2023届湖南省永州市高三年级上册学期元月大联考数学试题含答案.pdf

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1、绝密启用前永州市2022-2023学年高三上学期元月大联考数学注意事项：本卷满分150分，考试时间120分钟.1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 4 0 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.,但人 4=lbg,(x+l)2),5 =X Z 0 X 4 N L.D1.已知集合

2、I 6 2 v 1 ，则 N c 8=()A.03 B 0,1,2 C 1,2 D X|-2 X 2 2.已知z 2 +3 i)=-4+7 1,其中为虚数单位，则复数z 在复平面内所对应的点的坐标是()A(l,l)B(2,1)C(1,2)D(2,2)3.已知工 为等差数列 J 的前项和，4+S 7=T 6,%=%,则%。=()A.l B.2 C.3 D.44.全球智能手机市场销量持续增长乏力已经是不争的事实，但折叠屏手机却走出逆势，成为行业唯一增长的高端机品类.下图是某数据公司统计的2022年第一季度中国折叠屏手机市场份额.现有2022年第一季度中国折叠屏手机市场份额超过5%的品牌折叠屏手机各

3、一部,从中任取2 部手机，则其中有“品牌折叠屏手机的概率为()_3_ 1 3 2_A.10 B,2 C.5 D.105.在平面内,)4 8 是两个定点,c 是动点,若Q+c s H W,则点C 的轨迹为(A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线6.已知直线/：2 x +y _ 2 =0是圆C:（x _ 3）2 +（y _ b p =6的一条对称轴，设直线与x轴的交点为0,将直线绕点0按顺时针方向旋转3 0 得到直线广，则直线/被圆0截得的弦长 为（）A.l B.百 C.2 D.逐7.已知产=0-5 =0.6 ，5,c =l o g 6 5,则a/,c的大小关系为（）a bc achQ bac b

4、c 0,6 0）p p1 6.已知为坐标原点，双曲线 a h 的左、右焦点分别是”,2,离V 6心 率 为 2，点？（和 乂）是 C的右支上异于顶点的一点，过 用 作“耳尸鸟的平分线的垂线，垂足是=/，若点。（电，%）满足则（*一*2）+（M 一%）的最小值为.四、解答题：本题共6小题，共7 0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.（1 0 分）2 2己知数列I”的前项和为,且满足3 3（1）求证：数列%+4 是等比数列；若4+2,数列 的前项和为乞求证：“6.1 8.（1 2 分）己知在A/8 C中，6 ,点。在边Z8上且满足4 0 =3,8。=3(1)若 /的面积为5,求8

5、02+z c 2的值；(2)若B C =3,求N6的大小.1 9.(1 2 分)近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，已逐渐成为社交平台发展的新方向，同时发展了利用短视频平台进行直播带货，成就了一批带货主播.国内短视频领域，已知甲公司和乙公司两家购物平台所售商品类似，存在竞争关系.(1)现对某时段1 0 0名观看过这两家短视频的用户与使用这两家购物平台购物的情况进行调查，得到如下数据：选择甲公司购物平台选择乙公司购物平台合计用户年龄段1 9 2 4岁4 01 05 0用户年龄段2 5 3 4岁2 03 05 0合计6 04 01 0 0根据小

6、概率值1 =0 0 0 1的独立性检验，能否认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关？(2)(i)若小李第一天等可能地从甲、乙两家中选一家平台购物，如果第一天去甲平台，那么第二天去甲平台的概率为87；如果第一天去乙平台，那么第二天去甲平台的概率为0.8.求小李第二天去甲平台购物的概率；(i i)双十一这天，甲公司购物平台直播间进行“秒杀”抢购活动，小李一家三人能下单成功的 概 率 均 为 三 人 是 否 抢 购 成 功 互 不 影 响.若X为三人下单成功的总人数，且(”)2 1,求P的取值范围.2n(ad-bc)2Z =-参考公式：(a +b)(c +d)(a +c)(b +

7、d),其中=a +b +c +d.2 0.（1 2 分）力 独立性检验匚F几个常用的小概率彳有 和 相 应 的 临 界 值 表：a0.10.0 50.0 10.0 0 50.0 0 1X。2.7 0 63.8 4 16.6 3 57.8 7 91 0.8 2 8如图，已知矩形N8 C。的长为%宽为G,点 也 是 边 力8上的点，且34/=8.如图，将沿“。折 起 到 的 位 置，使得平面平面平面/A/8 c 平面 HCQ =/.BMA4图 图（1）求证：平面8例。C；（2）在线段。（不包含端点）上是否存在一点尸，使得平面/抽。与平面N M C的夹2-角 的 余 弦 值 为5?若存在，确定点尸的

8、位置；若不存在，请说明理由.2 1.（1 2 分）X2 y2c C:+-Y=ab F F已知为坐标原点，椭圆 a 的左、右 焦 点 分 别 为 直 线=与椭圆C交于瓦 尸 两点，当右“7声的周长取得最大值8时，但可=3（1）求桶圆C的标准方程；.尸（2）过点写作斜率存在且不为0的直线交椭圆于旬8两点，若V 2人直线力尸与直线4交于点,记 直 线 的 斜 率 分 别 为3上2,试判断网 一 周 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.2 2.（1 2 分）设函数/（x）=e a x,其中e为自然对数的底数.（1）若/G）存在极值，求实数。的取值范围；（2）当。时，不等式犷 先 血+1恒

9、成 立（/（）为/（）的导函数），求实数”的值.永州市2022-2023学年高三上学期元月大联考数学 全解全析及评分标准123456789101112BCDBACAAABDBCDBCAB一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共4 0分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.B【解析】g 2（x +l）2,，0 x +l 4,.,.-l x 3,即=x|-l x 3 ,由5 =x e Z|0 x 4 ,得8=0,l,2,3 ,:.N c B=0,2 故选Rz J+7 i _（-4 +7 i）（2-3 i）_ 1 2 i2 .C【解析】由 z，（2 +3 i）=-4 +7 1

10、,得 2 +3 1 （2+3 1）（2-3 1），所以复数z在复平面内所对应的点的坐标为(L 2),故选c.3 .D【解析】方法一：设 等 差 数 列 的 公 差 为 ，由4+=76,%=%,得7 x(7-l),+7 q+-d =-1 6,+3d+7 q+2 k/=1 6 Jq =-5q+%=0,即 q+7 d +q+3 d =0 ,解得j d =l ,所以%=%+(-l)x d =6,则。=4,故选 D方法二：设等差数列%的公差为，因为 7(%+%)7 x 2%0 na4+57=a4+-2-=%+;2 =8 4=-1 6 ,所以a4-22.a 由+a-0u可得4=,由%=-2,&=得=-5,

11、1 =1,所以a“=-5 +(-l)x l =-6,则%。=4,故选 口.4 .B【解析】方法一：由题意，知市场份额超过5%的折叠屏手机品牌有48，C，。，且现有这四个品牌手机各1部，共4部，从中任取2部手机，有力品牌折叠屏手机的概率为亡 2,故选8.方法二：由题意，知市场份额超过5%的折叠屏手机品牌有4民C ,且现有这四个品牌手机各1部，共4部，从中任取2部手机，基本事件有共p =-=-6种，其中有“品牌折叠屏手机的是“民 C，。，共3种，所以所求概率为 6 2.故选B.5.A【解析】设0为线段N8的中点,CA+CB2CO C A +CB=AB所以_ 一 CO=-JB|竺工所以 2 ,所以/

12、C _ L 6 C,当点C在点4或8时也满足C A +C B 1=1 A B,所以点C的轨迹为以线段AB为直径的圆.故选A.6.C【解析】根据题意，得点G M在直线/：2+尸2 =0上，所以2 x 3 +6-2 =0,所以人=一4,故圆C的圆心坐标为C O，-4),半径为r=6.由直线/：2 x +y -2 =得直线与x轴的交点为(L),所以=2石，所以圆心到直线/的距离为lPCls in3 =W故直线/被圆C截得的弦长为2J(峋-2=2.故选C.7.A【解析】因为056 0.55 0.65,所以a b,因为0.6 0.64 ,所以小 标 4 5,c l g 55 l g 3125 1 4b=

13、0.65 I ，所以 c=l o垸g65 5,所以b 0),则由题意得一2-2口2 =2/,即2-2口2，=/一2七因为(2X+2y 丫 20 2.r.2 2.0/一2/4匚.I 1,即 2,当且仅当2 =2、即x =y =时等号成立，解得2 ，44,所以2 1+2 T的取值范围是a,2.故选B C.12.A B【解析】如图，延长8 4即/交 于 点 ,连接。C,因为4 /叫 所以OA M f O BB、,又 加 为 的 中 点，所以OM=M B|,/O =8Z =/C,所以BC1 0 C,所以。=及故。正确;连接片C交8G于点N,因为四边形与8CG为矩形，所以N是4C的中点，连接M N,则M

14、 N为的中位线，所以M N /O C ,又因为M N u平面平面,所以直线O C/平面8峥，故8正确；取4G的中点片,连接44,则4月，4G,又由4 J.“可得_L平面BBCC,故过点片作尸K BG,垂足为p,连接4P,则B C J平面&PP。,所以,阳，故c不正确；因为4 上平面4所以所求交线即为平面8 蜴 内以为圆心，半径为fI T p T=V 2 12 J 1 2 J 2的圆与侧面8 C G 4的交线，交线为7该圆，所以交线长为c V 2 1 及万2 4 4，故。不正确.故选4 8.三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3 x+y-e+l =0 解析求导可得/(x)=

15、ln x-l,则/0)=T,又/0)=-2 +,则曲线=/(X)在X =1处的切线方程为N 一(-2+e)=-(x T),整理，得y =_ x+e _ l 故填x+y _ e+l =01 4.T 6【解析】由二项式定理，可得(五一1)的展开式通项为=C；(V )r=0,2,3,4,5,当5 r=0,2,4 ,即r=5,3,时,毒+i为有理项，所以所有有理项的系数之和为(_1)5XC；+(1)3XC；+(1)XC；=。+1 0 +5)=-1 6 故填一 1 6.、1 5.-2-【解析】5 sin x=2+c o s2x,xe 0,5 sin x=3-2sin2x27,即2sin2x+5 sin

16、x-3=0,sin x=.2 或sin x=-3（舍去）,7T:,x =6c 71ta n 2x+一I 4ta n71 71V 3+1.故填一2一6、71 6.2【解析】设半焦距为c,延长尸2M交PK于点、N,由于P M是“大尸修的平分线，F2M,所以ANPQ是等腰三角形，所以1 PA,且M是NF?的中点根据双 曲 线 的 定 义 可 知 附 卜 作|=2。，即 防|=2 ,由于。是耳玛的中点，所 以 是NF F MO=IA TI=a=V 2“4%的中位线，所以 2,又双曲线的离心率为2,所以2X _ _ 2=c=6*=1,所以双曲线C的方程为2 ，根据题意，知所求的是双曲线右支上一点到直线J

17、=X的距离的最小值的平方.设与直线歹=X平行的直线方程为歹=X +*2 1=1,联立 Lv=x+，消去歹，可得 f+4 而+2/+2 =o,所以 =（4犷-4（2 2+2）=0,|1 o|V2所以力=-1或1 （舍去），所以切点到直线丁 =的距离为 及 2,所以2 2 1 1&f）+（乂 f）的最小值为2.故填2.四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10 分）2 2【解析】由 0?2,得2s,=3 4-2-6，当 22 时，2S,T=3%2（-1）-6，-整理得 a=M i+2,-%+1=3（a,i+1）,当=时，2q=3q _ 8,.q=8

18、,即 q+1 =9,数列%+1是以9为首项，3为公比的等比数列.由 可 知4+1=93 ,aa-i V+1-1i,即*1-3n+l+l,1 1 1-1 一3,+1+1 32 331+d-3-i-二1x91-318.（12 分）1=x61 可得DCO 00 O0 1 0.8 28 =x Q 001所以根据小概率值a =O1的独立性检验，我们推断“。不成立，即用户使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的年龄有关，此推断犯错误的概率不大于60 0 1.（2）（i）设4 一“第一天去甲平台购物”,修一“第一天去乙平台购物”,4=第二天去甲平台购物，根据题意得。（4）=尸（片）=0.5,。（4 1

19、 4）=0.7,尸（4 5,）=0.8人J,P（A2）=P（A）P（A2 4）+P（q）P（4 5,）=0.5X0.7+0.5X0.8=0.75（ii）当 P1时，由题意知x的所有可能取值为，L2,3,且 6（3,p），所以打”。所以2 1,所以/I,1 _故 的取值范围为132 0.（12 分）【解析】（1）：囱W CD,又BM 平面H C D,C Z）u平面氏攸平面ACD又 B Af u 平面 HA/8,平面 Z M S c 平面 HCO =/，/BM,I/3-243A,2A,0设则设 加=（,外衣2）为 平 面 的 法 向 量，.MP m =O,MA fn=O tg 百-2 7 32 V

20、 +2 为2 =0A 0,令/（x）=/Q =0,得x =l n q当 x l n q 时，/（%）0,，/（X）在（f I n a）上单调递减，在（I n a,+句 上单调递增，二函数/（x）存在极小值.综上所述，若函数/（“）存在极值，则实数。的取值范围是（0+”）不 等 式 切（）质+1恒成立，即 叱-ax Nal n x +1恒成立.方法设尸GN-G+则/田=约一力。，+2当。0时，令力(x)=x e-a,x e(0,+8)则(x)=(x +l)e，0，。)在(，+8)上单调递增：k(0)=-a 0二存在唯一的X。e(M),使得(/)=,.当xe(0,Xo)时，/?(x)0,F/(x)

21、0,r(x)0 卜)在(0，%)上单调递减，在(/，+8)上单调递增.,(X。)=,即/e =a,两边取对数得 xo +1n x0 =Ina,:I(X)的最小值为/()=x 6 -。+1啄)-1,/.F(x0)=xQex-a(工0 +lnx0 1 二 Q ana-1G(x)=x-xlnx-1,x e(0,+e),则G(x)=-lnx,。在 他 口 上 单 调 递 增，在a+“)上单调递减，G(x)4 G(l)=0,当且仅当x=l时，等号成立.当且仅当a=1时，(x)2 在(，+力)上恒成立.综上，。=1.方法二.设(x)=x+lnx,xe(O,+8),易知，(x)在(。，+8)上单调递增.乂当

22、xe(0,l)时，x+lnx alnx+1,即 xex-a x-alnx-1 0 y即/+底一a(x+lnx)lN0设厂(。二/一。/-1,/G R 要使,Q (x+ln x)-l 0 只需 F()min 0a 0时，当V7，ln。)时，)=一 一 0人)在SM上单调递减；当fe(lna,+s)时，F(f)=e O/(f)在(1皿+。)上单调递增 b)m in =F(Ina)=a-a ln a-l./w(x)=x-xlnx-1,x G(0,+)则M(x)=-l n x,当xe(0,1)时，x)0,m(x)在(，1)上单调递增.当*e。,+功 时，W(x)，。(/)单调递增，当/(0,4),“(/)0，G)在(0,1)上单调递增；当x 1，+。)时，(x)0,%在0,+功上单调递减.,m(X)max=(1)=0,(f l)0,(Om i n 。,当且仅当。=1 时,等号成立.又。(t)m i n N0，9 a)m i n =0，。=1综上，。=1.