2022年高考数学试题解析13不等式选讲.pdf

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1、1 .【2 0 2 2 年全国甲卷】已知a,b,c 均为正数，且。2 +房+牝 2 =3,证明：(l)o +b+2c W 3 ；(2)若b=2 c,贝 哈 +:2 3.【答案】(1)见解析(2)见解析(1)根据a2 +b2+4 c2=a2+b2+(2 c)2,利用柯西不等式即可得证；(2)由(1)结合已知可得0 (a+b+2 c)2,所以a+b+2 cW 3,当且仅当Q =b=2c=l 时，取等号，所以a+b+2 cW 3；证明：因为b=2 c,a 0,b 0,c 0,由(1)得Q+b+2 c=Q+4 c W 3,即 0 V Q+4 c 0,f a 0,c 0,则成 0，质 0，度 0,所 以

2、 曾 是z ym，即(abc)；，所以abc，当 且 仅 当/=4=强，即a=b=c=，时取等号.证明：因为 Q 0,b 0,c 0,所以b+cN2 V E,a+c 2yac,a-V b 2y/aby3 3 3所 以a/a 成 b b 应 c.c c2b+c 2vbc 27 abe a+c _ 2V ac 2yabc a+b _ 2vab 2vabc3 3 3 3 3 3a b c a2 房 c2 Q2+房+c2 1-1-1 ,+,T-,=,=,b+c a+c a+b-27 abe 27 abe 27 abe 27 abe 27 abe当且仅当Q =b=c时取等号.2022年高考模拟试题1.(

3、2 0 2 2 吉林长春模拟预测(文)设函数/(x)=|2 x _ l|+|2 x+l|.求不等式/(力 3的解集;设a,b是两个正实数，若函数/(x)的最小值为m,且。+2 6 =加.证 明：五+历 2.【答案】3 34?4(2)证明见解析(1)先去掉绝对值，变为分段函数，再求解不等式的解集:(2)利用第一问的分段函数得到函数图象，求出函数T V)的最小值，也就是加的值，再用柯西不等式进行证明.(1)解：由已知得：/(x)=|2 x-l|+|2 x +l|=.)1-4 x,x 22,-x 一,2 24 x,x 开;又/(x)3,所以，-4 x 3/1或，x 22 31 x 一2 21或,4

4、x 0、b0,由柯西不等式：（G x+f)=4,所以G+疡42，当且仅当a=2 b=l时取等号.2.（2 0 2 2 云南昆明模拟预测（理）设 a,b,c 均为正数，且a+b+c=l.1 4求一+Y-的最小值;a b+c(2)证明：Jl-a+Jl-b+J-c W 志.【答案】（1）9（2）证明见解析(1)依题意可得b+c=l-a 0,则上1+好4一=工1+4/一，再利用乘1 法及基本不等式计算可a/?+c a-a得；(2)利用柯西不等式证明即可；解：b,。都是正 数,E L+b+c=l,/?+c=1 t z 0 ,当且仅当j1 a=产4 即 =I:时等号，a-a 31 4 ,即一 +7 的最小

5、值为9 ；a b+c证明：由柯西不等式得(1-)+(i-6)+Q-cJ Q+i+iR即 6 2(J1 -a+4-b+J -c),故不等式/n+g y+F 7 w&成立，当且仅当a=b=c=时 等号成立；3.(2 0 2 2 安徽淮南二模(文)已知函数f(x)=，-2|x-2|.求不等式x)2 7 的解集；设函数“X)在2”)上的最小值为m,正数a,b 满足。+6 =切，求证：872-8.a【答案】(-8,T_26U 3,+O O)(2)证明见解析(1)讨论x 2 2 和x 2 x 2.-8 =8 7 2-8 ,当且仅,l a =2 0/=4 -2、历时等号成立g j i 87 2-84.(20

6、22 贵州贵阳二模(理)已知“,6,c,x 时取等号.*由，aX=-2 或，6尸 彳瓜X=2V T、二一彳x=2综上，|瓜+2川的最小值为血,此时x,了的值为，x=-2 或，V2片 彳y=-5.(2022 四川 宜宾市教科所三模(理)已知函数/(x)=2|x-2|.解关于x的不等式/(x)-x-14 0；(2)设g(x)=/(x)+|2x +l|-3,g(x)的最小值为人,若a+b+c=m ,abc=的最小值.【答案】口,5(2)4(1)分段讨论去掉绝对值符号，解不等式组可得答案；4(2)根据绝对值二角不等式性质求得m，可得b +c =2-a,bc=,利用a(h+c=b2+c2+2bc 4 b

7、c,可得至I J/-4/+4 a-1 6 2 0,解得答案.由已知得2卜_2卜 1 4 0,可化为x 2 x2 2(x-2)-x-l 0 -2(x-2)-x-l 0,即 2 4 x 4 5 或 14 x|(2x-4)-(2x +l)|-3 =2,当2 时，取，g(x)的最小值为加=24V a+b+c=m ,abc-2m,J.b+c=2-a,be=t2m,0,求.(b +c)2=b2+c2+2bc4bc,A (2-a)2 2 9,0./.a3 4 a2+4 a 16 0 a+4 j(t z 4)0,a 4,当】=c =-l 时取J”,；.。的最小值为4.6.(2022新疆三 模(文)已知/卜)=

8、段-3|+卜+1|.设 x)的最小值为m,求 m的值：(2)若。，b0 Sa+b-m ,求证：+乃 J+222.a+2 b+2【答案】机=2；证明见解析.化简函数解析式，结合函数的单调性求其最小值即可；(2)化简不等式的左边的代数式,利用基本不等式完成证明.当 x N l 时，/.(x)=|3 x-3|+|x +l|=3 x-3 +x +l =4 x-2,止 匕 时/(x)N 2,当-14 x l 时，/(x)=|3 x-3|+卜 +=3-3 x +x +1 =4-2x ,此时当 x 0,0,-4 x(t z0)2 8m +n=a,求一+一的最小m n值.【答案】(1)(2)?根据题意分三种情

9、况讨论求解即可；(2)由题知x-4 x N 0的解集为 x l x W l ,进而得a =10,再根据基本不等式求解即可.解：当 a =l 时，/(x)=x-；+|x +l|-4 x ,所以，当X 4-1时，/(x)=-6 x 1,解得该不等式无解；当7 x；时，/(x)=-4 x +|,解得；当x zg 时，/(x)=-2x +|0,。=10,即 z +=10.因为阳 0,0,g”2 8 1所以_ +_=im n 10 WK?+77)=7 1010+阴+m10 4 2 府 9105-248 mn当且仅 当 二=丝，即 =2机时等号成立,m n所以*2 +8 的最小值为9三m n 5求M ;（

10、2）若。、b w M ,且。+%=2,求，+的最小值.【答案】二 、;2（1）分xV O、0 x 4,x 2 4 三种情况解不等式N+3 2|x-4 ,综合可得出集合M；（2）计算可得2 +-2（/+/一 町 利用基本不等式可求得 +冬 的最小值./b2 a2b2 编 b2解：当X 4 O 时，则有r +3 2 4-x,无解；当0 x 4 时，则有x +3 W 4-x,解得X2,，此时，4X(2 2b a a3+b3(a+ba2+b2-ab 2代+b2-ab 1 2(2ab-ab)2a2+b2 a2b2 a2b2 a2b2 a2b2 ab当且仅当a =b =1时，I二述不等式中的等号同时成立，

11、故与+会 的最小值为2 .9.(2 0 2 2河南模拟 预 测(文)已知函数/(x)=|2 x-a|-卜+1|(4 0).当。=4时，求不等式/。)4 4的解集；(2)若/(x)-自恒成立，求实数。的取值范围.【答案】1,9(2)(1,”)(1)当。=4时，求得函数/(x)的解析式，分段讨论，即可求解；(2)当。0时，化简函数/(x)的解析式，利用单调性，可得/(x)m,n=q-l，结合题意列出不等式，即可求解.x-5,x 2当a=4时，函数/(同=|2%一4|一 忆 +1=3-3 x,-l x 2,5 K 1当 x 2 2 时，由 f(x)4 4,可得 x-5 4 4,解得 2 4 x 4

12、9；当-l x 2时，由/(x)4 4,可得3-3 x 4 4,解得-：4 x 2因为a 0,所以函数根据一次函数单调性可知，4 +1 X,1函数/(X)在(f,5上单调递减，在C，+8)上单调递增，所以=由 )言 恒 成立，得解得。1,所以实数。的取值范围为：。，”).1 0.(2 0 2 2黑龙江哈尔滨三中三模(理)函数/(x)=|2 x-2|+|2 x +l|.求不等式/(x)N 3 x +l的解集；若/(x)的最小值为k,且实数a,b,c满足a+2 Z +4 c=%.求证：a2+2ab+2h2+c2【答 案 ,8,1 U 2,(2)证明见解析(1)利用零点分段讨论法即可求解；(2)由绝

13、对值三角不等式可得/(%)的最小值4=3,进而有“+2 b+4 c=3,乂(a2+2 a/+2 62+c2)(l2+l2+42)=+1 )+/2+c2 (2+I2+42),从而利用柯西不等式即可证明.解：当Ml时，/(x)=4x-L所以原不等式即为4 x-1 2 3 x+l,解得x 2 2；11q当时，/(x)=3,原不等式即为3 W 3 X +1,解得22 2当时，/(x)=l-4 x,原不等式即为1 4 x N 3 x+l,解得综上，原不等式的解集为0g U 2,M).(2)解：因为/(X)=|2X-2|+|2X+1|2|(2X-2)-(2X+1)|=3,当 且 仅 当 时 取 等 号、所

14、以。+2 b+4 c=3 ,由柯西不等式可知(a2+2ab+2b2+c2)(12+I2+42)=6 +b 丫+b2+c2+I2+42)(a+6)x l +6 x l +cx 4 J =(a+2 6 +4 c)-=9 ,i i a所以/+2/+2+c2 2 (当a=0,b=,c=一时等号).2 6 31 1.(2 0 2 2 江西赣州二模(理)不等式。+方+。*卜+1 卜卜+2|对于xe R 恒成立.求证：a2+h2+c2-求证：拜展近【答案】证明见解析证明见解析(1)利用绝对值三角不等式可得出a+b+c l,再利用基本不等式可证得结论成立;(2)利用基本不等式可得出，力+从釜g b),ylb2

15、+c2 (/+c),后高2 4(c+a)，再结合不等式的基本性质可证得结论成立.证明：因为a+6+c 讣+卜 卜+2|对于xe R 恒成立,又因为|X+1|TX+2|W|(X+1)-(X+2)|=1,所以a+b+cN l ,由基本不等式可得 a?+N2Q6，b2+c2 2bc c2+a2 2ac 所以，(a+b+c)2 =/+/+。2 -2ab+2bc+2ca 1(2)证明：因为/+/22，所以2(/+/)2(0 +,所 以 而 再 之 当(a+b),同理可得：“*2 邛(b+c),&匕邛(c+a),所以，/+J/+/2 +&2 +a?2 近(a+b+c),所以J 2 +/+后+C2+后+a&

16、1 2.(2 0 2 2 甘肃兰州一模(理)已知函数/(x)=|2 x T|+2|x+f|.(1)当，=1 时，解关于x的不等式/(x)N 6：(2)当，0 时，/(x)的最小值为6,且 正 数 满 足 a+b=,.求1 +。+2的最小值.a b ab【答案】(-8,-(I J (，+8)(2)3(1)分别在x W-l、和x N：的情况下，去掉绝对值符号，解不等式可得结果；2 2(2)利用绝对值三角不等式可求得，化简所求式子，利用基本不等式可得结果.当f =l 时,/(x)=|2 x-l|+2|x +l|；当X 4 1 时，/(x)=l-2 x-2(x +l)=-4 x-l 6 ,解得：当时，

17、/(x)=1-2 x +2(x +l)=36,解集为0；当 x N：时，/(x)=2 x-l +2(x +l)=4 x+1 6,解得：x|；综上所述：不等式/(x)*6 的解集为(-,-(U*+8).当f 0 时，f(x)=2x-t+2x+2t(2x-t)-(2x+2t=3t=6(当且仅当-f 4x 4；时取等号)，/./=2 ,即。+6 =2；1 1 1 +a+b 3 、3 ,一+F =-2-亍=3a h ah ah ab 1 上电 (当且仅当=b=l 时取等号)，即,+1 的最小值为3.a b an1 3.(2 0 2 2 全国模拟预测(理)己知函数/()=|下-1|+|+0-|。-1|的

18、最小值为2.求。的取值范围；(2)若/(。-4)2。-3),求 a 的取值范围.【答案】口,内)(2)1,2)(1)根据绝对值的三角不等式求解即可；(2)根据公式法解绝对值不等式即可.(1)因为|x-l|+|x+蚱|(x-l)-(x+a)H a+l|，所以/(x).=|a+l|。一 1 1=2,又因为I a+1H。T国(。+1)-S T)1=2,当且仅当a 1时等号成立,所以。的取值范围是口，田).(2)fa-=a-5+2 a-2-a-,/(2a-3)=2|a-2|+3|a-l|-|a-l|,由a21 及/-4)/(2a-3)得|a-5|+2|a-2|2|a-2|+3(a-l),gJ|a-5|

19、3(a-l),即 a-5 3(a-l)或-53(1 a),解得a 0的解集；(2)若VxeR.不等式x)2M x-4)恒成立，求实数k的取值范围【答案】(8,-5)11(-；,也)口，2(1)利用零点分段讨论去掉绝对值符号即可解不等式：(2)作 出 函 数 的 大 致 图 象，不等式x)“(x-4)恒成立转化为函数y=/(x)的图象要在宜线 =%(-4)的上方，即需直线y=/(x-4)的斜率大于等于直线MN的斜率，且小于等于直线V=2x+10的斜率，即可求出答案.2x-10,x 2/(X)=3|x+2|-|x-4|=4x+2,-2x 4当 x -2 时，由 -2%-100 得 x 0得-0的解

20、集为(-a,-5)U(-；,田)作出函数/(x)的大致图象，如图所示.根据题意，函数y=/(x)的图象要在直线=左(工-4)的上方，即需直线y=%(x-4)的斜率大于等于直线M N的斜率，且小于等于直线y=2x+10的斜率又 G=0-(-j6=)l，所以k 的取值范围是1,2.15.(2022河南西平县高级中学模拟预测(理)已知 x)=|2x-l|+k +a|,a e R.当。=2 时，求不等式/(x)4 的解集;若函数“X)的最小值为4,求实数a 的值.【答案】冲 一 叫 19 7(2)a=-fiJc-分别在xW-2,-2 x 4,得xW-2；当 2 4,f!/-2 x 4,得 X 1.综上，不等式/(x)4的解集为卜或rl.(2)/(x)=|2 x-l|+|x+tz|=1X21+x 21a+21x 2+x+a+Q+2当且仅当X=；时等号成立.1 9 7由。+彳=4,得。=一7或；.2 2 2