2022年甘肃省兰州市中考数学试卷(解析版).pdf

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1、2022年甘肃省兰州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选 择 题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.（3 分）（2 02 2 兰州）计算：V4=（）A.2 B.2 C.V 2 D.V 2【分析】利用算术平方根的性质求解.【解答】解：机=停=2.故选：B.【点评】本题考查了算术平方根的性质，掌握性质特征是解题的关键.2.（3分）（2 02 2 兰州）如图，直线a b,直线c 与直线a,6 分别相交于点4,B,ACb,垂足为C.若/1=52 ,则N2=（）A.52 B.45 C.3 8 D.2 6【分析】根据平行线的性质可得N Z8C

2、=52 ,根据垂直定义可得N ZC B=90 ,然后利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答.【解答】解：.Z =ZABC=52+Ayi C.x2+4xy+2y2 D.x2+4y2【分析】利用完全平方公式计算即可.解答解：（x+2y）2=x2+4xy+4y2.故选：A.【点评】本题考查了完全平方公式：Q b）2a22ab+b2.5.（3分）（2022兰州）如图，N8C内接于O。，CD是 的 直 径，ZACD=40Q,则N B=()C.50 D.40第2页,共27页【分析】由 8是。的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得出N C/Q=9 0。，根据直角三角 形 两 锐 角 互 余 得 到

3、与 互 余，即可求得/。的度数，继而求得的度数.【解答】解：是。的直径，：.Z CAD=9 0 ,V ZA C D=40 ,：.Z ADC=Z B=5 0 .故选：C.【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形的性质，难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.6.（3分）（2 02 2 兰州）若一次函数y=2 x+l 的图象经过点（-3,），（4,四,则y i与户的大小关系是（）A.yiyi C.y iW”D.yyi【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据-3 V 4 即可得出结论.【解答】解：,一次函数y=2 x+l 中，k=20,随着x的增大而增大.点（-3

4、,巾）和（4,y2）是一次函数y=2 x+l 图象上的两个点，-34,.yi0 时，方程有两个不相等的实数根；当=（）时，方程有两个相等的实数根；当 =3 0 ,A C LB D,则 8。=2 百，再利用含3 0 角的直角三角形的性质可得答案.【解答】解：四边形N 8 C D 是菱形，N H B C=6 0 ,：.BO=DO,4 8 0=3 0 ,AC1BD,AB=AD,：.8 0=23,：.AO=-BO=2,：.AB=2AO=4,为 的中点，Z A O D=9 0Q,：.OE=ylD=2,故选：C.【点评】本题主要考查了菱形的性质，含 3 0 角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是

5、解题的关键.1 1.（3分）（2 0 2 2 兰州）已知二次函数y=2?-4 x+5,当函数值y随 x值的增大而增大时，x的取值范围是（）A.x l C.x2【分析】将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴及开口方向求解.【解答】解:V y=2 x2-4 x+5=2 （x -1）2+3,.抛物线开口向上，对称轴为直线x=l,A x 1 时，y随x增大而增大，故 选:B.【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系.1 2.（3分）（2 0 2 2 兰州）如 图 1 是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以。为圆心，OA,0

6、8长分别为半径，圆心角NO第5页,共27页=1 2 0 形成的扇面，若 0 4 =3 加，0 8=1.5?，则阴影部分的面积为（)图2C.3 i t w2D.2.25nm2计算即可.掌握扇形的面积公式5=嘤 是 解题的关键.【分析】根据S 阴=S 扇 形 D O A S扇 形 BOCf【解答】解：S 阴=5扇 形-S扇 形5 0。g1 2 0/1 X 9 120TTXZ=-3 6 0 3 6 0-2.25-nm2.故选：D.【点评】本题考查的是扇形面积的计算，二、填 空 题（本大题共4 小题，每小题3 分，共 12分）1 3.（3 分）（2 0 2 2 兰州）因式分解：76=（。-4）（。+4

7、）.【分析】直接利用平方差公式分解因式即可.【解答】解：a2-1 6=（a-4）（a+4）.故答案为：（a-4）（a+4）.【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键.1 4.（3分）（2 0 2 2 兰州）如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，如果白塔山公园的坐标是（2,2）,中山桥的坐标是（3,0）,那么黄河母亲像的坐标是（-4,1）.第6页,共27页黄河 母亲像塔山 公园中1 U 桥【分析】根据白塔山公园的坐标是（2,2）,中山桥的坐标是（3,0）画出直角坐标系,然后根据点的坐标的表示方法写出黄河母亲像的坐标;黄河母亲像的坐标是（-4,1）.故

8、答案为：（-4,1）.【点评】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征.1 5.（3分）（2 0 2 2 兰州）如图，在矩形纸片A&C D 中，点 E 在 8c边上，将（?）1 沿 DE翻折得到 FDE,点尸落在/E 上.若 CE=3cm,A F=2 E F,则力8=3 而 cm.第7页,共27页【分析】根据将 C O E沿OE翻折得到,点尸落在4E上，可得EF=CE=3cm,CD=DF,NDEC=/DEF,NDFE=NC=90=NDFA,f f i j AF=2EF,即得/=6 c m,AE=9cm,由四边形/B C D 是矩形，可得 AB

9、=CD=DF,AD/BC,从而/Z)=4 E=9 c机，在R t Z 4 DF中，用勾股定理得。尸=3而。,仄而AB=DF=3相cm.【解答】解：将 8E沿。E翻折得到,点尸落在/E上，:.EF=CE=3cm,CD=DF,NDEC=NDEF,NDFE=NC=90=NDE4,:AF=2EF,：.AF6cm,AEAF+EF6+39(cm),.四边形/8 C 是矩形，:.AB=CD=DF,AD/BC,：.ZADE=ZDEC=ZDEF,.ADAE=9cm,在 R t Z /。尸中，AF2+DF2=AD2,：.62+DF2=92,:.DF=3星(cm),:.AB=DF=3层(cm),故答案为：3 6.【

10、点评】本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理列方程解决问题.1 6.(3分)(2 0 2 2兰州)2 0 2 2年3月1 2日是我国第4 4个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：幼树移植数(棵)1 0 0 1 0 0 0 5 0 0 0 8 0 0 0 1 0 0 0 0 1 5 0 0 0 2 0 0 0 0第8页,共27页幼树移植成活数（棵）878934485722489831344318044幼树移植成活的频率0.8700.8930.89

11、70.9030.8980.8960.902估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 0.9.（结果精确到0.1）【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.【解答】解：幼树移植数20000棵时，幼树移植成活的频率为0.902,估计幼树移植成活的概率为0.902,精确到0.1,即为0.9.故答案为：0.9.【点评】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率.三、解 答 题（本大题共12小题，共72分.解答时写出必要的文字说明、证

12、明过程或演算步骤）17.（4 分）（2022兰州）解不等式：2（x-3）8.【分析】先去括号，再移项、合并同类项，不等式两边同乘以去 即可得出不等式的解集【解答】解：去括号，得：2 x-6 8,移项，得：2x8+6,合并同类项，得：2r14,两 边 同 乘 以 得：x7.故原不等式的解集是x=15，D F=G E=3 m,/Z C F=90,然后设C尸=x m,则 CD=（x+3）m,先在RtZ/C F中，利用锐角三角函数的定义求出NC的长，再在Rta/CZ）中，利用锐角三角函数的定义列出关于x 的方程，进行计算即可解答.【解答】解：由题意得：B C=F G=D E=L 5 m,D F=G E

13、=3 m,/C F=9 0 ,设 C F=x m,：.C D=C F+D F=（x+3）m,在 RtZ4CF 中，N4FC=42,.,./4C=CFtan420=0.9x（？）,在 RtZXZC。中，Z A D C=3 0,no A C 09%.tan31=CD=+30.6,x=6,经检验：x=6 是原方程的根，：.AB=AC+BC=Q,9x+.5=6.9（加），,凉 号A B的曷约为6.9m.【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.21.（6分）（2022兰州）人口问题是“国之大者”，以习近平主席为核心的党中央高度重第11页，共27页人口问

14、题，准确把握人口发展形势，有利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件.某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：信息一：普查登记的全国大陆3 1 个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：(数据分成 6 组：0 W x 2 0,2 0 x 4 0,4 0 x 6 0,6 0 W x 8 0,8 0 x 1 0 0,l OOW xW 1 2 0)信息二：普查登记的全国大陆3 1 个省、自治区、直辖市人口数(百万人)在4 0 W x =一右（x -3）2+3；（2）该女生在此项考试中是

15、得满分，理由：4 c令y=0,则 一 券（x-3）2+3=0,解 得:xi=7.5 X 2=1.5 （舍去），V 7.5 6.7 0,该女生在此项考试中是得满分.【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程为题.2 5.（6 分）（2 0 2 2 兰州）如图，点力在反比例函数尸（x 0）的图象上，轴，垂足为8 （3,0）,过 C（5,0）作 C&x轴，交过8点的一次函数尸|x+6的图象于。点，交反比例函数的图象于点，S&AOB=3.b Q（1）求反比例函数y=5 （x 0）和一次函数夕=永+6 的表达式；第19页，共27页(2)求。E 的长.分析X 1

16、)利用反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值，把 8 的坐标代入y=|x+b即可求得b 的值，从而求得反比例和一次函数的解析式；(2)利用两个函数的解析式求得。、E 的坐标，进一步即可求得。E 的长度.【解答】解：(1)点/在反比例函数产 (x 0)的图象上，轴，SAOB=2因=3，:k=6,.反比例函数为,一次函数y=的图象过点8(3,0),.?x3+b=0,解得 6=-3，2/一次函数为产|x_|：(2).过C(5,0)作 C x 轴，交过8 点的一次函数尸|x+b的图象于。点，当x=5 时 尸 擀=卷；尸|%一|=3，6：.E(5,-),D(5,3),八 万 一2 6 _ 9.-3-5

17、-5.【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数系数的几何意义，反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，求得函数的解析式是解题的关键.26.(7 分)(2022兰州)如图，是/8 C 的外接圆，是直径，O D LO C,连接力 ),第20页，共27页ZA D O=Z BOC,N C 与。相交于点 .(1)求证：/是。的切线：1 2(2)若 ta n/CM C=*,A D=,求。的半径.【分析】(1)根据垂直、平角的定义可得/力+N ZO D=90 ,进而得到/O _ L O N 即可；(2)根据圆周角定理、三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定

18、和性质，可得到力。=D E,再根据锐角三角函数可得0E=|O C,在 R tZXN O。中由勾股定理可求半径.【解答】(1)证明：8 _ L O C,AZ CO Z)=90 ,.N 8 0 C+N 力。力=1 8 0 -90 =90 ,又:Z A D O=Z B O C,：.Z ADO+Z AOD=9 0 ,：.Z OADS O -90 =90 ,即 OAY AD,：O A是半径，.4。是。的切线；(2)解：OA=OC,：.N O A C=N O C A,1 OE/.ta n Z O J C=2 =ta n ZO G 4=灰，TA B是直径，A Z ACB=9 0 =/O A D,即 N O

19、C 8+N O C 4 =90 =N O A C+N D A E,：.Z D A E=Z O C Bf又；/A D O=/B O C,第21页，共27页工 Z D E A =ZBf：OB=OC,：O B C=N O C B,：.Z D A E=Z D E Af3：.A D=D E=J,设半径为r,则 0 E=3,0 )=3+|,在 R tZ 4 0 )中，由勾股定理得，A C +O O D1,3 e c 1 4 、即()2+i2=(r+5)2,2 2 2解得尸=2或 r=0 (舍去)，即半径为2.【点评】本题考查圆周角定理，切线的判定和性质，直角三角形的边角关系以及等腰三角形，掌握切线的判定方

20、法，直角三角形的边角关系是解决问题的前提.2 7.(8 分)(2 0 2 2 兰州)在平面直角坐标系中，P(a,b)是第一象限内一点，给出如下定义：依和依=，两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”E(1)求点P(6,2)的“倾斜系数”人的值；(2)若 点 P (a,b)的“倾斜系数=2,请写出。和 6的数量关系，并说明理由；若点尸(a,b)的“倾斜系数4=2,且。+6=3,求 OP的长：(3)如图，边长为2的正方形Z 8 C D 沿直线4 C：y=x 运动，P(a,b)是正方形上任意一点，且点P的倾斜系数”左 46,请直接写出。的取值范围.第22页，共 27页【分析】(1)根 据“倾斜系数的定

21、义直接计算即可；(2)根 据“倾斜系数”4 的的定义分情况得出结论即可：根 据“倾斜系数”左的的定义求出尸点坐标，进而求出O P的值即可；(3)根据上的取值，分情况求出。的取值范围即可.【解答】解：(1)由题意知，)1=|=3,即点尸(6,2)的“倾斜系数”及的值为3；(2)点尸(a,b)的“倾斜系数”4=2,=2 或一=2,b a即 a=2b 或 b=2a,：.a和 6 的数量关系为a=2 b或b=2a；由知I,a=2 b 或 b=2a Z+b=3,：.0P=V l2+22=V5；(3)由题意知，当 P 点与。点重合时，且左=次时，a 有最小临界值，如下图:连接延长D 4 交x 轴于E,第2

22、3页，共 27页解得。=8+1;当尸点与8点重合时，且=7 5时，。有最大临界值，如下图:连接0 8,延长C 8交x轴于尸，解得。=3+V 3,综上所述，若点P的“倾斜系数”则 遍+l a 3+国.【点评】本题主要考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质，正确理解倾斜系数”的定义是解题的关键.2 8.（9分）（2 0 2 2兰州）综合与实践第24页,共27页【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如 图1,在正方形/8 C D中，E是 的 中 点，AE_ L E P,E P与正方形的外角NO C G的平分线交于P点.试猜想Z E与E P的数量关系，并加以证明；【思考尝试】（1）同

23、学们发现，取Z 8的中点F,连接所可以解决这个问题.请在图1中补全图形，解答老师提出的问题.【实践探究】（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2,在正方形4 B C D 中,E为8 c边上一动点（点,8不重合），是等腰直角三角形，N A E P=90 ,连接C P,可以求出乙D C P的大小，请你思考并解答这个问题.【拓展迁移】（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3,在正方形N8 8 中，E为8 c边上一动点（点E,8不重合），N E P是等腰直角三角形，NAEP=9 Q,连接。P.知道正方形的边长时，可以求出/）周长的最小值.当

24、AB=4时，请 你 求 出 户 周 长 的 最 小 值.图1图2图3【分析】（1）取4 3的中点F,连 接 防，利用同角的余角相等说明N P E C=N 8/E,再根据/S 4证明/F E丝得 A E=E P；（2）在上取/尸=E C,连接E F,由（1）同理可得则岭C E P（S AS）,再说明a B E F是等腰直角三角形即可得出答案；（3）作。G L C P,交8 c的延长线于G,交C P于O,连接N G,则 DC G是等腰直角三角形，可知点。与G关于C P对称，则/P+O P的最小值为ZG的长，利用勾股定理求出Z G,进而得出答案.第25页，共 27页【解答】解：（1）AE=EP,理由

25、如下：取Z3的中点R连接E R丁 尸、二分别为4 8、8 c的中点,：.AF=BF=BE=CE,：.ZBFE=45,A ZJF=135,T C P 平分/Q C G,:/DCP=45,A ZECP=135,NAFE=NECP,；AE 工 PE,：.ZAEP=90,A ZAEB+ZPEC=90,V ZAEB+ZBAE=90,NPEC=/BAE,:/AFE义/ECP(ASA),：.AE=EP；(2)在ZB上取4 F=E C,连接E R图2由（1）同理可得N C P=N/E,第26页,共27页：AF=EC,AE=EP,：./FAE/CEP（.S AS）,，/E C P=NAFE,：AF=EC,AB=

26、BC,：.BF=BE,:.NBEF=/BFE=45 ,；.N/FE=135,A ZCP=135,Z DCP=45 ,（3）作。G_LCP,交 BC的延长线于G,交C P于O,连接ZG,图3由（2）知，NDCP=45 ,：.Z C D G=45 ,：./DCG是等腰直角三角形，.点。与 G 关于CP对称，J.AP+DP的最小值为4 G 的长,*8=4,；.8G=8,由勾股定理得ZG=4V5,/）尸周长的最小值为NO+/G=4+4西.【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称-最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.第27页，共 27页