2021-2022学年辽宁省辽南协作体高二年级上册学期期初校际联考数学试题含答案.pdf

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1、2021-2022学年辽宁省辽南协作体高二上学期期初校际联考数学试题一、单选题l +i1 .设复数-2-1 （i是虚数单位），则z的共软复数三的虚部为（）_ 3 _3.A.5 B.5 C.-1 D.-i【答案】A【分析】利用复数的除法化简复数z,利用共软复数以及复数的定义可得出复数z的虚部.l +i =(l+i)(2+i)l +3 i =l 3 _ i 3.【详解】因为2-i (2T)(2+i)5 5 5 ,故一1与，_ 3因此，复数2的 虚 部 为5.故选：A.2.已知仁是第三象限角，则3（。+6 3 0 ）=（）A.c o s a B.-c o s a c.s m aD.-s ma【答案】

2、C【分析】利用诱导公式可得答案.【详解】c o s (a+6 3 0 )=c o s (a+27 0 )=s i n a故选：C.3 .z =l-6(i是虚数单位)，则z的辐角主值ar g(z)=()51 1njr一 兀 一7 1 _ A.3 B.6 C.3 D.6【答案】A【分析】复数可以写成z =Mc s e+i s i n e）（0，l =z f c o s +i s i n 1【详解】2 2）3 3人 所 以 复 数z =l-的 辐 角 主 值g（）-3故选：A4.如图，边长为2的正方形W 8 C 是一个水平放置的平面图形.S C的直观图，若=0,优），且（O B-C d）/a,则m的

3、取值为（）c/o A XA.272 B.-2V2 c.472 D,-42【答案】D【分析】将直观图复原，写出向量坐标，利用平行关系得到方程8夜=-2 加，求解即可.【详解】复原图如下：8 =2x痣义2=4后,则。（0,0）,8 4 0 ）C 卜2,4&）CO=（2,-472）05=（0,472）O5-CO =2,8x/2）一 南）巴；.8及=-2m,m-4/2,故选：D.5.我们知道x e R L）时，tanxsinx恒成立；x e（，45）时，cosxsinx,x 4 5，90）时,sin x c o sx,某数学研究小组欲研究x 0 ，90）时，cosx与tanx的大小关系，小组成员经过分

4、析得出结论，存在以 当x s（0，a）时，c o sx ta n x,当工（。，90）时，tan x c o sx,为更准确地估计a,该小组查到如下相关数据：石“2.2369sin 40 x 14,则下列说法正确的是（）3 X 17sin37 a sin38 sin39 5,13,27,A.37。）时,B0。,38。）时,C0。,39。）时,D.OF。）时,cos x tan x sin x.cosx tan x sin x.cosxtanxsinx.cos x tan x sin xX G（38。,45。）时,x 3”45。）时,x e（40。,45。）时,tanx cosx sinxtan

5、 x cos x sin xtan x cos x sin x【答案】B【分析】利用商比较法确定正确答案.【详解】当x s（，4 5 ）时,0 s i n xc o s xl,八.s i n x0 s i n xt an x=-c o s x,c o s x c o s2 x l-s i n2x 1 .-=-=-=-s i n xt an x-s i n x s i n x-s i n x、=s i n x在（。，4 5。）上递增；）二7 一 在、1 上递减.=_ _$指 工根据复合函数单调性同增异减可知）sinx 在（0 1s i n 3 8 0 8 1 3 1 0 4 1 0 4 ,-1-

6、s i.n 3 9 0 =-2-7-1 7-=-7-2-9-2-8-9 =4 4 0 t an x s i n x.xe（3 9。,4 5。）时,t an x c o s x s i n xB选项正确.故选：B6.在A48C中，4,B,C的对边分别为a,b,c,若 的 面 积 为 s,且。=2,4（S+1）=+C2,则“8C外接圆的半径为（）6A.TB.1C.也 D.2及【答案】C【分析】根据三角形的面积公式、余弦定理以及正弦定理求得正确答案.【详解】依题意，4（S+l）=+c,即4（；b c s i n/+l）=6 2+c226 c s i n A+4=b2+c2 f 2bcsnA+a2=h

7、2+c2/b2+c2-a2.s i n A=-=c o s A2bc,所以t an 4 =l,A=-则A为锐角，所以 4,1X-s i n Z 2所以“8 C 外接圆的半径为故选：C27.在正三棱柱Z8 C-中，。是侧棱8 上一点，E是侧棱CC上一点，若线段，。+。+口，的最小值是2行且其内部存在一个内切球（与该棱柱的所有面均相切），则该棱柱的外接球表面积为（）A.4兀 B.5 兀 C.6 7t D.8 7 t【答案】B【分析】设正三棱柱N8 C-HUU的底面边长为。，高为，先利用4 O +O E +EH的最小值是2得到,（3。）一 +/=2 近，然后利用内切球可得到一?,两式联立可得 =6，

8、=1,即可求解【详解】设正三棱柱 8C-ABC的底面边长为。，高为，对三个侧面进行展开如图，要使线段N O +O E +E 4 的最小值是2 疗，则连接4/（左下角A,右上角 ）,此时。在连接线上，故 限+1=2 ,因为正三棱柱/8 C-内部存在一个半径为r 的内切球，h=2r,V3 1 ,V3za x=r h=a所 以 l 2 3 整理得 3,将 3 代入可得。=6,=1,所以正三棱柱/8 C-/5C，的底面外接圆半径为亭、6 4=1所以正三棱柱后=/Be-4。的外接球半径为 4 2 ,4 n 1 I =5 n所以该棱柱的外接球表面积为（2 J故选：B8.已知函数N =/（x）满足：定义域为

9、R；V x e R,/（2 +1）=/（2-22 当 x e（0,l 时,/（x）=l o g,（x +l）+l若函数g ）Z s i n x,则 函 数 片/6）便*）在-3,3 上的零点个数是（）A.7 B.8 C.9 D.1 0【答案】D【分析】根据题意可得函数y =/（x）的周期为1,得到“（x）=/（x）-g（x）是周期为2的周期函数.先利用导数研究在X（0 l 时的零点个数，利用零点存在定理研究在（L 2 上的零点个数，然后结合周期性得到函数，=/GAg（x）在卜3,3 上的零点个数 详解由V x e R,/（-2 x +l）=/（2 _ 2 x）可知：函数、=X）的周期为1,又

10、g(x)=2 s i n x是周期为2的周期函数,/（x）=/（x）g（x）是周期为2的周期函数.又.当x e(O,l 时，/(x)=l o g2(x+l)+lh x=l o g,(x +1)+1 -2 s i n x令2h (x)-7 1 c o s x则(x +l)l n 2 2 ,设(x)=(x)(x)=-则(x +l)2l n 27 T2.兀H-s i n x2 21设 v(x)=(x)%)=1 喈x+则2(x +1)3 In 2 0.“（X）在 0,1 上单调递增,o”(i)=+V 7 41 n 2 20.存在与 e(0,1)使得 (%)=,(0,%)内 /(x)0,(x)即(x)单

11、调递增；/(0)=i t =l o g,e-7t 0又:V 7 In 2 6 2 32 1 n 2.存在演e （O,1）使 得（演）=0,（。，x J内（x）,“（X）单调递增；/（O）=l O A（1）=O人，/?（x）在（0,1）内存在唯一零点，所以在（，口上有且只有两个零点./I 】A（x）=l o g,x +l-2 s i n x在上，-2，单调递增函数，p（x）=l o g2x +l-2 s i n y x Xn 2 1&乙，L，/?（1 ）=0 +1 2 =1 0.P（x）在0,2 上有且只有一个零点，J（x）在0,2 上有且只有一个零点，由G）在（川上有且只有2个零点，根据周期性

12、，（X）在（-21，（2,3上分别有且只有2个零点,/?（x）在（1,2 上有且只有1个零点，则在（一3，-2】（-1,0 上都有且只有1个零点，又.（-3）=/7（1）=0,故=_3也是g）在卜3,3上的一个零点，综上所述,（X）在卜3刃上 的1 0个零点，即函数y=x）-g（x）在卜3上的零点个数，一共有i o个，故选：D.二、多选题9.下列选项中，错误的是（）A.若存在实数 使=篇 成立，则。与否共线B.若 g+姐=G +e?,贝|a =6 =C.若M =NCS),.,.S4=S8=S C,且S O I平面/8 C,又 4 B u 平面 4BC,.4 B A.S D,故 A 正确；对于

13、B,设SZ)c 平面=E,则 5。=。4=1,Z.SAO=ZASO=30,A O E =60,则_ V3 V3-2,同理 一 2,则当E 在 上 时，AB取得最大值为由，故 B 正确；对于C,要使三棱锥S-Z 8 C 的体积最大，需要A/8 C的面积最大，先定住4 8 点，若要J 8 C 的面积最大，则“BC得为等腰三角形，且 E 在“8 c 内或在边上，设 E 到线段4 5 的 距 离 为=x,底面/B C 的外接圆的半径为匕AB=2Jr2-x2,S ABC=-2lr2-x2-(r+x)=J(r-x)(r+x)3,0 x r故2,令 q_r)=(r-x)(r+x)3,o x r 故 k(x)

14、=-(r+x)+3(r-x)(r+x)=(r+x)2(2r-4x)当 “5 时，/G A。，尸 单调递增；当时,叫 x)。，/(x)单调递减;F(x)ma所以 12人 此 时 2 8 c 的面积最大，此时cos Z.BEM=2,即 N8EA/=60。，所以/ACB=60所以三角形是正三角形时，圆的内接三角形面积最大,所以当Z8=ZC=8 C 时,AE=A B=-2,则 2,三棱锥S-N 8 C 的体积最大,OE=-2,c ,S-ABC则=lxlx2x2xsin60 x3 =9 V 33 2 2 22 32,故 c 错误;OF=lxsin30=-对于D,作。尸工“，则可得。尸即为球心。到截面距离

15、的最大值，且 2,故D正确.D故选：ABD【点睛】关键点睛：本题考查几何体的外接球问题，在已知条件有限的情况下，解题的关键是正确理解图中的几何关系，找好垂直关系，正确求出线段长度，能够清楚取最值的情况.三、填空题1 3.已知扇形Z 0 8 的周长为1 8 cm,面积为14cm,则以扇形/。8 为侧面展开图的圆锥的底面半径为 cm.2【答案】兀【分析】先求得扇形的弧长和半径，进而计算出圆锥的底面半径.【详解】设扇形408的半径为尸，弧长为乙2 r +/=182n则 12 ,解 得 U =4或 /=I 4 （此时扇形NOB的圆心角为2 ,舍去）.设圆锥的底面半径为尺,2 成=4,7?=2则 兀.2

16、故答案为：7 1四、双空题14 .已知/是直线，是平面，（1）若/,X,y,则x/仪；（2）若ax,“九 则 儿 若（1）成立，则x、N;若（2）成立，则x、N.注：两空均填写以下所有符合题意的序号：均是直线；一个是直线，一个是平面；均是平面.【答案】【分析】利用线面垂直的性质判断可得出结论.【详解】若（1）成立，即若/,X,/y,若x、了均是直线，则x、y的位置关系不确定；若X、J中一个是直线，一个是平面，不妨设X为直线，为平面，则xW或xuy；若x、y均为平面，贝 i j x/勿，故 若（1）成立，则x、y都是平面；若（2）成立，即若a x,a y,若X、N均是直线，则x/勿；若X、夕中一

17、个是直线，一个是平面，不妨设X 为直线，夕为平面，则x/勿或xuy；若x、y均为平面，则x、y平行或相交，故 若（2）成立，则x、y都是直线.故答案为：；.五、填空题15 .已知1 +i （i 是虚数单位）是关于x的方程x 2+?x +=0（加、H G R）的一个复根，且复数z满足卜+产1 =|z +T|,则|z +m的范围为.【答案】立+8）【分析】首先根据复数根特点结合韦达定理求出 =2 ,然后利用复数的几何意义求出复数z 所表示的轨迹，最后利用点到直线的距离公式即可求出范围.【详解】由题可知，方 程/+蛆+=0(加,e R)的另外一个根为1,由韦达定理得l(i)(l +i)=.解得加=一

18、2n=2i1=i,i2=-l,i3=-i,i4=l,2 0 2 3 =4 x 5 0 5 +3,则产”=_ i,则1 z +吁 H z+l|即|z-i|=|z +l|则复数Z 表示到两定点“()I(T，)距离相等的点的集合,则 其 轨 迹 为 的 垂 直 平 分 线，易得G=l,力 8中点坐标为则垂直平分线斜率为T,垂直平分线方程为x +=,则|z +m|=|z-2 ,其几何意义为复数z 所表示的点到定点(2，)的距离,则最短距离为点(2，)到直线x+y=o 的距离一夜一&,则l z +团 的范围为：+8),故答案为：立+8)1 6.已知V x e(-8,句，/(x)。或g(x)03 x e(

19、-4 7 r,0)/(x)g(x)0则。的范围为【答案】【分析】利用导数讨论g(x)的单调性和取值范围，把满足的条件转化为/(X)的函数特征，根据正弦函数的性质求解即可.【详解】由g(x)=x-s i n,得g (x)=l -C O S X N 0,所以g(x)在 R 上单调递增，由g(0)=0,所以V x e(-8,0),g(x)0条 件(1)也 _ 0 0,兀,/(x)或g(x)0,由g(x)的性质可知，条件等价于Tx e，Q/(x)0兀,兀,兀 兀 C 1 C D X C O TI 八 师 0 C 0-当0 4 x 4 兀时，有3 3 3 ,由/口 恒成立，:3 ,解得 3.条 件 *(

20、-4 兀,0)/(x)g(x)0,由0)时g(x)0,兀,兀 兀,兀 1当 TTTV X VO 时，有 3 3 3,.3 ,解得 6 .所以则。的取值范围为(6 3).fi n故答案为：1 6 3)六、解答题1 7.已知(，),。，5),以 2,3),1(-6,3),直线/痴(1)求直线A B与直线I夹角的余弦值；若国为锐角，求，的取值范围.4【答案】【分析】(1)直线N8与直线/夹角的余弦值，是 荏 与 夹角的余弦值的绝对值.若 卜 何 为 锐 角，。+的 0,且 与R+f历 不 同 向，可求 的取值范围.【详解】(1)由题意 8 =0,-2),设 直 线 与 直 线/的 夹 角 为 仇 由

21、 直 线 不，I/-|4 B。1 2 4c o s。=c o s a)=.5 1 八 ABa 1 5 5所以 H次+顺=(1 +2 3/),1(-6,3),屈+叫 为 锐 角，则有a(O A+tO B=(-6,3 (1 +2/,5 +3/)=-3/+9 0，解得，3,又 与 方+，而 同 向 时，有3（l +2 t）=-6（5 +3 f）,得1 11 1 t W-8 ,所以，3且 8 .综上，f的范围是一8，力18.已知函数/（/叱。.。/，。，。，。0的部分图象如图所示.（2）将 函 数 =/）上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的5倍，再将得到的图象向下平移1个0,如单位长度，得到函数y

22、=g（x）的图象，求卜=8。）在区间L 8 上的值域./（x）=2【答案】（1）c o s 2 x +-I 3+1 卜 四【分析】（I）根据图象可得出关于A、人的方程组，解出这两个未知数的值，再由/（）=2结合。的取值范围可求得夕的值，综合可得出函数/（X）的解析式；x 0 3兀 4 兀（2）由三角函数的图象变换可得出函数g（D的解析式，由 18 可 得 出“的取值范围,结合余弦型函数的基本性质可求得函数y =g（x）在区间 8 上的值域.A+b=3 /=2【详解】解：因 为/由 图 象 可 得i-+6=T,解 得 正=1 ,_ 17c因为/（）=2,解得c s,又。式,所以 =/（x）=2

23、c o s综上，.2 x +扑 1（2）解：将函数y=/G）上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的万倍，可得到函数y=2 cos 4x+1l 3J 的图象，再将得到的图象向下平移1个单位长度,得到函数卜=8（、）的图象，则g(x)=2cos 4x+八3兀 ,兀XG 0,4x+G因为 L 8 ，所以 3兀 11兀3，-6则-l cos I 4x+-3J 0,.cos A0 f sinZ0(cos/+sin 4)2由=l+2sin Jco sJ=625,cosZ+sin/二卫得 25,由,，17cos A-srA=-25,31cos 力 +sin 力=25，解得cs25,sin”丝25所以.AAs

24、in A 2tan=-4=2 Acos 22sin2 _ 2.A_A2 sin cos2 2181 -cos A _ 25 _ 3sin 4 24 425(2)因为叫27,24?25)4549 _ 28125576 28224625sin B=-sin 4=所以 7 25,由正弦定理得b “，有 8 0,可得cos8=V1-sin2 B=7所以sin(s i n Bc o s/n 小半x/全条当F2 0.如图，多面体N8CQ勿 中，四边形N8 8 为矩形，二面角力 一。一E 为45,DE/CF,CD 1 DE,AD=2,OC=3,DE=4,3=5,求证：8 /平面/OE；(2)求直线/C 与平

25、面CDE尸所成角的正弦值;(3)求点F 到平面ABCD的距离.【答案】(1)证明见解析72613之 四 2【分析】(1)由线面平行的判定定理可得 力。平面8CF,DE平面B C F,再由面面平行的判定定理和性质定理可得答案；(2)N ZO E即为二面角/-C O-尸的平面角，作于。，由线面垂直的判定定理可得C D 1平面平面C/)ER 连结C。，直线Z C 与平面CDE尸所成角为N/C。，求出正弦值即可：(3)由(2)得平面C Q E F,又/-ACD=匕-CDF,可得答案.【详解】(1).四边形A B C D是矩形，BC HAD ,8 Cu平面8c 尸，“。0平面8。尸，所以4 3 平面8C

26、 F,D E/C F,CFu平面BCF,。吠 平面8 C F,所 以 平 面 2 C F,4 Dc DE =D,：.平面 BC F 平面4D E,；B F u 平面 BC F,；.BF 平面 4 D E；(2).C D LAD,二/。后即为二面角/-CQ-F的平面角，/4D E=45。,又 A Dc DE =D ,AD.OE u 平面/。占所以C C 平面作于因为月Ou平面力QE,所以C。，/。，又CDC D E =D ,C D、CE u平面 c )EF,所以4 0 _L平面C/)F 连结c o,所以直线47 与平面8 E 尸所成角为N/C 0,L sm4C0=型=g =逐A C =J1 3

27、,A O =fl,所以 4 c v l 3 1 3V2 6直线4c与平面8跖所成角的正弦值为1 3 .d S&C D F 4(3)由(2)得平面C/比产，又-48=匕-C D F，所以距离 S C O ,又由已知可得r _1 5._5 6%=3,”。=应，所以=5.2 1.在“8 C 中，A,B,C 的对边分别为“，h,c,已知54 c o s R =c c o s 8+6c o s C.(1)若。=而，8 C的面积为4 而，求 上。的值；若 s i n B i s i n C,且 BC为钝角三角形,求左的取值范围.【答案】6=4,c =5 或b=5,c=40 k 5【分析】（1）由己知和正弦

28、定理得c o s N,再利用平方关系可得s i n/,利用余弦定理可得a2=(b+c -b c 0),b=kc,由余弦定理得=(左 2-|太+1C2,分 8 为钝角、C为钝角讨论可得答案.详解】(1)“8 C中，5acosA=ccosB+h cosC ,由正弦定理得5 s i n A c o s /=s i n C c o s 5+s i n 5 c o s C =s i n (C +8)=s i n 4c o s =l 用必=心蓊=娅5,由0c-=47622 5，.3=2 0 ;由组成方程组，解得b =4,c =5 或6 =5,c =4.(2)当s i n 8 =A s i n C(A 0)

29、b=kca2-b2+c2-2bc-c o s A=(kc +c2-Ike-c -=(/-|左+1当5为钝角时，a2+c2b2,即%2-1斤+11+1 5；当 C为钝角时，a2+b2c2,即0 *-，解得 5；cQ k 5.2 2.已知四棱锥P-/8 C Z）的底面为直角梯形，AB/D C ,Z D A B =W,平面4 88,且P A=A D =D C =-A B =22,M 是棱P8上的动点.（1）求证：平面以。，平面P C D；P M 若 平 面 N C M,求 而 的 值；(3)当 是 尸 8 中点时，设 平 面 与 棱 PC交于点N,求截面ZONM的面积.【答案】(1)证明见解析工万4

30、753【分析】(1)利用线面垂直的判定定理可得C。J平面4。，再由面面垂直的判定定理可得答案：(2)连接ZM,/C 连接8。交力C 于点G,由线面平行的性质定理可得 4/M G,再由P M D G D CM B GB A B可得答案；(3)作点加 满 足 标=而，贝 ij/,D,F,四 点 共 面，取 4 8 的中点E,则四边形A/FCE是平行四边形可得P,A,C,F 四点共面，则 PC与 平 面 的 交 点 必 定 在 Z F 上，/尸与 PC的交点A N=-A F即为PC与 平 面 用 的交点N,根据比例得出 3,由线面垂直的判定定理得出四边形ZOFN是矩形可得答案.详解】(1)因为ND4

31、2=9 0,所以力8,力),又 A B H D C ,所以4)工,因为产/工平面/BCD,C O u平面/8 C D,所以P，C,又 A D c P A =A,心 尸/=平面上4。，所以C。，平面月W,又C O u平面尸c,所以平面产/。,平面尸CA(2)连接4,A C,连接8。交 ZC于点G,因 为 平 面/C M,。匚平面28。，平面 BOA平面/C M =G,.P M =-D-G-D-C 1取 的 中 点 E,则/方=E C,所以MF=EC,所以四边形M尸 CE是平行四边形，则”/M E,又MEHP A,所以F C/P A,即尸，/,C,尸四点共面，平面力O F Mc平面=则P C与平面40M的交点必定在Z/1 上,所以4尸与P C的交点即为P C 与平面ADM 的交点N,0 =以 二 以=2 A N A F所以N F CF M E ,所以 3由（1）知 ZD O C,所以 4 D J.4 B,又 P 4 D,ABPA=A4B、P 4u平面尸所以平面P/8,又 Mu平面尸所以所以四边形/。尸四是矩形,AD=2A M=-P B =y/52,所以四边形Z Z)F/W的面积为2 6,AN _ 2 0 反 _4后 3 ADFM=-X Zy/J=-所以四边形/O N M的面积为/-3 3