2022年高考数学一轮复习平面向量的应用精讲（解析版）.pdf

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1、10.3平面向量的应用（精讲）考法一平面向量与四心【例1】（1）（2021 河 南（文）己知-A 8 C的三个内角分别为A,B,C,动点P满足/A P A rO P =OA +A l+1 ,AG（0,+（x）,则动点P的轨迹一定经过,KHC的（）|/4B|si n B|AC|si n CA.重心 B.垂心 C.内心 D.夕 卜 心（2）（2021 山东莱州一中高三开学考试）。是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点尸满足。尸=O A+/l（A B +A C）,Ae 0,-K ）,则尸的轨迹一定通过A B C的（）A.外心 B.垂心 C.内心 D.重心【答案】（1）A（2）D【解析

2、】（1）在 A B C中，令线段6 C的中点为材，由正弦定 理 四1=匹1得：|4B|si n B=|4C|si n C,si n C si n B由 O P =O A+”+）得：O P-O A =A（+）,|48|si n 8|AC|si n C|AB|si n 8|A8|si n 8丸 24 24即 A尸=n（4 8 +A 0=A M,而 si n 80,/l e（0,+o o）,则人 屋（。收）,|A B|si n B|A B|si n B A B si n B于是得4 P与4历同向共线，而它们有公共起点，即动点P的 轨 迹 是 射 线（除/点外），又重心在线段/匕所以动点尸的轨迹一定经

3、过,ABC的重心.故选：A（2）令。为BC的中点，则 OP=OA+X（AB+AC）=OA+2XAD,于是有AP=244。，点 A、。、P共线，即点尸的轨迹通过三角形ABC的重心.故选：D【一隅三反】1.（2021 全国高三专题练习）在“C 中，设-=2 4 1 仆8。，则动点 的轨迹必通过 ABC的（）A.垂心 B.内心 C.重心 D.外心【答案】D【解析】设8 c 的中点是。，“-网 2 =3-而=（AC+AB）.（AC-AB）=2AO.BC=2A例.BC,即（A 0-A A/）.BC=M 0.8C=0,所以 M OJ.8C，所以动点M 在线段3 c 的中垂线上，所以动点用的轨迹必通过ABC

4、的外心，故选：D.2.（2021 全 国 高 三（理）已知的内角4 B,C所对的边分别为a,b,c.力 6 c内一点，满足:a-MA+b-MB+c MC=0 则 M一定为4%?的（）A.外心 B.重心 C.垂心 D.内心【答案】D【解析】由题意可设43=%，AC=he,BC=ae3.其中e“6 3分别为A B，A C，B C方向上的单位向量,a-MA+b MB+c-MC=O：.a-MA+b(MA+AB)+c(MA+AC)=0,贝 lj (a +/，+c)MA+bAB+c AC=0,MA=-5 (bAB+AC)=-(bee.+cbeA=-(e.+eA.a+b+c a+b+c 1 a+b+c 2/

5、二材在/胡C的角分线上，同理材在/a与 的 角 分 线 上.M为4?。的内心.故选：D.3.(2021 全 国(文)在二A 3 C中，O A OB=OB OC=OC OA,则下列说法正确的是()A.。是A B C的外心 B.。是MC的内心C.。是 一 A 8 c的重心.D.。是 一 AB C的垂心【答案】D【解析】V OA OB=OB OC A OB-OA-OC)=Q,A O B-CA=0,A O B1C4.同理由 0 4 0 8 =0 0 0 4，得到。4_L 8 C,.点。是，A 8 c的三条高的交点.故选：D4.(2021 营口市第二高级中学高三月考)已知/回的重心为。，则向量8。=()

6、A.-A B +-A C B.-A B +-A C3 3 3 32 1 1 .2-C.A8 H AC ).AB H AC3 3 3 3【答案】C【解析】设 瓦尸，。分别是AC,AB,B C 的中点,由于。是三角形4 3 c的重心,所以 B0=|BE =|x(AE _AB)=gx(；AC_AB)=_|A8 +gAC.故选：c考法二平面向量与三角函数【例 2】(2021 北京市第十二中学高三月考)如图，角a,均以3为始边，终边与单位圆。分别交于AB,A.sin(a-y0)B.sin(+?)C.c o s(a-)D.cos(a+户)【答案】C【解析】根据题意角a,尸均以Ox为始边，终边与单位圆。分别

7、交于4 8,则 以 出 卬 皿 通 即 3 用户也夕)，则 OA OB=cos a cos 夕 +sin a sin(5=cos(a-/?).故选：C【一隅三反】a +ccq a1.(2021 河北武强中学高三月考)已知向量a=(cosa,3),=(sina,-4),a/b，贝 二:的2cosa-3sina值 是()14iA-B.-2 C.-D.-【答案】A【解析】因为向量 =(cosa,3),Z?=(sina,-4),a!lb4二.T cosa=3 s in a,即 tana=-3sina+cosa 3 tan+1 -4+1 1-=-=-=2cosa-3sina 2-3 tan a 2+4

8、2故选：A2.(2021 河南洛阳(理)在，ABC中，内角A,B,。所对的边分别为，b,J 且(a-J 办卜inA=(c+h)(sinC-s in B),设。是 A 3的中点，若8=1,则 48。面积的最大值是()A.V2-1 B.V2+1 C.3s D.3+2 0【答案】A【解析-V2Z?)sin A=(c+b)(sin C-sin B)=(ci-y/2ba=(c+/?)(c-/?)=-yflab=c2-b2,所以 c1=a2+b?-血ab，由余弦定理可知：c1=a2+b2-2ab-cosC 因 止 匕 有 cosC=一 CG(O),.C=,2 4一1 一 一因为。是 AB的中点，所以有CO

9、=5(C4+C 8),平方得：CD2=(CA+CB2+2CA-CB)4=b2+a2+2 b a-b2+a2+/2bci=4,)a2+b22ab，所以2ab=a6M 2(2-血)，i/n BS ABC=-absinC=-a b 0,6 为第四象限角，且 cos=2 叵，则()A.O4 O8=cos(a+夕)B.当|钻|=夜 时，OAOB=-C.|A0最大值为2|U IO I|9 ZsD.当卜=1 时，G co sa-sin a=【答案】CD【解析】易知 A(cose,sina),B(cos/?,sin，CM-O5=cosacos/+sinasin#=co s(a-1),故 A 错误;当在 同=夜

10、 时，OA1OB-:.OA OB=Q 故B错误:由于s in e 0,故A 8过原点时，|AB|最大且最大值为2,故C正确:因为cos=亭，且夕为第四象限角，所以sin/?=-坐.卜 8卜1,Z A O B-y ,即 a-6=5 +2&肛 A eZ,/./3cos67-sina=-2sin a-5TC =-24!1尸=半，故口正确.3故选：C D.考法三平面向量与数列【例3】(2021 全国高三专题练习)已知等差数列 4 的前”项和为S“，设帅，I),仅2,-1),C(2,2)为坐标平面上三点，。为坐标原点，若向量OA与OB在向量OC方向上的投影相同，则S即 为()A.-2016 B.-201

11、7 C.2017 D.0【答案】D【解析】恤21),8(2,-1),C(2,2),向量0 4与OB在向量OC方向上的投影相同，2 0 1 7一 OA*OC =OB*OC 2。“*“+2 =2 x 2 1 x 2 ,即4则二。，；.q+%=2。=0 ,T (4+刈7)=0,故选：D.【一隅三反】1.(2021 全国高三专题练习)如图，己知点。为.ABC的边BC上一点，B D =3 D C，E&t w M)为边A C的一列点，满足E“A=1%E,B-(3a“+2)E,Q,其中实数列 叫中 0,4=1,则 七 的通项公式为()【答案】Dc.y-2D.3?-14-解析 1 EA =EB-(3a+2)E

12、D ,ED =B D-BE“=：BC-BE“,EA =BA-BE,:,+1 3a+2)(；BC-B E,=8A-BE,+3q,+3)B E“=BA +(an+)BC ,E（e M）为边AC的一列点,1 9 3冷+i +3q,+3=l +-a +-,化为：“+1=34 +2,即%+l =3(a“+1),数列a+D 是等比数列，首项为2,公比为3.-.a+l =2 x 3-,即 a“=2 x 3*1-1,故选：D2.（2 0 2 1 全国高三专题练习）己知等差数列 七 的前”项和为S,若。二的必+生.。-且A、B、C三点 共 线（该直线不过点。），则$2。2 等 于（）A.10 0 6 B.2 0

13、 12 C.22 0 12 D.2-2 0 12【答案】A【解析】O B =a,。4 +/(10 60 c ,且A、B、C三点共线(该直线不过点。)，-7+2 0 0 6 =|：数列 4 是等差数列,4 +2 0 1 2 =%+”2 0 0 6 ；S刈 2 =2 0 12 x(+a刈 2)=1 006故选：A3.（2 0 2 1 全国高三专题练习）已知直线/上有三点A ,B,C,。为/外一点，又等差数列 4 的前，项和为 5 ,若。4 =(4+%)。8 +2%0(7,则 S“=()AA.11 Bn.3。C.11 Dn.134 2 2【答案】A【解析】点A、B、C是直线/上不同的三点，存 在非零

14、实数几，使 A 8 =4 8 C =0 8 =A(OC -OB)=O A =(1 +入)OB 一 W C；OA =(a)+a3)OB+2aiQOC ,.1+4 =4 +6 ,-2 =2aw；4 +6 +2 l 0=1 ；,数列%是等差数列，c c ，1.2%+2 0 =1 =%+4。=5 =4 +4 1 ；_ 1 1(6 7 +&)_ 11.3“=T 故选：A.考法四平面向量与其他知识【例 4】（2。2 1 五华 云南师大附中高三月考（文）双曲线C:捺 4 =9。），。是坐标原点，F是双曲线C 的右焦点，离心率是e,已知4是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线x =土的交点，则。4.4 尸C的 值

15、 为（）【答案】A【解析】据题意渐近线方程是y=2 x,a则 A点的坐标是 g B,点尸的坐标是9 0）,贝|J OA.A F故选：A.【一隅三反】1.（2 0 2 1 安徽六安一中 高 三（文）过双曲线C:-*=l（a 0 力 0）的右焦点F作x 轴的垂线，与双曲a-b线C及其一条渐近线在第一象限分别交于A8两点，且O 尸=2 0 4-0 8（0为坐标原点），则该双曲线的离心率是（）A.2.B.6Vr 3-垃-2D.苧【答案】Dx=c【解析】设双曲线的半焦距为c,由2 2狂 一 铲而尸(c,0),OF=2 0 A-0 B OA=O F +O 82,到*），由 bv=x be-a得到8(c,丝

16、),ax=c，即点力是线段用的中点,be 2b2.二匚c 2b 2 G所以一=,c=2 b,期以e=_=、，a a a a -b 3故选：D2.（2021 湖南雅礼中学高三）已知双曲线C：-*i g （U 0）的左、右 焦 点 分 别 为 K，过点624 _ -.且斜率为-亍的直线与双曲线在第二象限的交点为A,若（6 6 +4A）gA =0,则双曲线C 的渐近线方程是（）A.y=-x B.y=?x C.y=3x D.y=x3 4 3【答案】A 解析】依题意(耳6+4)6 4 =(6 工+4 4).(4 4 _ 8/9 =6 4 2 _ 片入2:0,所以忸冏=降 卜 2。心 弓=-2彳4，设直线

17、4 A的倾斜角为a，则a 为钝角,7sin a 24tan a=-=-cos a 7结合 sin?a +cos2 a =1 解得 sin a =24,cos(X=-,25 25汽 c 24 48yn=2c-sin a =2c-=25 2539 c25+b2 设4(%,%),则/=2c-cosa+(-c)=2cx将 A 点坐标代入双曲线方程得1521/2,八 2304所以西(0+切直a2 b2化简得 1521勺 一 1408 2 3 0 4=0,1521-Z 4-1408a2Z 2-2304-a4=0,（9/-1 6/）0 69 从+1 4 4）=0b 4助2-1 6=（）,3 b=4。,一 =

18、7，a 3所以双曲线的渐近线方程为y =4 x.故选：A3.（2 0 2 1 全国高三专题 练 习（理）半径为2的圆。上有三点A、B、C满足O 4 +AB+A C =0，点P是圆内一点，则P A.P O+P 8/C 的取值范 围 为（）A.-4.1 4）B.0,4）C.4 4 4 D.4,1 6【答案】A【解析】如图，O A 与 B C 交于点 ,由O A+A3 +A C =0 得：O 8+A C =0，A所以四边形O 5 4 C 是菱形，且。4 =0 8 =2,则 A D =O D =1,BD =D C =上,由图知 P 8=P O +8，PC =P D+D C 而 D 8 =-OC，-5

19、2PB P C =P D -D B H P D|2-|D B|2H P ）|2-3，同理 P A=P +D4，PO=P D +DO，f f f f D A=-D O -2 2二 PA-PO=P D -D O PD 2-DO PD ，二 PA P O+P B PC =2PD 2-4 ,:点尸是圆内一点，贝 i J 0 4|P D|3,_ 4 4 P A.p o +P 8.p c【解析】如图，设 A D 交 BC 于 E,且 AE=xAO =A 8+w A C,由 8 ；，三点共线可得:K E Cx x 6.r L,237 3 2 5 5 5.(1/-回=|仲-A E2BE=3EC.设 S CED

20、=2 y ,则 S BED=3 y S BC D=5 y,又4-E =6 AT =4O =5 )E,：.S八 S R r n 5 y 1A C D=Wy,=5 J ACD i u y z故选：B.考法五最值(范围)【例 5】(2 0 2 1 北京高三专题练 习)若”,b,c 均为单位向量，且a 力=O,(a-c).S-c)4(),贝小+匕-c|的值可 能 为()A.72-1 B.3 C.72 D.2【答案】A【解析】因为。也。均为单位向量，且。2=0,3-。)3-。)(0,所以 a.b-o(a+b)+J 0，所以c (a+c)N l,a+b-c=l(a+b-c)2=de；+b+c+2a必-2a

21、 c-2b c=3-2c.(a+b)J 3-2 =1，所以选项民C。不正确，故选：A【一隅三反】1.（2021 四川成都市成都七中高三月考（理）已知单位向量、。满足卜+6卜2。=0,则卜。+叫的最小值为（）3A.0B.一23也 n 92 2【答案】C【解析】因为a、b是单位向量，由K+4 +2。加=0可得一2a为=卜+力，则a b0 9所以，4（ab）=a+2a b+b=2+2。b,即 2（力1）（2Q力+1）=0,可得Q/=g,所 以,13a+仍卜飞9a-+6 ta.b+b2=J户-3 f+9=，当且仅当r=|时取等号，所以卜。+例的最小值为 手，故选：C.2.（2021 浙江高三开学考试）

22、已知圆。的半径为2,1为圆内一点，OA =,B,，为圆。上任意两点,则A C B C的取值范围是（）A.-.6 B.1,6 C.,10 D.1,10_ 8 J_ 8 J【答案】C【解析】B如图，连接。4,OC,设。为。4 和 8 C的夹角.则 A C BC =(-网-BC =0。B C-04 8C=|o c|-|f i c|c o s N B C 0-网.卜 q c o s 0=；(B C)2-；|叫 c o s e且;时-4C6时 一 加 cgs；时+加 4,即牛 J+卜 1|BC|-1|B C|C O S 0/3y+3,所以(一犬-6)+3)卜一6 +3)=2.2设-x-6y+3 =f,x

23、-/3y+3=,则A M解得X所以AM长度的最小值 为 亚3故选：B4.（2 02 1 重庆九龙坡）己 知 等 边A B C的边长为2尸为它所在平面内一点，且|A P-A B-4 C|=1 ,则|A P|的最大值为（）A.4 7 3+1 B.7 C.5 D.2 5/3-1【答案】B【解析】取B C的中点。，连接AO，并延长到E，使A）=E,因 为A B C为等边三角形，所以=所以 A 8 +A C =2 A =A E,因为|A P-4 8-A C r 1 ,所以|A P-2 A O|=1,因为等边,.A 3 C的边长为2百，所以卜斗=卜8卜i n 6（T=2 6 x曰=3 ,要使I A P|取得最大值，则AP与月方共线且同向,所以I A P I的最大值为2 x 3+1=7,故选：B