2023届江西省上饶市、景德镇市六校高三上学期10月联考数学（理）试题（解析版）.pdf

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1、2023届江西省上饶市、景德镇市六校高三上学期10月联考数学(理)试题一、单选题1.已知集合y=3,xl,N =x|y=ln(x1),则M Q N=()A.0,3)B.1,3)C.(1,3)D.(0,1【答案】C【分析】分别求出集合M 和 N,取交集即可，一定要注意集合中元素是什么.【详解】集合M=yly=3，,x i中的元素是y,表示函数值y 的范围，易知 y 0,则有x l,，N=(1,”)，所以 M AN=(1,3).故选：C2.著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”，在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函数【答案】D

2、【解析】根据函数为偶函数，排除8,利用导数得到单调性，根据单调性排除A、C,由此可得答案.【详解】令/。)=曾 畀，则”二(T)”l /(x),所以函数/(X)为偶函数，|x|-x|其图象关于y轴对称，故排除B；当x 0时，f(x)=xlnx,fx)=l +Iwc,由/(x)0,得0 x 0,得x ,，e e所以函数/(X)在(0,3上递减，在d,2)上递增，故排除A、C;ee故选：D【点睛】本题考查了根据函数的解析式识别函数的图像，考查了函数的奇偶性，考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础题.f 3x+3,x v 03.已知函数f(x)=一 ，八，则不等式/1)的解集为()e +l,x 0

3、【答案】C【分析】由函数解析式判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；f 3x+3,x 0当x -3x 0+3=3,当0时/(x)=e-*+1 函数单调递减，且/(0)=e 0+1=23 一1,解得“l,2、-1 0”的否定是“V x V l,2*-1 0”D.AABC中.角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则s i n?A s i n?8 是a?的充分不必要条件【答案】B【分析】根据题意可得/(。)=0,求得。，从而可判断A；=1根据某函数的定义及性质可得小从而可求出加，即可判断B；根据全称命题的否定相关知识，即可判断C；直接利用正弦定理边角互化结合充分条件

4、和必要条件的定义即可判断D.【详解】对于A,因为函数f(x)为实数集R上的奇函数，当x N O 时，/(x)=3*-a (a为常 数)，所以/(O)=_ a =O,所以 a =l,则,f(_ l)=二/(1)=_(3_ 1)=_ 2,故 A 错误；对于B,因为幕函数f(x)=(/n2-w-l)-在xe(0,-+w)上单调递减，m m =所 以 心 2时 3 1,2x-l =77/*在区间 1,9 y +1 y+1 2 /U)+l上的值 域 为-；,0 .故选：B.6 .函数x)在(Y O,”O)单调递减，且为奇函数.若f(l)=-l,则满足-lM f(x-2)M l的x的取值范围是()A.-2

5、,2 B.-1,2 C.0,4 D.1,3【答案】D【分析】根据奇函数的性质，并根据函数的单调性求解即可.【详解】由函数/(X)为奇函数，得/(一1)=一/(1)=1,不等式-1 f(x-2)1 即为/(I)/(x-2)l”是“的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】对函数X)=X3 3X进行求导可得到：r(x)=3(V-l)=3(xl)(x+l)从而可得出函数x)=d 3 x在上递增，在递减，在X G(1,4 W)递增，根据函数的单调性可知：当0 1时，有成立，即充分性成立；当“。)/(1)时,。的范围不一定是。1,可 能 即 必 要 性

6、 不 成 立，所以“是 (a)l)”的充分不必要条件.【详解】由题意可得：r(x)=3(x2-l)=3(x-l)(x+l),令尸(x)0解得x l或x1时，有/(a)/成立，即充分性成立；当时，。的范围不一定是。1,可能l a 1”是 的 充 分 不 必 要 条 件故选：A【点睛】本题考查了函数的单调性及充分条件，必要条件的判断，属于一般题.9.若存在使得不等式成立，则实数。的取值范围是()【答案】B【分析】整理可得a 二 在(-L 1 上有解，令f(x)=二，则只需a/(x)min即可,X+l X+1利用导数求得 X)的单调性和最值，即可得答案.【详解】.飞2，-依 匚 在(1 上有解，X+

7、1令/()=匚，xe(-l,l,贝!4/。焉 即可.X+1 -2 e2 (x+l)-e2*e2 (2 x+l)(X+1)(X +1)令/(x)=0,解得 x=-；,.当时，f(x)0,则f(x)为增函数，.当X =-1时，f(x)取得最小值.,!，则实数a的取值范围是(|,+8).故选：B.1 0.已知函数x)=lnx-a(x l)-b-l(aH O,bR),若V x0J(x)40恒成立，则2的最小值是()A.1 +e B.1-e C.l-el D.e-2【答案】B【分析】求导后分析函数的单调性，令 司侬工。，然后设2=构造函数然后求最值.【详解】解：由题意得：fx)=-a当。0,函数/(x)

8、在R上单调递增，无最大值，不符合题意；当a 0时，令/(耳=卜=0,解得x=：,当x e(0,力 时，f x)0,函数x)在(0,：)上单调递增，当X(：,+Oo)时，/(力 0,函数f(x)在,+)上单调递减，所以“X)1mx=U=_ n a _ a g _ l)_/_ l=_lna+a_b_240.令 2=则匕=心，所以-1114+(1_4)4一240,设 e(a)=-lnq+(l 左)a 2,则(pa)=_-+(1-:)若 l-k 0,即 右 ,贝ij(a)o,此时研a)单调递减，符合题意；若&1,由/(a)=0,得。=占，此时。(4濡=皿1一%)-1 4 0,解得Z21 e,所以k的最

9、小值为1-e.故选：B11.已知函数f(x-l)(xwR)是偶函数，且函数/(x)的图像关于点(1,0)对称，当x己一 1,1时,f(x)ax-l,则/(2022)=()A.-1 B.-2 C.0 D.2【答案】A【分析】先由题给条件求得函数/(x)的最小正周期为8,再利用周期、对称轴的性质即可求得/(2022)的值.【详解】根据题意，函数/(x-D(xe R)是偶函数，则函数/(x)的对称轴为x=-l,则有/(x)=/(-2-x),又由函数/(x)的图像关于点(1,0)成中心对称，贝 1/(为=一/(2 幻，则有/(-2-x)=-/(2-x),则/(x+4)=-/(x),则有/(x+8)=-

10、/(x+4 T(x),则函数/(x)是周期为8的周期函数，则/(2 0 2 2)=/(-2 +2 5 3 x 8)=/(-2)=/(0)=-1故选：A.1 2 .函数 x)=c o sx-g o r2,定 义 域 为,用，f(x)有唯一极值点，则实数的取值范 围 为()【答案】A【分析】由已知，根据题意，分别从aN O,1 和TVa VO三种情况借助导数研究函数/(x)的单调性，并判断是否满足题意，然后对应列式求解即可.【详解】由己知，/(x)=c o sx-；ay 2,所以r(x)=-sinx-ar,当a N O 时，因为xe ，所以 sinx0,解得所以实数a的取值范围为1-1,-：).故

11、选：A.二、填空题x+l,xa=e,;xe(2,+o o)时，:(x)=e*-e 0,/(X)在(2,+8)上单调递增,.-./(x)/(2)=e2-2 e e,结合图象可知，幻=6 在(2,+0 0)上 有 1 个实数根.故答案为：11 5.将边长为1 m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形 记s=分=,则S的最小值是【答案【分析】设C D =x(O x l),可求得S=4(37尸43（l-x2）,利用导数法可求得S的最小值.【详解】如图，设C O =x(0 xl),则梯形ABED的周长为x+2(l-x)+l =3 -x,梯形A8ED的面积为:乎一乎2=-(1-2)

12、,(3-x)2-4(3-x)2 8(x-3)(3 x-l)所以,于二f商 二 百,则-G(一 丁，,r 4(3-x)2当0cx e彳时，S 0，此时函数S=-y -、单调递减，3 V 3 l-x-,4(3-才当:x 0,此时函数5 =(1_；,单调递增,故当x=2时，S取得最小值邑3 3故答案为：乎x+2,x 0,使得与）=/（左），则%/（为）,x0.x的取值范围是.【答案】-（；，。.【分析】由，（芭）=F（X,）,得至也=-2 e,再研究函数/（X）的单调性，得至I J ev w 2e,%将 x j（马）表示为的函数，然后利用换元法转化为二次函数求最值.【详解】解：/（%）=），.T+2

13、e=e,得 不 上 _2e,X,x2Q X W 0,0n 时-+，/r z（x）=e”,f4（x）、=xex-ex=ex（x-1）,X X X由 r（x）0,得 x l,由 r（x）v。，得 O v xv l,丁 f M在（0,1）上单调递减，在（1,田）上单调递增，.,.）（%）在=1处取得最小值x2/eX2 eX2.泊xf（x2）=（-2e）=（Y-2e,x2 x2 A x2*令1=一,则/.X J U2）=t2-let=（/-e）2-e2,九 2当，=e 时，%/（毛）取得最小值-/,当，=2。时，内/（&）取得最大值0,（七）的 取 值 范 围 是 0,故答案为：I-,。.三、解答题1

14、 7.己知命题P：实数x 满足工 2一 5 奴 6 2 0）；命题必 实数工满足-2 x 2【分析】（1）由a =l 得命题p：-l x 6,然后由八 4 为真命题求解；（2）由Y 一 5 以一6 2 0 得-x 6。，再根据，是4的必要不充分条件求解.【详解】解：当。=1时，x2-Sax-Ga1 0,解得：-I x 6,由PA7为真命题，J-1 x6,-2 x 4 解得一 1 x 4；(2)由f 5 o x-6/0)可得一 a x 0因为。是?的必要不充分条件，则，-2 2-。，4 2.18.已知函数/(数=x ln x-2 x,求：(1)求函数/(x)的单调区间；(2)求函数/(x)在 l

15、,a 的最小值.【答案】(1)单调递减区间为(0，e),单调递增区间为(e,+8)；(2)答案见解析.【分析】(1)对“X)求导，根据导函数的符号求单调区间即可；(2)讨论a e,结 合(1)所得函数的单调性求其最小值.【详解】(1)由题设，/(x)=ln x-l,x 0,令 r(x)0,解得X e；令尸(x)0,解得0 x e./(x)的单调递减区间为(0,e),单调递增区间为(e,+).由(1)知，当l e 时，(x)在U,e)上单调递减，在 e,a 上单调递增，=/(e)=elne-2e=-e.19.如图所示，将一个矩形花坛A8CQ扩建成一个更大的矩形花坛AM PN,要求何在射线AB上，

16、N 在射线AO上，且 对 角 线 过 C 点已知他=4 米，A=3米，设 AN的长为可了3)米-(1)要使矩形A M P N 的面积大于5 4 平方米，则4N的长应在什么范围内？(2)求当AM,4V 的长度分别是多少时，矩形花坛A M P N 的面积最小，并求出此最小值;9【答案】(3 q)U(9,y)(2)A N =6,A M=8 最小面积为4 8 平方米【分析】(1)先表达出A MPN的面积表达式，5.附 5 4 时解出不等式，即可知A N的取值范围.(2)令，=x-3,将式子化成对勾函数后求最值.【详解】解：设4V 的长为x 米(x3)A B C。是矩形D N _ DCA AT-|AM|

17、4 工 2W=K.|A M|=(x3)4 r2由 SW/W 5 4,得 5 4x-3v x39.*.(2x-9)(x-9)0,解得3 工929即A N的取值范围为(3 q)U(9,+8)4 r2(2)令 y =t=x-3(r 0),则 x=f +3x-3，y =0),即r =3 时，等号成立，此时A V =6,A W=8最小面积为4 8 平t方米2 0.已知函数/(x)=。2、-2-是定义在R上的奇函数.求实数”的值;求不等式/(/*)-2)3 的解集;(3)若关于x 的不等式f (x)白+2恒成立，求实数k的取值范围.【答案】(1)。=2(1*)(f T【分析】(I)根据奇函数满足/(-x)

18、+/(x)=O,即可求解；(2)根据Ax)的单调性，即可根据函数值的大小确定自变量的大小，即可转化求解，(3)将恒成立问题转化为最值问题，即可利用二次函数的性质求最值进行求解.【详解】(1)因为/(x)=a-2，-2T是定义在R上的奇函数，所以/(-x)+/(x)=0,即a.2-*-2 ，+a2-2i=0，即(-2)(2*+/)=0,因为2，+?0,所以“-2 =0,所以。=2 (经检验，。=2 符合题意)由(1)得 f(x)=2+I-2-x,因为y=2 ，与 y=-2 1 在 R上均为增函数，所以/(*)=2 什*-21 在口上为增函数，又/(1)=3,所以/(/(x)-2)/，所以/(x)

19、-2 l,gp/(x)3 =/(l),所以x l,所以不等式/(幻一2 3 的解集是(1,”).因为关于x 的不等式f(x)击+2 恒成立，即2 、一 2=击+2 恒成立，所以k 2 2 2*-1恒成立，所以无0)的图象在点(1J)处的切线与直线y=(l a)x平行.(1)若函数y=f(x)在 e,2 e 上是减函数,求实数。的最小值;(2)设g(x)=辔，若存在W e,e2,使成立，求实数的取值范围.nx4【答案】(1)y;(2)；一7-8).【解析】根 据(1)=1-a，解得6=1,(1)转 化 为 介 在 e,2e 上恒成立，利用函数/7。)=丁 二 在 e,2e 上递减，求lnx+1

20、lnx+1出M x)的最大值即可得解；(2)等 价 于 存 在 e,e2,使-成立,设9(x)=;-,则满足之0*nx 4x Inx 4x即可，利用导数求出e(x)的最小值即可得解.【详解】9.f(x)=h aan x,.,./(I)=/?,67=1tz,.h=l.则 r)=x adnx.(1)y=/U)在 e，2e 上为减函数，.1(五)=1 一a ln烂0 在 e，2e 上恒成立,即 a-1 在 e,2e 上恒成立.lnx+1;函数(%)=；-一；在 e,2e 上递减，力(x)a =力3)=?，所以 之 工.Inx+l 2 2*m in =7*/-、，、x-axlnx g()=F X=-a

21、xnx存在x e e,e，使 g(x)!成立，即二-0 x4：成立4 Inx 4因为x 0,所以等价于存在x e e,e2,使；成立Inx 4x设夕(x)=则满足aN e。)*即可Inx 4x因为0 3 :0 7，J/I x(In x)2 4x2(2xln x)2e x e2 f/.l ln x 2 ,l ln2x 4：-4/S-4 x 4-4 c-4/.ln2x-4 x-7-2 4e2综上，实数a 的取值范围为；-5,”).【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究不等式能成立问题，属于中档题.2 2.已知函数/(x)=(x-2)e*-ar+alnx

22、(aw R).(1)当”=-1 时，求函数/(x)的单调区间；当“0 恒成立,X X所以当xw(O,l)时，/(x)0J (x)单调递增，即/(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,内).(2)解：由题意，U t/()=(x-2)eA-a r+a ln x =(x-2)eA-a(x-ln x),x 0 ,1 x 1设 m(x)=x-n x,x 0,则=1 =:-,x x当xe(0,l)时，m(x)0,(%)单调递增，又由贝)=1,所以令 x)=0,可得(x-2)e，以+alnx=0,所以=生也，其中(x 0),x-Inx令 g(x)=(x-2)evx-nx/、e x-1(2可得g

23、(x)=x-ln x+1(x-ln x)A xA,/2 mil,/1 1 2 x2 x 2(x 2)(x4-1)(hx)=x-nx+一一1,则(犬)=1-=-=-料-(x0),X X X X X可得0 c x 2时，(x)2时，”(x)(),(_ )单调递增;所以3讪=2-ln 2 0,即x o时，(x)。恒成立；故O v xv l时,g(x)l时,g(x)O,g(x)单调递增;所以 g(x)加“=g0)=-e，又由 x-0 时，g(x)f O,当 xf+o o 时，g(x)-+e,函数g(x)的图象，如图所示,结合图象可得：当“-e时，无零点；当。=-6或O M a e时，一个零点；当-e a 0时，两个零点.X