2023年中考数学压轴题30代数中的新定义问题（教师版含解析）.pdf

《2023年中考数学压轴题30代数中的新定义问题（教师版含解析）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年中考数学压轴题30代数中的新定义问题（教师版含解析）.pdf（32页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)专 题 3 0 代 数 中 的 新 定 义 问 题典例剖析._ 例 1 (2 0 2 2 重庆)对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N,若 N 能被它的各数位上的数字之和，整除，则称N 是?的“和倍数”.例如：2 4 7+(2+4+7)=2 4 7+1 3=1 9,；.2 4 7 是 1 3 的“和倍数”.又如：；2 1 4+(2+1+4)=2 1 4+7=3 0.4,；.2 1 4 不 是“和倍数”.(1)判断3 5 7,4 4 1 是否是“和倍数”？说明理由；(2)三位数N 是 1 2 的“和倍数”，a,b,c 分别是数/其中一

2、个数位上的数字，且 ab c.在“,b,c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为尸(力)，最小的两位数记为GG4),若F(A)+G(A)为整数,求出满足条件的所有数1 6【分析】(1)根 据“和倍数”的定义依次判断即可；(2)设力=a/?c(a+/?+c=1 2,a b c),根据“和倍数”的定义表示/(力)和G (4),尸(4)+G(4)代入-中，根据-为整数可解答.1 6 1 6【解答】解：(1)V 3 5 7 4-(3+5+7)=3 5 7+1 5=2 3.1 2,，3 5 7 不 是“和倍数”；V 4 4 1 4-(4+4+1)=4 4 1+9 =4 9,.4 4 1 是 9的“

3、和倍数”；(2)设力(+力+c=1 2,abc),由题意得：F (A)=ab,G (A)=cb,.尸(4)+G(A)abcb 1 0 a+b +1 0 c+匕 1 0(a+c)+2 b1 6 -1 6 1 6 1 6F(A)+G(A),.a+c=1 2-6,一23 为整数，1 6.F(4)+G G 4)1 0(1 2 。)+2 b 1 2 0 8 b 1 1 2+8-8 匕 1-=-=-=-=7+31 6 1 6 1 6 1 6 2V l 6 9,:b=3,5,7,，a+c=9,7,5,a =8 (a=7当力=3,a+c=9 时，匕=3 (舍)，b =3,c=1 (c=2则/=7 3 2 或

4、3 7 2；(a=6当 6=5,a+c=7 时，b=5,(c=1则/=1 5 6 或 5 1 6；当b=7,a+c=5时，此种情况没有符合的值：综上，满足条件的所有数/为：7 3 2或3 7 2或1 5 6或5 1 6.【例2】(2 0 2 2秋西城区校级期中)将个0或1排列在一起组成了一个数组，记为Z =5，松，G,其中，a,，加都取o或1,称/是一个元完美数组(2且为整数).例如：(0,1),(1,1)都是2元完美数组，(0,0,1,1),(1,0,0,1)都是4元完美数组，但(3,2)不是任何完美数组.定义以下两个新运算：新运算 1：对于x 和y,x*y=(x+y)新运算2：对于任意两个

5、元完美数组/=(X”X2,，x)和汽=，/),M N=Cx*y+x2*y2+-+xn*yn),例如：对于 3 元完美数组 M=(1,1,I)和 N=(0,10,1),有 M0 N=三(0+0+2)=1.(1)在(0,0,0),(2,0,1),(1,1,1,1),(1,1,0)中是 3 元完美数组的有：(0,0,0),(1,1,0)；(2)设/=(1,0,1),B=(1,1,1),则/区8=2 ；(3)已知完美数组/=(1,1,1,0)求出所有4元完美数组N,使得M 8)N=2；(4)现有m个不同的2 0 2 2元完美数组，皿是正整数，且对于其中任意的两个完美数组C,。满 足C=0,C、。中对应

6、的元都不相等或C、。中对应的元都相等且为0,.C、。是不同的两个完美数组，C、。中对应的元都不相等，.?的最大值为2023,当。确定后，。中的对应元与C 中的不同,当 C(1,0,1,0,，1)则。(0,1,0,1,，0).【例 3】(2022秋茅箭区校级月考)对x,y 定义一种新运算T,规 定T(x,y)=喙罗(其中 0,6 是非零常数，且 x+y#0),这里等式右边是通常的四则运算.如：T(3,1)=ax32+bxl2 9a+b 丁，、a m2+4 b3+1 3+1 m-216a+b(1)填空：7(4,-1)=-(用含“，8 的代数式表示)；-3 -(2)若 T(-2,0)=-2,且 T(

7、5,-1)=6.求 a 与 6 的值；若 T(3机-10,-3机)=T (-3m,3m-1 0),求 m 的值.【分析】(1)利用新运算的规定解答即可;(2)利用新运算的规定得到关于。，6 的方程，解方程即可求得结论;利用新定义的规定列出关于，的等式，再将解答即可.【解答】解：(1)T(4,-1)4-17 2a x V+b x J l)，1 6 a+b3故 答 案 沏 誓(2)：T(-2,0)=-2,.a x(-2)2+b x 021*.-=-2-2+01.V 7(5,-1)=6,.ax52+d x(-l)25-1=6,，25a+b=24,M=24-25=-1,，=1,b-1.：7(3/n-1

8、0,-3m)=T (-3?，3m-10),.lx(3m-10)2+(-l)x(37n)2 lx(-3zn)2+(-l)x(37n-10)2=,3nl 10 37n 3T?I+3?71 109nr-60/H+IOO-9m2=9m2-9/?2+60/w-100,；-20m=-200,:.m二可经检验，”蕤原方程的根，:m二可【例 4】(2022安顺)在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点.例如：点(1,1),(3 ：),(-V 2,-V 2),都是和谐点.(1)判断函数y=2 x+l的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；(2)若二次函数yuaf+Gx+

9、c(aW O)的图象上有且只有一个和谐点修，-).求a,c 的值；若 K W 机时，函 数 产/+6*+o+*(aW O)的最小值为-1,最大值为3,求实数加的取值范围.【分析】(1)设函数y=2 x+l的和谐点为(x,x),可得2 x+l=x,求解即可；(2)将 点(&,-)代入y=or2+6x+c,再由 M+Gx+cnx 有且只有一个根，=25-4ac=0,两个方程联立即可求a、c 的值；由可知 y=-f+6x-6=-(x-3)2+3,当 x=l 时，y=-l,当 x=3 时，y=3,当x=5 时，y=-,则 时 满 足 题 意.【解答】解：(1)存在和谐点，理由如下，设函数y=2 x+l

10、的和谐点为(x,x),2J V+1 x f解得X=-1 ,.和谐点为(-1,-1);(2)；点 弓，|)是 二 次 函 数 尸 ax2+6x+c(a#0)的和谐点，5-225-z+15+c,4 二次函数y=o?+6x+c（HO）的图象上有且只有一个和谐点，/.OX2+6X+C=X有且只有一个根，=25-4。=0,_4 1-1 C=2一5甲由可知y=-f+6x-6=-（x-3）2+3,.抛物线的对称轴为直线x=3,当 x=时，y=-1,当 x=3 时，y=3,当 x=5 时，y=-1,函数的最大值为3,最小值为-1；当 3加W5时，函数的最大值为3,最小值为-1.【例 5】（2022南通）定义：

11、函数图象上到两坐标轴的距离都不大于（2 0）的点叫做这个函数图象的“阶方点”.例 如，点（,1）是函数y=x 图 象 的 阶 方 点”；点（2,1）是 函 数 图 象 的 2 阶方点（1）在（-2,-1）；（-1,-1）；（1,1）三点中，是反比例函数产招象的“1阶方点”的 有（填序号）；（2）若y 关于x 的一次函数y=a x-3 a+l图象的“2 阶方点”有且只有一个，求。的值；（3）若y 关于x 的二次函数y=-（x-）2-2+1图象的“阶方点”一定存在，请直接写出的取值范围.【分析】（1）根据定义进行判断即可；（2）在 以。为中心，边长为4 的正方形/B C D 中，当直线与正方形区域

12、只有唯一交点时，图象的“2 阶方点”有且只有一个，结合图象求a 的值即可；（3）在以。为中心，边长为2的正方形4 8 8 中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数y=-（x-）2-2+1图象的“”阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可.【解答】解：（1）（-2,-1）到两坐标轴的距离分别是21,|a+=a(x-3)+1,函数经过定点(3,1),在以。为中心，边长为4的正方形/B C D中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象 的“2阶方点”有且只有一个，由图可知，C(2,-2),D (2,2),.一次函数y=a x-3 a+l图象的“2阶方点”有且只有一个，当直线经过点C时，。=3,此

13、时图象的“2阶方点”有且只有一个，当直线经过点。时，a=-1,此时图象的“2阶方点”有且只有一个，综上所述：a的值为3或。=-1；(3)在以。为中心，边长为2的 正 方 形 中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数了=-(x-)2-2/7+1图象的“阶方点”一定存在，如图 2,当?0 时，A(/?)，B(n -n),C (-w),。(-小 ),当抛物线经过点。时，=-1 (舍)或当抛物线经过点8时，=1;时，二次函数y=-(x-)2-2+1图象有“阶方点”；4综上所述：i 1时，二 次 函 数 尸 一(2+】图象的，“阶方点，一定存在.1.(2 0 2 2 渝中区校级模拟)材料1：若一个

14、数各个数位上数字之和能被9整除，则这个数本身也能被9整除；材料2：如果一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数机可以被9整除，且m的百位上的数字比十位上的数字大2,则称加为“够二数”;将机的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到的数为八F(m)=171-喘818,例如：机=8 42 4,：8+4+2+4=1 8=9 X 2,4-2=2,8 42 4 是“够二数”，F(8 42 4)=8 4 2 4-+1 8 1 8 =6(1)判 断 1 31 4,6 536 是否是“够二数”，请说明理由,如果是“够二数”,请计算尸(?)的值；(2)若一个四位正整数n=温是“够二数”，且 三 为

15、5 的倍数，请求出所有的“够F(n)二数”的值.【分析】(1)根据新定义“够二数”进行解答便可；(2)根据新定义“够二数”及数学推理解.【解答】解：(1)1 31 4是“够二数”，6 536 不 是“够二数”.理由如下：l+3+l+4=9=9 X l,3-1=2,.1 31 4 是“够二数”,；6+5+3+6=2 0=9 X 2+2,.6 536 不 是“够二数”,4)J3 1 4-4 1 3 1 +1818999(2).一个四位正整数=a b e d 是“够二数”，.a+b+c+d=9x,其中 x 是正整数，且 x WO,贝 ij b-c=2,：.h=c+2,则 l c 7,:n=dcbaf

16、.厂/、几 九 +1 8 1 8F =-9 9 9-_ abcd dcba=1818=9 9 9_ 1 0 0 0 a+1 0 0 b+1 0 c+d-1 0 0 0 d-1 0 0 c-1 0 b-a+1 8 1 8=9 9 9_ 999Q+9 0 b-9 0 c-9 9 9 d+1 8 1 8二 9 9 9_ llla+1 0 b-1 0 c-llld 4-2 0 2=m 将b=c+2代入，F ()llla-llld+2 2 21 1 1=a-d+2,F(n)a-d+2 一”其中y 是整数,.c=5,h=l,：.a-d+2=5 y(Q+2 c +2 +d =9%/Ca-d+2)y 1,？是

17、整数，:,a-d+2=l,即 a=d-1 或 4=-3,当 a=d -1,Q-其中x W O,且是整数,la +d +1 2 =9%,.+d+1 2=9 x,a，d 是整数,当 x=2 时，g：t；2 =1 8 解得,5-27-2=adrII.n),记百位上的数字与十位上的数字之差的绝对值为RG n),令 G(m)=翦，当 G (心)能被3 整除时，求出满足条件的所有“倍和数”m【分析】根据新概念判断即可【解答】(1)m=1 0 47,；1+7=2 X (0+4),；.1 O 47 是 0”倍和数“5=46 57,V 4+7 2 X (6+5),.46 57 不是”倍和数“(2)设“倍和数”切

18、=a b(4-6)(8 -a),(其中 0 W 6 W 4 且 a,为整数).：.F(z n)=2a-8|,R(m)=2b-4|,G (m)=：n千位数上的数字与个位上的数不相等，:G(阳)能被3 整除，:G(川)=!?1!=3k(攵为整数)，由 一 2|，0 V|a-4|W 4,加 4|=3,或 7,：.K b-2=,：.b-2=f或 3,故满足条件的所有“倍和数”m 为：1 1 37,1 31 7,7 1 31,7 31 13.(2 0 2 2 两江新区模拟)材料一：若一个两位数恰好等于它的各位数字之和的4 倍，则称这个两位数为“巧数”.材料二：一个四位数N=丽满足各个数位数字都不为0,且

19、它的千位数字与百位数字组成的两位数标，以及十位数字与个位数字组成的两位数万均为“巧数”，则称这个四位数 为“双巧数”.若p=_ b d,q=a d-b e,则 记?(N)=q-p.(1)请任意写出两个“巧数”，并证明任意一个“巧数”的个位数字是十位数字的2 倍；(2)若 s,/都是“双巧数”，其中 s=3010+100 x+lQy+z,Z=1100/n+400+10n+2r,(IWx,z,W9,lWyW8,lWznW5,lW rW 4,且 x,y,z,m,w,r 均为整数)，规定 K(s,f)=奥，当 F(s)+F(?)=1 2 时，求 K(s,t)的最大值.【分析】(1)设出两位数，根据这个

20、两位数是“巧数”得出y=2 x,最后根据这个两位数是完全平方数，即可得出结论：(2)先根据这个两位数是“巧数”得出机=2，进而表示出新的两位数和三位数，再根据这个三位数与这个两位数的差为一个完全平方数得出10(9 c+a)是完全平方数，即可得出结论.【解答】解：(1)设两位数的个位数字为乃 十位数字为x,(1WXW9,1W/9),则这个两位数为(IOx+y),这个两位数是“巧数”，/.4(x+y)=10 x+y,y 2xt即：这个两位数为10 x+y=10 x+2x=12x,当x=2 时，y=4,这个两位数是24；当x=3 时，y 6,这个两位数为36；(2)5=3010+100 x+1 Oy

21、+z=3000+100.r+10(八1)+z,p=(30+y+l)-(lOx+z)=31+y-10 x-z,qi=(30+z)-(1 Ox+H-1)=29+z-lOx-y,f(S)=q-p=(29+z-10 x-y)-(31+y-10 x-z)=-2+2z-2y；t 1100/w+400+10n+2；=1000/?j+100(4+w)+10/2+2r,pi=(1 Om+n)-(40+10阳+2r)=n-40-2r,qi(10m+2r)-(40+1 Om+n)=2r-40-n,f(r)=qi-P2=(2r-40-w)-(/?-40-2r)=4r-2n,K C _ 一 2+2z-2y _ z-y-

22、l&l)/(t)-4r-2n-2r-n：f(S)+/(，)=1 2,即-2+2z-2y+4r-2=1 2,解得 2r-=7-z+y,都 是“双巧数”,AlO(JH-1)+z=4(尸4+z),解得 2八2=z,K Q _/(s)_ z-y T _ 2y+2-y-l _ y+l _ 6K(s,t)_ f(7 _ z+y _ 7 _ 2 y _ 2+y _ 5 _ y _ T +?若要使K（s,力最大，则其分母最小，分子最大.,TWzW9,；.lW y W 3,且），为正整数，取 3,：.K（s,力的最大值为2.4.（2022大足区模拟）对任意一个四位正整数相，如果机的百位数字等于个位数字与十位数字

23、之和，m的千位数字等于十位数字的2 倍与个位数字之和，那么称这个数m为“和谐数”.例 如：加=7 4 3 1,满 足 1+3=4,2X 34-1=7,所 以 7431是“和谐数”.例 如：m=6 4 1 3,满 足 1+3=4,但 2X 1+3=5W 6,所以6413不是和谐数.（1）判断8624和 9582是不是“和谐数”，并说明理由;（2）若 机 是“和谐数”，且 加 与 22的和能被13整除，求满足条件的所有“和谐数”【分析】（1）根 据“和谐数”的定义直接进行判断即可；（2）设7的个位数为,十位数为b,根 据 用 是“和谐数”，则，的百位数为“+b,千位数为2 H a,再根据用与2 2

24、 的和能被13整除，即可解答.【解答】解：（1）冽=8624,6=2+4,8=2 X2+4,.8642是“和谐数”；Vw=9582,5关8+2,.9582不 是“和谐数”；（2）设加的个位数为a,0W aW 9,十位数为6,0W 6W 9,且。、6 为整数，.加是“和谐数”，的百位数为 a+b（0Wa+bW9）,千位数为 26+。（0+a）+100（a+b）+10/+a=1 lOla+2110ft,:加 与 22 的和能被13整除，.1101。+2110fr+22=13（84+1626）+9a+4b+22 能被 13 整除,：.9a+4 b+22 能被 13 整除，：2什a W 9,且 a、6

25、 为整数，a 只能取0,1,2,3,4,.力=1 时,，a=0 或 b=2 时，a=l 或 b=3 时，a=2 或 b=4,a=3 或 b=5,a=4 或 b=6,a=5（不合题意舍去）或b=7,a=6（不合题意舍去）或 6=8,a=7（不合题意舍去）或 6=9,。=8（不合题意舍去），.a+h=1,2b+a=2 或 a+6=3,2b+a=5 或 a+6=5,2b+a=8 或 a+b=7,2b+a=11 （不合题意舍去）或 a+6=9,2b+a 4（不合题意舍去），：.m 的值为 2110 或 5321 或 8532.5.(2021 北倍区校级模拟)定义一种新运算：对于实数x、y,有 (x,y

26、)=ax+by(其中a,6 均为非零常数)，由这种运算得到的数称之为线性数，记为L(x,y),其中x,y 叫做线性数的一个数对，若实数x,y 都取正整数，称这样的线性数为正格线性数，这时的x,y 叫做正格线性数的正格数对.3 1 1(1)若 L(x,y)=2x+7y,则 L(3,-2)=-8,L(-,-1)L1 go 2(2)已知 A(5,-)=畔，L(2,-)=8.3 3 5 若 L(机-1,m+2)为正格线性数，求满足66 A(w-1,机+2)9 9 的正格数对有哪些？若正格线性数(x,y)=5 5,满足这样的正格数对中，有满足问题的数对吗，若有，请找出；若没有，请说明理由.【分析】(1)

27、将所求中的x、y 分别代入/(x,y)=2x+7y,即可求解；3 1(2)列出二元一次方程组并求出L(x,y)=3x+”，再由所给条件求出7-即可求出满足条件的m,即可确定正格数对；结合分别求出满足条件的小y 的值，再与中的正格数对进行比较即可.【解答】解：(1),:L(x,y)=2x+1y,：.L(3,-2)=2X3+7X(-2)=-8,3 i 3 i iL(一,-5)=2x-x+7X(-y)=-5,2 2 2 2 2故答案为：-8,-4；1 so 2(2),：L(5,一)=亭，L(2,-)=8,3 3 55038=bb1-32-5.(a=3*U=5，:L(x,y)=3x+5y,.,(？-1

28、,加+2)为正格线性数,V66Z(m-1,m+2)99,A663(w-1)+5(m+2)99,3 1:7 O w 0 的整数，.x 5 或 x=10 或 x=15,；.y=8 或y=5 或y=2,.没有满足问题的数对.6.(2022秋岳麓区校级期中)对x 定义一种新运算E,规定 (x)=(a 2)(26x-3),其中 a,6 是非零常数.如：当 a=l,8=1 时.，E(x)=(x+2)(2x-3)=2x2+x-6.(1)当 a,6 满足(a-2+依+6|=0时，计算E(x)；(2)已知E(2 3x)=|/一 2x-学，请求出，的值；(3)若当。=3,6=2 时，关于x 的不等式组E(x)2x

29、(6%+3)2k4E(2+x)-E(2x-1)0,|什6|0,1二4-2=0，6+6=0,Q=21 ,b =-6u,1AF(x)=(x+2)(-12x-3)=-6)-24x-6=-6 x2-苧 6；(2),:E(2-3x)=a(2-3x)+22b(2-3x)-3=18x2-3a(4/)-3)+6b(2+2a)x+(2+2。)(4 6-3)=lSabx2-(24ab-9a+i2b)x+(8M-6+8b-6),，18a6=|,-(24ab-9a+2b)=-2,8az -6a+83-6=-竽，：.a b=,：.2-9+1 2力=2,，-9。+1 2 6=0,，3a=4 b._a 4 =一.b 3(3

30、)当 a=3,6=2 时，E(x)=(3x+2)(4 x-3)=1 2?*6,.*.(x)-2x(6 x+3)=-7 x -6.当。=3,6=2 时，4 E(2+x)-(2 x-1)=2 38 x+1 5 3,原不等式组可化为：7x-6W2k,解得竽W X V患,.不等式组恰好有5个整数解，：.l l W k y,求 T (4,x)-T(4,y)的值.【分析】(1)由题意可得T (?+,-1)=m2+i+l=6,求出m的值即可;(2)由题意可得 x 4,y 0,/+1 -1,T(m2+l,-1)=/n2+l+l=6,解得m 2或m=-2,故答案为：2或-2；(2)：.x4,y4,：.T(4,x

31、)-T(4,y)=4+x-(4-y)=x+y,y=8,：.T(4,x)-T(4,y)=8.8.(2 0 2 2春巴中期末)定义：如果两个一元一次方程的解之和为1,我们就称这两个方程为“美好方程”.例 如：方程2 x-1=3和 卅=0为“美好方程”.（1）请判断方程4 x-（户5）=1与方程-2y-y=3 是否互为“美好方程”：X（2）若关于x 的方程：；+加=0 与方程3x-2=x+4是“美好方程”，求?的值；21 1 1（3）若关于x 方程1=0 与=:y+l=3 x+Z 是“美好方程”，求关于歹的方程工不2022 2022 7 2022（y+2）+1 =3y+k+6 的 角 星.【分析】（

32、1）分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可；（2）分别求得两个方程的解，利 用“美好方程”的定义列出关于2 的方程解答即可；1 1（3）求得方程1=0 的解，利 用“美好方程”的定义得到方程一二x+l=3x+%的2022 2022解，将关于y 的方程 J=（2）+1=3叶衣+6 变形，利用同解方程的定义即可得到y+2的值，从而求得方程的解.【解答】解：（1）方程4x-（x+5）=1 与方程-2 y-y=3 是互为“美好方程”，理由：解方程4x-（x+5）=1得：x=2,方 程-2y-y=3 的解为：y=-1Vx+y=2-1 =1,方程4 x-（壮5）=1 与方程-2 y-y

33、=3 是互为“美好方程”；x（2）关丁，x 的方程一+，=0 的解为：x=-2m,2方程3 x-2=/4 的解为：x=3,X关于x 的方程5+加=0 与方程3x-2=x+4是“美好方程”，-2 计 3=1,*/w =1 ；（3）方程 一X-1=0 的解为：x=2022,20221 1V 关于x方程-1=0 -x l=3 x k是“美好方程）2022 20221方程-x+l=3x+k 的解为：x=-2021.20221 1二关于y 的方程（y+-2）+1=3尹攵+6 就是：二一（八2）+1=3（y+2）+，2 0 22 2 02 2Ay+2=-2021,y=-2023.1；关于y 的方程茄叁（产

34、2）+1=3产6 的解为：y=-2023.9.(2 02 2 春岳麓区校级期末)对，b 定义一种新运算7,规7 E：T (a,力)=(2 a-b)(a x-b y)(其中x,歹均为非零实数).例如：T(1,1)=x-y.(1)已知关于x,y 的方程组F(l 3)=a +3,若。一,求 2 x-y 的取值范围；(7(2,0)=8 a(2)在(1)的条件下，已知平面直角坐标系上的点A(x,落在坐标轴上，将线段OA沿 x轴向右平移2个单位，得线段O A,坐标轴上有一点B满足三角形8 0 4 的面积为 1 5,请直接写出点8的坐标.【分析】(1)应用新运算7定义建立方程组，解关于X、y 的方程组可得1

35、Q+a2-3=Xy进而得出(4+1)=第 7,再运用不等式性质即可得出答案；3 32 2 2(2)根据题意得力(a,-a+1),由平移司得力 (a+2,-a+1),根据点Z (a,a+1)3 3 3落在坐标轴上，且 4W-1,分类讨论即可.【解答】解：(1)由题意得：=。+3,得2 4 2x-y=2a-(a+1)=可-1,4-37-4aa4-3*.2 x -y OB x =6.08=60,：.B(0,6 0)或(0,-60)；综上所述，点 8 的坐标为8(0,6 0)或(0,-60).10.(2022春遵义期末)我们规定.关于x,y 的二元一次方程ax+6y=c,若满足a+b=c,则称这个方程

36、为 幸福”方程.例如：方程2x+3y=5,其中a=2,b=3,c=5,满足a+6=c,则方程2x+3y=5是“幸福”方程，把 两 个“幸福”方程合在一起叫“幸 福”方程组.根据上述规定，回答下列问题，(1)判断方程3x+5尸 8 是“幸福”方 程(填“是”或“不是”)；(2)若关于x,y 的二元一次方程h+(k-1)=9 是“幸福”方程，求人的值；若 仁 Z.关 于 x,y 的“幸福”方程组产T 的 解,求4 P+7q的值.【分析】(1)根 据“幸福”方程的定义判断即可；(2)关于x,y 的二元一次方程(八 1)y=9 是“幸福”方程，贝 IJA+左-1=9,解出k即可;(3)根 据“幸福”方

37、程组的定义可得|巾雪+1=”-1,解出由和 ，然后代入x 和y的值求出代数式的值即可.【解答】解：V 3+5=8,方程3x+5y=8是“幸福”方程.故答案为：是.(2).关于x,的二元一次方程云+(衣7)y=9 是“幸福”方程，：.k+k-1=9,解得k=5,./的值是5；(3).方 程 组 产 弋?1+A=-1是“幸福”方程组，(mx+2my=n.(m 4-m+l=n-1*bn 4-2 m=n解得m，原 方 程 组 为 二:，%二 是 关 于”的“幸福”方 程 组 像 设；2 厂1的解，.0 p +3q=512P+4q=6+得，4k7g=11.即 4p+lq的值为II.11.(2022秋开福

38、区校级期中)定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2 倍的点，则把该函数称为“青一函数”，该点称为“青一点”，例如：“青一函数 y=x+l,其“青一点”为(1,2).(1)判断：函数y=2x+3 不是“青一函数”(填“是”或“不是”)；函数y=9的图象上的青一点是(2,4)或(-2,-4)；(2)若抛物线y=(rn-1)/+mx+/山上有两个“青一点”，求机的取值范围；(3)若函数y 二/+一 4+2)+守-称的图象上存在唯一的一个“青一点”，且当-1W?W3时，的最小值为左，求人的值.【分析】(1)根 据“青一函数”的定义直接判断即可导出结论；(2)根据题意得出关于x 的一元二次方程，再判

39、断根的判别式即可得出结论；(3)根据题意得出关于x 的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论.【解答】解：(1)令2x+3=2x,方程无解，二函数y=2x+3不 是“青一函数”；令y=g=2 x,解得x=2 或 x=-2,二函数y=1 的图象上的青一点是(2,4)或(-2,-4)；故答案为：不是：(2,4)或(-2,-4)；(2)由题意可知，(m-l)x 2 +mx+ni=2x,整理得，(?-1 )+(zn-2)x+J?=0,.抛物线y=(m-l)x2+上有两个“青一点”，:卜=(/W -2)2-4x 1(m-1)0 且加-IWO,解得m V1且阳W1 .(3)由题意可知，%2 4-(m-

40、fc 4-2)x+7 _ 5=Xfo=-2-n一4X+7LA-o n k，A=(m-k)2-4(-)=0,4 2整理得，=(7 M k)?+2k(-1加 W3),对称轴为直线m=k,此时n的最小值为2k；根据题意需要分类讨论：尸 皖 I，2k k：.k=0；?3 ,无解；U m i =（3-k）2+2k=k砂J 2U m i n=（-1 -k）2+2k=k.=弓 匹 或/=弓 匹（舍去）.综上，k的值为0或二3y.1 2.（2 0 2 2 秋雨花区期中）2 0 2 2 年 1 0 月 1 6 日，习近平总书记在中共二十大会议开幕式上作报告发言，在阐述第四个要点”加快构建新发展格局，着力推动高质

41、量发展”时，提出了两个“高水平”，即“构建高水平社会主义市场经济体制”和“推进高水平对外开放”在数学上，我们不妨约定：若函数图象上存在不同的两点/（X 1，）、B（X 2,”）（X 1#X 2），满足纵坐标相等，即y i=，则称点工、8为这个函数的一对“高水平点”，称这个函数为“高水平函数”.（1）若点P （2 0 2 2,p）和点。，2 0 2 3）为“高水平函数 y=|x+l|图象上的一对“高水平点”，求回令的值；（2）关于x的函数（k、6为常数）是“高水平函数”吗？如果是，指出它有多少 对“高水平点”，如果不是，请说明理由；（3）若点（1,机）、N（3,）、尸（x o,y o）都在关于x

42、的“高水平函数 y u H+f ot+c（a、6、c 为常数，且 a 0）的图象上，点 M、尸为该函数的一对“高水平点”，且满足m n c,若存在常数w,使得式子：w+空 一 也（）2 +2 恒成立，求 w的取值范围.【分析】（1）根据定义可得p=2 0 2 3,再 由 20 23 =|+1|,求 出q=-20 24,即可求p+q的值；（2）分两种情况讨论：当*=0 时，函数了=6+6 是“高水平函数”，有无数组“高水平点“；当�时,，由于人叫=履2（衣0），则有内=也，这与4 （x i，f c c i+6）、B（X 2,kx2+b）是两个不同的点矛盾，此时，y=b+6 不 是“高水平函数

43、”；（3）由题意求出2 V x o 3,再由八=一 就 一 与+2=（x+2）2+3,求出力的取值范围为苧 h 就%（）+2恒成立，可 知.+1,即可求心一孑【解答】解：（1）由题意可知，=泄，即p=2023,将 点。（夕，2023）代入函数7=*+”,/.2023=|4-1|（qW2022）,解得 q=-2024,p+夕=2023+（-2024）=一 1；（2）当A=0时，函数是“高水平函数”，有无数组“高水平点J当人#0时，不 是“高水平函数”，若存在高水平点，设一组高水平点为力（x i，kxi+b）、B（工2，kx2+b）,:kx+b=kxz+b（左HO）,:kx=kx2（攵WO）,，x

44、i=X2，这与力（x i，kxi+b）、B（必kxi+h）是两个不同的点矛盾，当左W 0时，歹=后力不是“高水平函数”；（3）:m=a+b+c,=9a+3b+c,m nc,a+Z?4-c9a+36+c 0）,解得4 V V 3,即3 V 2 V 4,a a ,点M、尸为该函数的一组“高水平点”，纵坐标相等，由抛物线对称性包土=一2,得：2XO 彳%Q%o+2恒成“设/t=-彳 XQ XQ+2=不（x+2）2+3,13,谭 h v+w Z 1,40 vv?-13.（2022秋惠水县期中）九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数歹=41工2+6工+口（W0,Q,b l，c

45、 i是常数）与y=2x2+b2x+C2（2WO,Q2，历，C2是常数）满 足。1+。2=0，b l=b 2,。1+。2=0,则这两个函数互为“旋转函数”.求函数歹=27-3%+1的“旋转函数”.小组同学是这样思考的，由函数y=2,-3%+1可知，田=2,加=-3,。1 =1,根据m+2=0,h=b l，Cl+C2=0，求出42，历，C2就能确定这个函数的“旋转函数”.请参照小组同学的方法解决下面问题：（1）函数y=，-4x+3的“旋转函数”是）,=-/-4x-3；（2）若函数y=5 f+（阳-1）x+n与），=-5x2-nx-3互 为“旋转函数”，求（阳+）20 22的值；(3)已知函数y=2

46、(x-1)G+3)的图象与x轴交于4 B两点、,与歹轴交于点C,点A,B,。关于原点的对称点分别是小，B,Ci，试求证：经过点小，Bi，。的二次函数与y=2(x-1)(x+3)互 为“旋转函数”.【分析】(1)由二次函数的解析式可得出m，历，c i的值，结 合“旋转函数”的定义可求出4 2，bz，C2的值，此问得解；(2)由函数y=5，+(加+1)x+与y=-5/-3互 为“旋转函数”，可求出加，的值，将其代入(加+)2 0 2 1即可求出结论；(3)利用二次函数图象匕点的坐标特征可求出点4 B,。的坐标，结合对称的性质可求出点彳1,B,。的坐标，由点小，Bi,Ci的坐标，利用交点式可求出过点

47、小，Bi，。的二次函数解析式，由 两 函 数 的 解 析 式 可 找 出bi，c i,ai,历，C2的值，再由m+2=0,b=b2,c i+0 2=0可证出经过点4,Bi,。的二次函数与函数y=2(x -1)(x+3)互 为“旋转函数”.【解答】解:由函数歹=工2-4 x+3知，ai =L加=-4,c i=3,1+。2=0，b=b2,Cl+C2=o，4 2=-1，历=-4,C2=-3,/.y=-x2-4 x -3,故答案为：y=-x2-4 x -3；(2)解：根据题意得：1 1311Gn,解 得:1 2,(m+)20 22=(3-2)20 22=1；(3)证明：化简y=2(X-1)(x+3)y

48、=2x2+4 x-6,贝i j/、B、C三点的坐标分别为/(1,0),8(-3,0),C(0,-6),：.A,B、C三点关于原点对称的点坐标分别为由(-1.0),B(3,0),Ci (0,6),经 过 山、8 1、。三点的函数解析式为y=-2.+4.丫+6,.y=-2f+4 x+6与原函数y=2(x -1)(x+3)是旋转函数.1 4.(20 22秋长沙期中)在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标3倍的点称为“一中点”,例 如 点 1,3),(2,6),(V 3-1,3 V 3-3),都是一中点”.例 如：抛物线4上存在两个“一中点”P i (4,1 2),2(-1，T).(1)在下列函

49、数中，若函数图象上存在“一中点”，请在相应题目后面的括号中打“J”，若函数图象上不存在“一中点”的 打“X”.d)y=2 x -1 V ；y=x2-J；y=/+4 X .12 2(2)若抛物线(记+3)x-m2-w+1上存在“一中点”，且与直线y=3 x 相交于点力(xi，y)和 5(必”)，令E=XJ+X2 2,求，的最小值；(3)若 函 数 产#+(6-c+3)x+a+c-2的图象上存在唯一的一个“一中点”，且 当-1W6W2时，a 的最小值为以 求 c 的值.【分析】(1)根据定义进行判断即可；12 2(2)由定义可得3x=-/+(-m+3)x-ni2-ni+1,再由判别式A=7 -1

50、0,求出MW2 3 91,根据根与系数的关系可得仁5(加一 2-去 当加=1 时，f 有最小值g;(3)山定义可得 x?+(b-c+3)x+a+c-2=3x,ill题意可知 =(.b-o)-a-c+2=0,得到a=(b-c)2-c+2,当-1WCW 2时，b=c时，a 有最小值求出c的值；当 c 2 2 时，当b=2时，a有最小值求出c的值；当 c -1 时，当 b=-1 时，a有最小值，求 出 c的值.【解答】解：(1)当3x=2x-1,解得x=-1,.点(-1,-3)在y=2x-1 上，；.y=2x-1 存在一中点”(-1,-3),故答案为：V；当 3 x=-l,解得=封 烂 或 x=匕