2022年湖南省湘南联盟数学高三上期末质量检测模拟试题含解析.pdf

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1、2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生请注意：1 .答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2 .第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3 .考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共1 2 小题，每小题5 分，共 6 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .下图所示函数图象经过何种变换可以得到y=s i n 2 x 的 图 象（）A.向左平移;个单位 B.向右平移个单位3 3C.向左平移?个单位 D.

2、向右平移丁个单位6 62 .某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（）A.372 B.275C.2瓜 D.2773 .函数/（x）=s i n（a）x +。）的部分图象如图所示，则“X）的单调递增区间为（）-卜2k兀,-卜2k兀,k e Z4 4C.卜 k,-F k、k w Z4 4D.卜 2k,-卜 2k,k e Z4 44 .正项等比数列 q 中的4、g 0 3 9是函数/（=；%3-4/+6%3的极值点，贝！J log%0 2 0 =（）A.-1C.V2D.25 .若函数/（九）=o?+3/+o在x=处取得极值2,则。一力=（）A.-3 B.3 C.-2 D.26 .（1-+

3、1）5展开项中的常数项为XA.1 B.11 C.-19 D.517 .已知函数/（x）=6 s i n yx+3 c os的（00）,对任意的王，x2,当/（%）/（%2）=-1 2时，归 一 即,疝,，则下列判断正确的是（）A./（）=1 B.函数x）在 停？上递增C.函数“X）的一条对称轴是x =?D.函数“X）的一个对称中心是 0,（）8 .设全集 U=R,集合M =x|f w x ,N =x|2 V l,则M n gN=（）A.0,1 B.(0,1 C.0,1)D.(-oo,l9 .某几何体的三视图如图所示（单位：c m）,则该几何体的体积等于（）c n?1 1 .已知函数/（X）的定

4、义域为（0,+力），且 2）.2 ，）=4 翠 当0 x l 时 力 b0）的离心率为不，直 线 氐-y-G=0过椭圆C的右焦点尸,过户的直线?交椭圆。于 M,N两点（均异于左、右顶点）.（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线/:x =4,A 为椭圆C的右顶点.若直线A M交/于点P，直线4V交/于点Q，试判断（丽+而）丽是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.2 0.（1 2 分）已知函数/（x）=2 sin?x +Z A/sin x co sx-L x e R.（1）求/（x）的单调递增区间；A（2）A A B C内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若/（,）=1 且 A 为锐角，a

5、=3,sinC=2 sinB,求 A B C的面积.21.（12分）从抛物线C：x2=2 p y（p 0）外一点作该抛物线的两条切线丛、PB（切点分别为A、B）,分别与x轴相交于C、D,若A 8与y轴相交于点。，点”（小，2）在抛物线C上，且 尸|=3（尸为抛物线的焦点）.（1）求抛物线C的方程；（2）求证：四边形PC。是平行四边形.四边形PCQ。能否为矩形？若能，求出点。的坐标；若不能，请说明理由.22.（10分）手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传，有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国

6、外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（D若一件手工艺品3位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为A级；（ii）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为B级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C级；（iii）若有2位或3位行家认为质量不过关，则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为:，且各手工艺品质量是否过关相互独立.（1）求一

7、件手工艺品质量为5级的概率；（2）若一件手工艺品质量为A,B,C级均可外销，且利润分别为900元，600元，300元，质量为O级不能外销，利润记为100元.求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；记1件手工艺品的利润为X元，求X的分布列与期望.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据函数图像得到函数的一个解析式为/（x）=sin 2x+。，再根据平移法则得到答案.【详解】设函数解析式为/(x)=Asinx+0)+，T 7T 7T 7T根据图像：A =l,b=O,-=-=,故丁=乃，即SC=IS

8、D2+A C2=2/5，该几何体中的最长棱长为2 .故选：C【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.3、D【解析】3由图象可以求出周期，得到“，根 据 图 象 过 点 可 求。，根据正弦型函数的性质求出单调增区间即可.【详解】由图象知T_ =15 _ _1=1,2 4 4r*r-2 7C所以 7=2，(o=7r,23又图象过点(1-1),3 7r所以-l =sin(丁+9),43 7 1故/可 取 一，43 4所以/(x)=sin(万x +二)44,kjr-7ix+2 k7r+,kEZ,2 4 2 2k-x 2k-,k Z4 4所以函数的单调递增区间

9、为一3 +2%,-!+2%,k&Z4 4故选：D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，利用“五点法”求函数解析式，属于中档题.4、B【解析】根据可导函数在极值点处的导数值为0,得出4 a4039=6,再由等比数列的性质可得.【详解】解：依题意为、0 3 9是 函 数 力=；/-4/+6%3的极值点，也就是r(x)=f -8x+6 =0的两个根4 0 4 0 3 9 =6又%是正项等比数列，所以020=.%039=Rlog 而 a20 2（）=log#指=L故选：B【点睛】本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.5、A【解析】对函数/（X）求导，可得c，即可求出。力，进而可求

10、出答案.J =2【详解】因为/（x）=o?+3x2+b,所 以:（幻=362+6口则 小.，解得。=-2/=1,则。-匕=-3./=+3+8=2故选:A.【点睛】本题考查了函数的导数与极值，考查了学生的运算求解能力,属于基础题.6、B【解析】展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况.【详解】展开式中的项为常数项，有3种情况：（1）5个括号都出1,即7=1；（2）两个括号出x,两个括号出（一工），一个括号出1,即T =C j x 2.*.（_L）2.1=3 0；X X（3）一个括号出x,一个括号出（,），三个括号出1,即T=C；x-C：（）=20；X X所以展开项中的常数

11、项为7=1 +30-20=11,故选B.【点睛】本题考查二项式定理知识的生成过程，考查定理的本质，即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.7、D【解析】利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期T,从而得到，即可求出解析式，然后利用函数的性质即可判断.【详解】,/(x)=/3 sin+3 cos cox=2/3 sins+2,3又 一 K sin 1,即2 G 4 2 G s i n COX+)丁 =乃，I 1 21mm 2 2 2：.0)=2,/.函数/(x)=2石sin(2x+?对于A,7 )=2氐 山 笄=3故 A 错误;对于 B,由-%+2 ki 2x

12、+。g +2(e Z),5 jr-r r-+k7 V X +k 7 V(k&Z ,故 B 错误；12 12 对 于 C,当=得 时，/(V)=2 6 s i n(+?)=2j5 sin与，故 C 错误;对于 D,由/()=2G sin1-+=,故 D 正确.故选：D【点睛】本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键，属于基础题.8、A【解析】求出集合M 和集合N,利用集合交集补集的定义进行计算即可.【详解】A/=x|JC2 x=1x|0 x l,N =x|2 l=x|x0,则 nQ/N=x|0 VxWl=0,l,故选：A.【点睛】本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数

13、不等式和二次不等式的解法，属于基础题.9、D【解析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体,结合图中数据，计算它的体积为：V=V=a+V x2x2xl+rt l2xl=(6+1.5T T)cm1.2 2故答案为6+1.5 n.点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可.10、B【解析】由(1+0 X)(1+x)5=(l+x)5+0 X(1+x)5,进而分别求出展开式中X2的系数及展开式中X3的系数，令二者之和等于-1 0,可求出实数”的值.【详解】由（1 +ax）（y+x）5=（1 +x）5+ax +x）5,则展开式中x2的

14、系数为+C5=10 +5 ,展开式中1的系数为C+C52=10 +l0 ,二者的系数之和为(10 +5。)+(10。+10)=15。+20 =-10,得。=一2.故选：B.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.11、A【解析】根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幕运算，可得/(?1 +/()=加)；利用定义可证明函数/(x)的单调性，由赋值法即可求得函数/(x)在 1,16 上的最大值.【详解】函数/（X）的定义域为（0,+“），且2巾 （）=4零，则/（：）+/（）=/（）；任取玉,2 W（0,+oo）,且也，贝!）上1，“2/故/工0,X2 ）（x 令2=

15、%，n=x2,则/+/（x2）=/（）,X2 j（、即/&）/（&）=/-0，X2 J故函数/（X）在（）,+力）上单调递增，故 X）3=16），令加=16,=4,故/（4）+4）=/（16）=4,故函数/（x）在 1,16 上的最大值为4.故选：A.【点睛】本题考查了指数幕的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.12、D【解析】由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比，即可求解.【详解】由题,窗花的面积为122-4 xl=14 0,其中小正方形的面积为5 x4 =20,所以所求概率P =*4 a20=1,故选:D【点睛】本题考查几何概

16、型的面积公式的应用,属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意得=+=_ =+=*=，然后根据数量积的运算律求解即可.【详解】由题意 得 三 +三=(2Z +Z Z)+(Z Z +I Z)=ZZ-Z I.三+三=三+三)+三+三)=三+三，(三 +三 (Z Z+Z Z)=(=z-Z Z I.(Z Z +Z I)=三：一三：=9-6 =:【点睛】突破本题的关键是抓住题中所给图形的特点，利用平面向量基本定理和向量的加减运算，将所给向量统一用三 三 表示，然后再根据数量积的运算律求解，这样解题方便快捷.14瓜14、a3【解析】计算正四面体的高，并计算该正四面体的

17、体积，利用等体积法，可得结果.【详解】作平面A 8 C,。为A A B C的重心如图则 A O=A D =-a 3 3所以P O =AP 2 -A 0 2 =旦a3设正四面体内任意一点到四个面的距离之和为x故答案为：旦a3【点睛】本题考查类比推理的应用，还考查等体积法，考验理解能力以及计算能力，属基础题.15、0,1【解析】根据向量关系表示同乙丽=（M +加）（万 一 脸）=所2-丽2=所（一1,只需求出|可|的取值范围即可得解.【详解】由题可得：6M +d N =6,|P6|el,V2碗.丽=（而+加）.附 +两）=（而+*）.（所-丽）-2 -.2 I-|2=PO-OM=|p。-le0,l

18、故答案为：（）【点睛】此题考查求平面向量数量积的取值范围，涉及基本运算，关键在于恰当地对向量进行转换，便于计算解题.1 6亚1O-.-3【解析】设=2。根据椭圆的几何性质可得S&P FtF2=忧tan3=b；、a1=,:.bf=-c2=c2 -4 4 1 4 J*根据双曲线的几何性质可得，S、P F F,=-=R“tang(i、沃=c2 az=c2 1 T-k e2)即r+7=2,3q=e2/.%=，e2 3故 答 案 为 逝3三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)S=2n-1(2)存在，a2=0,+1,+2,+3,+4,+5,-6【解析】(1)由数列他“为

19、“(1)数列”可得,S“=an+i-,%=a-l(n 2),两式相减得an+l=2%,(n 2 2),又 的=2=2q,利用等比数列通项公式即可求出明，进而求出S“；(2)由题意得，Sn=an+2-2,S,-=alt+i-2(n 2),两式相减得，all+2=%+an,(n 2),据此可得，当 2 3时,a,%-%+2=4川(%+i 一%)一 a：=4川%t 一 4：，进而可得|。+；一4 M -4,+M i|，(n 2 3)，即数列一%|为常数列，进 而 可 得 一 凡+臼 =仁 一 生 矶?3),结合%=%+%，得到关于2的不等式，再由=2时|22-=|%2-目4 4(),且 生为整数即可

20、求出符合题意的生的所有值.【详解】(1)因为数列 ,为“H数列”，所以S.=4+IT,故S,T=a“-l(nN 2),两式相减得4 1=2 a”,(n N2),在S“=。”+|-1中令”=1,则可得生=2，故。2 =2 6所唠=2,(G N ,n 1),所以数列仅“是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以=2 ，因为 S“=a”+1,所以 S“=2 -1.(2)由题意得 S =。“+2 -2 ,故 S,-=all+l-2(n 2),两式相减得。”+2 +%，(n 2 2)所以，当2 2时，al+l-anan+2=-an(an+t+%)=(。田 一4)一a：又因为 an+l-a=a,(n 3)所

21、以当 上3 时,-44+2 =%+|(%+%)一=%+1%-an所以|%+i 4 4+2 I=一“+4-1 ，(n 3)成立，所以当 2 3时，数列,：-4,+0 i|是常数列，所以-%+/=-a 2 a J，(n 23)因为当 =2时,+2 =4用+an成立，所以2=%+%，所以|2-an+lan_t 卜 K -a2a 3 -生斗,(n 之 3)在 S”=a,.一2 中令 =1,因为4 =1,所以可得4=3,所以|9一3/一。2 2|4 4 0,由=2时一3|W4 0,且生为整数,可得。2 =0,1,2,3,4,5,6,把 生=0,1,2,3,4,5,6 分别代入不等式|9-3 a2-a22

22、|/3 sin 2 x-c o s 2 x=2 sin(2 x-),6由-F 2 k冗 2 x F 2 k7i、k eZ,2 6 2T T T T得-+k/r x S AB C=g/jesin A=gx 百x 2百x=3 f .【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.2 1、(1)x2=4 y；(2)证明见解析；能，(0,1).【解析】(1)根据抛物线的定义，求出P,即可求抛物线C的方程；(2)设A司，3-，B龙2，(-)，写出切线AP B的方程，解方程组求出点尸的坐标.设点Q(0 ),直线A 5的方程y

23、=Ax+r,代入抛物线方程，利用韦达定理得到点P的坐标，写出点C,。的坐标,，可得线段CD,PQ相互平分，即证四边形PCQ。是平行四边形：若四边形PCQ。为矩形，贝！j|PQ|=|C D|,求出/,即得点。的坐标.【详解】（1）因 为 目=2+=3,所以p=2,即抛物线C的方程是V=4y.（2）证明：由/=4），得、=亍，y=方设 A,B,则直线帖的方程为y 去=5（x x j（i）,则直线尸8的方程为y ）（近），由（i）和（i i）解得：=巧 芳，y =竽，所以与 三,竽）.设点。（01）,则直线AB的方程为了=依+上x=4y,由，.得 _ 4 6-4/=0,贝!）再+工2=4&,玉 2=

24、一今,y=kx+t所以尸（2A,T）,所以线段PQ被x轴平分，即被线段C。平分.在中，令y=0解 得 追，所以。住,0）,同理得所以线段C。的中点坐标为（七 生,（）即（火,0）,又因为直线尸。的方程为丁=-:无+/,所以线段C Z）的中点（左,0）在直线尸。上，即线段C。被线段尸。平分.K因此，四边形PC。是平行四边形.由知，四边形PCQO是平行四边形.若四边形PCQO是矩形，贝U|PQ|=|8|,即J4%2+4产-V16A:2+16r，2解得，=1,故当点。为（0,1）,即为抛物线的焦点时，四边形PC。是矩形.【点睛】本题考查抛物线的方程，考查直线和抛物线的位置关系，属于难题.2 2、(1

25、)；(2)可能是2 件；详见解析81【解析】(1)由一件手工艺品质量为级的情形，并结合相互独立事件的概率公式，列式计算即可；(2)先求得一件手工艺品质量为。级的概率为7方，设 1 0 件手工艺品中不能外销的手工艺品可7能是4件，可知4 -8(1 0,力)，分别令P(&=k)P(4=与f 1 得 生,所 以 当 时，P =k+)P =k),即 P C =2)P e =D P C =0),2 0k+2 0 2 7言70 7彳A-50，所以当左22时，Pq =k+D P(&=k),2 0k+2 0 2 7所以当Z=2 时，P(J=Q 最大，即 1 0 件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2 件.由题意可知，一件手工艺品质量为A级的概率为(1-1 3=郎，一件手工艺品质量为5级的概率为曰,一件手工艺品质量为C 级的概率为C；x g x(l-:尸 x C；x|x(l-l)+(l)2 =-,7一件手工艺品质量为D级的概率为,2 7所 以 X 的分布列为：X9 0 06 0 03 0 01 0 0P82 71 68?208 172 7则期望为 E(X)=9 0 0 x S +600 x”+300 x虫+100 xN=”.27 81 81 27 27【点睛】本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查学生的计算求解能力，属于中档题.