2022-2023学年北京市海淀区高二年级上册学期期末数学试题含答案.pdf

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1、2022-2023学 年 北 京 市 海 淀 区 高 二 上 学 期 期 末 数 学 试 题 一、单 选 题 I.已 知 集 合 人=-2,-1,(),1,2,B=x|-lx2,则 A B=()A.0,1 B.-1,0,1 C.0,1,2 D.-1,0,1,2【答 案】A【分 析】根 据 交 集 的 定 义 直 接 求 解 即 可.【详 解】因 为 A=2,-1,0,1,2,B=x|-lx【详 解】试 题 分 析：z=7=J=+i对 应 的 点 为 在 第 二 象 限 1 I(1+2 2 2 I 2 2y【解 析】复 数 运 算 点 评：复 数 运 算 中 分 子 分 母 同 乘 以 分 母

2、的 共 施 复 数，复 数。+方 对 应 的 点 为(”,。)3.双 曲 线-二=1的 渐 近 线 方 程 为()16 93 4 3 9A.y=?-X B.y=x C.y=-x D.y=x4 3 5 16【答 案】A【分 析】根 据 双 曲 线 的 方 程 求 出“力 的 值，代 入 渐 近 线 方 程 丫=2 工 即 可.a【详 解】因 为 双 曲 线 C:工-=1,所 以。=4力=3,16 9所 以 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 y=%=士 呆.a 4故 选：A4.设 函 数/(x)=V-则 f(x)()xA.是 奇 函 数，且 在(0,+8)单 调 递 增 B.是 奇 函 数，

3、且 在(0,+oo)单 调 递 减 C.是 偶 函 数，且 在(0,+8)单 调 递 增 D.是 偶 函 数，且 在(0,+8)单 调 递 减【答 案】A【分 析】根 据 函 数 的 解 析 式 可 知 函 数 的 定 义 域 为 M x x。,利 用 定 义 可 得 出 函 数/(x)为 奇 函 数，再 根 据 函 数 的 单 调 性 法 则，即 可 解 出.【详 解】因 为 函 数 小)=丁-5 定 义 域 为 小 叫，其 关 于 原 点 对 称，而 r)=-/(x),所 以 函 数/(x)为 奇 函 数.又 因 为 函 数 y=d 在(0,+?)上 单 调 递 增，在(-?,0)上 单

4、调 递 增，而 y=g=x”在(0,+?)上 单 调 递 减，在(-?,0)上 单 调 递 减，所 以 函 数=在(o,+?)上 单 调 递 增，在(-?,0)上 单 调 递 增.故 选：A.【点 睛】本 题 主 要 考 查 利 用 函 数 的 解 析 式 研 究 函 数 的 性 质，属 于 基 础 题.5.已 知 夕 是 两 个 不 同 的 平 面，直 线/u a,那 么“。/?”是/”的()A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【答 案】A【分 析】根 据 面 面 平 行 的 判 断 和

5、 性 质，结 合 充 分 条 件 和 必 要 条 件 的 定 义 即 可 得 出 答 案.【详 解】解：已 知 乃 是 两 个 不 同 的 平 面，直 线/u a,若 a/,则/夕,若/，则 如 夕 相 交 或 平 行，所 以“a/6”是“/”的 充 分 而 不 必 要 条 件.故 选：A.x 0A.(-ao,0)B.(0,+e)C.(-oo,l D.【答 案】D【分 析】由 于 当 x 0时，-0,所 以 当 X 2 0时，求 出 的 最 小 值，使 其 最 小 值 小 于 等 于 零 即 可.详 解 当 x 0 时，/(x)2n-a=l-a,因 为 函 数 f(x)=x 的 值 域 为 R

6、,2x-a,x0所 以 1一 4 4 0,得 aWl,所 以 实 数。的 取 值 范 围 是 1,+8),故 选：D.7.点 P 在 抛 物 线 V=4 x 上，则 P 到 直 线 x=-1的 距 离 与 到 直 线 3x-4y+12=0的 距 离 之 和 的 最 小 值 为()A.4 B.3C.2 D.1【答 案】B【分 析】由 抛 物 线 定 义 可 知 最 小 值 就 是 焦 点 到 直 线 3x-4y+12=0的 距 离，由 点 到 直 线 距 离 公 式 得 解.【详 解】由 抛 物 线 定 义 P 到 直 线 4-1的 距 离 等 于 P 到 抛 物 线 焦 点 距 离，所 以 到

7、 直 线 尸-1的 距 离 与 到 直 线 标-4)，+12=0的 距 离 之 和 的 最 小 值，即 焦 点(1,0)到 直 线 3x-4y+12=0的 距 离:_|3xl-4x0+12|_d-!3故 选:B.8.如 图，半 径 为 1的 半 球 内 有 一 内 接 正 六 棱 锥 尸-ABCDEF,则 异 面 直 线 PB与 A F 所 成 的 角 为()【答 案】C【分 析】取 球 心 O,直 线 跳 过 点 O,NP8。即 为 所 求，在,P8O中 求 解 即 可.【详 解】取 球 心。，直 线 BE过 点 0,由 正 六 边 形 的 性 质 知 AF/8。，故 N P 3 O 即 为

8、 异 面 直 线 依 与 A F 所 成 的 角(或 补 角),易 知 一 尸 3 0 为 等 腰 直 角 三 角 形，即 NP80=f,4J T即 异 面 直 线 PB与 A F 所 成 的 角 为;，4故 选：C.P9.已 知 直 线/：=尔-机-1,尸 为 圆 C:x2+y2-4x-2y+l=0 上 一 动 点，设 尸 到 直 线/距 离 的 最 大 值 为“(m)，当(?)最 大 时，加 的 值 为()1 3 2A.B.C.4 D.22 2 3【答 案】A【分 析】先 得 出 直 线/过 定 点 再 求 出 圆 心 坐 标，由 圆 的 对 称 性 以 及 斜 率 公 式 得 出 小 的

9、 值.【详 解】因 为/：k(-1)=加(x-l),所 以 直 线/过 定 点 A(l,1),圆 C:x2+y2_4x-2)，+l=0可 化 为(无 一 2)2+(k 1)2=4,则 圆 心 C(2,l),厂=2,由 圆 的 对 称 性 可 知，当 A C L 时，P 到 直 线/距 离 的 最 1-(-1)1 1大，则 心=-=2,，*=-%1KAC 乙 故 选：A10.如 图，在 正 方 体 A B C O-A M G R 中，E 为 棱 A G 的 中 点.动 点 P 沿 着 棱。从 点。向 点 C 移 动,对 于 下 列 四 个 结 论：存 在 点 P，使 得 尸 4=PE；存 在 点

10、 P,使 得 平 面 P A E；PAE的 面 积 越 来 越 小；四 面 体 的 体 积 不 变.其 中，所 有 正 确 的 结 论 的 个 数 是()A.1 B.2 C.3 D.4【答 案】C【分 析】设 正 方 体 棱 长 为 2,OP=，求 出 个 2，炉，由 尸 4：=炉 解 得 制 0 4 机 M2),确 定 正 确,考 虑 到 P 到 平 面 的 距 离 不 变，从 而 易 判 断，以 D 4,O C O R 为 x，z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系,可 证 明 BD、不 可 能 与 A E 垂 直，故 不 正 确；设 P(0,肛 0),(0m2),由 空 间 向 量 法

11、 求 得 尸 到 A E 的 距 离，由 距 离 的 变 化 规 律 判 断 正 确.【详 解】设 正 方 体 棱 长 为 2,。尸=，由 AA 平 面 ABCD,AP u 平 面 ABC。得 AAt 1 A P,同 理 PC JL EC,所 以 尸 A?=例 2+4)2+。尸=8+根 2,PE2=PC2+CCf+CE2=4+(2-/?)2+1=5+(2-w)2,由 8+桃 2=5+(2-机 产 得 m=存 在 尸 使 得 PA=P E,正 确，正 方 体 中，CD 平 面 A B G R,P e C D,所 以 P 到 平 面 4 与 G R 的 距 离 不 变，即 P 到 平 面 4出 田

12、 的 距 离 不 变，而 AgE面 积 不 变，因 此 三 棱 雉 P-A g E,即 四 面 体 4 尸 8 g 的 体 积 不 变，正 确；以 DA,DC,DD,为 x,y,z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，如 下 图，正 方 体 棱 长 为 2,贝 i j A 0,2),(1,2,2),8(2,2,0),0,(0,0,2),&后=(一 1，2,。),明=(-2,-2,2),BD,-E-2 0,所 以 町 不 可 能 与 垂 直，故 以“平 面 PA E 也 不 可 能 成 立,故 错 误；设 P(0,肛 0),(04 V 2),PE=(1,2-m,2),PE=Ji+(,”2)2+

13、4=，川-4必+9,卜 建 卜 技 所 以 COS(P E，A E)(1,2-竺 2).(-1,2,0)/5-A/W2 4/n+93-27/1/5,dm 4/z?+9设 P 到 直 线 的 距 离 为 d,则 3-2m、_ y/in2-8 m+36 _/(/M-4)2+20、石 I m2-4m+9)V5 石 d=|PE|sin(PE,AE)=，-4,”+9 由 二 次 函 数 性 质 知 04 zM2时，y=(,“-4)2+20递 减，所 以 d 递 减，又 4 上=石 不 变，所 以！A/E 的 面 积 为 g|AE|d递 减，正 确，综 上：正 确 故 选:C.【点 睛】立 体 几 何 中

14、 存 在 性 或 探 究 性 问 题 涉 及 到 的 点 具 有 运 动 性 和 不 确 定 性 属 于 动 态 几 何 问 题，用 纯 几 何 的 方 法 来 解 决 对 空 间 想 像 能 力、作 图 能 力 和 逻 辑 推 理 能 力 的 要 求 很 高，若 用 向 量 方 法 处 理，尤 其 是 通 过 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 求 解 问 题 则 思 路 简 洁 明 了，本 题 中 用 向 量 法 解 决 点 P 到 直 线 A E 的 距 离 问 题 避 免 了 抽 象 复 杂 找 距 离 过 程，而 且 将 距 离 的 变 化 情 况 转 化 为 函 数 的 单 调 性

15、 问 题 解 决 更 简 单 明 了.二、填 空 题 11.函 数 丫=沿 的 定 义 域 是.【答 案】-1,0)(0,内).【分 析】由 二 次 根 式 的 被 开 方 数 非 负 和 分 式 的 分 母 不 为 零，即 可 求 得 结 果.x+l0【详 解】由 题 意 得,八，解 得 xN-l且 x*0,所 以 函 数 的 定 义 域 为 1,0)(0,的),故 答 案 为：-1,0).(。,内).12.己 知 双 曲 线 C:a2 h2=1(0,b0)的 离 心 率 为 右,C 的 焦 点 到 其 渐 近 线 的 距 离 为 5,则【答 案】1#2.5【分 析】由 离 心 率 得，c关

16、 系，结 合 点 到 直 线 距 离 公 式，由 焦 点 到 其 渐 近 线 的 距 离 得 匕=5,结 合 关 系 式，即 可 求 解.【详 解】由 题 可 知，e-=亚,设 双 曲 线 一 条 渐 近 线 为 y=”,即 小 做=0,结 合 点 到 直 线 距 离 a a,be be 5公 式，d=-r=b,即 6=5,又 因 为 c 2=/+6,联 立 解 得=.Ja-+b-c 2故 答 案 为：13.已 知 点 P(2,0)和 圆。:/+丁=36上 两 个 不 同 的 点，N,满 足 NA/PN=90。，。是 弦 用 N 的 中 点，给 出 下 列 四 个 结 论：IMPI的 最 小

17、值 是 4；点。的 轨 迹 是 一 个 圆；若 点 A(5,3),点 B(5,5),则 存 在 点 Q,使 得 ZAQ8=90。；A M P N 面 积 的 最 大 值 是 18+2后.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.【答 案】【分 析】可 以 通 过 设 出 圆 的 参 数 方 程，进 行 求 解；设 出(x,y),找 到 等 量 关 系，建 立 方 程，求 出 点 Q 的 轨 迹 方 程，即 可 说 明；转 化 为 两 圆 是 否 有 交 点，说 明 是 否 存 在 点 2；当/W,P N 斜 率 分 别 为 1和-1时，且 点 尸，M 在 y轴 左 侧，此 时 A M P

18、 N 面 积 最 大，求 出 最 大 值.【详 解】点 M 在 圆 O:x?+y2=36上，设 在(6cos6,6sin。),则|M P|=J(6cos6-2)2+(6sin行=J40-24cos9,当 cos6=l 时，l/P|取 得 最 小 值，最 小 值 为 4,正 确；设 点。(x,y),则 由 题 意 得：PQ2=Q M2=O M2-O Q2,I J 1 I J(X-2)2+/=36-(x2+y2),整 理 得：(x-l)2+y2=1 7,所 以 点。的 轨 迹 是 一 个 圆，正 确；为 以 A 8 为 直 径 的 圆，圆 心 为(5,4),半 径 为 1,方 程 为：(x-5+(

19、y-4)2=l,下 面 判 断 此 圆 与 点 2的 轨 迹 方 程(x-l)?+y2=17是 否 有 交 点，由 于 J(5-l)+42=4夜 炳+1,两 圆 相 离，故 不 存 在 点 Q,使 得 NAQ8=90,错 误；当 斜 率 分 别 为 1和 时，且 点 p,M 在)，轴 左 侧，此 时 M P N 为 等 腰 直 角 三 角 形，面 积 最1/2大，此 时 PQ=Q M=Q N=1+Vi7,（S M L=/x2x（l+而）=18+2如，正 确.故 答 案 为：【点 睛】轨 迹 方 程 问 题，一 般 处 理 思 路，直 接 法，定 义 法，相 关 点 法 以 及 交 轨 法，要

20、能 结 合 题 目 特 征 选 择 合 适 的 方 法 进 行 求 解.三、双 空 题 14.若 版 注=翳=4，且 网=1,则 网=,CP A B 的 最 大 值 为.【答 案】2 2【分 析】由 第 2,器=4 即 可 求 卜 4，结 合 已 知 条 件 可 得 C 在 过 B 点 垂 直 于 A B 的 直 线 上，而 尸 在 以 A 为 圆 心，1为 半 径 的 圆 周 上，应 用 数 形 结 合 法 判 断 C P A B 的 最 大 时 R C 的 位 置，即 可 确 定 最 大 值.【详 解】由 践 2=|器 F=4，可 得|A，=2,由 题 设，C 在 过 B 点 垂 直 于

21、A 8 的 直 线 上，而 P 在 以 A 为 圆 心，1为 半 径 的 圆 周 上，若 C D=A B,如 下 图 示，CP AB=CP C D,要 使 C P M 8 的 最 大，只 需 A P，8 共 线，C P 在 C上 的 投 影 最 短，由 图 知：A P,B 共 线 时，C R A B 的 最 大 为-2.故 答 案 为：2,-2.【点 睛】关 键 点 点 睛：由 已 知 条 件 将 向 量 转 化 为 图 形 形 式，数 形 结 合 法 分 析 CP-AB的 最 大 时 动 点 的 位 置，即 可 求 最 大 值.15.己 知 等 比 数 列%的 各 项 均 为 正 数，其 前

22、”项 和 为 S“，前 项 乘 积 为%=工，&+%=6,则 公 比 4=;满 足 S“1 的 正 整 数 的 最 大 值 为【答 案】2 10【分 析】设 等 比 数 列 的 公 比 为 q（4 0）,然 后 由 题 意 列 方 程 组 可 求 出 4 M,再 由 解 不 等 式 可 求 出 的 范 围，从 而 可 正 整 数”的 最 大 值.【详 解】设 等 比 数 列 的 公 比 为 q（夕 0）,因 为 4=（,%+%=6,所 以 q 42=6，4/+4 q6=6,因 为，所 以 43aM4%=C=1，所 以 为=1，即 卅 4=1,所 以 代 入“闻 5+4口 6=6,得 d+4-6

23、=0,解 得 4=2或 g=-3（舍 去），所 以=2 1,则 q=2、所 以 S,=2 2）=字,“1-2 24（“一 9）T _ 2 7+（3）+“+（-5）_ 2 2，所 以 由 5,却 得 号 2丁，24所 以 2,一 2空“，所 以 2，_2字 1，所 以 只 要“/9+8,即/-11+80,211-炳 11+屈 解 得-n 骞 的 正 整 数 的 最 大 值 为 10,故 答 案 为：2,10.四、解 答 题 16.己 知 函 数/（x）=4sinxcos（x-）+,的 最 大 值 与 最 小 值 之 和 为 0.求 加 的 值 以 及 x）的 最 小 正 周 期；若 函 数/（X

24、）在 区 间 0,可 上 是 增 函 数，求 实 数。的 最 大 值.【答 案】(1)?=-6，1(%)的 最 小 正 周 期 兀;唱【分 析】(1)先 对 函 数 化 简 变 形，然 后 利 用 正 弦 函 数 的 性 质 求 出 其 最 值，从 而 列 方 程 可 求 出 机 的 值,再 利 用 周 期 公 式 可 求 出/.(X)的 最 小 正 周 期；(2)由 x e O,a,得-三 4 2-2 2 4-9 则 由 题 意 可 得 2-2 力 求 出 的 范 围，从 而 可 求 出 其 3 3 3 3 2最 大 值.【详 解】(1)/(x)=4 s in x c o s(x-g)+？.

25、(7 1.兀、=4sinx cosxcos+s in.rsin+mI 3 3 j4 n c.、=4sinx cos x H-sin x2 2 2sinxcosx+2百 sin?x+m=sin 2x-6 cos 2x+y/3+tn=2 s in 2 x-y+V3+,所 以/a)的 最 大 值 为 2+6+机，最 小 值 为-2+6+?,因 为/(幻 的 最 大 值 与 最 小 值 之 和 为 0,所 以 2+V3+机 2+垂+m=0,得=-/3,所 以 f(x)=2sin(2 x-?),所 以 的 最 小 正 周 期 为 九(2)由 x e 0.4,得 元 7 1 7 r0 W 2x W 2a

26、所 以 4 2 x 2a,3 3 3因 为 函 数“X)在 区 间 o，4 上 是 增 函 数，所 以 2-笑,解 得 0 a.3 2 12所 以 实 数”的 最 大 值 为 工.1 7.在 JL B C中，角 A,8,C所 对 的 边 分 别 为 a,6,c,现 有 下 列 四 个 条 件：6(+c?-从)=-2四；cosH=立；a=b=2.2 2（1）条 件 和 条 件 可 以 同 时 成 立 吗？请 说 明 理 由；（2）请 从 上 述 四 个 条 件 中 选 择 三 个 条 件 作 为 已 知，使 得 A B C 存 在 且 唯 一，并 求 的 面 积.【答 案】（1）不 可 以，理

27、由 见 详 解.若 选 时，.ABC存 在 且 唯 一，此 时 面 积 为 S.c=W 也；若 选 时，718c存 在 且 唯 一，此 时 面 积 为 54叱=日.【分 析】（1）由 余 弦 定 理 化 简，由 余 弦 函 数 的 性 质 化 简，再 由 弓 兀 8 兀 与 A=。矛 盾，从 而 得 3 o出 结 论；（2）结 合（1）中 的 条 件 进 行 分 析，再 由 余 弦 定 理 得 出 c,利 用 三 角 形 面 积 公 式 得 出 面 积.【详 解】（1）对 于：因 为-层）=一 加 c,所 以 6 x 2ccos B=-2ac，cosB=对 于:_7|A y/3：cos=2 2

28、由 Aw(0,兀)可 得=4=g2 6 32 9因 为 cos 兀 cos 3,所 以 一 兀 8 兀，与 人=矛 盾 3 3 3故 两 个 条 件 不 可 以 同 时 成 立.（2）因 为 两 个 条 件 不 可 以 同 时 成 立，所 以 只 能 选 或 选 时，因 为 cos8=-正，b=23所 以 由 匕 2=a2+c2-2accos3 可 得+2?-1=0,解 得。=-血（舍）故 5“8=；4 皿 8=1 X 3 X(V 2-1)X 3 I=2 2所 以 若 选 时，A 3 c 存 在 且 唯 一，此 时 面 积 为 5.g=三 徨 选 时，因 为 4=；,=石，b=2所 以 由/=

29、+2-2/7CCOS A 可 得 c-2c+1=0,c=1故 S AAlBiCC=Z?csin A=x2xlx=,2 2 2 2所 以 若 选 时，_ M C 存 在 且 唯 一，此 时 面 积 为 S ABC=弓.18.如 图，在 三 棱 柱 ABC-A冉 G 中，侧 面 A4CC_L底 面 A 8 C,。为 A C 中 点，AC=AA,=2,AB=BC=遥.B 求 证：与。平 面 A 8 Q；(2)求 证：平 面 BD4,1 平 面 A A G C;(3)若 4 c=2 0,求 三 棱 柱 ABC-4 片 6 的 体 积.【答 案】(1)证 明 过 程 见 解 析(2)证 明 过 程 见

30、解 析(3)715【分 析】(1)作 出 辅 助 线，证 明 线 线 平 行，从 而 得 到 线 面 平 行；(2)由 题 干 中 的 面 面 垂 直 得 到 线 面 垂 直，进 而 得 到 平 面 由 阴，平 面 A4CC;(3)求 出 S ABC，证 明 出 底 面 A B C,利 用 柱 体 体 积 公 式 进 行 求 解.【详 解】(1)连 接 AB一 交 4 1 于 点 E,连 接。E,因 为 四 边 形 A4,8田 为 平 行 四 边 形，所 以 E 为 A片 的 中 点，因 为。为 A C 的 中 点，所 以。E 为 V A B C 的 中 位 线，所 以 OE/B、C,因 为

31、B C Z 平 面 AB。，Eu平 面 AB。,所 以 4c 平 面 A3。；(2)因 为 AB=BC=,。为 A C 的 中 点，所 以 BD1.AC,因 为 侧 面 A A G C，底 面 A 8 C,交 线 为 AC,3u平 面 ABC,所 以 侧 面 A A G C，因 为 B D u 平 面 8。4，所 以 平 面 BOA 1平 面 AAGC;(3)因 为 AC=2,AB=BC=。为 AC 中 点，所 以 AO=C=1,BO=V T=石，因 为 B C A C,所 以 S A0 C=L A C B O=L X 2 X石=石，2 2因 为 gC=2 0,所 以 DE=gBC=J5,因

32、为 80,侧 面 AAGC,A O u 平 面 A 4 C C，所 以 BLLLAD,故 45=2。=2及，由 勾 股 定 理 得：A D=dAB?-BD2=y/=6又 AC=AA=2,所 以 故 A C A。，因 为 3?A D,平 面 ABC,所 以 A。，底 面 ABC,所 以 三 棱 柱 ABC-A A G 的 体 积 为 v=s,k A D=&艮 屈.19.已 知 函 数/(x)=W 求 曲 线 y=/(x)在 点(1J)处 的 切 线 方 程；(2)求 曲 线 y=/(x)与 直 线 y=x-l的 公 共 点 个 数，并 说 明 理 由；若 对 于 任 意 xe(O,),不 等 式

33、/()6+2 恒 成 立，直 接 写 出 实 数。的 取 值 范 围.【答 案】x-y-i=o(2)曲 线 y=f(x)与 直 线 y=x-l的 公 共 点 只 有 一 个，证 明 见 解 析(3)实 数 的 取 值 范 围 是 0,+“)【分 析】(1)根 据 导 数 的 几 何 意 义，求 切 点 坐 标 与 切 线 斜 率 即 可 得 曲 线 y=/(x)在 点(1J(1)处 的 切 线 方 程；(2)构 造 函 数(x)=-x+l,xw(0,”)，确 定 函 数(x)的 单 调 性 与 取 值 情 况，从 而 可 得/i(x)=0的 根 的 个 数，即 可 得 曲 线 y=/(x)与

34、直 线 y=x-i的 公 共 点 个 数；(3)直 线 丫=5+2 定 点(0,2)作 曲 线 y=x)的 切 线，设 切 点 为 知”)通 过 导 数 的 儿 何 意 义 结 合 函 数 单 调 性 与 取 值 情 况 无 法 解 出 工,则 直 线 y=ar+2不 与 曲 线 y=x)相 切，结 合 曲 线 y=x)的 图 象 分 析 直 线、=6+2与 其 交 点 情 况 即 可 求 得 实 数 的 取 值 范 围.【详 解】(1)解：函 数/(耳=(的 定 义 域 是。+8),所 以/(=上 詈，则/=0,1f(1)=1,，切 线 方 程 是：y-0=(x-l),故 切 线 方 程 为

35、：x-y-i=Q;(2)解：曲 线 y=/(x)与 直 线 y=x-i的 公 共 点 只 有 一 个，理 由 如 下:设(x)=g 一 X+l，X(0,+8),则 令 g(x)=l-Inx-x 则 g(x)=-1-2x0,函 数/i(x)单 调 递 增，xe(l,-H),/Z(x)0,函 数 M D 单 调 递 减；则%x(x)=M D=第 一 1+1=0,故(x)=0,有 且 只 有 一 个 根 x=l，即“X)=x-1有 且 只 有 一 个 根 x=l,故 曲 线 y=/(x)与 直 线 y=x-i的 公 共 点 只 有 一 个.(3)解：若 对 于 任 意 xw(O,E),不 等 式/(

36、x)or+2恒 成 立，则”2 In x0-2x0-1=0,%不 9 2 9 r设，(力=21口 工 一 2工 一 1,xe(0,+oo),则 帆(%)=2=-=0,得 X=1,所 以 当 xc(O,l),m(x)0,m(x)单 调 递 增，当 了(1,+8),加(x)0,m(工)单 调 递 减，所 以 2(X)M=21nl 2xl l=_30,.f(x)单 调 递 增，当 xe(e,)，f(x)0,单 调 递 减，所 以，(x)max=/(e)=等=：，又 x)=时，x=l,且 则 可 得 x)的 大 致 图 象 如 下:y=ox+2 p，y=ox+2p1e根 据 上 述 结 论 结 合 函

37、 数 图 象 可 知 当 aNO时，直 线 y=ox+2与 曲 线 y=/(x)无 交 点，当。0时，直 线 y=ox+2与 曲 线 y=/(x)总 有 交 点，从 而 要 使 对 于 任 意 x 0,R),不 等 式/(“6 0)的 离 心 率 6=，短 轴 长 为 2.(1)求 椭 圆 W的 标 准 方 程；设 A 为 椭 圆 W的 右 顶 点，C,。是 y 轴 上 关 于 X轴 对 称 的 两 点，直 线 A C与 椭 圆 W 的 另 一 个 交 点 为 B,点 E为 A 8中 点，点”在 直 线 AO上 且 满 足 C J_O E(。为 坐 标 原 点)，记 AC。的 S 3面 积 分

38、 别 为 耳，邑，若 苦=去，求 直 线 A 8的 斜 率.J,【答 案】三+产=14(2)=1【分 析】(1)列 方 程 组 解 得。、b、。的 值 即 可.(2)设 出 直 线 A 8的 方 程，可 得 直 线 4。的 方 程、点。的 坐 标、点。的 坐 标，联 立 直 线 AB方 程 与 椭 圆 方 程 可 得 点 8 的 坐 标、点 E的 坐 标，由 C H L O E可 得 直 线 C 的 方 程，联 立 直 线 C 的 方 程 与 直 线 A O的 方 程 可 得 点”的 坐 标，由 各 点 的 坐 标 可 求 得|A B|、|A H|、|A C|、|A O|,代 入 面 积 之

39、比 方 程 中 可 得 结 果.【详 解】(1)c Ge=a 22b=2=a2=b2 c2a=2b=c=G2椭 圆 卬 的 标 准 方 程 为(2)如 图 所 示,由(1)知，4(2,0),由 题 意 知，直 线 AB的 斜 率 存 在 且 不 为 0,所 以 设 的：y=k(x-2),则 儿：y=-k(x-2),设 8(X2,%),令 x=0,分 别 代 入 直 线 AB的 方 程 与 直 线 A。的 方 程 可 得：C(0,-2Z),0(0,2%),y=k(x-2)x2,=(4 比 2+1)2-16/2_r+16 左 2 4=0+y=14-A=(16/-4(4/+1)(16/-4)0c 1

40、 6-16fc2-42+x,=；，2X7=-；-2 4k2+1-4k2+18k2-2 三 即:B(弘 2-2-4k)4k2+14 k2+I AB|=V 1 7 F 1 2-x,|=g F|2-第 1|=4/+1 4H+1Xk2-2k 4 B 的 中 点 E 的 坐 标 为：成 二 4攵+1 4K+1 k=_,E 4A又,:CH LOE*cH=-1k，cH=4k/.lCH：y+2k=4kx,y+2k=4fccy=-k(x-2)4x 5 An q/6 k、6 k 即：”号 7，=T I AH|=y/l+J k f|2-1|=叱-.S.回?阻 A lsin，|同 刖 l l A H I.=g|A C

41、|A O|sin N E A 一|4 a iA 酬 一 M C IM O I 一 行.A B A H=6A C A D 25又 J，|ACR AD=J+4k2=21+44J1+I?6/1+公，4，+l x 5=6=625/i7Fx2/17V-5(4+l)2 5*k?=1 f 二 k=l2 1.己 知 无 穷 数 列 q 满 足：4=0,a2=l,且 当“2 3时，总 存 在 i e l,2,_ q+q+i+-an-：n i 求 4 的 所 有 可 能 值；求。2 0 2 3的 所 有 可 能 值 中 的 最 大 值；求 证：当 之 3时，an+i-an-.n1 2 3【答 案】(1)1，5，W

42、，T,2 3 4(2)1 证 明 见 解 析【详 解】(1)(1)由 题 意 4=0,%=1，故%=1或 义，当 3=1 时，%=1 或；当 4=:时,%=；或.所 以 的 所 有 可 能 值 为 1,1 2 43.(2)构 造：当 4=0,%=4=%0 2 3=1时，符 合 题 设 条 件，可 以 取 到.下 面 证 明：V n 3,均 有 4 41恒 成 立.,使 得（反 证 法）假 设 存 在 为 之 3,使 得 4 1,不 妨 设 4 是 首 个 大 于 1的 项,则 对 于 任 意 的 都 有【注：用 数 学 归 纳 法 证 明 也 可 以】cij+a；.+a”所 以+则，2,故 对

43、 于 任 意 ie 1,2,%-1,都 有 一 二 二 询，这 与 已 知 条 件 矛 盾，所 以 牝 的 最 大 值%一 为 1.(3)【所 证 结 论 需 要 将 和。“放 缩，所 以 要 确 定 勺 的 上 下 界，通 过 枚 举 探 究 猜 到.】首 先 证 明 引 理：Y k N 3,均 有 4+%+.7 4%4 a2+%+:+。1.【用 归 纳 法】当 女=3 时;k-k-2%=1 或 引 理 成 立.假 设 对 于 k=3,4,，-*+%+；+v 4%+%+：+已 成 立，k-1 k-2下 证 k=(24)时，有 6+生+/、见 4%+%+%(*)n n 2由,定 义 知：存 在

44、 於 1,2,-1,使 得(=4+一.若 i=l,2,则(*)式 显 然 成 立.若 3 4”“-1,先 证(*)式 左 边 一 半，则 只 需 证 明 4+“川+牝 7 2 4+%+a,i九 一 I n-(n-l)(a,+l+_)(-/)(,+2+-+a-i)o G-l)(a,+a；+i H-Ha,.,)(n-0(i+ai-)=q+4+i+*+(*)n-i i-1根 据 归 纳 假 设，对 于=3,4,均 有 4 2%+：+K-1所 以 q 2 4+%+；+%,I-11+0 2+4-1所 以+%+%+4 4+%+,+%+口 _ q+%+。”1ai+；-；一；所 以*4+/+:+4+%+%+%

45、+I-._2-1 I-1i+1+4!-F%,Z-1依 此 类 推，可 得%,4，”T中 每 一 项 都 大 于 等 于 4+%,+：+4所 以,4”，4“T 的 平 均 数 也 大 于 等 于 勾+生+：+一，故（*）式 成 立.-1再 证（*）式 右 边 一 半，同 理 只 需 证 卷+一 4/+%+4-n i n 2即 证 4+4+4 i 4 叼+的+a-（*）,根 据 归 纳 假 设 可 得 4 4%+/+n i i 2 i 2 7+&+,+C l-i匚 匚、.出+/+,+4+一 明 以“C l：,I A.a2+a,+-+ai_l+ai-3-z_2 _ 4+“3+4-i，工 一 i-i-i-2%+%+0+4+%+2.+见+F C l：.氏+&H-F C l；%+%+a1+2-十 二-_ i-2 i-2_%十%-nq+出+%T_-ann n/-“-2-+-%-+-+-%-2-+-“-3-+-+-%-n n n 21 z 1=-7-（a2+3+-+_l）一 一 n（n-2）n最 后 一 步 放 缩，利 用 q 4 L