2021-2022学年上海市嘉定区高二年级上册学期期末数学试题含答案.pdf

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1、2021-2022学年上海市嘉定区第一中学高二上学期期末数学试题一、填空题1 .从.234中 随 机 选 取 一 个 数 为 从，2,3 中随机选取一个数为6,贝 卜 ,的 概 率 是.2【答案】4#o.2 5【分析】首先根据题意用列举法写出全部基本事件，再利用古典概型公式求解即可.【详解】从 I 2：4 中随机选取一个数为a,从/2,3 中随机选取一个数为b,共 有:（L I）,（1，2）,（L 3）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（4），0,2）,（4,3）,共 2个基本事件，则加有0,2）,（L 3）,（2,3）,共有3个基本事件，3_所以八的概

2、率为五一&故答案为：42 .正方体中，E,尸 分 别 为 的 中 点，则E尸与面4G。所成的角是：【答案】3 0【分析】作出线面角，根据等比三角形的性质求出线面角的大小.【详解】由于瓦尸分 别 是 的 中 点，所以E/4 8,直线叱 和平面4G。所成的角的大小等于直线M B和平面4G C4所成的角.根据正方体的几何性质可知80工平面4G。，所以即直线48和平面4G。所成的角在等边三角形480中，o是8。的中点，故N O 4 8 =1 x 6（r =3 0。所以 2【点睛】本小题主要考查线面角的大小的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.3.已知三角棱O-48C,N 分别是对边CM,

3、8 c 的中点，点 G 在上，旦M N=2G N,设0/=，OB=b t OC-c,则 OG-(用基底(工，%,O表示)(a+h+c)【答案】4OG=-(OM+ON)【分析】画出几何体图形，根据条件知G 为 A/N的中点，连接0 N,从而可得 2根据M,N是OA,8 c 的中点即可用a l，。表示出 行.【详解】如上图，点 G 在上，豆MN=2GN,.G为 MN的中点，连接O N,且 M,N 分别是对边OZ,8 C 的中点，贝 lj：=-(0M+ON)=(OA+OB+O C)(a +b+c)一(Q+6+C)故答案为：4 .4 .如图，在正方体/88-44G 2中，加是G C的中点。是 底 面

4、的 中 心，尸是4瓦上的任意点,则直线8/与OP所成的角为.【答案】9 0【分析】本题考查异面直线所成的角，涉及线面垂直的判定与性质，关键是找到OP所在的某个平面,利用正方体的结构特征和线面垂直的判定定理证明直线8M与此平面垂直.【详解】如图，取A D,B C的中点分别为瓦凡连接EF,F BhEAh易得R t A B F B 三 RtK M B，:.B MLB F,B C C 0,；.EF L平面 B CC/B i,B M u平面 B CCi B i,：.EF LB M,又.7 S8/F=F,；.8/W 1平面 A 8 F E,又O P u平面 A j B/F E,B M1OP,.B M与O

5、P所成的角为9 0 ,故答案为：9 0 .5 .已知一组数据4,2 a,3-a,5,7的平均数为4,则这组数的方差是【答案】3.6【分析】先根据这组数据的平均数为4,求得,再利用方差公式求解.【详解】因为一组数据4,2“，3-a,5,7的平均数为4,1(4 +2 a+3-a+5 +7)=4所以5、,，解得”1,所以这组数据为4 2 2,5,7,52=l r(4 -4)2+(2 -4)2+(2 -4)2+(5 -4)2+(7 -4)21 =3.6所 以 这 组 数 据 的 方 差 为5 L I J 故答案为：3.66.己知数列 S”中，则=_.n2 n+2 答案一2-【分析】利用累加法求解即可.

6、详解当 2时，a ，_ n2-n +2所以 二 q +(。2 -4)+(。3 一4 2)+(凡Q -J=1 +1 +2 +(-1)2 ,_ n2-n +2又q=L符合，所以一2 一.7.对于空间三条直线，有下列四个条件：三条直线两两相交且不共点；三条直线两两平行；三条直线共点；有两条直线平行，第三 条 直 线 和 这 两 条 直 线 都 相 交.其 中 使 三 条 直 线 共 面 的 充 分 条 件 有.【答案】【分析】利用三棱柱与三棱锥，可得判定、错误，利用平面的基本性质与推理证明正确结论、正确，即可求解.【详解】由三棱柱的三条侧棱两两平行，可得错误；由三棱锥的三条侧棱，两两相交于一点，可得

7、错误；选项中，如图所示，由题意可设直线机与点”所确定的平面为则再由平面的基本性质，可得直线/、也在&内.选项中，如图所示，由题意可设直线机与直线所确定的平面为a,则点4与点8均在平面a内，则再由平面基本性质，可得直线/也在平面。内，综合可得，正确；故答案为：.8.某单位制作了一个热气球用于广告宣传.己知热气球在第一分钟内能上升30米，以后每分钟上2升的高度都是前一分钟的则该气球上升到70米至少要经过一分钟.【答案】4【分析】设热气球在第”(*)分钟上升的高度为生米，分析可知数列%为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出数列 J的前项和，利用数列M J的单调性可得出?70 邑，由此可得出结果.【

8、详解】设 热 气 球 在 第 分 钟 上 升 的 高 度 为 可 米,则数列 是首项为3 0,公比为？的等比数歹U，30 x 1-.s=L_L A J =90 x 1 _ 2经过分钟，热气球上升的总高度 3米,则数列*单调递增,f 2V 19053=90X 1-=o1 2.已 知 数 列 满 足 2(+!)(+1),若不等式 2 n -恒 成 立，则实数t 的取值范围是【答案】-9,+8)11,1-=(1 =-【分析】根据题意化简得到(+1)与7 叫，利用等差数列的通项公式化简得“(+1),把4 1 (4+)(+1)H +ta 之 0 t N-不等式一 ,转化 恒成立，结合基本不等式，即可求解

9、.%=，=-N)详解由 数 列 满 足 2(+1)(+1)-=1 =2可得(+i),+i n a，且 4,所 以 数 列 表 示 首 项 为 2,公差为1的等差数列，1 1 ,八 1 1-=+1 a=-所以,所 以(+1),4 1 (4+)(+1)子 4-F ta 2 0 f 2-又由 恒成立，即 对w N 恒成立,(4+)(+1)/4 c 4 八 n-=(n H-h 5)一(2 F 5)=9因为 V n,当且仅当=2 时取等号，所以，*-9,即实数，的取值范围是“9,+8).二、单选题1 3.已知加、/是两条不同直线，a、尸是两个不同平面，给出下列说法:若/垂直于内两条相交直线，贝“a；若

10、m u a j u 力且/J_?，则 若l u仇IL a ,则a A；若机u a,/u 且a/p,则/机.其中正确的序号是()A.B.c.D.【答案】A【分析】根据线面垂直的判定定理，面面的位置关系，面面垂直的判定定理及面面平行的性质逐项分析即得.【详解】若/垂直于a内两条相交直线，根据线面垂直的判定易知/a,正确；若机ucJu力且/则见/可能相交或平行，错误由/La,根据面面垂直的判定有a,万，正确；若m ua,/u且/?，贝i j/切或/，?异面都有可能，错误；因此正确命题的序号为.故选：A.1 4.已知正数数列 为等比数列，公比为也又 =b g 2 ”为任意正整数，且数列彷，严格递减，则

11、的取值范围是（）A.（0,1）B.（。，2）C.（0,1）U（1,2）D.5+8）【答案】A【分析】利用数列的单调性及等比数列的定义，结合对数的运算及对数不等式的解法即可求解.l o g,0【详解】因为数列也 严格递减，所以“+心，W 1 0g 2 n+11 0 g2（即 一%,即 l o g?q 0 =l o g,1 ；解得 0 q 1,所以4的取值范围为（，1）.故选:A.1 5.在无穷等比数列 ，中，1里仅+的+“）=5,则%的取值范围是（）（0）（O，；）U（；,1）A.2 B.2 2c.（-1,1）D.（-l,0）U（0,l）【答案】B【分析】根据无穷等比数列的极限存在条件及不等式的

12、性质即可求解._ 1%=1【详解】在无穷等比数列 叫 中，幽-+*=5,得if 5,i,且 勺 叫即q=5（l-g）.Tv”,且0a /因为T 4 Ci u 平面 BC R所以8 0,平面8G A,所以BfRB,同理可知：B E RB,又因为 ACu 平面/c q ,8/u 平面 4cA,BCrBA =B所以R 8 1 平面 用,根据题意可知：RB=6AB=6,ABI=BC=AC=2在,所 以 为 正 三 角 形，所以Z51/4C=60SA C =1X276X2/6X=65/3所以 2 2 设 8 到平面4 4 的距离为A ,因为乙9 =VBt-A B c,所以相 S.A CB j h yS,

13、A CB，B B,所以 S“c k h =SCB-B By.x(2、Jx=2 石 x2 6 x 2&h =2，D、B所 以 4 /2，所以 3 所以h =BN,所以N 即 为 与 平 面”C4的交点，由题意可知：A 8 J.平面“c q,所以M NL PN,P N =还 3,再如下图所示：Ac AO=JCsin 60=276 X =3/2在正三角形C q中，高 2r=-A O =y/2-/8,CD=AB,又 因 为 为 的 中 点，所以E N B M ,E N =BM ,所以四边形8 M NE为平行四边形，所以M N B E,又BE u平面P B C,平面P8 C,所 以 平 面P 8 C.（

14、2）以点/为坐标原点，4 B ,AD,力产所在直线分别为x,J,z轴建立空间直角坐标系.设|P A=A D=2f 则 0(0,2,0),C(2,2,0),P(0,0,2),M(1,0,0),N(0,1,1)丽=(-1,1,1),P C=2,2,-2)；无=(0,2,-2)设平面P C D的法向量为而=(x J，z),m-P C=0 j 2x+2y-2z=0则 丽 P O =0,g p 2y-2z=0,令y =l,贝=(0,1,1)设直线M N与平面P C D所成角为0,sin 回=入=逅则 利 V 3-V 2 3a r c s i n 所以直线 N与平面PC D所成角为 31 8.在某市高三教

15、学质量检测中，全市共有5 00。名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为200。人，非示范性高中参加考试学生人数为3 00。人.现从所有参加考试的学生中随机抽取100人，作检测成绩数据分析.（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）;（2）依据1 00人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分；【答案】（1）见解析；（2）9 2.4【分析】（1）根据总体的差异性选择分层抽样，再结合抽样比计算出非示范性高中和示范性高中所抽取的人数；（2）将每个矩形底边的中点值乘以相应矩形的面积所得结果，再全部相加可得出本次测验全市学生数学成绩的

16、平均分.【详解】（1）由于总体有明显差异的两部分构成，故采用分层抽样，1 00 鸵=4。由题意，从示范性高中抽取 5 000 人，1 00 x 2 2 =6 0从非师范性高中抽取 5 000 人；（2）由频率分布直方图估算样本平均分为（6 0 x 0.005 +8 0 x 0.01 8 +1 00 x 0.02 +1 2 0 x 0.005 +1 4 0 x 0.002）x 2 0=9 2.4推测估计本次检测全市学生数学平均分为9 2.4【点睛】本题考查分层抽样以及计算频率分布直方图中的平均数，着重考查学生对几种抽样方法的理解，以及频率分布直方图中几个样本数字的计算方法，属于基础题.1 9.2

17、 02 0年是充满挑战的一年，但同时也是充满机遇、蓄势待发的一年.突如其来的疫情给世界带来了巨大的冲击与改变，也在客观上使得人们更加重视科技的力量和潜能.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.假设该企业第一年年初有资金5 000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了 5 0%,预计以后每年资金年增长率与第一年相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金”2 5 00）万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第 年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元（1）判断 一 是否为等比数列？并说明理由：（2）若企业每年年底上缴资金，=1 5 00,第”6*）年年底企业的剩余资金超过2 1 0

18、00万元，求m 的最小值.0g 2 =0.3 01 0;l g 3 0.4 7 7 1）【答案】（1）答案见解析；（2）6.3【解析】由 题 意 得 q=5 000（1 +5 0%）7=7 5 00-/,-/（1 +5 0%）-5”-从而得3。向-2 7。”-3、3a-2 t 而当，=2 5 0 0,即 2/=0 时，所 以 也 一为 不是等比数列；a“-3 0 0 0 =3 0 0 0(2)由(I)可知，/3am=3 0 0 0(-)-+3 0 0 0 2 1 0 0 0 -6，由 2，可 得 然后利用可得答案【详解】解：由 题 意 得，.=5 0 0 0(1+5 0%)-/=75 0 0-

19、r,3=。(1 +5 0%)=5%一3a-2t 不 一 3，3当 f 0 时，.可-2，a-2t 23.%一 是以4 -=75 0 0-3/为首项，万为公比的等比数列.当 2500,即。2/=0时，应-2/不是等比数列r4-3 0 0 0 =3 0 0 0 (2)当，=1 5 0 0时，由(1)知，3am=3 0 0 0(-)+3 0 0 0 2 1 0 0 03y 二法一：易知单调递增,即 图 6又*2,/./-1 5 ,m 69二的最小值为6法二:/.m-l o g3 6 =J g 6 =l g 2 +l g 3|g2 I g 3-l g 20.3 0 1 0 +0.4 7710.4 77

20、1-0.3 0 1 00.77810.1 76 1 4.4 2此6,.加的最小值为6.【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合应用问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题：(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.2 0.为了求一个棱长为正的正四面体的体积，某同学设计如下解法.解：构造一个棱长为1 的正方体，如 图 1：则四面体 C4R为棱长是血的正四面体，且有%面体及Cfi傅 通K-

21、匕/-4C与一 -阳Dj-%-51cA=（1）类似此解法，如图2,一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为石，后，M，求此四面体的体积；（2）对棱分别相等的四面体48 8 中，A B =CD,A C =B D,4/）=8C.求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；（3）有 4条长为2的线段和2条长为，的线段，用这6条线段作为棱且长度为，的线段不相邻，构成一个三棱锥，问，为何值时，构成三棱锥体积最大，最大值为多少？麻 0）ab c 0）参考公式：三元均值不等式 3 /及变形 I 3 ）,当且仅当Q=b =C 时取得等号4 73 1 6 石m=-【答案】（1）2；（2）证明见解析；（3）3 时

22、，三棱锥体积有最大值为2 7.【分析】（1）类比已知条件中的解法，构造一个长方体，求出长方体的棱长，在由长方体的体积减去四个三棱锥体积即可得到答案：（2）在四面体48 8 中，由 己 知 可 得 四 面 体 的 四 个 面 为 全等三角形，设长方体的长、宽、高分别为a、b.c,证明A/B C 为锐角三角形，即可证明这个四面体的四个面都是锐角三角形；（3）当 2条长为机的线段不在同一个三角形中，写出三棱锥体积的表达式，利用基本不等式求最【详解】(1)类似地，构造一个长方体/8 8-48 CQ,设从同一个顶点出发的三条棱的 棱 长 分 别 为A D=y”4=z,则有:/+j?=5x2+z2=10y

23、2+z2=13 q/曰,，解得:x =1 A C2=a2+h2,1 (加2 +m 2 +(6 -2/)6A/5一 回 3 J 2 7 f4Gm=-当且仅当=16-2/,即 3 时等号成立.4G 166m-即 3 时，三棱锥体积有最大值为2 7【点睛】（1）求几何体体积的常用的方法有：直接法；等体积法；补形法；向量法:（2）利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等“B P A B2+B C2 A C2,所以 8 为锐角；同理可证：/为 锐 角，C为锐角，所以4 8c为锐角三角形.所以这个四面体的四个面都是锐角三角形.（3）因为长度为小的线段不相邻，所以2条长为用的线段

24、不在同一个三角形中，如图,不妨设 4 D=B C=m,A B=B D=CD=A C=2,取 8 c 的中点 E,连接/E,D E,贝 i j/E 18 C,DELB C,而/E n OE=E,8 UL平面Z E。，则三棱锥的体积r=-3 s A.cmL)scA E=D E =J4-在M E D中，V777 2A D=m,c所以1=一?.2k 式 一 式=o.4 4 24 1 0 1 L m2 m2 L 7 n2 1 /I 2 J,V =S=mj 4-=J 4-=-J m nV 所以 3 包 6 V 2 6 V 2 6 V4“一正”就是各项必须为正数；“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二

25、项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2 1.设数列S 的前 项和为S ，已知qE出-2 S“=1(1)求证：数列 ”为等比数列；%=4+工 若 数 列 也 满足：,2矶.求数列 的通项公式；=4-/7 是否存在正整数小使得日 成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.b二【答案】(1)数列“为等比数列，首项为1,公比为2.(2)n=2也=2【分析】(1)由题设的递推关系式，得 到明(“2 2),即可证得数列也，为等比数列.由

26、知，勺=2 二 化 简 得2%-2 一也=1,则数列电”也 是首项为1,公差为1的b等差数列，即可求得 2”T.r =4-(2 +4)x(l)=2-利用乘公比错位相减法，求得 2 ,进 而 得 到 ，显然当=2时,+2 _ 2 T上式成立，设.一 一7一,由所以数列/()单调递减，进而得到结论.【详解】(1)解：由S，+L2 S,=1,得S“-2 S“T=1(2),-=2两式相减，得1一2 4=0,即(2).幺=2因为 4=1,由(%+%)-2%=1,得%=2,所以,%=2所 以 对 对任意 N*都成立，所以数列%为等比数列，首项为1,公比为2.(2)由 知，a=r ,即2 鼠=2 也+1,即

27、2*同一2f“=1,因为4二L所 以 数 列 是 首 项 为1,公差为1的等差数列.所以 2=l+(-I)x l =，bn=-所以 2-.设 I ,贝产田2仔3旧+一.+叫1，以所T1-2两式相减,一 X=2 一 (+2)x(g)所以7 ,=4-(2 n +4)x|lYb.=4-n由,得4-(2+4)x(；I =4-,t?=2T,即2得显然当 =2时，上式成立,/()=/_ 2 T设 n(“、*),即2)=0.2 (+1)/(+)-/()=因为二2 n+1-2-n+2-0所以数列/G)单调递减，所以及)=0只有唯一解 =2,Yb,=4-所以存在唯一正整数 =2,使得，T 成立.【点睛】点睛：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.