2021-2022学年安徽省滁州市定远县高一年级下册学期期末考试数学试题含答案.pdf

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1、2021-2022学年安徽省滁州市定远县高一下学期期末考试数学试题一、单选题1 .孙子算经中有这样一个问题：“今有丁一千五百万，出兵四十万.问科一兵？”翻译成现代文就是：“今 有 1 5 00万壮丁，要出兵4 0万.问几个壮丁中要征一个兵？”这个问题体现了中国古代的概率思想，则对于其中任意一个壮丁，被征为士兵的概率为（2 二 4 1 1A.B.C.7 5 1 5 1 5【答案】A【分析】根据古典概率模型即可得解.【详解】依题意：要 从 1 5 00万壮丁中选出4 0万，4 0 2任意一个壮丁被征为士兵的概率为P =-=.1 5 00 7 5故选：A2.为了测试小班教学的实践效果，刘老师对A、8

2、两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A、8两班学生的平均成绩分别为京，石，A、8两班学生成绩的方差)-7 3D.7 5分别为S 3 s；,则观察茎叶图可知（）Z班8班34 26 8 84 62 8 6 5 15 2A.xB,C.xA xB 9【答案】B4567893 5 81 3 62 4 53 3 4 03 21B.xA xB f xB,.SB【分析】观察茎叶图，根据平均数和方差的定义即可得到答案.【详解】根据茎叶图中数据的分布可得，A班学生的分数多集中在 7 0,8 0 之间,B 班学生的分数集中在 5 0,7 0之间，所以京京.相对两个班级的成绩分布来说，A

3、班学生的分数更加集中，B 班学生的分数更加离散,所以s；记 AB AC=/，则AO-AB=256x+y t,256x+*=128,(T)同理 AO.AC=JAC =IOO.2AO AC=(xAB+yAC)-AC=xAB AC+yAC=xt+200y，所以万+200y=1 0 0,又 32x+25y=1 6,，即 256x+200y=1 2 8,由得 f=200,代入得200 x+200y=100,x+y=,，由联立方程组解得x=g,y=0,所以A o =x A B+y A C =JAB,|AO|=|AB|=8.故选：A.5.设向量:=(1,-3),6 =(见2-z),若 a/b，则实数机的值为

4、()A.；B.2 C.D.122【答案】D【解析】利用向量共线的坐标表示即可求解.【详解】向量a =(l,-3),b=(m,2-tn),若 a b，则以(2-祖)(3)加=0,b=y3,则s in 5 +A)=()解得，“=-1.故选：D【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，需熟记关系式，属于基础题.6.在“ABC中，若a =l,C =-6A 1 R 622【答案】D【分析】根据余弦定理求边c,从而求出角A,结合变名的诱导公式即可求出s i n +A j的值.【详解】由余弦定理可得c 2=a 2+/72-2 c o s C =l +3-2 x l x g c o s H =l,即c =l,6T

5、 T又因为。=1,所以A =C =，O所以 s in 方+A)=c o s A=2故选：D.7.如图所示，河边有一座塔O P,其高为2 0 m,河对面岸上有A,8两点与塔底。在同一水平面上，在塔顶部测得A8两点的俯角分别为45和30,在塔底部。处测得AB两点形成的视角为15 0,则4,8 两点之间的距离为（）【答案】CD.10/42m【分析】求出A。和 8。，再根据余弦定理可求得结果.【详解】在直角三角形PAO中，ZPAO=45,可得AO=PO=20m,在直角三角形P8。中，8。=3。，可得如低=2。屈,又 ZAO8=150,nJW AB2=AO2+BO2-2AO-BO-cos AAOB=40

6、0+400 x3-2x20 x20/3=2 8 0 0,可得 AB=205/7m,所以A,B 两点之间的距离为20/7m.故选：C.8.已知正四面体A8CD的表面积为2 6,且 A、B、C,Z）四点都在球。的球面上，则球。的体积为（）A.2y/3n B.it C.兀 D.37r42【答案】C【分析】由正四面体的性质特征，可知它的各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为。，则根据正四面体ABC。的表面积即可得出“=也,从而得出对应的正方体的棱长为I,而正方体的外接球即为该正四面体的外接球，由正方体的外接球性质可得出外接球的半径为立，最后根据球的2体积公式即可得出结果.【详解】解：正四面体各面

7、都是全等的等边三角形，设正四面体的楼长为，所以该正四面体的表面积为S=4 x lx x2=-V3 6 Z2=2y/3 所以a=血，又正方体的面对角线可构成正四面体，若正四面体棱长为正，可得正方体的棱长为1,所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，所以外接球的直径为G，半 径 为 也，所以球o 的体积为1T=#兀.故选：C.9.如图，E 是正方体A 8CO-A BC。的棱G。上的一点E（不与端点重合），B。/平面8。后，【答案】DC.=2田D.DtE=EC【分析】设耳。BCt=O,可得平面B G 2 c 平面gCE=O E,由于8 0 平面,根据线面平行的性质可得B/E0,即可得到结果.【详解

8、】如图，设 3C F G=。，可得面BGRC面BCE=OE,:BDJI平面BXC E，根据线面平行的性质可得。B/E0,。为8 c 的中点，为G A 中点，.2 E =EG.故选：D.21 0.正四棱锥P-ABC。的底面积为3,体 积 为 也，E 为侧棱PC 的中点，则 必 与 BE所成的角为()【答案】B【分析】连接EO、P O,可知EOP A,求出EO、8 0 长度后求出t an即可得解.【详解】如图，连接EO,PO,由题意得尸0 =,AB=B 0/2 4 且 0 =3%，P。工面A8CO,BO=,PA=O，.0=-PA=,2 2 2显又 B D L A C,，面尸AC,8O_LOE,.t

9、an/OEB=丝=冬=有.OE 671NOEB=.3故选：B.【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法，属于基础题.1 1.如图，在正四棱柱A B C Q-A A G R中，底面48。是边长为1 的正方形，尸为A A 上一点，且TT满足NAPZ)=5 ,Q4=P ),则以四棱锥尸-钻 8外接球的球心。为球心且与平面P8C 相切的球的体积为()DABA噜 B.普【答案】B【分析】在直角_ 孙。中，求得24=接球的球心，分别连接P M N Q/Q,1 1C 4石乃 D 4石乃 75 150=P D,结合球的性质，求得。即为四棱锥P-的外2过点。作 O M L P Q,证得O M L平面P N Q,求得

10、0M得到所求球的半径r=法，结合体积公式，即可求解.【详解】在直角中，A D =,PA=P D,可得BV+PDA即 P4=PB=正，2过正方形A B C D的中心0 作 O Q，平面A B C D,取 AO的中点N,连接Q V,则ONJL平面R4O,则直线。O N =O,则。即为四棱锥P-A 3C D 的外接球的球心,分别连接P M N Q,P Q,在VPN。中，过点。作 OM LPQ,又由B C 1平面P N Q,可得OM J.BC,因为BCC|PQ=。，所以OM_L平面PBC,又由VPN。和，QOM相似，可 得 用=，葭，所以OM=Op。=。2,1 1-x -1：22=_L石2 7 5，2

11、所以该球的体积为丫=：乃/=?()3=理.3 3 26 150故选：B.1 2.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:神植收入建&而经济收入内法比例种植收人则下面结论中不正确的是A.新农村建设后，种植收入减少B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M,根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M,之后从图中各项收入所

12、占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前的收入为M,而新农村建设后的收入为2M,则新农村建设前种植收入为0.6M,而新农村建设后的种植收入为0.74M,所以种植收入增加了，所以 A 项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M,新农村建设后其他收入为0.1 M,故增加了一倍以上，所以B 项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3 M,新农村建设后为0.6 M,所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的3 0%+2 8%=5 8%5 0%,所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A

13、.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，耍会从图中读出相应的信息即可得结果.二、填空题13.在三角形A8C中，角A,8,C的对边分别是a,6,c,若c s i n c =a-s i n A +(o+6)s i n B ,角C的角平分线交边AB于点。，且C O =6，a=2 h,则边c的大小为.【答案】1#2 2【分析】根据c s i n c =a-s i n A +(a +b)s i n 8,利用正弦定理边化角求得4,再利用Sw c=S皿+5乩8,可得至l j M =S+a),结 合 条 件 求 得 的 值，利用余弦定理求得答案.【详解】由 C-s i n c =a

14、-s i n 4 +(a +h)s i n 8可得：c2=a2+b2+ab,故6+6,2=-,所以c o s e1 .-,2 ah 2由于C e(O m),故C =?2 7 r,I 2 冗 1 7 r l 7 T故由 S ABC=SACD+S.3 C Z)可得：s i n =/?-C D-s i n +4/-C D-s i n ,又C D =6,故=+联立。二2力,解得a =3 3,b=,2故 c。=a2+b2-lab cos C=2 7 +2 x 3/3 x x =,4 2 2 4故八小，2故答案为：巫21 4.如图，在四面体ABCD中，B D =2及，A C =2,M ,N分别为8C、A

15、的中点，M N =1,则异面直线A C与8。所成的角是.A【分析】取 C。的中点E,连接ME,N E,即可得到N/VEM即为异面直线AC与8。所成的角，再由线段关系及勾股定理逆定理得到JWNE为等腰直角三角形，即可得解；【详解】解：取C。的中点E,连接ME,N E,因为M 为 8C 的中点，N 为 的 中 点，所以 NE/AC且 NE=-A C ,ME/BD 且 ME=-BD,2 2所以NNEM即为异面直线AC与 BO所成的角或其补角，又 BO=2&，AC=2,MN=,所以 NE=1,M E=C，所以 M E=M N+N E2,所以 NMAE=90。，所以.MNE为等腰直角三角形，所以NNEM

16、=45。：故答案为：451 5.某企业利用随机数表对生产的800个零件进行抽样测试，先将800个零件进行编号，编号分别为 001,002,003,800从中抽取20个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第 6 行第6 列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6 个 样 本 编 号 是.32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 5

17、6 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45【答案】522【分析】根据随机数表的抽取方法从表中第6 行第6 列开始向右依次读数即可.【详解】从表中第6行第6列开始向右依次读数为：8 0 8 （舍去），4 3 6,78 9.5 3 5,5 77,3 4 8,9 9 4 （舍去），8 3 7（舍去）,5 2 2,5 78,3 2 4,所以得到的第6个样本编号是5 2 2,故答案为：5 2 21 6 .2 0 2 1 年湖南新高考实行“3+1+2 模式”，即语文、数学、英语必选，物理与历史2 选 1,政治

18、、地理、化学和生物4选 2,共 有 1 2 种选课模式.今年高一小明与小芳都准备选历史与政治，假设他们都对后面三科没有偏好，则 他 们 选 课 相 同 的 概 率 为.【答案】g【分析】求出基本事件的总数，以及他们选课相同包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.【详解】今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，则基本事件有（地，地），（地，化），（地，生），（化，地），（化，化），（化，生），（生，地），（生，化），（生，生）共9 个，他们选课相同包含的基本事件有：（地，地），（化，化），（生，生）共有3 个，所以他们选课相同的概率|=1.故答案为：.三、解答

19、题1 7.已知：=（1,2）,6 =（-3,1）设 a,（的 夹 角 为 求 CO S。的值;若向量a +幼 与 -幼互相垂直，求 A 的值【答案】-巫；1 05（2）k=.2【分析】（1）根据平面向量的夹角公式即可解出；（2）根据平面向量的坐标运算以及垂直的坐标表示即可解出.,I-1 I q a h lx(-3)+2xl-1 正【详解】因 为”/=明 4 3%所以8 S*丽=而贰后手=及旃=一方.(2)由2=(1,2),(=(一 3,1)可得.+防=(1,2)+无(-3,1)=(1-34,2+无),。一 姐=(1,2)-%(3,1)=(1+3Z,2%),因为向量q+她 与“她互相垂直，所以(

20、a+町(”吁(1一 3&)(1+3%)+(2+相 2-&)=0,即 2&-，解得：k=土 冬1 8.在中，。、b、c 分别是角 A、8、C 的对边，“=3,b=2y/3,cosB=-1.(1)求c；(2)求cos(A-。)的值.【答案】(1)c=l;(2)6+3近6【分析】(1)结合余弦定理列出方程，解方程即可求出结果；(2)结合同角的平方关系求出sin8,然后利用正弦定理求出sinA,再次结合同角的平方关系求出c o s A,进而结合两角差的余弦公式即可求出结果.【详解】解：(1)由余弦定理知6 u/+c Z-%c c o s B,即12=9+C2-2X3X C X；整理，得C2+2C-3

21、=0,解得c=l 或-3(舍负)，故c=l.(2)因为cosB=-,且 B e(0,兀)，所以sin8=2y由正弦定理知，一=，一,即.如 nB-娓,sin A sin B sin 4=-=-告一=b 2j3 3又ab,所以A e(0,所以 cos A=，36 +3 06所以 cos A-I =cos Acos +sin Asin=I 3)3 31 9.甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6 道备选题中一次性随机抽取3 道题,按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6 道备选题中应聘者甲有4 道题能正确完成，2 道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是:，且每题正确完成与否互

22、不影响.(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望；(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？【答案】(1)甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2；(2)甲通过面试的概率较大.【分析】(1)设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为X,Y,由于x (6,3,4),分别写出分布列，再求期望值均为2；(2)由于均值相等，可通过比较各自的方差.【详解】(1)设 X 为甲正确完成面试题的数量，y 为乙正确完成面试题的数量,依题意可得：X (6,3,4),P(X=l)=-fL =l,/(x=2)=-=|,P(X=3)=-1=1,X 的分布列为：X123P_535j

23、_51 3 1E X=lx-+2 x-+3 x-=2.5 5 5.=。)=吟)灼 吟92联)Y f g)y如枭的分布列为:Y0123P1272949827EY=0 x +lx+2x+3x =2.27 9 9 27(2)D X=1X(1-2)2+(2-2)2X|+(3-2)2X1=|,2 1 2DY=np(-p)=3 x-x-=-,：DX田，理由如下：为 BC 中点，：.EG H BD,又 E G a平面B D u平面BDD蜴,二EG 平面82 片,又 由（1）EF 平面BDD耳,EG EF=E,二平面 GEF 平面 8。与，且k=L【点睛】本题主要考查线面平行的判定以及面面平行的判定，属于中档

24、题.2 1.某公司计划购买1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个2 0 0 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买,则每个5 0 0 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 1 0 0 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图:记 x 表 示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表 示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数.（I）若 n =1 9,求 y 与 x的函数解析式；（I I ）若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不

25、小于05求 n 的最小值；（III）假设这1 0 0 台机器在购机的同时每台都购买1 9 个易损零件,或每台都购买2 0 个易损零件，分别计算这1 0 0 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1 台机器的同时应购买 1 9 个还是2 0 个易损零件？【答案】（1）丫 =/1 9,【详解】试题分析：（I ）分 X 4 1 9 及 x 1 9,分别求解析式；（H）通过频率大小进行比较；（I I I）分别求出n=1 9,n=2 0 时所需费用的平均数来确定.试题解析：（I）当x三 1 9 时，=3 8 0 0；当丫 1 9 时，y =3 8 0 0+5 0 0（%-1 9）

26、=5 0 0 x-5 7 0 0,所以13 8 0 0,x 1 9,(I I )由柱状图知，需更换的零件数不大于1 8 的频率为0.4 6,不大于1 9 的频率为0.7,故 I的最小值 为 1 9.(I l l)若每台机器在购机同时都购买1 9 个易损零件，则 这 1 0 0 台机器中有7 0 台在购买易损零件上的费用为3 8 0 0,2 0 台的费用为4 3 0 0,1 0 台的费用为4 8 0 0,因此这1 0 0 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1-x(3 8 0 0 x 7 0 +4 3 0 0 x 2 0 +4 8 0 0 x l 0)=4 0 0 0.1 0 0若每台机器在

27、购机同时都购买2 0 个易损零件，则这1 0 0 台机器中有9 0 台在购买易损零件上的费用为 4 0 0 0,1 0 台的费用为4 5 0 0,因此这1 0 0 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为*x(4 0 0 0 x 9 0+4 5 0 0 x l 0)=4 0 5 0.比较两个平均数可知，购 买 1 台机器的同时应购买1 9 个易损零件.【解析】函数解析式、概率与统计【名师点睛】本题把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大，求解的关键是读懂题意，所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.2 2.如图，在正方体A5CO-A&CQ中，S 是BQ的中点，E,R G分别是8 C,

28、OC,S C 的中点，求证:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ C,(1)6 平面8。及；(2)平面 E F G/平面B D R B：.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)利用线面平行的判定定理即可证明；(2)利用面面平行的判定定理证明.【详解】(1)如 图,连 接 SB,；E,G分别是3 c s e 的中点，.EG SB.又；S3三平面B D D、4，EG U 平面B D Q与，.直线EG平面BDD,分(2)连接SO,F,G分别是0 c s e 的中点，.F G U S D 又:SO U 平面 B D D,FG X 平面 B D Q B,.k G平面8。)田，由(1)知，E G/平面且 EG=平面 EFG,平面 EFG,E G F G =G,平面 EFG 平面 B D DXB.