2022年江西省赣州市寻乌县九年级中考第三次模拟数学试题（含答案与解析）.pdf

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1、2022年江西省赣州市寻乌县中考第三次模拟试题数 学（时间：120分钟 满分：120分）注意事项：1.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上。2.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答。3.作答前认真阅读答题卡上的注意事项。4.考试结束，由监考人员将试卷和答题卡一并收回。一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）1.4 的倒数是（A.42.下列计算正确的是A.A Y=AB.-4()B.9 2a2丫 =8/1C.一4C.+=a2+bD.2。+3。=5/3.2020年我国北斗全球卫星导航系统星座部署全面完成，北斗卫星原子钟的质量和指标授时精度相当于300万年

2、只有1秒误差，将 300万用科学记数法表示应为（）A.0.3xlO6 B.3 x l（）5 C.3x1064.如图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（）D.30 xl055.七巧板是由可以错综分合的几何图案演化而来，它是一种拼板玩具，体现了我国古代劳动人民的智慧,如 图 1,将一块正方形薄板分为7 块，其中包括5 块大小不等的三角形，1块正方形和1块平行四边形，图2 是由图1拼成的风车形状，则下列等式错误的是（）A.S5+S7-S2 B.2 s6=S3 C.S7=；S D,S7=S36 .如图，一个质点在第一象限及x 轴、y 轴上运动，且每秒移动一个单位，在 第 1 秒钟，它从原点运动到(

3、0,1),然后接着按图中箭头所示方向运动，即(0,0)T(0,1)-(1,1)-(1,0)T，若经过 2 3 秒质点到达点A,经过3 3 秒质点到达点B,则直线AB的解析式为()二、填空题(本大题共6 小题，每小题3 分，共 18分.)7 .分解因式：4 x=.8 .已知a、夕是一元二次方程9+x -1=0的两根，贝!a 2+2 a+-1 =.9 .我国古代数学著作 九章算术中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走3 0 步到B处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向

4、走7 5 0 步到D处正好看到B处树木，则正方形城池的边长为 步.则这组数据的众数为一.1 1.如图，在 4 4 8 C 中，AC=1 2,B C=8,线段A3的垂直平分线交AC于点N,则加 苗 的周长为A1 2 .如图，在矩形4 8 C D中，4 8=5 c m,A D=9 c m,点E在动A O上运动，将 O E C沿E C翻折，使。落在。处，若 D E C有两条边存在2倍的数关系，则。到A D的距离为 c m.三、（本大题共5 小题，每小题6分，共 84分.）1 3 .（1）计算：4 c o s 4 5 0-|-|-（-i r2 0 2 0（2）如图，将矩形A B C。绕点A顺时针旋转，

5、得到矩形A B C。，点C的对应点C 恰好落在CB的延长线上，边 A B 交边C D 于点E，求证：B C =B C1 5.小惠家大门进门处有一个三位单极开关，如图，每个开关分别控制着A （楼梯），B （客厅），C （走廊）三盏电灯，其中走廊的灯已坏（对应的开关闭合也没有亮）.（1）若小惠任意闭合一个开关，“客厅灯亮了”是 事件；若小惠闭合所有三个开关，“楼梯，客厅，走廊灯全亮了”是 事 件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；（2）若任意闭合其中两个开关，试用画树状图或列表的方法求“客厅和楼梯灯都亮了”的概率.1 6 .如图，在正方形A B C。中，请仅用无刻度直尺按下列要求作图(保留作图痕

6、迹，不写作法).(1)在图中，将 线 段 绕 点。逆时针旋转一定角度，使点A与点B重合，点 8与点C重合，作出点0的位置.(2)在图中，E为 的 中 点，将A A B O 绕点。逆时针旋转某个角度，得到(?”，使 D4与 DC重合，作出C F Z).1 7 .为庆祝“元旦”，光明学校统一组织合唱比赛，七、八年级共9 2人(其中七年级的人数多于八年级的人数，且七年级的人数不足9 0 人)准备统一购买服装参加比赛.如表是某服装厂给出服装的价格表：购买服装的套数1 套至45套46套至9 0 套9 1 套 以 上(含 9 1套)每套服装的价格60 元50 元40 元(1)如果两个年级分别单独购买服装一

7、共应付50 0 0 元，求七、八年级各有多少学生参加合唱比赛；(2)如果七年级参加合唱比赛的学生中，有 1 0 名同学抽调去参加绘画比赛，不能参加合唱比赛，请你为两个年级设计一种最省钱的购买服装方案.k1 8 .如图，在平面直角坐标系中，点 8坐标是(3,4),8 4，%轴于点4,点 8在反比例函数丫=依 0/0)x的图象上，将AOAB向右平移，得到O A B ,O B 交双曲线于点C(3 a,a).（1）求 ,a的值；（2）求出A aiB向右平移到 O A B 的距离；（3）连接OB,BC,O C,求 O B C 的面积.1 9 .20 21 年，中国航天人在太空又书写了新奇迹.为增进学生对

8、航天知识的了解，某校开展了相关的宣传教育活动.现随机抽取部分学生进行航天知识竞赛活动，并将所得数据绘制成如下不完整的条形统计图根据以上信息，回答下列问题：（1）本 次 抽 样 的 样 本 容 量 为,“良好”所 在 扇 形 的 圆 心 角 的 度 数 是.（2）补全条形统计图（3）若该校共有学生1 50 0 人，估计该校学生在这次竞赛中获得良好及以上的学生有多少人？20 .在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的 D点固定，点 E从 A向 B处滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转.已知压柄BC的长度为 1 5 cm,B D=5 c

9、m,压柄与托板的长度相等.（1）当托板与压柄夹角N A B C=3 7 时，如图点E从 A点滑动了 2 c m,求连接杆DE的长度；（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角N A B C=1 2 7。，如图.求这个过程中点E滑动的距离.（答案保留根号）（参考数据：sin 3 7 七0.6,co s3 7 七0.8.t a n 3 7 -0.7 5）2 1 .如图，在 回 0 中，直径A B 垂直弦C D 于 E,过点A作 团 D A F WD A B,过点D作 A F 的垂线，垂足为F,交 A B的延长线于点P,连接C 0 并延长交回0 于点G,连接E G.（1）求证：D F 是

10、 回 0 的切线；（2）若 A D=D P,0B=3,求 B O 的长度；(3)若D E=4,A E=8,求线段E G的长.2 2 .如 图1,若抛物线心的顶点A在抛物线上，抛物线b的顶点B在抛物线匕上(点A与点B不重合)，我们把这样的两抛物线心、心互称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条.(1)在 图1中，抛物线：Li：产-炉+4%-3与 七：尸/(x-4)2-3互 为“伴随抛物线”，则点A的坐标为,。的 值 为;(2)在图2中，已知抛物线心：)=2%2 -8 x+4,它 的“伴随抛物线”为 心，若 心与y轴交于点C,点C关于L3的对称轴对称的对称点为D,请求出以点D为

11、顶点的Z.4的解析式：(3)若抛物线产a i(x -m)?+“的任意一条“伴随抛物线”的解析式为广。2 G -h)2+k,请 写 出 与 s的关系式，并说明理由.2 3.我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例 如 图1,图2,图3中，A F .况 是A A B C的中线，A F B E，垂足为P.像A A 3 C这样的三角形均为“中 垂 三 角 形 设B C =a,A C =b,(1)如图1,当 NABE=45,c=4&时，a=b=如图2,当N A B E =3 0,c=2时，求。和的值.归纳证明：（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证

12、明你发现的关系式.（3）利 用（2）中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形A 3 C O中，。为对角线4 C,8。的交点，分别为线段A。，的中点，连接B E,CF并延长交于点，B M，CM分 别 交 于 点G ,H,如图4所示，求M G 2 +M 2的值.参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）1.I的倒数是（）1 1A.4 B.-4 C,-D.一一4 4【答案】B【解析】【分析】根据倒数的定义即可得.【详解】由非零实数。的倒数是得：的倒数是-4，a 4故选：B.【点睛】本题考查了倒数，熟记定义是解题关键.2.下列计算正确的是（）A.a3-a2 a6 B.（-2 2）=-

13、8 a6 C.（a+b f a2+b2 D.2a+3a=5 a2【答案】B【解析】【分析】根据整式乘法运算法则及加法法则逐一判断即可.【详解】A、a3-a2=a5,故错误；B、9 2 a 2=8 a 6,故正确；C、a+b =cr+2ab+bz,故错误；D、2 a +3 a =5 a,故错误；故选：B.【点睛】本题考查整式乘法与加法运算法则，熟记基本的运算法则是解题关键.3.2020年我国北斗全球卫星导航系统星座部署全面完成，北斗卫星原子钟的质量和指标授时精度相当于300万年只有1秒误差，将 300万用科学记数法表示应为（）A.0.3xlO6 B.3 x l05 C.3 x l06 D.30

14、xl05【答案】C【解析】【分析】根据科学记数法的定义：将一个数字表示成aXlO的形式，其 中 lW|a|(0,1)(1,1)(1,0)若经过2 3秒质点到达点A,经过33秒质点到达点B,则直线A B的解析式为()【答案】B【解析】【分析】应先判断出走到坐标轴上的点所用的时间以及相对应的坐标，可发现走完一个正方形所用的时间分别为3,5,7,9，点在坐标轴上，进而得到规律，求得A、B点的坐标，根据待定系数法确定解析式即可解答.【详解】3 秒时到了(1,0)；8 秒时到了(0,2)；1 5 秒时到了(3,0)；2 4 秒 到 了(0,4)；35 秒到了(5,0)；.2 3 秒至I 了 (1,4),

15、33 秒 到 了(5,2),A A (1,4),B (5,2),设直线AB的解析式为y=kx+b,快+0 =4：.3中，D E2+CD2 C E2,C D 5,D E -C E,2：.D E2+52=(2DE)2,解得：D E=,3V DE=-C E,ZD=90,2Z.ZDCE=30Q,ZDEC=60,DEC沿EC翻折，使。落在O处，5 n NDEC=ZDEC=60；OE=王，3 ND EH=180-ZDrEC-/DEC=60，在 RtADHE 中，DH=DE-sin NDEH=在 x sin 60=-.3 2当时，作DHLAO于点H,延长，。交8c于点尸，2在 中，DE-+CD2=CE-,C

16、D=5,DE=-CD,2-DE=-,C E ,2 2.DEC沿EC翻折，使。落在。处，ZEDC=ND=90,DE=DE,CD=CD,二 ZHDE=90-ZFDC=ZFCD-ADHE=NOT)=90,jy H E Y F D,.HEDHDE DF CF一 CD.DE=-D C,2.D E _DE _ 1,DCCD2，,HEDHDE DF 一 CF 一一 CD-2设“E=x,DH=y,则 F=2x,CF=2y,JDHLAD,四边形ABC。是矩形，四边形 尸CD是矩形，：.HF=CD=5f CF=DH=DE+HE,2x+y=5，,八 5，解得：）二2,2y=+xI-2 DH=2,当DC=，CE时，作

17、H，4）于点”，如图,2Rt/DCE 中，DE2+CD2=CE2，CO=5,DC=工 CE,2r.CE=IQ,DE2+52=1()2,:.DE=5：CD=LcE,ND=90,2：.ZDEC=30,DEC沿EC翻折，使。落在。处，ZDEC=ZDEC=30,OE=DE=5百，/.ZDED=60在 旧中，DH=DE sin60=,2综上所述，Q 到A。的距离为2或2或”.2 2【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，利用分类讨论思想解答是解题的关键.三、(本大题共5小题，每小题6 分，共 84分.)13.(1)计算：4cos45。卜次卜(IL。?。(2)如图，将矩

18、形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形ABC。，点C的对应点C 恰好落在CB的延长线上，边 A 3 交边C 于点E，求证：B C =B C【答案】(1)-1；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)直接利用负指数基的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简，即可得出答案；(2)连结AC、AC 根据矩形的性质得到NABO90。，即 A B L C C,根据旋转的性质即可得到结论.【详解】(1)4cos45o-|-V 8|-(-l)-2020=4X-2V2-1=2 7 2-2 7 2-1=1；(2)连结A C、A C,如图，四边形ABC。为矩形，ZABC=90。，即 A B LC C.由旋转

19、，得 AC=A C,B C =BC.【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质和实数的混合运算等，熟练掌握性质定理是解题的关键.14.先化简再求值：二 二 士 11-一 二)，其中x=g.x+2 1 x+2J 3【答案】二3【解析】【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得.r2-1 r+2-1【详解】解：原式 Tx+2 x+2（x +l）（x-l）x+2x+2 x+1=x-1 ,1 2当=-时，原式=1=.3 3 3【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则.15.小 惠家大门进门处有一个三位单极开关

20、，如图，每个开关分别控制着A （楼梯），B （客厅），C （走廊）三盏电灯，其中走廊的灯已坏（对应的开关闭合也没有亮）.（1）若小惠任意闭合一个开关，“客厅灯亮了”是 事件；若小惠闭合所有三个开关，“楼梯，客厅，走廊灯全亮了”是 事 件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；（2）若任意闭合其中两个开关，试用画树状图或列表的方法求“客厅和楼梯灯都亮了”的概率.【答案】（1）随机；不可能；（2）3【解析】【分析】（1）由随机事件、不可能事件的定义，即可得到答案；（2）画树状图得共有6 种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2 种情况，由此能求出正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率.【详解】解：（1

21、）若小惠任意闭合一个开关，“客厅灯亮了”是随机事件；:走 廊的灯已坏，若小惠闭合所有三个开关，“楼梯，客厅，走廊灯全亮了”不可能事件；故答案为：随机；不可能；（2）设客厅灯亮了为事件A,楼梯灯亮了为事件B,走廊灯亮了为事件C；则树状图如下：ABCA A AB C A C A B,共有6 种结果，其 中“客厅灯和楼梯灯亮了”的有2 种，2 1 P（客厅灯和楼梯灯都亮了）6 3【点睛】本题考查列表法和树状图法求概率，以及随机事件的定义，是基础题，解题时要认真审题，注意树状图的合理运用.16.如图，在正方形ABC。中，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.（1）在图中，将 线 段

22、 绕 点。逆时针旋转一定角度，使点A 与点8 重合，点 8 与点C 重合，作出点0的位置.（2）在图中，E 为 的 中 点，将AABO绕点。逆时针旋转某个角度，得到（7”,使 D 4与。C 重合，作出ACFD图【答案】（1）图见解析;图（2）图见解析.【解析】【分析】（1）作正方形的对角线，对角线交点即为所求；（2）先找到对角线交点0,再连接E 0并延长E 0交 8 于H,连接A H,并延长交B C延长线于F,连接DF,）即为所求.【详解】解：（1）如图所示，点。即为所求.图（2）如图所示，即为所求.图【点睛】本题主要考查作图-旋转变换，熟悉相关性质是解题的关键.17.为庆祝“元旦”，光明学校

23、统一组织合唱比赛，七、八年级共92人（其中七年级的人数多于八年级的人数，且七年级的人数不足90人）准备统一购买服装参加比赛.如表是某服装厂给出服装的价格表：购买服装的套数1套至4 5 套4 6 套至9 0 套9 1套 以 上(含 9 1套)每套服装的价格6 0 元5 0 元4 0 元(1)如果两个年级分别单独购买服装一共应付5 0 0 0 元，求七、八年级各有多少学生参加合唱比赛；(2)如果七年级参加合唱比赛 学生中，有 10 名同学抽调去参加绘画比赛，不能参加合唱比赛，请你为两个年级设计一种最省钱的购买服装方案.【答案】(1)七年级5 2 人，八年级4 0 人；(2)两个年级一起买9 1套时

24、最省钱；【解析】【分析】(1)设七年级有x人，根据七年级的人数多于八年级的人数，且七年级的人数不足9 0 人，得出七年级，八年级的人数范围，从而确定服装价格；再根据两个年级分别单独购买服装一共应付5 0 0 0 元，列方程求解即可；(2)分别计算：两个年级单独买、两个年级一起买8 2 套、两个年级一起买9 1套的总花费，即可判断；【小 问 1详解】解：设七年级有x 人，则八年级有(9 2-x)人,.七年级的人数多于八年级的人数，且七年级的人数不足9 0 人，x 9 2-x 且 x 9 0,/.4 6%9 0,.2 9 2-%4 10 0 元 3 6 4 0 元，.两个年级一起买9 1套时最省钱

25、.【点睛】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式实际应用，利用分类讨论的思维是解题关键.k18.如图，在平面直角坐标系中，点8坐标是(3,4),8 4 _ 1%轴于点4,点8在反比例函数丫=(4 0/0)x的图象上，将 。钻 向右平移，得到O A B ,0 8 交双曲线于点C(3 a,a).(1)求 左,。的值；(2)求出AQ46向右平移到O A B 的距离；(3)连接0 8,BC,O C,求 Q B C的面积.【答案】(1)k=12,a =2；(2)4.5个单位长度；(3)9.【解析】【分析】(1)根据题意可直接进行求解上 的值，然后再把点C代入进行求解即可；(2)过 点C作C _ L x轴

26、于点。，由(1)可得8 =2,进而可得点。为的中点，然后问题可求解;(3)由(1)及题意易得S c =S样 陷。c，然后根据梯形的面积公式进行求解即可.【小 问1详解】.点8坐标是(3,4),轴于点A,点8在反比例函数y =K的图象上，Xk=3 x 4 =12,/O B交双曲线于点C(3a9a),3a*ci=12 解得：a=2 fV x 0,a=2；【小问2详解】过点C作C D _ L x轴于点。，如图所示：由(1)可得：点。(6,2),：.OD=6,CD=2,由平移的性质可得：AB=AB=4,OA=OA=3,NQ46=NOAB=90,C D/A B,:.AODC AOAB,.CD OD _

27、1,亚 一 府-5 OD=.5,O(y =OD-OD=4.5,：.AOAB向右平移4.5个单位长度得到OAB；【小问3详解】如(2)图，S.OBC=S四边形a x/-S ODC，S梯形=$四边形ODCB 一.O A B 由反比例函数k的几何意义可得S.OAB=S.ODC=y，S=S梯形AOCB，由(2)可得：OA=3,AB=4,CD=2,OD-6,AD=ODOA=3,54O8C=：5ffi 4/X-B=1X(C D+A S)X A D =X(2+4)3=9【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例图象上点的特征，反比例函数系数k的几何意义，坐标与图形的变化-平移，三角形的面积，熟

28、知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.19.2021年，中国航天人在太空又书写了新的奇迹.为增进学生对航天知识的了解，某校开展了相关的宣传教育活动.现随机抽取部分学生进行航天知识竞赛活动，并将所得数据绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图.根据以上信息，回答下列问题：（1）本 次 抽 样 的 样 本 容 量 为,“良好”所 在 扇 形 的 圆 心 角 的 度 数 是.（2）补全条形统计图（3）若该校共有学生1 5 00人，估计该校学生在这次竞赛中获得良好及以上的学生有多少人？【答案】（1）6 0,1 4 4。（2）见解析（3）9 7 5人【解析】【分析】（1）用

29、1 5-2 5%即可求出样本容量，用3 6 0。乘“良好”所占比例即可得出“良好”所占圆心角的度数；（2）用总人数分别减去其它三类的人数，即可得出“合格”社团人数，进而补全条形统计图；（3）求 出“优秀”及“良好”所占百分比，然后用1 5 00乘以获得良好及以上的学生所占的百分比即可.【小 问1详解】2 4解：1 5+2 5%=6 0,3 6 0 x一 =1 4 4 ,6 0故答案为6 0,1 4 4【小问2详解】解：6 0-1 5-2 4-9=1 2 （人）补全条形统计图如下图所示，人数/人【小问3详解】解：一1 5 00=9 7 5 （人）6 0.该校学生在这次竞赛中获得良好及以上的有9

30、7 5 人.【点睛】本题主要考查条形统计图的知识，熟练根据条形统计图和扇形统计图得出相应的数据是解题的关键.2 0.在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的 D点固定，点 E从 A向 B处滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转.已知压柄BC的长度为 1 5 c m,B D=5 c m,压柄与托板的长度相等.（1）当托板与压柄夹角/A B C=3 7 时，如图点E从 A点滑动了 2 c m,求连接杆DE的长度；（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角N A B C=1 2 7 ,如图.求这个过程中点E滑动的距离.（答案保留

31、根号）（参考数据:s i n37 0.6,c o s 37 0.8.t a n37 *0.7 5）图 图【答案】（1）连接杆D E 的长度为3 J/cm（2）这个过程中点E 滑动的距离为（16 -J 游）c m【解析】【分析】（1）作 D H LBE 于 H,在 R t B D H 中用三角函数算出D H 和 BH,再求出E H,在三角形D E H 中用勾股定理即可求得D E；（2）作 D H _ L A B 的延长线于点H,在 R t Z DB H和 R t/DEH中，用三角函数分别求出B H,DH,E B的长，从而可求得点E 滑动的距离.【详解】（1）如图，作 D H LBE 于 H,DM

32、乙-a-v图在 RtaBDH 中，NDHB=90,BD=5,/A B C=37,.-D-H-二 sin.37 o,-B-H-=cos37 o,5 5DH=5sin37 七5X0.6=3(cm),BH=5cos37=5X 0.8=4(cm).*.*AB=BC=15cm,AE=2cm,EH=AB-AE-BH=15-2-4=9(cm),-,.DE=7DH2+EH2=打 +92=3 而(cm)答：连接杆DE的长度为cm.(2)如图，作 DH_LAB的延长线于点H,图VZABC=127,；./D B H=53,/B D H=37,RH RH在 RtADBH 中，-=-=sin37=0.6,BD 5BH=

33、3cm,/.DH=4cm,在 RtZXDEH 中，EH2+DH2=DE2,(EB+3)2+16=90,；EB=(V 74-3)(cm),.点 E 滑动的距离为：15-(V 7 4-3)-2=(16-J 源)(cm).答：这个过程中点E 滑动的距离为(16-J 五)cm.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线，正确构造直角三角形是解决问题的关键.2 1.如图，在 回 0 中，直径AB垂直弦CD于 E,过点A作 回DAF=G1DAB,过点D作 AF的垂线，垂足为F,交 A B的延长线于点P,连接C0并延长交回0 于点G,连接EG.(1)求证：DF是130的切线；(2)若 AD=DP,0B

34、=3,求 5。的长度；(3)若 DE=4,AE=8,求线段EG的长.【答案】（1）证明见解析（2）n（3）25/13【解析】【详解】试题分析：（1）连 接 0 D,由等腰三角形的性质得出NDAB=N AD O,再由已知条件得出ZA D O=ZD A F,证出ODA F,由己知DF_LAF,得出DF_LOD,即可得出结论；（2）易得/BOD=60。，再由弧长公式求解即可；（3）连接D G,由垂径定理得出DE=CE=4,得出C D=8,由勾股定理求出D G,再由勾股定理求出EG即可.试题解析：（1）证明：连接O D,如 图 1所示：VOA=OD,.ZDAB=ZADO,VZDAF=ZDAB,ZADO

35、=ZDAF,；.ODAF,又：DF_LAF,A DFOD,；.D F是（DO的切线；(2)VAD=DP:.ZP=ZDAF=ZDAB=xZP+ZDAF+ZDAB=3x=90 x0=30ZBOD=60,8 Q 的长度(3)解：连接D G,如图2 所示：VABCD,ADE=CE=4,.CD=DE+CE=8,设 OD=OA=x,则 OE=8-x,在 R sO D E 中，由勾股定理得：OE2+DE2=OD2,即(8-x)2+42=x2,解得：x=5,.CG=2OA=10,CG是。O 的直径，ZCDG=90,DG=ylcG2-CEr=7102-82=6，EG=y/DG2+D E2=V62+42=2713

36、.图 22 2.如 图 1,若抛物线心的顶点A 在抛物线二上，抛物线匕的顶点B 在抛物线小上(点A 与点8 不重合)，我们把这样的两抛物线L、上互称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条.(1)在 图 1 中，抛物线：Li：产-炉+4*-3 与 七：尸/(x-4)2-3 互 为“伴随抛物线”，则点A 的坐标为,。的 值 为;(2)在图2 中，已知抛物线心：产正-8户4,它 的“伴随抛物线”为小，若 匕与 y 轴交于点0点 C 关于L3的对称轴对称的对称点为D,请求出以点D为顶点的&的解析式：(3)若抛物线产内(x-m)2+”的任意一条“伴随抛物线”的解析式为y=s G-h)

37、2+k,请写出与 s的关系式，并说明理由.【答案】(1)A (2,1),a 为 1；(2)=-2(x-4)2+4；(3)a=-a2,理由参见解析.【解析】【分析】(1)根据点A是抛物线小的顶点，可得点A的坐标，再把点4坐标代入抛物线心中求得。的值;(2)由 上解析式可知点C坐标，进而知道点C关于对称轴的对称点。的坐标，设以解析式：产2+k,将顶点D的坐标及L3顶点坐标代入，求出系数,得到以点D为顶点的U的“伴随抛物线 4的解析式，于是求出&的解析式；(3)根据抛物线小的顶点A在抛物线心上，抛物线心的顶点8也在抛物线心上，可以列出两个方程，相加可得：(。|+2)Cm-h)2=0,可得 0=-“2

38、.【详解】(1)I点A是抛物线小的顶点，抛物线L：y =-x2+4 x-3=-(x-2)2+l,.此抛物线的顶点坐标为4(2,1),二抛物线G过点A (2,1),把点A坐标代入抛物线七中，1=(2-4)2-3,故答案为A (2,1),a=l；(2)由乙3解析式：产 源-8 x+4化成顶点式，得y=2(x -2)2-4,与y轴交于点C,A C (0,4),对称轴为直线x=2,顶点坐标(2,-4).二点C关于对称轴%=2的对称点。(4,4),设 L t：y=a(x -/?)2+k,将顶点。(4,4)代入得，y=a(x-4)2+4,再 将 点(2,-4)代入得，-4=4 a+4,解得：a=-2,所

39、以 上 的“伴随抛物线”却的解析式为：产-2(x-4)2+4；(3)0=-22.理由如下:抛物线A的顶点A在抛物线L 2上，抛物线Z.2的顶点B也在抛物线Ly上,可以列出两个方程n=a2(m h)2+kk-a(h-m)2+n+得：(a i+f l2)Cm-h)2=0,伴随抛物线的顶点不重合,/.（Z）=-02.【点睛】本题是阅读理解题，也是二次函数综合题；考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与坐标轴的交点，一般式化为顶点等知识，正确理解题意是解题的关键.2 3.我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例 如 图1,图2,图3中，A F -B E是M B C的中线，A F B E

40、，垂足为P.像A A B C这样的三角形均为“中 垂 三 角 形 设=A C =b,A B =c.特例探索：（1）如图 1,当N AB=4 5,c =4正 时，a=_ _ _ _ _ _ _ _，b=_ _ _ _ _ _ _ _；如图2,当乙4 B E=3 0,c =2时，求。和匕的值.归纳证明：（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式.（3）利 用（2）中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形A 8 C 0中，。为对角线AC,30的交点，E,尸分别为线段A 0,。的中点，连接B E,CE并 延 长 交 于 点B M ,CM分别交A

41、O于点G ,H,如图4所示，求M G 2 +MH?的值.【答案】（1）a =4 际,b=4 也;（1 =瓦,b=不；。2+少2=5。2；（3）M G2+M H2=5【解析】【分析】（1）在图1中，连接EF,三角形中位线定理和相似得到W P E：PB,根据等腰直角三角形可得P B=B 4 =AB s i n 4 5 0=2,利用勾股定理即可求解；在图2中，根据含3 0直角三角形可得尸A=A B x =i,PB=A 3C O S3 0 =JL 利用勾股定理即可求解.2（2）三角形中位线定理和相似得到尸尸=g p A,P E=g p B ,结合勾股定理片+从=（2 4后）2+（2 8尸）2,即可求解

42、；2 1 1 1（3）证明：M G =-M E =-M B ,M H =-M C ,则 M G?=例外+知。2）,即可求解.3 3 3 9【详解】解：如 图1、2、3、4,连 接 班 则 所 是AABC的中位线，则 EFU AB,:.EFPBPA,2PB PA AB I=一，PE PF EF 2(1)如 图1,在直角三角形能4 0中，R4=P3=Msin45o=4,，PE=PF=2,a=b=2BF=24PB2+PF。=4右；在图2中，在直角三角形能1解 中，Q4=ABsin300=l,P8=A3cos300=百,二 PE=LpB =0 P F =LpA=L,2 2 2 2则 a=2BF=2dP

43、B?+PF?=屈 b=2AE=2 j p*+PE?=不；(2)关系为：a2+b2=5c2 f证明：如图3,由得：PF=；PA,PE=；PB,则 a2+b2=(2 8斤 了 +(24E；=4BF2+AE2)=4(BP?+PF1+AP2+PE2)=4(|BP2+；AP=5(3尸+AP2)=5c2(3)在菱形ABC。中，民尸分别为线段A。，。的中点V AE=OE=-EC,AG/BC,3AG=-BC=-A D,则，3 3 2 2同理:.GH=-AD,3 3:.G H=-EF,3.GH/BC,E F/B C ,2 I.H G/E F,:.MG=-M E=-M B,3 3同理：MH=-MC,3图1 图2 S3【点睛】本题为四边形综合题，考查了三角形相似、中位线等知识，其 中（3）,直接利用（2）的结论是本题的新颖点和突破点.