2022年高考数学一轮复习双曲线精练（解析版）.pdf

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1、9.4双曲线（精练）【题组一双曲线的定义及运用】1 .（2 02 1 云南昆明市 昆明一中高三（理）已知双曲线上-.=1的左、右焦点分别为,B，过 B9 1 6的直线与该双曲线的右支交于，N两点，若|M N|=1 2,则 M N 6周 长 为（）A.1 6 B.2 4 C.36 D.40【答案】C【解析】因为双曲线为匕-耳=1，所以。=3；9 1 6由双曲线的定义得|断 H 闾=加 4|一加用=加=6，所以|峥|+加4|=|岫|+|八闾+4=|M N|+1 2 =2 4,所以 M/明 周长为|M 制+|N 娟+|M N|=2 4+1 2 =36,故选：C.2 22 .（2 02 1 南昌市豫章

2、中学高三开学考试（理）已知双曲线?-表=1 仅0）的一条渐近线方程为J x-y=0,右焦点为F,点、M在双曲线左支上运动，点N在圆d+（y+3=1 上运动，则的最小值为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】由双曲线方程土-4 =1 仅0）,得4=2,所以渐近线方程为y=：x4 2比较方程G x-y =0.得b =2 百所以双曲线方程为9-（=1,点尸（4,0）记双曲线的左焦点为尸（TO）,且点“在双曲线左支上，所 以 可=4+阿尸|所以眼N|+|M 耳=|M N|+阿 尸|+4由两点之间线段最短，得尸1+4最小 为 尸 N|+4因为点N在圆x2+（y+3）2 =4 上运动所以|尸

3、N|最小为点尸到圆心（0,-3）的距离减去半径1所 以 尸 此 而=5-1 =4所以|M N|+阿可的最小值为8故选：C3.（2 02 1 吉林白城一中高三月考（理）已知双曲线C:4W 一 产+的二。的两个焦点分别为的，鸟，。为坐标原点，若尸为C上异干顶点的任意一点，则V P。耳与VPOg的周长之差为（）A.8 B.1 6 C.-8 或 8 D.-1 6 或 1 6【答案】D-2【解析】C的方程可化为匕-三=1,所以。=8,6 4 1 6易知VP O Ft与N P O F2周长差的绝对值为2 a =1 6,故V P O f；与V P O m 的周长之差为 1 6 或 1 6.故选：D.4.（2

4、 02 1 肥城市教学研究中心高三月考）已知双曲线/一太=1 的 两 个 焦 点 为R,P 为双曲线右支上4一 点.割 所|=5|,则的面积为（）A.48 B.2 4 C.1 2 D.6【答案】B【解析】由双曲线的定义可得|加一|你|=，况 I =2 a=2,解 得|帆|=6,故|=8,又|K|=2 c=1 0,由勾股定理可知：三角形冏4 为直角三角形，因此5 题%=3|用 I T 笈 1=2 4.故选：B.5.（2 02 1 全国高三专题练习）已知双曲线1-弓=1 的左、右焦点分别为人，居，尸为双曲线上一点，且Ss5=6,则 NRPB=.2万【答案】y【解-析】依题总a =2,h=3,c=J

5、 7 ,设忸 制=却尸闾=,不妨设机，忻 图=2 c =2 近，设/耳尸鸟=。0,万），根据双曲线的定义、余弦定理、三角形的面积公式得m-n =4(2近)=nV+n2-2mncos0 7 7 7 H sin 0=/3(zn-/7)=16 28=m2+/-2mncos 0m/t sin 0=2732 2,m+n-2mn-16 28=trr+n2-2mn cos 0,加 sin 9=2石28=2mn 4-16-2mn cos 0mn=2 Gsin。12=2?（1 -cos。）2 6 ，12=2，3.（1 一 cos。）,G sin 6 +cose=l,mn=-sin 6sin。2 呜卜,s i n

6、,+|j由于工v（9+工 卫,6 6 6所以e+g =.，e=寻，所以NEP居=4.6 6 3 3故答案为：y26.（2021 全国）已知白、尸 2为双曲线C:3-y 2=i的左、右焦点，点？在。上，ZFtPF2=60,则 耳耳的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【答案】亚【解析】双曲线C:1-y 2 =l,则/=3,从=1,所以,2=+/=4,利用双曲线定义知，归用-归用|=2a=2 6,两边平方得I S +|P乃=12+2|P 用“尸 鸟 且|耳耳=2c=4,N F =60由余弦定理“勺叫 尚 铲二丐 需 铲弓2|十甲解得：则=1|P K|PK|-sinN 60=1x4x

7、 =.1 2 2 2 2故答案为：拒7.（2 M 全国高三月考（理）已知双曲线C：j2 二 l 的左、右 焦 点 分 别 为 小 小 直 线 产 i与C 交于p,Q 两点，当|P。!最小时，四边形E PE。的面积为.【答案】12店y=x+m【解析】设2（,，1），。（冬,%），山 5,故答案为：12店【题组二 双曲线的标准方程】1.（20 21 全 国 高 三（理）已知直线x=4 被中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线所截得的线段长为 6,被该双曲线的两条渐近线截得的线段长为46，则该双曲线的标准方程为（）【答案】C【解析】由宜线x=4 被双曲线截得的线段长为6,被该双曲线的两条渐近线截得的

8、线段长为466,可得2 2双曲线的焦点在X 轴上，不妨设双曲线方程为=-4=1,a b16 9直线x=4 被双曲线截得的线段长为6,所以当x=4 时，丁 =3,%-齐=1,由双曲线的渐近线方程为y =x,直线x=4 被该双曲线的两条渐近线截得的线段长为4百，所以对于 y=当 x=4 时，y=25/3,B fJ 2V3=,a a由解得“=36故双曲线方程为故选：c.2.（2021 北京高考真题）若双曲线C:5-营=1离心率为2,过点（3，6），则该双曲线的方程为（)A.2x2-y2=I2B.x2-=3C.5*2-3丁=12 6【答案】B【解析】e=-a=2,则c=2a,/,=后 二/=/“，则双

9、曲线的方程为a2y滴=1,将点（0,的 坐 标 代 入 双 曲 线 的 方 程 可 得 热 =4 1，解得。=1,故6=6,2因此双曲线的方程为入上L故选：B.23.（2021 北京海淀清华附中高三）已知双曲线C:0ay21 （a 0力 0）的一个焦点为尸（4,0）,并且双曲线C的渐近线恰为矩形CMEB的边0 4 OB所在直线（。为坐标原点），则双曲线。的方程是（2A.x22：=1D.-=14 12C.上 上=132 32D.X212 4Jl8 8)【答案】A【解析】焦点为F（4,0）,.c=4,。4所 为矩形，.4 0 8 =9 0，根据双曲的对称性，；心=tan45=1,a又。2+/=/,

10、则可解得/=6=8,2 2则双曲线方程为工-二=1.8 8故选：A.v24.（2021 合肥市第八中学高三（理）已知双曲线ax2=Ka0,b0）的一条渐近线过点（6,一 2）,且双曲线的一个焦点与抛物线/=_ 4 近 y 的焦点重合，则双曲线的方程为（）2A-B.C.y228 21D.y24 33 4【答案】B【解析】因为曲线，-，=l（a0力0）的一条渐近线过点（G，-2）,所以双曲线的焦点在y轴上，且，=g，双曲线的一个焦点与抛物线/=-4 y的焦点重合，所以。2=/+从=7,所以“2=4,/=3,即双曲线的方程为匕一二=14 3故选：B.2 5.（2021 山 西 临 汾 高 三（理）已

11、知双曲线C:方=l（a0力0）的右焦点为尸（4,0）,设A 8是双曲线上关于原点对称的两点，M,N分别为A尸,8尸的中点.若原点。在以线段MN为直径的圆上，直线AB的 斜 率 为 短，则双曲线C的方程为（72A.入 匕=15Rx2/.D.-=19 7C /人14 12）【答案】C【解析】根据题意,不妨设 A（m,n）（/n0,n0）,则 B（-m,-n）,一 加 +4 n-2 2又因为原点。在以线段MN为直径的圆上,则M机+4 n2 12,N所以。M_LON,所以。用.ON=0，即?+4丫 一 加 +4922所以加。+2=16,又因为直线AB的斜率为 地，所以上=地,7tn 7所以in2+=1

12、6n 377 解得帆=近,=37所以7 9/一 屏 二1c=4,解得/=4,。2 =12,a2+b2=c2所以双曲线C的方程为故选：C2 26.（2021 江 西（理）已知双曲线,-卓=1（4 0/0）的离心率为5 且经过点血），则该双曲线的方程是（）【答案】B=aa =l【解析】由已知条件可得，2 2/-记=1，解得 0,0),A3C为等边三角形.若点A 在 y轴上，点B,C 在双曲线M 上，且双曲线”的 实 轴 为 4 5 c 的中位线，双曲线M 的左焦点为尸，经过尸和抛物线犬=16），焦点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）【答案】B【解析】因为双曲线M 的实轴为等边，A

13、BC的中位线，所 以 A8C的边长为4，不妨设点B（2a,石”）在第一象限，代入二一 =1得第-卫=1,a b a b解得4=/?,所 以=/+.=2a2,得c=fla ,所以双曲线M 的左焦点尸的坐标为（-凡。），因为抛物线X2=1 6 y 焦点为D(0,4),所 以 =而=二 因为渐近线的斜率为左=1,所 以 还=1 或 辿=7(舍 去)，a a所以 a =2 /，所以6 =2 6,所以双曲线方程为片-=1,8 8故选：B8.(2 0 2 1 天津高三)设厂(c,0)为双曲线后：5-=1(a 0/0)的右焦点，圆/+丁=/与 6的两条渐近线分别相交于4 6 两点，。为坐标原点，若四边形勿烟

14、是边长为4的菱形，则 的 方 程 为()A F y2A.-=16 2B.o 2三-匕=12 61 2 3=1D.2,X)厂1-=14 1 2c炉y 2【答案】D【解析】由 四 边 形 勿 是 边 长 为 4的菱形，知:c=4 且。4 尸、0 3 尸均为等边三角形，而渐近线方程为尸土却,a二=t a n 6 0 =V3,又2 +/=(?=1 6,a2=4,b2=n,故 的方程为二 4 1 2故选：D.a9.(2 0 2 1 天津)已知双曲线二(T一铲=1(0 力 0)的左顶点与抛物线/=2P x(p 0)的焦点的距离为4 ,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的

15、方程为()A.,236 9二二1D fD.-y23 2C.-厂-y 2=114 .D-T-T =,【答案】C【解析】由己知条件可知，抛物线V=2 p x(p 0)的准线方程为x=-5 =-2,可得P =4,所以，抛物线的标准方程为V=8x,抛物线的焦点为尸（2,0）,由于双曲线的左顶点与抛物线的焦点间的距离为4,则。+2 =4,解得a =2,点（-2,-1）在第三象限，由题意可知，点（-2,-1）在直线y 匕h所以，T =-2 x|,解得匕=1.因此，双曲线的标准方程为工-丁=1.4故选：C.【题组三直线与双曲线的位置关系】1 （2 0 2 1 上海高三专题练习）若直线/：y =+2与曲线。：

16、/-丁=6 5 0）交于不同的两点，则左的取值范 围 是（）【答案】D【解析】因为C:Y-y 2 =6（x 0）表示双曲线 2-y 2 =6 的右支,由消去 y 得V 一（依+2=6，整理得（1 一 2）V -4 丘-1 0 =0 ,设直线/：）=h+2与曲线=6（x 0）的两交点为（x2,y2）,其中占 0,x2 0,中 2 =-则1 0 八-r0力,解得攵V 1,4kxi+x2=又 =1 6 r+4 0（1-r）0,解得一姮“叵33综上，-叵3故选：D.2.（2 0 2 1 全国高三专题练习）已知双曲线C:-y 2 =的离心率为四，过点P（2,0）的直线/与双曲线Cm2交于不同的两点A、B

17、,且 N A O 8 为 钝 角（其中。为坐标原点），则直线/斜率的取值范围是（）C(一 8,-Y (,+)D(-00,一 一 -)(-,+00)【答案】A【解析】由题意双曲线C:-V=1的离心率为 亚，m2得 邺=旦,解得机=2,22双曲线C:、y2=i,设直线/：x=0 +2,与双曲线C 联立得：(/-2)y2+%y+2=0,设点 A(X1,%),B(X2,%),24 t贝 1 弘 必=二，乂+必=一 尸 5_2t2 8为乡=t2yty2+2/(弘 +%)+4=-2-，t 2又因为NAO3为钝角，则0 4 0 B 0,所以)i%+*抵 ，即42 +一 T2产一 X 0 得出“一 2 0,即

18、户2,产-2 /一2所以直线/的斜率公=；1，r 2又且A。,8 三点不可能共线，则必有&工0,即直线/斜率的取值范围是(-*,0)K0,日)，故选：A.3.(2021 全 国高三专题练 习)设 尸 是 双 曲 线 的 右 焦 点.过 点 尸 作 斜 率 为-3 的直线/与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为A.(1,710)B.(1,5 C.(A/10,+O O)D.(石,+00)【答案】C【解析】因为双曲线-1=1(。0g0)的两条渐近线方程为y=.,a b a当过点尸且斜率为-3 的直线1与渐近线y=-2 X 平行时.a直线/只与双曲线右支有一个交点，数形结合可知，当渐近线y

19、=-x的斜率满足一由 -3,即 3时，a a a直 线，与双曲线左、右支均相交,所以8 3 =/9/=c2 I O。？=e 7 10.故选:C.4（2 02 1 广东高三专题练习）若尸为双曲线C:=1的左焦点，过原点的直线/与双曲线C的左右两4 51 4支分别交于A,3两点，则 后 一 言 的 取 值 范 围 是（）A-b-1 41 11 C-S（1 .1J 0.卜 1 /【答案】Dr2 2【解析】由 C:-=l W a =2,b=5,c =3,4 5则左焦点6（-3,0）,右焦点F2（3,0）,因为题中给出产为双曲线C:-丫 =1的左焦点，4 5则|陷=国4|,|阳|=但却,又因为双曲线与过

20、原点的直线/都关于原点对称，所以1KA i=|居网,又根据双曲线的定义由目-怩B|=2，所以忸4|=优回=|耳 8|-2 a=|耳斗4,设闺4=d_ _ J _ _ _ _ _ 4 1 _ _ 4_ _ _ _ 4!，；|FAFB-4 d-4 d 1 4设 f（）=kX2l（d-4）-l（d-4j 4 d-4d-t）=_1(4-4)-l(d-4)4 d-4 d(i/-4)2 d2-1-4(d-Md2一屋+4(_ 4)2(-4)/-3/-3 2 4+64一(”-4 J 屋令 f(d)=O,解得d=4 或d=8,(J5),所以，(d)在 5,8)单调递减，在(&+)单调递增,/皿=5)=白 一：=

21、!，3 4 3 3d)m in =(8)=Z 7-=_7,5-4 o 今所以/W)的取值范围为一 呆,1 4 1 厂则 I I G?l 的取值范围是一,|E 4 1 F B 4 5_5（2 02 1 内蒙古包头（文）设。为坐标原点，直线x =”与双曲线（7:$-斗=1（。力。）的两条渐近线分别交于A、B两点，若C的焦距为1 2,则当钻 的 面积最大 值 为（）A.7 2 B.3 6C.18 D.9【答案】Cx=a （x=a .【解析】联立 b可得 所以，AB=2 b,因为2 c =1 2,贝 h=6,即T+从=。2=3 6,y=x=8、QSA O M=5G2 8=H4 2T-=18，当且仅当。

22、=匕=3 五时、等号成立，因此，.048的面积最大值为18.故选：C.6.（2 02 1 全 国高三月考（文）已知双曲线=1的右焦点为尸，过原点。的直线与双曲线C交16 9于A,B 两 点,且 N A F B =60。，贝（,A B F 的面积为（）A.3 B.1 C.3G D.6 3【答案】C由 N A F 8=60。可得/6 3 尸=12 0。，怩耳=2 c =2&6+9 =10.在明尸中，由余弦定理可得：忸用?+忸目、2 忸周忸尸|c o s N 片8尸=内尸，即忸耳+忸尸+忸耳|忸 尸|=100,又因为点B在双曲线上,则忸用-|叫|=2 =8,所以忸耳+忸尸 一 2 忸周怛目=64,（

23、2）两式相减得3 忸 制 所|=3 6,即忸周忸耳=12 ,所以5防 肝=；忸用忸/i n/4B F =；X12X=3G,也 即 为 的 面 积，故选：C.【题组四弦长及中点弦】1.（2 02 1 全国高三专题练习）已知直线/：x-y +3 =0 与双曲线。：一 耳=1 （0,人 0）交于A,Ba b两点，点尸（1,4）是弦AB的中点，则双曲线C的离心率为（）A.-B.2 C.好 D.x/532【答案】1）【解析】设人与,乂）,8（孙），因为P。，4）是弦4 8的中点，根据中点坐标公式得X +工2=2)i +%=8直线/：x-y+3=O的斜率为1,故 以&=1.X X2两式相减并化简得因为A,

24、8两点在双曲线上,=-18、城犷2%炉从(y+必)(3一 必 _/(x1+x2)(x,-x2)2所以 =2,所以e =Jl +g=石.故选：D2（20 21 全国高三专题练习）已知4 为双曲线2 2x_ _ y_/1(a 0,Z 0）上的两个不同点，M为4 6的中点，。为坐标原点，若底后=；,则双曲线的离心率为（A.也 B./6 C.23D.2【答案】D【解析】设 A(X，yJ，B ,%)，则%+l =2x”,yt+y2=2yM,2方W左-2v2a2va2)1=1 可得=1（为一天）（司+%）（%-%）（,+当）示 P.%一 当 乂+上 _ ,2，X j x2 xx+x2 a 即原屋&OM =

25、1 =与，则双曲线的离心率为e =$+&2 =返2 a a 2故选：D.23.（20 21 广东广州）（多选）过双曲线C:土-y2=的左焦点尸作直线/交c于A,B两点，则（）4 .A.若|A8|=1,则直线/只有1条 B.若|A8|=2,则直线/有2条C.若|4 8|=3,则直线/有3条 D.若|4 B|=4,则直线/有3条【答案】ABD【解析】因为双曲线C:9-V=i的左焦点尸的坐标为尸卜石,（），该双曲线的渐近线方程为y=5,丫 21若直线/的斜率不存在，则/的方程为了 =-石，代入工-/=1可得y=g,此时=4 2若直线/的斜率存在，可设，的方程为y=&（x+逐），设 A（%,yJ,3（

26、,必），为使/与C有两不同交点，只需Z w g；由，y=k（x +逐）2消去丁整理得（1 -4 卜2-8四 大-20廿-4 =0,-y2=11 48-%+X）=-71-1-4 d20 公+4则,所 以|阴=7?巧4+）2-4 中 2=|：%；A 选项，由间=1 可得，%无解；因此，若 旗 1=1，则/的方程只有=-石；故 A 正确;4 +4-汽B 选项，由/阡=2可得4 +4 公=2 弘,或4 +4 公=8 公一2,解得发无解或4 =与斥，因此，若、|加?|、=2,则/的方程为y=土当1+6）；故 B 正确;4+4 公 _ /7 4 I .C选项，由 彳 育=3 可得4+4 公=3-1 2Y

27、或4 +4/=1 2公-3,解得左无解或左=土答，因此，若|阴=3,则/的方程为y=士 当（x+逐）；故 C错;4 +4 F ,.D 选项，由jJ7 J=4 可得4+4/=4-1 6/或4+4/=1 6/一 4,解得火=0 或k =号，因此，若|AB|=4,贝 I的方程为丫=土乎（x +遥）或x =0：故 D 正确：故 选:ABD.4.（20 21 全 国）若直线/：y=0（x +2 6）过双曲线Cx2 y2a2 b2=1 （0 力 0）的左焦点F，且与双曲线 C只有一个公共点，则双曲线C的方程为.V2 V2【答案】-=14 8y-Jb J【解析】过双曲线C：之 _ 1=1（a0,力 0）的渐

28、近线方程为丫=土 2 处 因为过双曲线C：1-1=1a b-a a-b-（a 0,b 0）的左焦点F的直线/：y=0（x +2 G）与双曲线c 只有一个公共点，所以直线/与渐近线平行,得=夜，O =0H C+2 G）,又因为+从=0 2,解得c=2 6，=2,b=2日所以双曲线C 的方程故答案为：=1.4 85（2021 全国高三专题练习（理）若曲线Y-y 2=4 与直线y=&（x 2）+3有两个不同的公共点，则实数左的 取 值 范 围 是.【答案】4工13且 声112【解析】联立消 y 得（1-公卜2+2-2 3 口-（2%-3）2-4 =0.当2=0,即1=土 1时,不满足题意.当1 一

29、攵 2#0,即时，-曲线/_产=4 与直线y=攵（无 一 2）+3有两个不同的公共点，.A=4k2（2k-3）2+4（1 一42）（2 3）2+4=T（12 13）0,13解得，k-.13故答案为：2五，且kw l.6.（2021 全国高三专题练习（理）若过点P（L1）且斜率为A的直线/与双曲线/一二=1只有一个公共4点，贝.【答案】|或 土 2【解析】由题意可得/：=红 D+1,代入双曲线方程得（4-二）*2-2（&-42口-左2+2/-5 =0.当4-无2=0,即=2时，直线/与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；当4 一/片。时，4=4（/-公）2-4（4-%2）（一/+2%

30、-5）=0,解得人=|.综上，当 =|或女=2 时，直线与双曲线只有一个公共点.故答案为：5 或2。27.（2021 广西柳州柳铁一中高三月考（文）己知双曲线六与x 轴交于A,B两点，C（0,3,则二ABC的 面 积 的 最 大 值 为.【答案】2【解析】双曲线W y-W =l（0 b 0,0）的左右焦点，过31的直线与双曲线C的左支交于A、B 两点，连接BF2,在A B 鸟中，AB=BF2,COSZABF2=,C.G I).”2【答案】D【解析】设I A 析|=,由双曲线的定义可得|A|=m-2 a,山|A B|=|BF-,|,可得用-2 a=|BF2 -BFx=2a ,即有 m=4。,因

31、为 A 8 名为等腰三角形,所以 cos ZABF2=COS(X-2ZFtAF2)=-cos 2N A =1-2cos?F,AF2=,解得cosN4 A8=：,o在a FA.F2 中,COSZM F,+1”T小J 色 也 匕 空 2 AFl-AF2 2x2ax4a 8化为c考 ,即有可考故选：D .r2 2z2.(2 02 1 浙江高三)已知双曲线3-方=l(a 0,b 0)的左、右焦点分别为耳(-2,0),巴(2,0),尸为双曲线上位于第二象限内的一点，点。在 y 轴上运动，若|。|+|。6Hp制 的 最 小 值 为 孚，则双曲线的离心率 为()C.A.6B.2 D.473【答案】B连接P&

32、,因为|P 0+|Q闾一归周引尸同一|尸十=2,当且仅当P,Q,尸 2 三点共线时等号成立,所以|P Q|+|Q玛|-|尸国的最小值为2 a,所以2 4=2叵，3解得a=.3山题意知c =2,e=2A/3,a故选：B.3.（2 02 1 黑龙江哈尔滨市第六中学校高三（文）点P为 双 曲 线 -二=1（。0）右支上一点，耳、心分a 9别是双曲线的左、右焦点，若户用=7,卢用=3,则双曲线的一条渐进方程是（）A.2 x+3y =0 B.4x+9 y =0 C.3 x-2y-0 D.9 x-4y =0【答案】C【解析】由题意，点尸为双曲线右支上一点，月、K分别是双曲线的左、右焦点，因为 狎=7,|P

33、闾=3,由双曲线的定义，可得加=|尸耳|-俨闾=4,解得”=2,所以双曲线的一条渐进方程是=9=：X，即3x 2 y =0.所以双曲线的一条渐进方程是3x-2 y =0.故选：C.2 24.（2 02 1 贵州省思南中学（文）过双曲线 一4=1 （a0,於0）的左焦点尸（一40）作 圆2 x+ya b=才的切线，切点为,延长阳交双曲线于点R若 为线段在的中点，则双曲线的离心率为（）A.75B.且2C.x/5+1 D.避土！2【答案】A【解析】不妨设 在*轴上方，F 为双曲线的右焦点，连 接 O E,印，如图所示：因 为 所 是 圆。的切线，所 以O E VP E,又,。分 别 为 用FF的中点

34、，所以|应1 =；P F I，又|应 1=4所 以P F|=2 a,根据双曲线的定义，P F P r 1=2 5,所以|印|=4a,所 以|朗=2 a,在 Rt 戚 中，O E 2+E F 2=O F 即才+4才=上 所 以e=0，故选A.5.（2 02 1 全国高三专题练习）已知、笈分别为双曲线G5 =1（己 0，。）的左、右焦点，a h点/在双曲线上，且N /K=6 0,若/力 的角平分线经过线段就（。为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（）A 币 B.立 C.7 1 4 D.亚2 2【答案】B【解析】不妨设点A在第一象限，8的角平分线交X轴于点 例，因为点是线段。尸2的中点，所以国闾=

35、3:1,根据角平分线定理可 知 耦=：,又因为|A 4|-|A局=2%所 以 耳|=3 a,|A|=a,由余弦定理可得4 c 2=9 a2+/-2 x 3 ax ax 1=7/,所以 =2,所以e =u Z2 a-4 a 2故选：B2 26.（2 0 2 1 全国高三专题 练 习（理）如图，F 尸2分别是双曲线W-=i （。0,6 0）的左、右a b“焦点，过人的直线/与双曲线分别交于A,8两点，若k却=2归回，且|A段=忸 段，则双曲线的离心率为()A.#iB.4r2指v.-3D.y/3【答案】A【解析】设I明|=t,I伍|=s,由|AB|=2恒回，且|A闾=忸闾,可得|AB|=2r，忸图=

36、s,由双曲线的定义，可得|伤|一|明卜2+好 5=2,又怛可 忸4=s f=2a,解得 s=4 a，t=2a 1所 以 A 8B是边长为4 的等边三角形,在 明 中，忸用=2%|%|=4，阳 周=2c,N 8鸟=120。,则cosN耳B居=-124/+1 6/4。2 20a2-4 c22-2a-4a1 6/化为。2=7 4 2,即 c=/7a,即有 e=J 7.a故选：A.2 2j上7.（2021 全国高三专题 练 习（理）已知双曲线C:8-m tn-A)=1的焦距为2 6，则。的一条渐近线方程不可能为（)B.y=-x-5C.y=-lxD.y=5/5%【答案】Cr2 2【解析】当焦点在“轴上时

37、，c 的方程可化为二-J=l,8-zn 4-mr2依题意得8 相+4 2 =6,解得阳=3,故 C 的方程为工-丁=1,5其渐近线方程为尸土或X；52 2当焦点在y 轴上时，。的方程可化为.-=1,m-4 m-S依题意得，4+/7 Z 8 =6,解得机=9,故 C 的 方 程 为 x2=1,5其渐近线方程为=土石X,对照各选项,只有C不符合.故选：C.2 28.（2 0 2 1 浙江高三开学考试）已 知 双 曲 线 =l（a 0*0）的右焦点为F（2,0）,渐近线方程为任 土 y =（）,则该双曲线实轴长为（）A.2 B.1 C.y/3 D.2G【答案】A【解析】由题意知，渐近线方程为y =百

38、 x,则，=6，又焦点为产（2,0）,即c =2,所以 2=/+/=4/=4,则/=1，即。=1 或-（舍去），在实轴长为为=2,故选:A./v29.（2 0 2 1 云南玉溪 高三月考（理）双曲线C：土-匕=1（机0）的一条渐近线的方程为2 x+y=0,2 m则双曲线C的离心 率 为（）A.-Ji B.2 C.4 D.石【答案】D【解析】由双曲线C:-.二=1（7 0）可得：4 =0,b=y/m）2 tn所以双曲线的渐近线为y =mX,由 2 x+y =0 可得 y =_2 x所以-贯=-2 ,解得：7 7 2 =8 ,所以 b =2 a，所以 c =y/a2+h2=，2 +8 =A/10,

39、所以离心率为e =g2=石，a V2故选：D1 0.（2 0 2 1 广东广州市高三月考）己知士，K 分别是双曲线C：1-y 2=i 的左、右焦点，点尸是其一条渐近线上一点，且以线段耳行为直径的圆经过点尸，则点尸的横坐标为（）A.1 B.y/2 C.5/3 D.2【答案】C/=3.故选：C1 1.（2 0 2 1 全国高三专题练习）已 知 双 曲 线 2 y 2=5 匕 0）的渐近线夹角为。，离心率为今则C OS 券a等 于（）A.e B.e2 C.D.e e【答案】Cr2 /7 a 2【解析】取双曲线方程为工-y、,易得离心率e =出，c o s 彳=下=-4 -2 2 yj5 e故选：C.

40、1 2.（2 0 2 1 全国高三月考（文）设直线/与双曲线C:-=l（a0 8 0）交于A,8两点，若“是线段a-b-A 5的中点，直线/与直线OM（。是坐标原点）的斜率的乘积等于2,则双曲线。的渐近线方程为（）A.y =B.y =-x C.y=y3 x D.y=V 2x2 3【答案】D【解析】设A（/X）,B（x2,y2）,则直线4 8的斜率 为&5丛，直线的斜率为经 匕即 上上旦上丛=2.因为点A,B在双曲线C上，所以有鸟一耳=1,4-4 =1-x +x2 x2 x a h a b两式相减化简得：雪=江&.之 二X,所以有4=2,a Xy+x2 x2-X a则双曲线C的渐近线方程为y =

41、0 x .故选:D.1 3.（2021 全国高三专题练习（理）已知双曲线C:一+二 一=1的焦距为2 6，则。的一条渐近线8 m m-4方程不可能为（）A.y=x B.y=x C.y=-2x D.y=y5 x【答案】C 2【解析】当焦点在X轴上时，的方程可化为-匚=1,8-w 4-tn2依题意得8 2+4 m=6,解得加=3,故C的方程为,-丁 =,其渐近线方程为片 x；52当焦点在y轴上时，C的方程可化 为 上=1,2 4 7 7 7-82依 题 意 得4+加-8 =6,解得加=9,故C的方程为q-x?=1,其渐近线方程为丫=士行X,对照各选项，只有.C不符合.故选：C.21 4.（2021

42、 广东广州市高三月考）已知入，工分别是双曲线C：土-产=1的左、右焦点，点户是其一3条渐近线上一点，且以线段耳入为直径的圆经过点尸，则点P的横坐标为（)A.1B.土亚C.6D.2【答案】C，而片(-2,0),6(2,0),J of；P =(x0+2,x0),F2P=(XQ-2,2，又 6 尸-g p =*_ 4 +曰=0,*.x0=土百.故选：C1 5.（2021 全国高三专题练习）已知双曲线从/一42y 2=/（a b 0）的渐近线夹角为。，离心率为必a则c o s,等 于（）A.e B.e C.D.-re e【答案】C【解析】取双曲线方程为土-丁=1,易得离心率e =至，c o s =-=

43、-4-2 2 yl5 e故选：C.【题组六 综合运用】1.（2021 福建莆田高三）（多选）设。为坐标原点，耳,人是双曲线!-，=1（0,0）的左、右焦点.在双曲线的右支上存在点尸满足N/=；P为=6 0。，且线段尸耳的中点8在 y轴上，则（）A.双曲线的离心率为6 B.双曲线的方程可以是三-丁=1C.|O P|=a D.片鸟的面积为6/【答案】A C【解析】对于A,设K（c,0）,乙（c,0）,因为线段P 片的中点为8,。为斗片的中点，所以0 8尸玲，所以N 耳=9 0。，由双曲线的定义可 得,个-|竺 卜 2，设归用=2砥?0）,因为4%=60。，所以则怩用=6相，因为2祖 帆=勿，所以4

44、=三，由2c =百 根，得C =冬，所以e =（=G,所以A正确，对于B,因为从=。2一/=3 机2,所以人=孝 加，所以双曲线的渐近线方程为y =土夜x,所以B错误，对于C,因为。为耳心的中点，所 以 附+Pg=2 PO,所以（P 月+P 居丫=（2尸 0 丁，所以匝（+卜 可+2 0 6 伊 鸟 际 6 0。=4,0 ，即 冏 +附 +耳 俨 q=4 卜0 1，因 为 同 H 喝=2,所以（同-阀|丫=（2。）2,即匝 +附-2,刚 叫 60。=4/,即腐 +卜 可-防 旭 勾=4/,所以可得 卜/Pq=8/,4,。=2 8/,得|0 尸|=血4,所以C正确；对于D,S叼,=#川 卜 讣

45、山 60。、8 4 3 =232,所以D错误，故选：A C2.（2 0 2 1 渝中重庆巴蜀中学高三月考）双曲线C：-2=1（“0,。0）的左、右焦点分别为e，F2,过右焦点尸2 且斜率为左的直线交右支于P，Q两点，以。为直径的圆过点P,则（）A.若，P Q 的内切圆与P 耳相切于M,则旧M|=aB.若双曲线C的 方 程为工-乙=1,则 P Q 的面积为2 44 6C.存在离心率为石的双曲线满足条件D.若3 俨闾=|。闾，则双曲线C的 离 心率为萼【答案】B D【解析】对于选项A：记内切圆与P Q 相切于N,与 白 尸 相 切 于 与 Q相切于K,则|PM|=|PM 网=|QM；故闺R+但。一

46、归。=|6M+|6K|+|PM|+|QK|TPN|-|QM=忻 用+比 4=2|耳M|=4 a,怩M|=2 a 故选项A不正确；2 2对于选项B：由以耳。为直径的圆过点P,知尸耳，尸 Q；若双曲线C的方程为三-匕=1,则a =2,b=娓,4 6=/io；设|P|=x,QF2 =y,则|=x 4,QFt =y+4,x2+(x-4)2=(2 7 1 0)：=4 0 ,可得：x =6：62+(2 +才=(4 +才 可得 y =6,故，P Q 的面积为g x 6x(2 +6)=2 4,故选项B正确；对于选项C：若6=石，则2 =2,故渐近线为y =2 x,设归周=y,|P E|=x,由得y =2 x,

47、则女=2,此时直线不可能与右支交于两点，故 C不正确；对于选项D：若3 1 P 闻=|Q F|,设 陶 =x,QF2=3X,则归制=x+2 a,|Q 附=3 x+2 a,故（x+2 a）2+（4 x）2=（3 x+2 a）2 n JW .故（a +Z a?+/=（2 丫，可得 e=画,故选项 D 正确，故选：B D.3 （2 0 2 1 全国高三专题练习（文）（多选）己知双曲线C：5-，=l（a O,b O）的左、右焦点分别是，尸 2,直 线/过 K 交 C 的右支于4 6 两点，力在第一象限，若/的;=90。.且|肺|4?|,忸制成等差数列，则以下正确的是（）A.恒 耳|=2 忸&B./的斜

48、率为3C.C 的离心率为叵 D.。的两条渐近线互相垂直2【答案】B C【解析】如图所示：由于|伍|,|明，怛用成等差数列，则2 1 A B i =|M|+|町由双曲线定义可知，|可卜|明|=2，|明|-忸同=2,所以|4 用=|A|+2 a,忸制=怛国+2 a,又|M=|A 周+忸 闻,所以|A q=4 a,设|A g|=x,所以|A 用=x+2 a,忸制=2|A 却|=6a-x,又 乙钻耳=90。，所以|A 耳=|A 8+忸用）即（x+2 a =1 6a 2+（6a x）2,所以x =3 a,即|A 娟=5凡忸制=3 a,忸用=a,则|A 用=三%|,故 A错误；/的斜率为t a n ZAF

49、2X=t a n Z BF2Ft=胞=即=3,故 B正确；I 明|a又在Rr此 名 中，怛”+忸 用 耳 片 2,所以（3 a y+（a）2=（2 c）2,即lO/ng,所以离心率e=4=,故 c正确；因 为/辱尸出所吟CHi故 D错误；故选：B C.4 （2 0 2 1 全国高三月考）在平面直角坐标系中，焦点在工 轴上的椭圆和双曲线有共同的顶点（2,0）,且双 曲 线 的 焦 点 到 渐 近 线 的 距 离 为，双曲线的渐近线与椭圆的一个公共点的横坐标为名叵.13（1）求双曲线的离心率；（2）求椭圆的方程；（3）过椭圆的左焦点F作直线/（直线/的斜率不为零）与 椭 圆 交 于N两 点,弦M

50、N 的垂直平分线交x 轴于点尸，求证：而力为定值.【答案】2；（2）三+/=1；证明见解析.山题可得a =2.因为双曲线的焦点到渐近线的距离为,所以6 =2 6,所以双曲线的离心率e=,9（2）由已知可设椭圆的方程为土+马=1（0 /0)的左、右焦点分别为月，F2,E(0,l),过焦点心，且a斜率为!的直线与C 的两条渐近线分别交于儿6两点，且 满 足 筋=2 3 0.O(1)求。的方程；(2)过 点 且 斜 率 不 为 0的直线 交 C 于 M N 两点，且|M|=|E N|,求直线的方程.【答案】-/=1；(2)y-+1).【解析】(1)双曲线C的渐近线方程为y =L x,a过 尸(G0)