=6如-岛)=吕。成+争+2*=e=+3，e刎=2,/2.等 式 成 立.证 明：若 z#0,a 为 实 数，那 么 1/1=eo ln lx,=z a._a _ r Lux _ a(In 1 21 十】arx+2AE)z u-w e.1.5.16证：1.5.17证：,/

34、16:,lzl=e=Izl。.1.5.18 令 c,d 和 z(z#O)为 复 数，若 所 有 的 寡 均 取 主 值,证 明：(a)c;(b)zczJ-z，*.证：(a)；/2-=飞-0小=/=1,1.c r-Z z(b)z=efLni-en，=e+d M=z。*d.1.5.19 证 明：eu=cosz+isinz,证：；右 边=白 产+”:卢=左 边，2 2 J等 式 成 立.1.5,20(f)证 明:2sin(zj+Z2)sin(zi-和)=。口 a-cos2zt.证：*/2sin(zi+Z2)sin(zi-22)=2-2i-21-_/-之 2-2 竺+葭 2,=2=cos2z2-cos

35、2z等 式 成 立.1.5.20 中 的(a)(e),(g)可 类 似 证 之.1.5.21 证 明：isinz I2=sin2x+shy,并 进 而 推 出 Isinzl 线【sin*I.证：sinz=sinxcosiy+cosxsiniy=sinxchy+ieosxshy,I sinz I2=(simcchy)2+(cos A;shy)2=sin2x+sh2y,I sinz I I sinx I.1.5.22 证 明；I shy I w I si】？W chy;I shy I i cosz I$chy.证：由 上 题 sin2x+sh2y=Isinzl2=ch2y*cos2x,/.I sh

36、y I w I sinz I w chy 同 理 I shy I w I cosz I wchy.1.5.23 证 明：cosz=0 当 且 仅 当 z=+同 n,其 中 A 为 整 数.证：1 cosz=cosxchy-isinxshy 0tcosx=0 且 shy=0,z=%+iy=(土+彳)兀(ft=0,lt 2,-af).以 匕 过 程 可 逆，故 结 论 成 立.171.5.2 4 根 据 复 数 相 等 的 概 念 解 方 程.(a)sinz=ch4；(b)sinz=7 2;(c)cos2=2.解：(a)丫 sinz=sinchy 4-icosxshy=?h4,/.x-2 k n+

37、y-4,或 inx=ch4,y 二 0(无 解，舍 去)./.2=(24+1)亚 士 4i(A 二 0.土 1 土 2).(b):sinz=sinxchy+icosxshy=V 2f/.x=2kit 2 7-111(戊+1),或 sin=A/,y=0(无 解，舍 去).z=(24+-j K-iln(V2+1)(A=0.1 夕 2,),(c)ix肪 z=cDsxch-isinxshy=2,.x=2 AT T T y=-l n(2+6),或 cosx=2,y=0(无 解，舍 去).，2=2左 加 一：1。(2$方)(4=0,生 1,2 尸).1.5 27 证 明：sh*=sh4cosy+ich:x

38、siny.i f t 右 边=s*i%osy+icosixsinyi(nosixsiny-siniucosy)=isin(y-ix)=isin(-i)(x+iy)2 1.e 1 x-ex 2 e“-七 一.二】云=:一=shz,等 式 成 立.1.5.2 5,1.5.2 6,1.5.2 8 可 类 似 证 之.1.5.29证：,/即 推 导 公 式;A r t h L 3 L n 自.shz e2-ew=Lhz=-chz ez+e匕 1+以 1 一 和 一 1 Ai-Uiw=1 r 1+WZ=彳 1 21-,2 1-w1+卬 1 M 1.5.30Arthz=Ln:，.2 1 一 N计 算：(a

39、)Arc tan(2i);(b)Arc tan(1+i)；(c)Arch(-1);(d)Arth(O).解:(a)Arc tan(2i)=-L n乙 1 21=(4+、ln3(*=0,土 1,土 2,g A H i t 1+i(l+i)(b)Arc tanU+i)=一 攵 L n _ 而=|K+I n-arctanz+-ylrD(1 二 0,土 1,2,)；(e)Arch(-1)-Ln-1+R _ 1)2-1=(2k+l)ni(A=0,l,2,。)；(d)Arth(O)=4 L n 7-=A:Ki(i=0,1,2,).2 I-U 19 第 一 早 第 2章 导 数 2.1 内 容 要 点 1.

40、复 变 函 数 的 极 限 和 连 续 的 概 念 2.复 变 函 数 导 数 的 概 念 和 运 算 法 则 定 义 1 设/(z)在 包 含 Z0的 某 区 域 D 内 有 定 义，如 果./(z)-f(z o)hm-飞 z-Z。D 存 在，那 么 我 们 说 函 数/(z)在 沏 可 导(或 可 微)，并 称 这 个 极 限 为 函 数 w=/(z)在 Z0处 的 导 数，记 为/(z。).即 一，、I-/(z)-/(Zo)f 叼)=bm-Z-(x6 D)若 记 Z=Z o+?,则 得 到 f(z0)的 另 一 种 表 达 式 广(方)=一 2。+.)二/(其“F Az定 理 1 函 数

41、/(z)=u(x,y)+iu(x,y)在 定 义 域 内 一 点 z=x+i y 可 导 的 必 要 与 充 分 条 件 是：u(打 y)和“*y)在 点(工，y)可 微，并 且 在 该 点 满 足 柯 西-黎 曼 方 程 au a?3u d_va%-dy 一 dx3.解 析 函 数 的 概 念、函 数 解 析 的 必 要 与 充 分 条 件 定 义 2 如 果 函 数/(z)不 仅 在 z。处 可 导，而 且 在 沏 的 某 个 邻 域 内 的 任 一 点 可 导，则 称/(Z)在 Z。解 析.如 果 函 数/(z)在 区 域 D 内 任 一 点 解 析，则 称 _/(?)在 区 域 D 内

42、 解 析.定 理 2 函 数/(z)=晨 z,y)+i“(*y)在 其 定 义 域 D 内 解 析 的 必 要 与 充 分 条 件 是：般(工,义)与”y)在 D 内 可 微，并 且 满 足 柯 西-黎 曼 方 程 2 匹 d u 3力 2#一。y，dy fix,4.解 析 函 数 与 调 和 函 数 的 关 系，由 解 析 函 数 的 实 部 求 其 虚 部 和 由 虚 部 求 其 实 部 的 方 法 定 理 3 设/(定=“(*4)+瓜(*4)是 区 域 D 内 的 解 析 函 数，那 么 u(x,y)20 和“*y）均 为 D 内 的 调 和 函 数.由 解 析 函 数 的 实 部（虚

43、部）求 其 虚 部（实 部）的 方 法 共 有 三 种，见 本 章 2.4的 例 6.5.初 等 函 数 的 解 析 性 2.2 教 学 要 求 和 学 习 注 意 点 1.教 学 要 求 了 解 复 变 函 数 的 极 限 和 连 续 的 概 念.理 解 复 变 函 数 的 导 数 及 复 变 函 数 解 析 的 概 念，掌 握 复 变 函 数 解 析 的 必 要 与 充 分 条 件.了 解 调 和 函 数 与 解 析 函 数 的 关 系，掌 握 从 解 析 函 数 的 实（虚）部 求 其 虚（实）部 的 方 法，了 解 初 等 函 数 的 解 析 性.重 点：解 析 函 数 的 概 念，函

44、 数 解 析 的 必 要 与 充 分 条 件，已 知 解 析 函 数 的 实（虚）部 求 其 表 达 式 的 方 法，初 等 函 数 的 解 析 性.难 点：函 数 解 析 的 必 要 与 充 分 条 件 的 证 明.2.学 习 注 意 点（1）下 面 题 目 的 求 解 过 程 错 在 何 处？题 目：计 算 H m 3 二.了 r 2+1解：令 z=i y,则.iz3lim lim迎 必 1Z+1 v*1 iy+i=0.答：复 函 数 求 极 限 时，Zf%表 达 的 是 在 复 平 面 上 Z 以 任 何 方 式 趋 于 Z0,它 与 实 平 面 上（x,y）f（如，为）的 含 义 一

45、样.（2）下 面 的 解 答 错 在 何 处？题 目：求 函 数 ln（l+z）的 奇 点.解：此 函 数 的 奇 点 为 zw-1.答：此 解 答 错 在“zw-1”这 个 表 达 式 上.复 数 域 上 的 数 是 不 分 大 小 的.正 确 的 解 答 是：此 函 数 的 奇 点 为 z=-1.（3）（洛 必 达 法 则）若/（z）及 晨 力 在 点 Z。解 析，且 f（z0）=g（z0）=0,gJ）六 0,试 证：f(z)广 Go)g(z)-g(zo).于(z)-/(Zo)Z-2 Q证：;./(z)_ r z-z。_ U)，雪 g(z)-g(z)-g(z0)-gr(zo)结 论 成 立

46、.21注 意 点：在 使 用 此 运 算 法 则 时，要 注 意 结 论 成 立 的 条 件，特 别 是/(沏)=g(zo)-O,g/(zo)#0 的 要 求.(4)应 用 定 理 2 判 定 函 数 解 析 时，需 注 意：定 理 的 条 件 缺 一 不 可，仅 有 u(x,y),s(k,y)可 微 或 仅 有 柯 西-黎 曼 方 程 成 立 都 不 能 推 出 函 数 解 析 的 结 论.例 如：函 数/(2)=5=工-】父，虽 然 u(x,y)=x,v(x,y)=-y 均 可 微，但 不 能 由 此 推 断/(z)的 解 析 性,事 实 上，S z+z)-zhm-此 极 限 在 A z沿

47、 A#=0 趋 于 0 时 值 为-1,在 4 2沿/=0 趋 于 0 时 值 为 1,故 此 极 限 不 存 在，即 函 数/(z)=N在 整 个 复 平 面 上 不 可 导，不 解 析.从 定 理 方 面 来 看，由 于 袭=1/翌=-1,即 柯 西-黎 曼 方 程 是 不 成 立 的.dx dp3 3 3 3例 如：证 明 函 数 八 Z)=久?+i 詈(z#0),/(0)=0 在 原 点 满 足 柯 西-黎 曼 方 程，但 在 原 点 不 解 析(提 示：对!年?沿 不 同 方 向 求 极 限).证：;”3-3 上”3x y x+YU=2 2，裂=2 2，x+y x+y故 由 二 元

48、函 数 偏 导 数 的 定 义 得:=lim=1,L0 4 一 0du.-V-0厂 二 nm-L-r-dy 八 0 y-03v 扉-0 1I，变=lim 工,=I.oy y*o y-U，柯 西-黎 曼 方 程 在 原 点 成 立，而 1 所 小)二 0当 z 沿 y=。趋 于 原 点 时 的 极 限 为 l+i,沿 y=为 趋 于 原 点 时 J-*O Z U的 极 限 为 千，故/(z)在 原 点 不 可 导，不 解 析.此 题 说 明 在 使 用 函 数 解 析 的 判 定 定 理 2 时，仅 有 柯 西-黎 曼 方 程 成 立 是 不 够 的，一 定 还 要 有 u,v可 微.(5)应

49、用 定 理 I 判 定 函 数 不 可 导 时，应 注 意 下 面 所 叙 述 的 情 况.避 免 出 现 类 似 于 如 下 解 题 过 程 的 错 误.例 如：讨 论 函 数/(z)=+2 iy的 可 导 性.解：；，=2到.，=2,d X oy.函 数(z)=x2y+2 iy在 复 平 面 上 处 处 不 可 导.答：此 题 的 结 论 是 对 的，但 结 论 成 立 的 原 因 是 错 的,因 为：22 首 先，当 xy=1时，5=亍 是 成 立 的.ox a y其 次，由 2到=变=要=2 与/=共=-空=0 知 柯 西-黎 曼 方 程 的 两 部 O X d y d y d x分

50、不 能 同 时 成 立，从 而 推 出 结 论.下 面 的 解 题 推 导 过 程 是 正 确 的.例 如：讨 论 函 数/(z)=i2 y 的 可 导 性.解：；.=。普 2,函 数/(z)=i2中 在 复 平 面 上 处 处 不 可 导.答：此 结 论 的 推 导 过 程 是 正 确 的，因 为 空 片 生 在 复 平 面 上 任 何 一 点 都 成 OX o y立，不 论 柯 西-黎 曼 方 程 的 另 一 部 分 成 立 与 否，还 是 父)可 微 与 否，定 理 1关 于 函 数 可 导 的 必 要 与 充 分 条 件 都 不 成 立，故 函 数/(z)=12y 在 复 平 面 上