2023届上海市高三上学期9月月考数学试题（解析版）.pdf

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1、2023届上海市控江中学高三上学期9月月考数学试题一、单选题1 .已知实数a,6满足a b,则下列不等式中恒成立的是()A.a2 b2 B.-g|D.2 2 a h【答案】D【分析】对于A,B,C通过举反例进行判断即可，对于D,由指数函数的性质判断即可【详解】解：对于A,当a =l,=-2时，a2=l，=一:，所以B错误，a h 2对于C,当 =1力=一2时，|a|=l b,所以2 2，所以D正确，故选：D2 .角a的终边落在区间(-3%,-罟)内，则角a所在的象限是()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【分析】找到-3，-当 终边所在的位置，即可求解.【详解】-3

2、万的终边在x轴的非正半轴上，-半 的 终 边 在y轴的非正半轴上，故角a为第三象限角，故选：C3 .已知函数/(x)=x+?a 0),0 x,&恒 成 立；外26-占)0)的性质判断即可.X【详解】对于，因为。%0),于是玉 玉(一七)(玉毛-a)=0,因为王2=26,于是5；&,所以对；对于，因为0 公 0)的性质得,X0 X j a x2,由知因为“X)在(6,y)上单调递增，所以/(2 6-4)/(当)，所以对.故选：Al o g,(1 -x),?-xn24.已知函数x)=5 的值域是 T，l ,有下列结论：当2 2 T-3,?nxl时，x-1 0,f (x)=2 2-X+，-3=2 3

3、-X-3,单调递减，当-1 X 1 时，/(x)=22+x-7-3=21+x-3,单调递增，二X)=2 2卡T 3 在(-1,1)单调递增，在(1,+8)单调递减,.当x=l 时，取最大值为1,:,绘出 X)=2 2 T T _ 3 的图象,如图下方曲线：log、(1-x)-1 4 x 4 0当=0 时，f (x)=,22-H I-3 0 xm由函数图象可知：要使/(x)的值域是-1,1 ,则 加(1,2 ；故错误；当 =g 时，f(x)=/o g;(l-X),f(X)在-1,单调递增，/(X)的最大值为1,最小值为-1,；故正确；当“e ，；)时，尼 口，2;故正确，错误,故选：C.【点睛】

4、本题考查函数的性质，分段函数的图象，考查指数函数的性质，函数的单调性及最值，考查计算能力，属于难题.二、填空题5.集合 A=1,2,3,4,8=X|(X_D(X_5)0 ,则 AA8=.【答案】2,3,4【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合3,结合交集的定义和运算即可求解.【详解】由题意知，8=目(x-l)(x-5)0=即 x 1的解集是.【答案】(TO,0)U(2,F)【详解】l|lo x 2.即答案为(9,0)=(2,w).8.已知x0,y0,2x+y=,则犯的最大值是.【答案】O【分析】直接根据基本不等式求最值.【详解】解：V x0,y0,2x+y=l,.孙=1 2 人(2 4=1,

5、2-2 4 8当且仅当2x=y=；时等号成立，故答案为：O【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，要注意等号成立的条件，属于基础题.9.已知二元线 性 方 程 组，；有无穷多解，则实数。=_ _ _ _ _ _ _ _4x+a y=a【答案】-2【分析】若二元线性方程组有无穷多解，则两个方程对应系数必成比例.【详解】方程组有无穷多解，直线2x+2y=-l和直线4x+a2y=a重合，即两个直线方程对应系数必成比例；.亭2 彳2=1，解得a=-2：4 a-a故答案为：-2.1 0.若函数/(x)=Iog2(2+l)+区是偶函数，贝必=.【答案】31【详解】由题可知，有/(T)=/。)，则log2i-

6、%=log23+Z,得”=-万.代入检验满足题意.11.把5sina+l2cosa化成4sin(a+g)(A0，e e(0,27T)的形式，则常数。的值为【答案】a r ct a n y【分析】根据辅助角公式可得5 s ina +1 2 co s a =1 3 s in(a +e),其中t a n*=不 进而求出处.【详解】由题意知，5 s in a +1 2 co sa=/52+1 22 s in(+p)=1 3 s in(a +1 2 一 1 2其中 t a n“=M，所以夕=a r ct a n .故答案为：a r ct a n y.2-1(x 4 0)1 2 .设函数 x)=.若/伉)

7、1,则%的取值范围是_ _ _ _ _.x2(x 0)【答案】(1)5 1,收)【分析】根据分段函数的解析式，利用分段条件分类讨论，列出不等式，结合指数函数与幕函数的性质，即可求解.2 1(x 4 0)【详解】由题意，函数/)=I ，且/(玉)1,(x 0)当玉)4 0 时，令即2 f 2,解得x()0 时，令#1，即 寓 1,解得%1,综上可得，实数与的取值范围是(,-1)口(1,内).故答案为：(r e,-1)=(1,+).1 3 .设a e R,若函数y=x)是定义在R上的奇函数，且当x 0 时，/(x)=a(x-l)+l,若 y=/(x)是R上的单调增函数，则 取值范围为.【答案】(0

8、 5【分析】根据函数的奇偶性求出函数解析式，结合分段函数的单调性即可求解.【详解】因为函数/(X)为 R上的奇函数，所以/(X)图象关于原点对称，且 0)=0,当。=0 时，/(x)=l 在(0,+8)上不是单调增函数，故。/0；当 x 0 时，/(x)=a(x-Y)+l=ax+l-a,当x 0 ,P J i J f(-x)=-ax+l-a,得 f M =-f(-x)=ax+a-1,即当0 时 fx=cix+a-,6 L X +6F-l,X 0 _ ,a0因为函数/(X)在 R 上单调递增，所以，八，解得0 a 4 1；a-1 1-0 恒成立，则实数a 的取值范围为【答案】(-；，4)【分析】

9、对 X 0-3,1,f(x)0 恒成立，需讨论对称轴与区间-3,1的位置关系，确定出最小值建立不等式，解之即可.【详解】.,(x)=X2+2(a-2)x+4,对称轴x=-(a-2),对 x -3,1,f(x)0 恒成立，讨论对称轴与区间-3,1的位置关系得：卜(2)一 3 1-3 -(-2)1/(-3)0-乂 A 0,解得aG e 或 lWaV4或-y a l,；.a 的取值范围为(-；,4)【点睛】二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取到；常见题型有：(1)轴固定区间也固定；(2)轴动(轴含参数)，区间固定；(3)轴固定，区间动(区间含参数).找最值

10、的关键是：(1)图象的开口方向；(2)对称轴与区间的位置关系；(3)结合图象及单调性确定函数最值.15.设x 是第二象限角，且满足cos土 +sin土 =-好，则sin；-cos；=_.2 2 2 2 2【答案】32【分析】根据X是第二象限角，得到%+f ；b r+g,A e Z,再由cos 土+sin 2 =一 4 2 2 2 2 2平方求解.【详解】解：因为x 是第二象限角，B J 2k+x 2kji+7r,keZ,则%+工 V 土 4 乃+工，Z,4 2 2当上为偶数时，co s-s in-,2 2 2 2由 co s +s in =平方得2 2 2co s x+s i.nX =co s

11、 +2 co s x s i.n x +s.m 2 x=5,2 2)2 2 2 2 4即 2 co s -s in=,2 2 4所以x xs in co s =2 2故答案为：士日1 6.已知函数x)=c o s x,若对任意实数小 x、,方程+(七)|=加(m e R)有解，方程(%)|-|/()-%)|=”(/?)也有解，则帆+”的 值 的 集 合 为,【答案】2【分析】根据题意，不妨设c o s 玉4 c o s 与，分类讨论当c o s xNc o s x?,c o s x c o s x,C OSX|:0$乂 8$三种情况下，结合方程有解以及余弦函数的图象和性质，从而求出机和的值，即

12、可得出，7?+”的值的集合.【详解】解：由题可知.f(x)=c o s x,不妨设C OS为4 c o s，对于机，对任意实数4，%2,方 程(x)-/(x,)|+|/(x)-/(w)|=?5 e R)有解，当C OSX 2 c o s 时，方程可化为机=2 c o s x-(C OS玉+C OSW)有解，所以，NC OS%-c o s%恒成立，所以加2 2；当C OSX$C OSX 时，同上;当 C OSX c o s x c o s%2 时,方程可化为 Z =c o s%2 -C OSX 有解，所以机 w 0,2 ,综上得：m =2 对于，对任意实数与，巧，方程)|=(幻也有解,当c o

13、s x2 c o s X 2 时，方程可化为 =C OSX 2-C OSX|有解，所以 e 0,2 ；当C OSX W C OSX 时，同上；当c o s%v c o s xc c o s/时、方程可化为 =2 c o s x-(C OSW +C OSX )有解，所以c o s%-c o s/v c o s%2-c o s%恒成立，所以 =0,所以?+”的值的集合为 2 .故答案为：2 .【点睛】关键点点睛：本题考查函数与方程的综合问题，考查余弦函数的图象和性质，通过设C OSX|W c o s%,以及分类讨论C OSX 与C OSX|,C OSX 2 的大小情况，并将方程有解转化为恒成立问题

14、是解题的关键，考查学生的分类讨论思想和逻辑分析能力.三、解答题1 7 .已知常数函数=(1)若“=石，解关于x 的不等式/(X)0 可得f(x)=g(r)=f+3，结合题设不等式，解一元二t次不等式并利用指数函数的性质求解集.(2)利用对勾函数、指数函数的单调性判断了(幻的单调增区间，结合已知得I o g 3 4 3 即可求。的取值范围.3【详解】(1)由题设，/(x)=3r+3 -令 f =3，0,则/(x)=g(t)=f +,A /(x)4,即 g(f)=f+4,整理得一所+30,解得 1 1 3./即0 x l,故/(x)0，则/(x)=g(f)=f +幺，又 awR,t.八(0,0上

15、g(f)递 减,-3+0 0)上 g Q)递增，又f =3,为增函数,l o g/.+s)上f(x)为增函数，要使f(x)在 3,+8)上为增函数，.l o g 3 a 43,可得 0 0 且工3 时，a+2b=-3 1用-2=-耳，当=2时取等号,3当0,所以 7(x)=6 0 x +IS。2 7 6 0 x 1 5 0 0 0 0 0 0 =6 0 0 0 0,I 5000000当且仅当6 0 x=,即x =5(X)时，取等号；x所以每次需订购5 0 0 吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为6 0 0 0 0.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可求解，属于常

16、考题型.2 0.定义区间(，,)、卜 ,、(加,、加,)以长度均为 一加，已 知 不 等 式 2 1 的解集为A.(1)求 A的长度；(2)函数/(力=9 您 二 (eR,a x O)的定义域与值域都是“，(”?)，求区间卜 ,的最大长度；【答案】(1)7；述.3【分析】根据分式不等式的解法求出集合A,结合题意给的定义即可求解:f(m)=m化简函数/(X),研究/(X)的单调性，可 得 、，即机、是方程/()=/(X)=X的同号互异的实根，利用韦达定理和判别式得出机、附的关系，即可求解.【详解】J-1 0 0,6-x 6 x o-xx +即-0 (x +l)(x-6)0 ,解得一1 Wx 6,

17、x-6所以A=H-1 4X M,得 m,n c(-c o,0)U(0,+0,即 =(+。)2 4/0 ,解得a v 3或,则 n-m =(几+m)2-4 =-3 =A/-3(-)2+3 ,V a a a 3 3当即a =3时，一 机 取 到 最 大 值 侦，a 3 3所以区间 m,n的 最 大 长 度 为 也.32 1.设函数“X)在 1,y)上有定义，实数。和匕满足1 4 a 江若x)在区间(a,目上不存在最小值，则称/(x)在区间(。,句上具有性质P.(1)当/(力=/+小，且“X)在区间(1,2 上具有性质P,求常数C的取值范围；(2)已知x+l)=/(x)+l(x 2 1),且当 1

18、4 x /(x).【答案】(1)C -2；(2)具有性质p；(3)证明见解析.【分析】(1)由对称轴x=-41可得；(2)求出/(x)在1,4J上的函数解析式，判断出函数在口,2),2,3),3,4)上后一个区间上的函数值都比前一个区间上的函数值大，从而函数最小值(如果有)只能在第一个区间口,2)上取得，但在工2)上函数无最小值，因此可得出结论；(3)由绝对值的性质知/()-/(x)/(x)-/(n+l)Or即/(x)夹在/和八+1)之间,如果/()N/(x)2 f(+l),则果x)在 5,+1上有最小值,不具有性质产,与已知矛盾,从而只能是/()/*)2时，/是最小值，只有当-1 4 1,即

19、C N-2时，/(x)在(1,2是递增，无最小值；(2)xe2,3)时，x-le l,2),/(x)=l-(x-l)+l=3-x,同理xe3,4)时，/(x)=5-x,4)=3)+l=3,1 -x,1 x 23-x,2 x 3即/(x)=.易知当xe(l,4时，/(4)是最大值，而对任意的司 口,2),5-x,34x 43,x=4Xz e2,3),e 3,4),都有/(芭)/()0,若/5)2/3 之/(+1)成 立,则/(x)在(,+“上有最小值/(+1),不具有性质产，不合题意，所以只有+显然有/，则对任意的x l,则一定存在e N+,使得xe(,+l,则2xe(2,2+2,2nn+,/.f(2x)f(2ri)f(x),即/(2x)f(x).【点睛】本题考查函数的创新题，考查学生的创新意识，考查二次函数的最值、分段函数的值域，对抽象函数问题，要能从条件中发现结论，如/(n)-/(x)/(x)-/(n +l)l 0,然后确定函数值按一定规律在递增，接着本题只要说明x 与2x不在同一个区间(,+1(”7+)上，即能证明结论.