2023中考数学圆中将军饮马.pdf

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1、专 题2 8圆中将军饮马1 .如 图，N 8 是。的直径，48=2，点 C 在0。上,/。8=30。，。为弧8 c 的中点，是直径A B上一动点，则C E+D E最小值为（）【答案】B【分析】作点D关于A B的对称点为。，连接O C ,0D,OD,CD,交 A B 于点、E，则CE+DE的最小值就是CD的长度，根据已知易证/。=90。，然后利用勾股定理进行计算即可解答.【详解】解：作点Q关于A B的 对 称 点 为 连 接。C ,。，交 于 点 E,：,CE+DE=CE+D E=CD,20 8=30。，：.zCOB=2zCAB=60,力为B C 的中点，.C D =DB,.DB=BD,：.CD

2、=DB=D B,:.zCOD=zDOB=zBOD=30,：,zCOD=90,：AB=2,：,OC=OD=,：.CD=VOC2+OD-=Vl2+12=/2,;CE+Z）E 最小值为：V2,故 选：B.【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，轴对称-最短路线问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.2.如 图，是。的直径，A B=S，点 M 在O O 上，的 钻=20 ,N 是弧M 3 的中点,P是直径 N 8 上的一动点.若 MN=2,则APAW周长的最小值为（）【答案】B【分析】依题意作出图形，作 M 关于A B 的对称点M ,连接,则周长的最小值为

3、 P M+N M+P N =PM +N M+P N =M N+MN ,由 N M 4 B =20 ,N 是弧 M 8 的中点，可知N N O B =20。.ZM ON=40。，进而可得 OM7V是等边三角形 进 而 可 得=,结合已知M N =2,即可求得PA/N周长的最小值M N +M N .【详解】作 M 关于A 8 的对称点AT,连接P M；N M，,A N ,MXPMN 周k PM+NM+PN=PM+NM+PN=MN+MN,HWV周长的最小值为M7V+MN,ZM4B=20,N是 弧 的 中 点，:.MN=NB,ZW4B=-ZM4B=10,2:.ZNOB=20,MB=MB,ZMOB=2Z

4、MAB=40,.ZNOM=f)0o,ON=O M,OMN是等边三角形，MN=ON=-AB=4,MN=2,MN+MN=4+2=6.故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理，弧的中点的性质，等边三角形性质，轴对称求最短距离，正确的作出图形是解题的关键.3.如 图，在扇形8 0 c中，ZBOC=60，点。是BC的中点，点E、尸分别为半径0C,0B上的动点.若。8 =2，则D E尸周长的最小值为（）A.2 B.2 6 C.4 D.4 G【答案】B【分析】连接0 D，分别作。点关于OB、0 C的对称点历、N，连接。例、ON,M N,M N交于 厂,交0 C于E,交。于尸，如 图，利用E=EN,=得到ADEF

5、的周长=M N,根据两点之间线段最短可判断此时ADE尸的周长最小，接着证明ZMCW=120。，O M =O N =2,然后计算出M N即 可.【详解】解：连接，分别作。点关于OB、O C的对称点M、N，连接QM、ON,M N ,M N交O M于5，交0 C于E,交0 D于P,E D=EN,F M =FB,:.SDEF-=ED+EF+FD=EN+EF+FM =M N ,，此时ADF的周长最小，点。是BC的中点，NBOD=NCOD=-ZBOC=302，点与。点关于OB对 称，:.ZM OB=ZBOD=3CP,O M =OD=2,同理得 NMN=NGOD=30,ON=OD =2,Z M O N =1

6、 20 ,O M=O N =2,而/M O P=60。,：.O P 1 M N ,N O M N =N O N M =30P,PM=PN,在 RtAOPM 中，OP=O M =,:.PM =6 O P =6 ,:.M N=2PM =2如,.ADE下周长的最小值为26.故 选：8.【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了圆心角、弧、弦的关系和最短路径问题.4.如 图，动点M在边长为2的正方形ABCD内，且，?是CO边上的一个动点，E是A。边的中点，则线段PE+R W的最小值为（）A.V io-l B.72+1 C.M D.

7、#）+1【答案】A【分析】作点E关于D C的对称点E，,设A B的中点为点O,连接OE，,交D C于点P,连接PE,由轴对称的性质及90。的圆周角所对的弦是直径，可知线段PE+PM的最小值为OE，的值减去以A B为直径的圆的半径O M,根据正方形的性质及勾股定理计算即可.【详解】解 答：解：作点E 关于DC的对称点E 1 设 A B的中点为点0 ,连接OE，,交 DC于点P,连 接 PE,如 图：,.动点M 在边长为2 的正方形ABCD内，且 AMBM,.点M 在以A B为直径的圆上，OM=A B=1 ,.正方形ABCD的边长为2,AD=AB=2,zDAB=90,：E 是 A D 的中点，.-

8、.DE=yA D=yx2=1 ,.点 E 与点日关于DC对 称,.DE=DE=1 ,PE=PE*,/.AE=AD+DEr=2+1 =3,在 RsA O E，中,OE=AE+AO2=732+l2=M,二线段PE+PM 的最小值为:PE+PM=PE+PM=ME=OE-OM=Vio-i.故 选：A.【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题、圆周角定理的推论、正方形的性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.5.如 图，A 3是半圆。的直径，AB=4,点C,。在半圆上，O C L A B ,BD =2CD,点尸是0 C 上的一个动点，则 8P+Q P的最小值为（）A.2A/3

9、B.2A/2 C.2 D.36【答案】A【分析】连接AD与 O C相交于点P,连接BD QD,则由垂直平分线的性质，得至ljAP=BP,则 8P+O P的最小值为A D 的长度，由圆周角定理得到NBOD=60。，即可求出的长度.【详解】解：连接AD与 O C相交于点P,连 接 BD,0D,如 图：O C V A B,点。是 A B的中点，.0C 垂直平分AB,-.AP=BP,.8P+Z)P的最小值为AD的长度；：AB 为直径,则/ADB=90,.BOC=90,B D =2CD,.zBOD=60,.AOBD是等边三角形，;.BD=OB=；48=2,.A D 2-=273；.8P+O P的最小值为

10、2 6 ；故 选：A.【点睛】本题考查了圆周角定理，垂直平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确求出BD的长度.第I I卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题6.如 图，8 是。的直径，点/是半圆上的三等分点，8 是弧/的中点，P 点为直线。上的一个动点，当 8=6 时，/P+B P的 最 小 值 为.【答案】3 0 .【分析】如 图，设/是/关 于 C。的对称点，连接4 8，与 CQ的交点即为点P.此时必+尸8=4 8 是最小值，可 证 是 等 腰 直 角 三 角 形，从而得出结果.【详解】解：作 点/关 于C D的对称点A,

11、连接A B，交 C D 于点P,则PA+PB最 小，连接 OH,AA.二点/与4 关于CQ对 称，点月是半圆上的一个三等分点，：,zA 0D=zAOD=60 ,PA=PA,.点8 是弧力。的中点，.zBOD=30 ,:.zA OB=zA OD+zBOD=90,又 Q=O 4=3,:A B-3 0.:.PA+PB=PA+PB=A B=3 yf2.故答案为：3亚.【点睛】本题考查了轴对称最短线段问题以及垂径定理和勾股定理等知识，由轴对称的性质正确确定P 点的位置是解题的关键.7.如 图,AB、CD是半径为5 的。的两条弦，45=8,C D =6,MN 是直径,AB M N于点、E,CD M N于点

12、F,P 为 E F 上的任意一点，则 为+P C的 最 小 值 为.【答案】7亚【分析】连接O B、O C ,作 CH1 AB三 角 形 中 求 出B C即可得到答案.【详解】解：如 图，用勾股定理算得EF=OE+OF=7,CH=7,在直角连接 O/、O B、O C,作 C a B 于 H .根据垂径定理，得到BE=AB=4,C F=1 C D=3 ,-OE=sjoB2-B E2=A/52-42=3,0F=yJoC2-C F2=yj52-32=4,：,CH=OE+OF=3+4=1 ,BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7,在 直 角 中 根 据 勾 股 定 理 得 到8 c=7夜,则 以+P

13、 C的最小值为7a .故答案为：7及.【点睛】此题考查了圆的垂径定理，圆中最短路径问题以及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键.8.如图，0。的直径4 8 =1 6，半径O C _ L A B ,后为0。的中点，D E LO C，交。于点。，过点。作。尸L A B于 点/若P为 直 径 上 一 动 点，则尸C+P。的最小值为 .【答案】88【分析】延 长C O交。于G ,连接G O交力8于尸，根据两点之间线段最短可知P C+P D的最小值为G D ,由勾股定理分别求得Q E、D G即可解答.【详解】解：延长C。交0。于G ,连接G。交 于 尸，则P C+P D的最小值为G D ,连

14、接,贝 ij OD=OG=OC=AB=8,I E 为 O C的中点，:.OE=OC=4,.,.EG=4+8=12,：DELOC,.在火也OEZ)中,DE=ylo _ 0 f=相-4-3，线段B C的长等于J B-3 .（）如 图，连接力点和B点上一格再左两格的格点E,交。于D,找到B点关于。/（的对称点8,连接夕。交。/于？，则点力，P即为所求.连接8。交。4于尸，点。、尸即为所 求，根据格点的特点，AELOB,：OA=OD,:,zDOB=zAOB,在.O B D和 0 8A中0 D =0A A C-A M-Q C,再根据轴对称的性质和勾股定理求出/C ,0 C 的长度即可求出PM+PN 的最

15、小值【详解】解：如下图所示：在平面直角坐标系中作出8 关于x 轴 对 称 的 圆 C,并作出点N 关于x 轴的对称点点。，并连接尸，-c是半径为3的8关于X轴对称的圆，且3(3,4),.C(3 T),0 c=3.点。是点N关于x轴的对称点，:.PQ=PN.:.PM+PN=PM+PQ.根据图示可以看出4 M +P M +P Q +Q C 2 A C .；,PM+P Q A C-A M-Q C,gp PM+PN A C-A M-Q C .：A(-2,3),A的半径是1,AC=J(-2-3)2+3-(-4)2=V74,AM=.：.A C-A M-Q C =y/14-4.:.PM+PNN 屈-4 .故

16、答案为：/74-4.【点睛】本题考查了轴对称的综合问题，圆的性质，两点之间，线段最短，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键.三、解答题15.如 图，A 8 是圆。的直径，AB =6,。是半圆A8上的一点，C 是弧8。的中点.(1)若/45。=30 ,求B C 的长和由弦8 c、8。和弧C D 围成的图形面积；(2)若弧A O 的度数是120 度，在半径。8 上是否存在点P,使得尸C+P Q 的值最小，如果存 在，请在备用图中面出P 的位置，并求产C+尸。的最小值，如果不存在，请说明理由.【答案】(1 )y;(2)存 在，画图见解析，厮 工【分析】(1 )先根据题意得出8 平行于A8,然后把要

17、求的面积通过平行线夹的三角形面积相等转化为扇形。O C 的面积，即可得到答案，利用等边三角形的性质即可求出8C;(2)首先根据轴对称性得出尸的位置，然后利用已知120 度和等弧所对的圆心角相等得出角 度，最后构造直角三角形求解.【详解】解：(1 )如 图 1 ,连接。，CO,C D ,.Z A B D =30 ,.AAOD=60 ,ZDOB=180-ZAOD=120,C 是 弧 的 中 点，:.4DOC=/COB=8)。,O C =O D ,O C =O B ,;.NOCD=/O D C =60。,BC=OC=OB=3,:.ZDCOZ.COB,.DC/AB,S M)CB=SDOC 所求面积=s

18、崩 形0 cn/rr2 60 乃 3?图1(2)如图2.点P即为所求；连接0。,OC,4 0 0 =120。，/.ZDOB=60,C为弧BD的中点，:.DOC=ACOB=3(T,过点。作C7V_LAB,13 CN=-OC=-,2 2 ON=VOC2-CN2=30ON=-joC2-CN1=g2O D O C ,DHO=ZCPO=90P,NODH=ZCOP,.-.AOO/SAOCP,:.DH=DH=ON=-y3 OH=CN=-22，N H=O N-O H=-y/3-2 2 CM NH=-3-2 2 DM=DH+MH=DH+M H=-j3+,.,.PC+TY)的最小值为 CD=JCM2+MD=g J

19、 +3.D图2【点睛】本题考查了圆的综合知识和轴对称的相关知识(将军驿马问题),充分利用转化思想和熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键.16.问题情境：如 图1 ,P是0。外的一点，直线P O分别交。O于点/,8,则P A是点P到。上的点的最短距离.(1)探究证明：如图2,在。上任取一点C(不与点4,8重 合)，连接PC,OC.求 证：P A P C .(2)直接应用：如图3，在RtzUBC中，zACB=90 ,AC=B C=3，以8 c为直径的半圆交于。，P是弧8 上的一个动点，连接/P,则A P的最小值是.(3)构造运用：如图4,在边长为2的菱形中，)=60。，”是工。边的中点，是边

20、上一动点，将/MN沿 所 在 的 直 线 翻 折 得 到/用N,连接4 8 ,则小8长度的最小值为.(4)综合应用：如图5,平面直角坐标系中，分别以点/(一2,3),8(4,5)为圆心，以1 ,2为半径作。/,Q B,M,N分别是0 4,上的动点，P为x轴上的动点，直接写出尸M+P N的最小值为图5【答案】(1 )见解析；(2)安-T；(3)6 1 ；(4)7.【分析】(1 )根据题意可知在 PO C中，根据“三角形两边之差小于第三边”可求证；(2 )由题意先连接OA交。O 于点尸，然后根据勾股定理求得OA,进而求得AP;(3)由题意可知4 的轨迹是以为圆心，半径是1的 圆，故 连 接 求 得

21、 8 W,进而求得 4 8 的最小值;(4 )根据题意作点A关于x 轴的对称点C,连接C 8交 x 轴于点。，求出8 C 的 长，进而求得 PM+PN得最小值.【详解】解：(1 )证 明：如 图 1 ,图1：PO.OCPC,(AP+OA).OCPC,:OA=OC,:APPC;(2 )如图2,图2连接OA角半。于尸，则AP最 小，在 RtzUOC 中，OA=OC2+AC23石:AP-OA-OP=拽,2 2故答案为：主叵-3；2 2(3)如图3,连接BM,交。M(半径是1 )于 4 ,四边形48C Q 是菱形，：4B=AD,：zBAM=60,是等边三角形，M 是 4。的中点,：,zAMB=90 ,;.BM=A B-sm60=出,：4 B =73-1；故 答 案 为：73-1；(4)如 图4,作 点A关于x轴的对称点C,连 接2 C ,交 于 点N ,交x轴于点P,连 接P A交。/于M ,：.PA=PC,：.PA+PB=PC+PB=BC,.C(-2,-3),5(4,5),：.BC=(4+21+(5+3)2=J。，：.PM+PN=PA+PBAM.BN=10-1.2=7,故 答 案 为：7.【点睛】本题考查轴对称性质和圆的定义以及勾股定理和三角形三边关系等知识，解决问题的关键是熟悉“将军饮马”模 型.