2021-2022学年福建省福州市高一（上）期末数学试卷.pdf

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1、2021-2022学年福建省福州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本照共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项提符合题目要求的。1.（5 分）sin 120 的值为（）A.场 B.1 C.-近 D.-12 2 2 22.（5分）设集合4=小2 -3 x-40,3=小 3,则4 C 8=（）A.x x-1 B.x x4 C.x|-4VxVl D.x|-1 Vx0,X2-1W0”的否定是（）A.icWO,x2-l 0 B.V x 0,尤 2-1。C.3x0,x2-1 0 D.VxWO,4.（5 分）四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”的（）A.充分不必要条件 B

2、.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.（5 分）已知函数八%）=产X ，以下关于/己）的结论l2x,0 x 2正确的是（）A.若/1（%）=2,贝！Jx=OB./（x）的值域为（-8,4）C./（x）在（-8,2）上单调递增D.f（x）2 的解集为（0,1）6.（5 分）已知函数则/（%）的大致图像为（）In（1+x）-x第 1 页（共 21页）7.(5 分)设 a =0.1 23,/)=3。.4,c=l og040.1 2,则 a,b,c 的大小关系 为()A.abc B.bac C.acb D.cab8.(5 分)已知函数f(x)=(x+3)(x -e)+(x -e)(

3、x -n)+(x -IT)(X+3)的零点 x”X(%1 0 B.-C.x2 Xe D.x i+x2 0,且x+2 y=l,则（）A.B-Vx+V 2yoC.工3 1 0 D.x2+4y2-x y 2（多选）12.（5 分）边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用.函数/（x）的边际函数0（%）定 义 为 孙（x）=/（x+l）-/（x）.某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产x 台（xWN*）的收入函数7?（x）=3000 x-20 x2（单位：元），其成本函数为C（%）=500+4000（单位，元），利润是收入与成本之差，设利润函数为。（

4、%）,则以下说法正确的是（）A.P（x）取得最大值时每月产量为63台B.边 际 利 润 函 数 的 表达式为（无）=2480-40A:（X6 N*）C.利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）不具有相同的最大值D.边 际 利 润 函 数（无）说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.（5 分）化简：Z g 4+Z g 2 5=.14.（5 分）要在半径O/=6 0C 2的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧窟的长为50m?m,那么圆心角N/08=.（用弧度第3页（共21页）表示)1 5.(5 分)函数/(%)=si n (o u

5、+c p)(0,|(p|.)的部分图像如图所示，BC x 轴，贝!J 3=，1.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1 0 分)已知角a的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点。(3,A).5 5(1)求 c o s(a+n)的值；(2)若 ta n 0=-2,求 ta n (a -0)的值.21 8.(1 2 分)已知函数/(x)=x+a (qe R),且/(1)=5.x(1)求 a的值；(2)判断了(x)在区间(0,2)上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断.第4页(共21页)19（12 分）已知函数/（x）=V3sin

6、2x+2cos2x+2-（1）求/（x）的最小正周期；（2）将y=/（x）的图象上的各点 得到y=g（x）的图象，当XE 左 时，方程g（X）=加有解，求实数加的取值范围.在以下、中选择一个，补 在（2）中的横线上，并加以解答,如果、都做，则按给分.向左平移二个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的6一半.纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2 倍，再向右平移工个6单位.20.（12分）已知函数/（%）是定义在R 上的偶函数，当x20,f（x）=2*+3.（1）求/（x）的解析式；（2）解不等式/（2x）（尤）.21.（12分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济环保，至今还在农业

7、生产中得到使用.明朝科学家徐光启在 农政全书中描绘了筒车的工作原理，如图1是一个半径为火（单位:米），有 24个盛水筒的筒车，按逆时针方向匀速旋转，转一周需要 120秒，为了研究某个盛水筒。离水面高度力（单位米）与时间，（单位：秒）的变化关系，建立如图2 所示的平面直角坐标系xOy.已知=0时。的初始位置为点/（2,-2氏）（此时。装满第 5 页（共 21页）水).图1图2(1)夕从出发到开始倒水入槽需要用时4 0 秒，求此刻。距离水面的高度(结果精确到0.1);(2)记与。相邻的下一个盛水筒为0,在筒车旋转一周的过程中,求。与 0距离水面高度差的最大值(结果精确到0.1 ).2 2.(1 2

8、 分)已知函数 g (x)=(1)证明：g(x -2)+g(-x)2；(2)若存在一个平行四边形的四个顶点都在函数/(%)的图象上,则称函数/(x)具有性质P,判断函数g (x)是否具有性质P,并证明你的结论；(3)设点/(-4,0),函数(x)=2 g .设点8是曲线y=6(x)上任意一点，求线段长度的最小值.第 6 页(共 21页)2021-2022学 年 福 建 省 福 州 市 高 一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本照共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项提符合题目要求的。1.（5 分）sinl20 的 值 为（）A.近 B.1 C.-近 D

9、.-12 2 2 2【解答】解:sinl20=sin60=近,2故选：A.2.（5分）设集合4=小2-3 x-40,8=小 3,则（）A.x x-1 B.x x4 C.x|-4xl D.x -1 x3【解答】解：.Z=x|-lx4,8=x|xV3,：.AHBx -lx 0,炉 一 1W0”的 否 定 是（）A.irW O,娘 _10 B.Vx0,%2-i oC.3x0,x2-1 0 D.VxWO,婷-10【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，命 题“V x 0,婷-1W0”的否定是A 0,x2-10.故选：C.4.（5分）四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”的（）A.充分不必要条件 B.必

10、要不充分条件第 7 页（共 21页）C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解答】解 根 据 题 意，若四边形是菱形，则四边形是平行四边形,反之若四边形是平行四边形，则四边形不一定是菱形，故“四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”的充分不必要条件,故选：A.5.(5分)已知函数/(x)x0,以下关于/J)的结论2X,0 x 2正 确 的 是()A.若/(x)=2,贝！J x=OB.f(x)的 值 域 为(-8,4)C.f(x)在(-8,2)上单调递增D./(%)2 的 解 集 为(0,1)【解答】解：对于/,若/(%)=2,则卜 或lx+2=2 2X=2解得x=0或x=l,故/错 误；对于 8

11、,当 x W O 时，f(x)=X+2E(-,2,当 0 x V 2 时-，/(x)=2 e (1,4),故函数的值域为(-8,4),故8正确；对 于C,因为/(0)=/(1),故。错误；对于。，由/(%)2,可得 *或解得x V O或0 x+2 2 1 2X 2x0得x-L当x=0 时，f（x）无意义,/(1)=L _ln2-l排除4 D,当尤=时，/(x)=一 =L-=，-，排除1 万y-ln2 ln2-y故选：B.7.(5 分)设 4=0.123,6=3。-4,c=log0,40.12,则 a,b,c 的大小关系 为（）A.a b c B.b a cC.acb D.cab【解答】解：因为

12、a=0.123l,16=3430-5 logo,。.16=2,即 abc,故选：A.8.(5 分)已知函数f(x)=(尤+3)(尤-e)+(x-e)(x-n)+(x-第 9 页（共 21页）n)(x+3)的零点x”x2(尤 1 0 B.A L V -3 C.x2 Xe D.X 1+%2 0,f(0)=-3 e+en-3 n 0,所以/(-3)/(0)0,f(e)f(K)0,因为-3,O e (-8,1),e,HE(2 L-1,+8),3 3所以-3 V x i 0,ex2n,所以X i X 2 0,且x+2 y=l,则()A.xy-B.+V 2y -x y2【解答】解：根据题意，依次分析选项：

13、对于力,若X,歹 0,且x+2y=l,则X=l-2 y,则有盯=y （1-2y）=2y（l-2y）Q,当且仅当x=2y=工时等号成立，/正 确；2 8 2对于 8,由柯西不等式，（丁）2+（/2y2 （F+12）（x+2y）（1+1）=2%即（+&亍）2W2,变形可得+&?W 版,8正确；对于C,1+1=（耳 2）（%+2y）5+红+区3 5+4也 x 4=9,当x y x y x y V x y且仅当x=y=时等号成立，。错误；对于。，x+2y 1,则 有（x+2y）2=1,变形可得婷+4俨+4孙=1,又由 2+4俨24孙，则有 2+4、2 _1 _,。正确；故选：ABD.（多选）1 2.（

14、5 分）边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用.函数/（x）的边际函数0（%）定义为0（x）=/（x+l）-/（x）.某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产x台（x WN*）的收入函数火（x）=30 0 0%-20 短（单位：元），其成本函数为。（x）=50 0 +40 0 0 （单位，元），利润是收入与成本之差，设利润函数为。（x）,则以下说法正确的是（）A.P（%）取得最大值时每月产量为63台B.边际利润函数的表达式为M P （x）=248 0 -40 x （x C N*）C.利润函数。（x）与边际利润函数例0（x）不具有相同的最大第

15、12页（共 2 1 页）值D.边际利润函数MP(无)说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少【解答】解：对于/,P(%)=R(x)-C(x)=-20 x2+2500%-4000,二次函数。(x)的图象开口向下，对称轴为直线=空空=62 5，40.hWN*,:.P(%)取得最大值时每月产量为63台或62台，故/错误，对于 8,MP(x)=P(x+1)-P(x)=-2 0 (尤+1 )2+2500(x+1)-4000-(-20 x2+2500%-4000)=2480-40 x(xCN*),故8 正确，对于 C,P(x)max=P(62)=P(63)=74120,函数 MP(x)=2480

16、-40 x 为减函数，则用。(x)1 nMP(1)=2 4 4 0,故 C 正确，对于Q,因为函数MP(x)=2480-40 x为减函数，说明边际函数MP(x)说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，故。正确.故选：BCD.三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.(5 分)化简：反4+应25=2.【解答】解：Zg4+Zg25=lg(4X25)第 13页(共 2 1 页)=/g l O O=2.故答案为：2.1 4.（5分）要在半径O/=6 0 ca的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧源的长为5 0 n c,那么圆心角N/0 8=_卫（用弧度 6 表示）【解答】解

17、：由题意知，弧长/=5 0 冗，半径火=6 0,所以圆心角a=L=5。n=一5 三.R 6 0 6故答案为：旦L.61 5.（5 分）函数/（x）=s in （au+（p）（0,|（p|.）的部分图像如图所示，无轴，则3=2 ，p=-L.【解答】解：因为3 C x 轴，所以/（%）的图象的一条对称轴方程为=工（2+）=卫,I 2 L2 2 3 1 2 1 2-2 L=2 L=Ax 2 2 L,3 4 4 3所以0）2.由 2X?+（p=n+E,左 e Z,且 0 V（p 1.【解答】解：根据题意，分析可得/(x)为指数型函数，且底数a 1,故要求函数可以为/(%)=2e，故答案为：2 e(答案

18、不唯一).四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1 0分)已知角a的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边过点尸(旦，A).5 5(1)求 co s (a+ir)的值；(2)若 t an|3 =-2,求 t an (a-0)的值.【解答】解：角a的终边过点尸(3,a).5 5三，co s a=3,t an a=-=A,5 2 35(1)co s (a+n)=-co s a=-3；5-(-2)(2)t an (a-0)=t an、-t an r =J-=_ 2.1+tanCL tan P(-2)21 8.(1 2 分)已知函数/(无)=

19、x +a(QWR),且/(I)=5.x(1)求。的值；(2)判断了(x)在区间(0,2)上的单调性，并用单调性的定义第 15页(共 2 1 页)证明你的判断.2【解答】解：(1)因为/(X)=三旦，X所以/(1)=l+q=5,所以4 7 =4;2(2)/(%)=工%=%+三在(0,2)上单调递减，证明如下：X X设 0即%22,所以2-应 0，1 -0,xlx2所以/(修)/(x2),所以/(x)在区间(0,2)上单调递减.19(12 分)已知函数/(%)=V3sin2x+2cos2x+2-(1)求/(%)的最小正周期；(2)将y=/(x)的图象上的各点 得到y=g(x)的图象，当xE 千 时

20、，方程g(%)=加有解，求实数加的取值范围.在以下、中选择一个，补 在(2)中的横线上，并加以解答,如果、都做，则按给分.向左平移工个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的6一半.纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2 倍，再向右平移二个6单位.第16页(共21页)【解答】解：(1)函数/(x)=Vsin2x+2cos2x+2=Esin2x+2l+c；s2x+2=sin2x+cos2x+3=2sin(2x+看)+3,故函数的周期为空=n.2(2)将/(x)=2sin(2%+工)+3的图象按照变换：向左平移2L6 6个单位，再保持纵坐标不变，可得歹=2sin(2X+=+2L)+3=2COS2X

21、+3的图象，再横坐标缩小为3 6原来的一半可得g(x)=2cos4x+3的图象，当 左 时，4x6IT,COS4JTG-1,1,g(x)G1,5，若方程g(%)=z有解，则?el,5.将/(%)=2sin(2x+看)+3的图象按照变换：纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2 倍，可得y=2sin(%+看)+3的图象，再向右平移看个单位，可得g(x)=2sinr+3的图象.当 对，千 时，sim:G-1,多，g(x)62,V2+3.若方程g(x)=加 有解，则 2,泥+3.20.(1 2分)已知函数/(%)是定义在R 上的偶函数，当x20,f(无)=2计3.(1)求/(%)的解析式；(2)解不等式

22、/(2 无)玛 解).【解答】解：(1)函数/(%)是定义在R 上的偶函数，当xNO,f(x)=2叶3,第 17页(共 2 1 页)设无 V O,则-%0,：.f（）=/（-%）=2-叶3.综上，可 得/（无）等 x0.2-x+3,x0（2）当时，由不等式/（2x）2 2 f（x）可得，23+322（2计3）,艮22工-2X2-320,求得 2、2 3,或 2W-1 （舍去），.xllog23.当 xVO 时，由不等式/（2x）2?/（%）可得，2。+322（2-叶3）,即 2-公-2X2-x-320,求得2-*2 3,或 2七 -1 （舍去），-log23.综上，不等式的解集为“|xlog2

23、3或xW-log23.21.（12分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在 农政全书中描绘了筒车的工作原理，如图1是一个半径为R（单位:米），有 24个盛水筒的筒车，按逆时针方向匀速旋转，转一周需要 120秒，为了研究某个盛水筒产离水面高度。（单位米）与时间/（单位：秒）的变化关系，建立如图2 所示的平面直角坐标系xOy.已知尸0 时尸的初始位置为点/（2,-273）（此时产装满水）.第 18页（共 2 1 页）yt图i图2（1）P从出发到开始倒水入槽需要用时4 0秒，求此刻P距离水面的高度（结果精确到0.1）；（2）记与。相邻的下

24、一个盛水筒为。，在筒车旋转一周的过程中,求。与0距离水面高度差的最大值（结果精确到0.1 ）.【解答】解：（1）由于筒车转一周需要1 2 0秒，所以P从出发到开始倒水入槽的4 0秒，线段0/按逆时针方向旋转了 2兀x组卫，1 2 0 3因为Z点坐标为（2,-2）,则 7 2?+（2丹9=4,以。4为终边的角为 工，3所以。距禺水面的高度为4 X si n +2A/3=4 2 6.9?.3 3（2）由于筒车转一周需要1 2 0秒，可知。转动的角度为强，a d/s，又以04为终边的角为 三，3则P开始转动t秒后距离水面的高度h,=4 s i n （工t工）+2，0 W/W1 6 0 31 2 0,

25、如图所示,第 19页（共 2 1 页）yP,0两个盛水筒分别用点8,。表示,则/皿智喻点C相对于点B始终落后三rad,12此时。距离水面的高度h2=4sin喻t爷)+2百，则P,。距 离 水 面 的 高 度 差 =|-/2|=,71 TT、z JT 5 打、=4|sin(而F Asin(而t R)4|sin(-rt-)+sin(-rt)|忘120，O U o J L N bu利 用 sin0+sin(p=2sin国铲cos9丁,可得=当工 旦=或 生 必 解得，=22.5或k 8 2.5,60 8 60 8故H最大值为8 sin 2=l.024所以尸与。距离水面高度差的最大值约为1.0小.22

26、.(12 分)已知函数 g(x)=log2-.(1)证明：g(%-2)+g(-x)=2；(2)若存在一个平行四边形的四个顶点都在函数/(x)的图象上,则称函数/(%)具有性质尸，判断函数g(x)是否具有性质P,并证明你的结论;(3)设点/(-4,0),函数力(x)=2g 8 .设点台是曲线丁=(%)上任意一点，求线段4 3长度的最小值.第 2 0 页(共 2 1 页)【解答】解：(1 )g(x -2 )+g(-x )=l o g2 2(x-2)+lOg22：2 x x 2-xl o g 2 1 2(x-2).卫 =l o g 2 4=2；(2)由(1)知，g(x)的图象关于x 2-x点 (-1

27、,1)中心对称，取函数g (x)图象上两点C (2,0),Q(-4,2),显然线段C D的中点恰为点M；再取函数g (x)图象上两点E (2,-1),F (-1,3),显然线段3 3跖的中点也恰为点因此四边形C。厂的对角线互相平分，所以四边形。瓦才 为平行四边形，所以函数g (无)具有性质。；(3)h(x)2s 0),x o+2则|/8|2 =|沏+4|2+|2=Go+4)2+(2M)2=(%o+4)2+(2-A .)2=(x o+2)2+4 (沏+2)+4+一-+4,x o+2 (x0+2)2 x o+2记沏+2 =/(/V O 或 f2),贝|4 3|2=产+4什 也-也+8=Ct-1)2+4 (t-1)+1 6,1 2 t t t记 L 9=，贝 已Z 4|2=2+4+i 6=(M+2)2+1 2,t所以，当=-2,即沏=-3 -遍时，|/外加=2百.第 2 1 页（共 2 1 页）