2021-2022学年安徽省滁州市定远县高一年级下册学期第一次月考数学试题含答案.pdf

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1、2021-2022学年安徽省滁州市定远县高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1.（3+4/）+（1-2/）=（）A.4+2i B.4 2i C.1 +D.1 +5/【答案】A【分析】利用复数的加法法则直接计算即可.【详解】（3+4i）+（l-2 i）=（3+l）+（4-2）i=4+2i故 选:A.【点睛】本题考查复数的加法运算，属于基础题.2.下列说法错误的是（）A.若非零向量7 b E 有/小,b/c,则B.零向量与任意向量平行C.已知向量2万不共线，且Z，b/c,则1=0 D.平行四边形 8 8 中，A B C D【答案】D【解析】根据共线向量的定义和性质逐一判断即可选出正确答案.【详解

2、】选项A：因 为 都 不 是 零 向 量，所以由。/4，可知向量。与向量坂具有相同或相反方向.又由坂c,可得向量。与向量Z 具有相同或相反方向，所以向量。与向量。具有相同或相反方向，故工/小，故本说法是正确的；选项B：零向量与任意向量平行这是数学规定，故本说法是正确的；选项C：由“c,b/c,可知：c 与向量。具有相同或相反方向，c 与向量坂具有相同或相反方向，但是向量 石不共线，所以工=6,故本说法是正确的：选项D：平行四边形4 8 8 中，应 该 有 次=反，故本说法是错误的.故选：D【点睛】本题考查了共线向量的定义和性质，考查了相等向量的定义，考查了零向量的性质，属于基础题.3.已知正方

3、形/8 C O 的边长为6,M 在边8 c 上且8C=38M,N 为D C 的中点，则下7 丽=A.-6B.12C.6D.-12【答案】A【分析】以向量8 4元 为 基 底，将 施，丽 用基底表示，结合向量数量积的运算律，即可求解.【详解】由M在边8 c上且8 C=3 8 M,N为QC的中点，=B M-B A =-BC-BA3 ,BN=BC+CN=BC+-CD=BC+-BA2 2 ,AM-BN=B C-B A）-（BC+BA）=LBC2-BCBA-BA=1 2-1 8 =-63 6 2故选：A.【点睛】本题考查向量基本定理以及向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题.4 .若向量，方满足

4、口一1，且 7 2,则向量。与6的夹角为（）军 工 2 4 5万A.6 B.3 c.3 D.6【答案】B【分析】由已知条件结合数量积公式化简即可求解.同=同=1 a（a-b=-a a-h=-l a p -|5|-|-c os/a,f r）=c os（5,f c）=【详解】因 为 门H 2 ,即 2,1 1 1 1 I I /2 ,求 得 /2,71所以向量1与B的夹角为3.故选：B5 .在“8 C 中，AB=c,AC=b,若点。满足5 0 =2 O C,则 而=（）2-1-5-2-2-11 1-2-b+c c b b c b+cA.3 3 B.3 3 C.3 3 D.3 3【答案】AAD-AB

5、-BD-c+_6C-c+（6-c）64-c【详解】试题分析：3 3 3 3 3,故选A.6.己知i 是虚数单位，复数4=-3 +2i,Z2=l-4 i,则复数z=4+Z2在复平面内表示的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【分析】根据复数的加法运算，表示出复数z,进而得到其在复平面内表示的点坐标，即可得到所在象限.【详解】由复数加法运算可知z=z+z2=-3+2/+1 -4/=-2-2/在复平面内表示的点坐标为（-2,4）,所以所在象限为第三象限所以选C【点睛】本题考查了复数的简单加法运算，复平面内对应的点坐标及其象限，属于基础题.7.如图所示，隔河可以看到对

6、岸两目标A,B,但不能到达，现在岸边取相距4km 的 C,D 两点,测得NACB=75。，ZBCD=45,ZADC=30,ZADB=45（A,B,C,D 在同一平面内），则两目标 A,B 间的距离为km.7 、/X、/、45。.&45。30。7 4 nC 4km 口8 4屏 2715A.3 B.3 C.3 D.2亚【答案】B【分析】由已知可求NC4D=30。，N4CO=120。，由正弦定理 可 求 的 值，在A5CD中，NC8D=60。，由正弦定理可求3。的值，进而由余弦定理可求N 8的值.【详解】由已知，A/ICZ）中，NC4Z）=3O。，48=120。，C D AD由正弦定理，sinZCJ

7、D smAACD,彳 c CZsinZ/lC 4sinl20 r-所以“-sinNCW-sin300-,在 A5CD 中，Z C B D=60,C D BD由正弦定理，sinZCBD sinZBCD,八 八 CDsinZBCD 4sin45 4 r：BD=-=-=V 6所以 sinZCBD sin600 3AB2=AD-+B D2-2AD B D Z A D B =AB=-在A48。中，由余弦定理，3,解得：3所以A 与B 的距离 3故选B【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题.8.欧拉公式*=co sx +isinx（i 为虚数单

8、位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，他将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论中占有非常重要的地位，特别是当x=i 时，e+l=被称为数学上的优美公式.根据欧拉公式，e%+e表示复数Z,则目=（）A.2+G B.6 C.2 D.2-K【答案】B.2 V3-1 V3+1 .【分析】根据欧拉公式将e+e 3 化简为 2 2，再利用复数模的计算公式计算即可.e +=c o s-+zsin-+cos+/sin=1 +-/【详解】根据欧拉公式有 6 6 3 3 2 2V3-1 V3+1 .Z=-F-1所以 2 2z|=J（空）、（年）；=夜故选：B【点睛】本题主要考

9、查复数模的计算，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.9.三棱柱/8 C-481G 中，Z BAC=90 ,AB=A C =a,/4 片=/4 =60,N881G=90,侧棱长为好则其侧面积为（）A,B.丁帖 c H+上 W D.【答案】C【分析】先由题中条件，得到侧面/蜴8 和侧面 4 C C 为一般的平行四边形，侧面8 8 C C 为矩形,根据题中数据，分别计算三个侧面的面积，即可求出结果.【详解】如图，由已知条件可知，侧面 田田和侧面 4 G C 为一般的平行四边形，侧面8 8 C C 为矩形.在 A/48C 中，Z.BAC=90,AB=AC=a,BC=2a，:.S矩 形=应。，b=6

10、a b./力向=N44G=60,4B=AC=a,点 8 到直线4 4 的距离为Q sin 600=石 a2S四 边 形 阴 过杉=S伙*岫Sfl1 1 J=2x ah+41ah=3 +4116故选C【点睛】本题主要考查棱柱的侧面积，熟记棱柱结构特征以及侧面积公式即可，属于常考题型.1 0.下列说法中正确的个数是（）空间中三条直线交于一点，则这三条直线共面；平行四边形可以确定一个平面；若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等;若且a r v =/,则 A在/上.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】根据空间点、直线、平面之间的位置关系的公理及定理，对每项逐一判断，即可得到

11、本题答案.【详解】对于，两两相交的三条直线，若相交于同一点，则不一定共面，故不正确；对于，平行四边形两组对边分别平行，则平行四边形是平面图形，故正确；对于，若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故不正确；对于，由公理可得，若Aea,Aw,acB=l,则/e/,故正确.故选：B【点睛】本题主要考查空间点、直线、平面之间的位置关系的公理及定理的应用.11.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是（）1 +24 1 +21 1 +2万 1+4万A.4万 B.2 n C.乃 D.2%【答案】B【分析】根据圆柱的侧面展开图是一个正方形，得到圆柱的高和底

12、面半径之间的关系，然后求出圆柱的表面积和侧面积即可得到结论.【详解】设圆柱的底面半径为,，圆柱的高为,；圆柱的侧面展开图是一个正方形，2冗r=h,圆 柱 的 侧 面 积 为 功 力，圆柱的两个底面积为 圆柱的表面积为2仃2 +2仃h=谪+4/,Inr1+4万 2r2 _ 1 +2万二圆柱的表面积与侧面积的比为：荷/-故选：B.12.4垂 直 于 正 方 形 所 在 平 面，连接尸8,PC,PD,AC,B D,则下列垂直关系正确的 面P A B1 面P B C 面PAB 1 面PAD 面PAB 1 面P C D 面PAB,面 尸/CA.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】根据题意，底面为

13、正方形且尸工，平面4 8 8,则8 C 2 平面尸4 8；即可判断【详解】证明：对于，因为底面为正方形所以由 题 意 可 知 平 面Z 8 C 所以8 c工P/,而尸/n ”=/所以8 C，平面尸又因为8Cu平面8 c所 以平面P A B1平面P B C,所以正确；对于，因为8 c故由可得4），平面 力氏而 NOu平面尸力。所 以平面尸 力。_ 平面尸N B,所以正确 错 误，不垂直.综上可知,正确的为故选：B【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定，属于基础题.二、填空题1 1TR-7 A C-T N C =-A C B M -M C1 3.在平行四边形ZBC。中 =0 ,A C=e2f 4,

14、2 则丽=.（用e*2表示）2-5 G 4-e?【答案】3 1 12-B M =M C M C =B C【分析】根据向量的线性运算性质及几何意义，由 2 得 3,利用向量的三角形法 则 得 瑟=急 一 而，又 N J 1A。,M N =C N _C M f最后将就 和 次 两个向量都用。和02表示即可求得结果.【详解】如图：M N =C N-C M=国+2两=函+谆=萍+!（就 方）二 e,=4 一+3一）2-5 一2-5 一e H-e故 本 题 答 案 为 3 12 2【点睛】本题是一道关于向量运算的题目，考查平面向量的基本定理，解答本题的关键是熟练掌握向量的加法与减法的运算法则，属基础题.

15、14 .如图，设A、8两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C,测出/C的距离为5 0，C B =45 ,N C/8 =10 5。后，就可以计算出A、8两点的距离为Z d-7【答案】5 0国【分析】由NZC8与/比 1 C,求出/力8c 的度数，根据si n N 4 c8,sinZABC,以及C的长,利用正弦定理即可求出A B的长.【详解】解：在 A45 c 中，A C =5 0 m,ZACB=45 0 9 ZCAB=1 0 5 即 Z A B C =30 ABAC则由正弦定理si n N 4 c8 sinZABC,得:力 也4 C sin NACBAB=-=-r-h =5 0

16、,2msi n 48c 12故答案为：5 0 6 m【点睛】本题考查正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键.15 .如图所示，在上、下底面对应边的比为1：2 的三棱台中，过上底面一边44作一个平行于棱CC的平面 由卢/，记平面分三棱台两部分的体积为匕（三棱柱4与G-C）,匕两部分，那么匕：匕=.【答案】3：4【解析】设三棱台的高为我上底面的面积是S,则下底面的面积是4 S,计算体积得到答案.【详解】设三棱台的高为3上底面的面积是S,则下底面的面积是4S,0,.匕 Sh 31-.乂 =Shy.=-=-.vh=-h(S +4S+2S)=-Sh 匕 ls h-S h 43

17、3,3.故答案为:3.4.【点睛】本题考查了三棱台的体积问题，意在考查学生的计算能力.1 6.如图，S为等边三角形4 8 c 所在平面外一点，且SZ=S8=SC=/8,E,尸分别为S C,的中点，则异面直线后 与 C 所 成 的 角 为.【答案】45【分析】由G E%C,得 NGEF等于异面直线E尸与/C 所成角，通过求NGEF的大小，即可得到本题答案.【详解】如图，取 S 的中点G,连接GE,GF GE/AC,GF/SB:ZGEF等于异面直线EF与 AC 所成角.设 48=2,则 GE=1,GF=1.取/C 的中点M,连接MS,九 必,/SA=SB=SC=AB,bSAC,ABC 为等边三角形

18、，/.S M 1 A C,BM 1 AC,SM c B M =M.:ZC 工平面 8A/S,.-.AC 1 SB,:.E G I G F t：.Z.GEF=45.所以，异面直线 尸与 C 所成的角为45.故答案为：45,【点睛】本题主要考查异面直线所成角，把异面直线平移到一个面上，然后通过解三角形求角，是解决此类题目的常用方法.三、解答题-.1 -1-O C =-O A O D =-O B 1 7.如图所示，在 4 1 3 0 中，4,2,4。与BC相 交 于 点 设。N=a,O B=b（1）试用向量、书表示 两；（2）在线段NC上取一点,在线段8。上取一点F,使E F 过点设 酝=4a，1

19、3”I =7O F =0 B,求证：“.OM =a+b【答案】（1）7 7.（2）证明见解析.【解析】（1）设 丽=加 +元，由A、D、河 三点共线以及5、C、M 三点共线可得出关于俄与的方程组，解出这两个未知数，即 可 得 出 丽 关 于、B的表达式；一 一-OM =-a +-b OM =-a+-b（2）设“=利，利用向量的减法运算可得出 1 +1 +，结合 7 7可建立1 3 I =7等式，通过化简计算可得出2 ，即可得出结论.【详解】(1)不妨设旭=机+成由于A、D、A/三点共线，则存在 (a*T)使得万7=a砺,a n0 M-0 A =a(0D-0M 两=即 人 于是又况+a历1 +a

20、C 1 O D =-O BO A+-O BOM=2_1 +a1 -a r-a+；-2,所以1 +a 2(l+a)1m =-1 +aa则 In=-2(-1-+-a-)r.即”?+2 =l.由于8、C、M三点共线，则存在？(2*一1)使 得 丽=砺,-f_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _、-J OC P OB即。河-。=夕 伊-。外于是-O A +BO B,0O C =-O A OM =-=1ra+-b又 4,所以 1 +/4(1+/)1 +4，1m=；-4(1+/?)所 以I 1 +尸，即4?+=1,1掰=由可得 7,n=OM =a+-b7,所以 7 7(2)由于后、M、产三点共线，所

21、以 存 在 实 数 使 得 由=赤,_ _,x_ _ _ _ _ _、KJ7 O E +nO F即。河-瓦 寸 伊-西)，于是OM=F-OE =AO A,F=O B,所以=WA +ijpO B1 +7人 N 7=-a+-b1 +7 1 +7A 1匕+匕=_ +&坂所以7 7 1 +1+7,则1 +7 7 _ 31 _ 72 1 +73 _ 7.1+7,可得 1+,两式相加得N【点睛】本题考查了平面向量的数乘，向量的线性运算及向量表示三点共线，属中档题.1 8.如图，一艘船从港口。出发往南偏东7 5。方向航行了 1 0 0 k m到达港口 A,然后往北偏东6 0。方向航行了 1 6 0 k m到

22、达港口 8.试 用向量分解知识求从出发点O到港口 B的直线距离（7 2 1,4 1 4,7 1 4 5 5 6 1 2.0 6 5 ；结果精确到0.1 k m）.（提示：将 力，万 分 解为垂直的两个向量.）【答案】2 4 1.3加【分析】建立直角坐标系，利用平面向量的坐标表示公式，结合平面向量加法的几何意义和坐标表示公式进行求解即可.【详解】建立如图所示的坐标系：显然 N N O C =9 0 -7 5 =15,ZBAE=9 0 -6 0 =3 0,0 4 =100,=1 6 0 ,As in 1 5=J C =1 0 0 s in l 5 0 c o s 1 5=n O C =1 0 0

23、c o s 1 5 于是有：O A,O A,s in 3 0 =RF =1 6 0 s in 3 0 =8 0 c o s 3 0 =AF =4 E =1 6 0 c o s 3 0 =8 0 V 3r-BA,BA所 以 厉 二(1 0 0 c o s 1 5 ,-1 0 0 s in 1 5 ),存=(8 0 V J,8 0),因为O B =O 4 +/3 =(1 0 0 c o s l 5+8 0人,-1 0 0 s in l 5+8 0),所以有.陷=V(1 oo cos 150+8073)2+(-100 sin 150+80)2=J(100 cos 150)2+(80V3)2+(-10

24、0 sin 150)2+802+1600073 cos 150-16000 sin 15=,35600+32000 cos 45=20,89+40及 20789+40 x1.414=20,145.56 20 x12.065=241.31 9.如图所示，圆形纸片的圆心为,半径为6 c m,该纸片上的等边三角形4 8 c 的中心为。，点D,E,F 为圆。上的点，分别是以8 C C 4/8 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以8C，C 4 8 为折痕折起使得。，E,尸重合，得到三棱锥，则当“BC的边长变化时，求三棱锥的表面积的取值范围.【答案】(叫【分析】根据题意，设三棱锥的底面边长为。，则 4

25、 6 内，连接O D,交 8 c 与点G,则OD=6,OG=a DG=6-a从而可知 6,则 6，根据三角形的面积分别求出三棱锥的底面积和侧面积，从而得出三棱锥的表面积S=9”,根据。的取值范围，即可求出当“8 c 的边长变化时，三棱锥的表面积的取值范围.【详解】解：由题可知，等边三角形/8 C 的中心为O,圆。的半径为6,设三棱锥的底面边长为。，即等边三角形/8 C 的边长为“，如图，连接。，交BC与点、G,由题意可知，OD工BC,2 0 V3OA=x a=a则 3 2 3 OD=6,与6 r可知cu。，即 3,则0 ”653,.OP =6,OG =-x a =a DG=OD-OG=6-a3

26、 2 6 ,贝 i j 6Q 1 .V 3 23A3=x Q x a x s in 6 0 =a，三棱锥的底面积为：2 4,由题可知，ADBCQECA,AFAB全 等,则面积相等，二三棱锥的侧面积为:3s&D B C=3 x x BCx DG=3 x x a x 6-a2 2 I 69旦24所以三棱锥的表面积为:S=S&ABC3s DBC=-a1+9 a-a2=9a：0a6y/3 t 09a 5 4 5/3 ；即旌 阵。）（0,5473）所以当“BC的边长变化时，求三棱锥的表面积的取值范围是(1)求异面直线“田和 CO 所成角的正切值;(2)求三棱柱4AB-D Q C 的体积和表面积.3【答案

27、】2(2)体积6,表面积1 6 +2 月【分析】（1）因为/8/C D,所以/#与8 所成的角即为48与“5所成的角，从而得到结果;（2）根据三棱柱的体积公式和表面积公式即可得到结果.【详解】（1）在长方体中，因为4B/CD,所以“田与 所成的角即为48与4 8所成的角，即/4 比1（或补角）,t a n /.A.BA=一 AB 2 ,3所以异面直线“乃和C。所成角的正切值为5；（2）易知三棱柱4/8-O QC是直三棱柱，底面4/8是直角三角形,S=-A,A AB=-x 3 x 2 =3所 以 2 1 2又 4为三棱柱的高,所 以=4。1=3 x 2=6,又 四 边 形 为 矩 形，4 A =

28、2,9 =如，所以S 四 边 形 jj睥聊丽ABCD=2x2=4,S A D D A=2x 3 =6故所求表面积 S =座 BCD+S g.=2x 3 +27 1 3+4 +6=1 6+27 1 32 1.如图，四边形中，AB AD,AD/BC,AD=6,B C =4 4 8 =2,F 分别在8 C,4）上，E F/8 .现将四边形H B E F 沿 转 折 起，使 得 平 面 打，平面E F A C.（1）当8 =1 时，是否在折叠后的/。上存在一点乙使得3 平面4 8 尸？若存在，求出尸点位置；若不存在，说明理由（2）设 8 E =x，问当x 为何值时，三棱锥N-8 尸的体积有最大值？并求

29、出这个最大值.【答案】（1）见解析；（2）当=3 时，三棱锥/-C。尸的体积“有最大值，最大值为3AP 3【分析】（1）先找到点P0-5,再证明此时 尸平面V=，(工 一3丫 +3(2)BE=X,AF=X(0X4),FD=6-X)体积的表达式为 3V 得到答案.AP _ 3【详解】(1)存 在 点 使 得。平面48打，此 时 而-3.AP 3 AP _ 3当 PD 5 时，4D 5,MP _3过点P作 叱/E D,交.于 点 M,连接如图，则 而 一.在四边形 43CQ 中，BE=AF=L AD=6:.FD=5,：.MP=3.EC=E C/F D.-.M P/E C,且MP=E C,故四边形P

30、 C E 为平行四边形,.PC/ME.C尸 C 平面 ABEF,ME Z 平面 XBEF,.CP n 平面 ABEF(2).平面 Z8EF J平面EFZ)C,平面 N bEFc平面 7*C=EF,4F!EF,4F _ L 平面EFDCvBE=x,AF=x(0 x 4),FD=6 xi i i 9K=-x-x 2 x(6-x)x =(x-3)+3故三棱锥力-8尸的体积 3 2 3当x=3时，三 棱 锥。尸的体积厂有最大值，最大值为3【点睛】本题考查了线面平行，体积的最值，先找后证是一个常规的方法，找到体积的表达式是解题的关键.2 2.如图，正方体8C。-4 8 c A 中，E,尸分别为G A,8

31、 c 的中点.（1）求证：B,D,E,尸四点共面；（2）若 Ncnw）=p.4GCE/=0./q与平面E/咕。交于点R,求证：R Q，R 三点共线.【答案】（1）证明见解析：（2）证明见解析.【分析】（1）证明四|8。即可得出结论；（2）只需说明R0，R三点都是平面8。尸和平面/C G 小的公共点即可得出结论.【详解】证明：（1）连接8 Q,在正方体”。-/蜴*中，.E,尸分别为C Q,4G的中点，.E 尸是 4 C Q 的中位线，.产 8a,又因为BDJ/B D,：.EFU B D.四边形8 O E F 为梯形，即8,D,E,尸四点共面.（2）在正方体4 C Q i 中，4CCl BD=P,Q E F =QP Q是平面AACC与平面BD E F的交线，又因为“G交平面B D E F于点R,.R是平面AA,C,C与平面B D E F的一个公共点.因为两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上,.0 A三点共线.