2021-2022学年上海市嘉定区高二年级上册学期期中数学试题含答案.pdf

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1、2021-2022学年上海市嘉定区第一中学高二上学期期中数学试题一、填空题1.一个正四棱柱的底面边长为2,高为4,则 该 正 四 棱 柱 的 体 积 为.【答案】16【分析】根据棱柱的体积公式直接计算即可.【详解】由题可得该正四棱柱的体积为2x2x4=16.故答案为：16.2.已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为百，则这个圆锥的表面积是【答案】3n【分析】求得圆锥的底面半径和母线长，由此求得圆锥的表面积.【详解】解：设圆锥的底面半径为x,则 高 为 底，母线长为2x.x2xX y/3x=y/3依题意2,解得x=l 或x=-l（舍去），所以圆锥的底面半径为1,高为百，母线长为2.所以圆锥的

2、表面积为兀+1 x 2 =3%故答案为：3n3.己知四面体4 8 c o 中，E、F、G 分别为B C、A D、8。的中点，且异面直线月8 与CO所成的7 1角为3,则 NFGE=.71 2兀【答案】5 或 丁【分析】根据48/FG,CD HGE,结合异面直线夹角的定义求解即可.【详解】如图，因为E、F、G 分别为8 C、A D、8。的中点，故ABH FG ,C D/G E,故与7T71 271CO所成的角即FG与GE所成的角为3,且与/尸GE相等或者互补，故N FG E=或T.DB兀 2兀故答案为：3 或 丁4.正四棱柱4 4 G 4 的底面边长/8 =2,若直线8 c 与底面/8C O 所

3、成的角的大小为arctan2,则正四棱柱1 8 c o-4 用G。的侧面积为【答案】32【分析】根据线面垂直关系、线面角的定义可知N8C8=arctan2,从而得到8A=2 8 C,根据底面边长可求得侧棱长，进而得到所求的侧面积.【详解】四棱柱8 8-4 4 G A 为正四棱柱四边形4 8 c o 为正方形，84_1.平面/8CZ)直线 B C 与底面 A BC D 所成角为 W B=arctan 2 BB,=2 B C =2AB=4二正四棱柱B C D-M G A 的侧面积：S =4AB BBt=4x2x4=32故答案为32【点睛】本题考查棱柱侧面积的求解，关键是能够根据线面角的定义确定线面

4、角的具体位置，从而得到长度关系，属于基础题.5.己知异面直线a,6所成角为7 0。，过空间定点P与 a,b成 5 5。角的直线共有 条.【答案】3【解析】根据条件先将直线 力平移至过点P,然后根据直线“力所成角的角平分线以及直线 力所在平面的垂线分析与直线。力所成角均为5 5。的直线的条数.【详解】将 直 线 平 移，使两直线经过点P,如下图所示:设直线 力所成角的角平分线为*过点P垂直于直线”力所在平面的直线为d,因 为 所 成 角 为 7。,当直线/经过点尸 且直线/在直线“/所在平面内且垂直于直线1 8 0-7 0 g g Q此时 与 直 线 所 成 角 均 为 2 .当直线/在直线gd

5、所在平面内时，若/绕着P点旋转，止 匕时/与直线所成角相等，江=3 5。且所成角从2 变化到9 0,再从9 0 变化到3 5。，所以此时满足条件的/有2 条，综上所述：过空间定点户与“/成 5 5 角的直线共有3 条，故答案为：3.【点睛】结论点睛：已知异面直线0 力所 成 角 为 I 1 2),过空间任意一点作直线/,使得/与“力成等角9：(1)当 I 2 J 时，此时/不存在；0(p=(2)当 2时，此时/有一条；0 71-0 夕-(3)当 2 2 ,此时/有两条；7T-0(P=-(4)当 2 时，此时/有三条；7C-0 冗-夕 (5)当2 2时，此时/有四条.3冗6.圆锥P-0轴截面的顶

6、角为4 ,母线长为2,则过任意两条不重合的母线的截面面积的取值范围为.【答案】(。，2&e(0,【分析】设 4%为 圆锥的任意两条母线，4 4P8=。，则有 I 4 ，然后利用三角形的面积公式表示出国*从而可求出其范围.【详解】设 04 P 8 为圆锥的任意两条母线，P B =e,则由题意得 I 4-I,PA=PB=2,s4 PPA.HB =-2P A-PB sin ZAPB=2sin Q e fo,因为I 4 ，所以2sm(9e(0,2,所以过任意两条母线的截面面积的取值范围为(0 2,故答案为：(217.在空间中，已知一个正方体是12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于，则sina=.旦

7、【答案】3【分析】画出几何图形，可知面 出a 与 12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于巴 在尺 亿 8用可求得5皿&画出儿何图形，可知面4 8 G 与 12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于a正方体 4BCD _ 48CQBB 与面4 g所成的角为“BEEBX=不妨设正方体棱长为1,故 2EB=JL在必AEB片中由勾股定理可得：一 2sin Z BtB E=段=劣=虫EB 娓 3：.T.Gsin a =.373故答案为：3.【点睛】本题考查了线面角求法，根据体积画出几何图形，掌握正方体结构特征是解本题的关键.属于基础题.8.下 列 命 题 中 正 确 的 命 题 为.若在平面a外，它

8、的三条边所在的直线分别交a于尸、QH，则o、Q R三点共线；若三条直线。、b。互相平行且分别交直线/于4 B C三点，则这四条直线共面；若 直 线 、异面，M c异面，则a、c异面；若贝【答案】【分析】根据三点共线和共面的性质、异面直线的性质、垂直的性质逐一判断即可.【详解】对 于 ，设平面a n平面/8C =/,因为尸e a,所以P平面Z8C,所以P e/,同理2*/,R e/,故 、&三点共线，正 确：对 于 ，因为a/,所以“/可 以 确定一个平面a,因为“ea,8 e6,au a,%u a,所以4 8 u a ,所以/u a,又C c l,所以C e a,因为ca,所以ca或c u a

9、,又仆=7,所以ca不成立，所以c u a,即这四条直线共面，所以正确；对 于 ，直线“、方异面，阴，异面，但是。平行，所以错误，如下右图；对 于 ，a,。力,但,石，所以错误，如下左图.故正确的命题为.故答案为：9.，8,C是半径为2的球。表面上三个点，ABC的外接圆面积为开，则球心。到平面 3 C 的距离为.【答案】百【分析】由“8C的外接圆面积为灯可求得其外接圆半径厂=1,又因为球的半径R =2,则可求得球心O到平面A B C的距离d =正-r=【详解】；8C的外接圆面积为万，28c外接圆半径=1,又.球。的半径火=2,球心0 到平面4 B C的距离为 =VF=7 =6.故答案为：仆.1

10、 0.设正四面体/8 C O 的棱长为0,P是棱力8上的任意一点，且 P到面/CC、8 C Q 的距离分别为4 42,则 dt+d2=岂【答案】3 【分析】求得四面体的高，利 用 匕 代 入 棱 锥 的 体 积 公 式 可 得 4+出的值.O 5 =-x x,Q X SBCD X 4。=X S&BCD X 4 +X S&ACD X 2:&+力=星a1 1.在长方体 8 8-4 8 C Q中，棱/8 =6,B C =B B,=6 ,点P是线段g上的一动点，则【分析】将4 B B 沿BC、为轴旋转至于平面ABC.共面，可得 B B S ,利用A P+P B=AP+P B犯 求解即可.详解解：将4

11、B B S沿B Q为轴旋转至于平面,8 G共面，可得 BB2C 则 4 8星=135。，故 IP +P B,=4P +P B AB,=762+(72)2-2 x 6 x 7 2 cosl 35=5 五当且仅当为“鸟与BC、的交点时取等号，所以“P+0片的最小值是5&.故答案为：5立.1 2.如图，在长方体中，4 D =D D、=1,AB=f i，E，F，G分别为A B B C，CR的中点.点p在平面A B C D内，若直线D P H平面EFG,则线段口尸长度的最小V7【答案】【分析】利用线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，确定P在直线月C,再根据0f 0 时线段2 P 最短即可求解.【详解

12、】解：如图，连结 E,F,G 分别为 AB,BC,C D 的中点，.4 C /EF,EE u 平 面 4C R ,4 C u 平 面 力,斯/平 面/C。，.EG/4Z)1,EG(Z平面 4CQ,4。u 平面/CDE G/平面,.EFnEG =E,.平面EFG平面C。，.乌尸/平面后/5 点尸在直线/C 上，在A A C R 中，g=6,A C=2,C R=2S 曲 x卜-（方）f.当D“4 c时,线段可的长度最小，最小值为也S 码 0 _ 21 ”厂币 x A C x2 2 2=2二、单选题1 3.如图，绕虚线旋转一周形成的几何体是（）A.B.C.-D.【答案】D【分析】根据旋转体的定义，即

13、可求解.【详解】由题意，题设中图形是直角梯形，根据旋转体的定义，可得绕其长底边旋转一周后得到的几何体是圆锥与圆柱的组合体，只有选项D适合.故选：D.14.已知直二面角a -/，直线。在平面。上，直线人 在平面耳上，且直线。与直线/不垂直，直线6 与直线/不垂直，则以下判断正确的是()A.。与方可能垂直，但不可能平行B.。与b 可能垂直，也可能平行C.。与人 不可能垂直，但可能平行D.。与人不可能垂直，也不可能平行【答案】C【分析】利用空间中两直线的位置关系求解.【详解】解：；a-/一 是直二面角，直线。在平面a 内，直线人 在平面方内，且。、8 与/均不垂直，.当a/，且6/时，由平行公理得。

14、%即a,6 可能平行，故A 与。错误；当，人垂直时，则”与人在。内的射影垂直，由于二面角是直二面角，人在。内的射影即为人 则可 证 得 与 已 知 矛 盾，。与6 不可能垂直，有可能平行.故选：C.15.三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为工,邑，邑，则三棱锥的体积是()A.JES2s3SS2s3J 2 s B s 32y12sss3B.3C.3D.3【答案】C【分析】根据三棱锥的侧棱两两垂直，推出三个侧面都是直角三角形，根据直角三角形的面积公式和三棱锥的体积公式可求出结果.【详解】因为三棱锥的侧棱两两垂直，所以三个侧面都是直角三角形,设三条侧棱长分别为“力 巴 则 学 第 一5加

15、户5,所 以 弧=屉 瓯,所以三棱锥的体积故选：C1 6.已知两个平面名/和 三 条 直 线 外。,外若a n/?=?,a ua且u%设 夕和夕所成的一个二面角的大小为曳 直线。和平面/所成的角的大小为反，直线为人 所成的角的大小为“，则()A.4=3 4 B.名 叫=名c a 2 a,。a D a z a,4 z。2【答案】D【分析】在一个平行六面体中，对三个角进行比较，即可选出正确答案.【详解】如图，在平行六面体中,4/。=9 0 ,4/8 9 0不妨设面为 a,面 4 B CD为乃，8。=6.则/=机/4=.此时，由图可知，9 0必 =.又因为“8u a,COu,所以A/e a,M e

16、.所以M e ac 又因为。口 力:/,所以M。，B|J ABCD,/共 点（相交于一点）.1 8.（1）请用文字语言叙述平面与平面平行的判定定理；（2）把（1）中的定理写成“已知：，求证：”的形式，并用反证法证明.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）直接写出平面与平面平行的判定定理：（2）利用线面平行的性质定理进行反证.【详解】（1）平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与一个平面平行，则这两个平面平行.（2）已知 au B，b u 0,a C b =P,a/a,b/a ,求证:.下面利用反证法证明：如图,假设C与4相交，设交线为C,因为。/。=（0,0,1

17、）,结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（I）如图所示，由尸/及点尸是棱/。的中点，可得PFL4D,又二面角P-4 D-C为直二面角,故平面4 8 8,又因为“C u平面/8 C O,所以PF_L/C,又因为四边形 8 8为菱形，所以8O J.ZC,而E尸是力8。的中位线，所以E F/B D,可得EFJ.AC,又由PFCEF=F,且P F u平面E F u平面尸EF,所以4C_L平面P /又因为尸E u平面P E/,所以P E L/C.(n)解法一：设点G 是“C 与E尸的交点，连接PG由(I)可知/C J 平面尸 后 产，又PG,EG均在平面PE F内，从而有P G L/C,E G/1 C

18、,故NPGE为二面角尸-Z C-8 的平面角，因为P 4=4 B,所以AP/。为等边三角形.不妨设菱形A B C D的边长为2a,GE=b .则在 R t P FG 中，P F=yf i a,F G =b ,于是P G =/岛 丫+b2在 R s P F E 中,P E=4 ga+QbY,cos Z P G E=-cos N P G F =-=-故 13a2+h2 5)=2整理得 3/=4/?,a-T.因为尸尸，平面A B C D,所以/_ P EF为直线P E与平面A B C D所成的角.tan 4P EF=1则 EF 2b所以直线PE 与平面Z8CO所成的角为45，解法二：设点。是 4 C

19、 与 8。的交点，以 彳 所在直线为x 轴0 8 所在直线为V轴，过点。垂直平面/8 C 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系.如图所示:p设O/=2,O 8=2 b,则力(2,0,0),C(-2,0,0),P(,-b,l3+3b)贝 lj C A=(4,0,0),万=(-l,-*j 3 +3 62),设平面PAC的法向量为机=(x，N，z),m-AP=0 -x h y+j 3+3b2z =0则 j 玩。=0,即1 4 x =0 ,-L J 3 +3 Z 2 m=，一j一，1取z =l,得 V ,又因为平面/8 C 的一个法向量为”=(0,0,D,解得b =百,则 P(l,-V 3,2 /3),

20、(l,V 3,0),P E=(0,2 方,-2 石)|cos 尸,|=则P E n P E n-2 百 _ 立2 7 6 -V则直线P E 与平面4 8 c o 所成的角为4 5 .【点睛】本题考查了线面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.2 1.如图，在棱长为2 的正方体44GA中，E、尸分别是4和CG的中点.(1)求异面直线E 尸与Z8 所成角的余弦值;(2)在

21、棱 上 是 否 存 在 一 点 P,使得二面角尸一/C-B的大小为3 0。?若存在，求出8 P 的长，若不存在，请说明理由：(3)求异面直线E F与A B之间的距离.7 6【答案】(1)3V 6(2)存在，33亚2【分析】(1)做出异面直线所成的角，解三角形求解即可：(2)假设存在，利用二面角尸一/C-8的大小为3 0。求解即可;(3)利用线面垂直，找到公垂线，然后借助相似来计算即可.【详解】(D取的中点”，因为尸是CG 的中点，所以历尸 CO,又 ABI I C D,所以AB MF ,所以异面直线E F与A B所成角也就是E F与MF所成角，由正方体得M尸，平面4,E M u平面 2 4,所

22、以 M F _L E M,MF =2,E M=0 ,所以及=6c os Z.EFM =MF _ 2 _V6旦所以异面直线E户 与 所 成 角 的 余 弦 值 为 3 .(2)假设存在点尸符合题意，连接8。与 C交于点,所以ZC/8O,因为44G A是正方体，所以尸/=PC,又。是ZC 的中点，所以P_LZC,所以/P 0 8 就是二面角P-Z C-8 的平面角,故假设成立，存在这样的尸点.OB=-BD=-x2y/2=y/2又因为 NPO8=30,2 2,（3）连 接 因 为 回 川 是 4 、的中点,所以 EM,如图第一个,又因为A/尸_L平面力。2 4,Z R u 平面/。必，所以4）|_1_板,即 又 E M cMF =M,所以力 A 1 平面 EMF,又瓦u 平面瓦所以 RLE F ,接 着 取 的 中 点 G,连接G F,延长4 G 交 工 8 延长线于点月,连接 ，交G尸于点K,交E尸于点,过作 的平行线交月8 于点Q,连接。a,如下图,由/A _ L EF,NA _ L N8得为E尸与月8 的公垂线,易得AHOO、与相似，又因为G 是4 中点，则K 是G F的中点，所以K D=K H =2OK,所以4 g ,又 叫=2右，所以 2.