2023年中考数学压轴题27以相似为载体的几何综合问题（教师版含解析）.pdf

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1、挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）_ 专题2 7以相似为载体的几何综合问题典例剖析.x._z2 1.（2 0 2 2 四川内江 中考真题）如图，在矩形AB C Z）中，AB=6,BC=4,点 M、N 分别在A B、A O上，且点E为 C。的中点，连接B E 交于点F.（1）当尸为8 E 的中点时，求证：A M=C E；（2）若葛=2,求偌的值；BF ND 若 M N/B E,求”的值.ND【答案】（1）见解析【分析】（1）根据矩形的性质，证明 B M F 注 E C F,得B M=C E,再利用点E为 C 的 中点，即可证明结论；（2）利用 凡 得 竺=吧=3,从而求出8

2、 例的长，再利用AM WS/XBWC,得EF CE 2翳=翳，求出A N 的长，可得答案；（3）首先利用同角的余角相等得乙 C B F=4CMB,W i tanZCBF=tanZCMB,得言=北，BC BM可得3 M的长，由（2）同理可得答案.（1）证明：丁厂为B E 的中点，:BF=EF,四边形4 8 c o 是矩形，J.AB/CD,A B=C D:/BMF=/ECF,/Z B F M=/EFC,；./B M F学AECF(AAS),：.BM=CE,.点E为CQ的中点，1：.CE=-CD,2:AB=CD,：.BM=CE=-AB,2：.AM=BM,：.AM=CE；(2):/B M F=/E C

3、 F,NBFM=NEFC,：.BMFsAECF,.BF _ BM _ 1*EF-CE-2,:CE=3,292:CMLMN,:C M N=9。,：.NAMN+NBMC=90。,/AM N+/ANM=900,：.4AN M=NBMC,Z A=Z M B Cf丛ANMs 丛BMC,.AN AM ，BM BC9 4N 2*3=2：.AN=-91627 37：.DN=AD-AN=4-,16 16力N _ W _ 27DN 4 3716(3),:MN BE,；./B F C=/C M N,:NFBC+/BCM=90。,V Z B C M+Z B M C=90 ,:NC B F=NC MB,t a n Z

4、C B F=t a n Z C M B,C E B C ,B C B M,3 _ 4*4-B M：.B M3：.A M=A B -B M =6-=-,3 3由 同 理 得，黑=拶，BM BCAN!亚二丁3解得：AN=g,:.D N=A D -A N=4 -,9 9.A N 1 2 丽=亘=19【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，求 出 的 长 是 解 决（2）和（3）的关键.2 2.（2 0 2 2 贵州铜仁中考真题）如图，在四边形A B C D 中，对角线4 c 与B D 相交于点。,记4 C OD的面积为S i，

5、A A O B 的面积为S 2.（1）问题解决：如图，若 A B H C D,求证：&=丝丝S2 OA OB（2）探索推广：如图，若4 B 与C D 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（3）拓展应用：如图，在0 4 上取一点E,使O E =O C,过点E作E F I I C。交0。于点尸，点”为A B 的中点，0 H 交E F于点、G,且0 G =2 G H,若箸=|,求 攀.【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3）-5 4【分析】（1）如图所示，过点。作 A E L A C 于 E,过点8作 8 尸，A C于凡 求出。E =。s

6、i n/DO E,B F=O B-s i nzB O F,然后根据三角形面积公式求解即可;(2)同(1)求解即可;(3)如图所示，过点A作力M|E 交 0B于M,取 8M 中点M 连 接 先 证 明 OEF/OCD,得到 O)=O凡证明 OEF/XOAM,得到竺=竺=三，设0E=0C=5m,OF=0D=5n,OM OA 6则。4=6?n,OM=6 n,证明 OG尸S/XOHM 推出ON=|OF=等，BN=MN=ON-OM=,则08=ON+BN=9兀，由 结论求解即可.【详解】解：(1)如图所示，过点。作月E_LAC于,过点8 作 8尺LAC于尸，；.DE=OD sin乙DOE,BF=OB si

7、n乙BOF,SAOCD=SI=；0C-DE=OC OD-sinzDOE,SOB=S2=-BF=OA-OB-sinZBOF,NDOE=NBOF,sinzDOE=sinBOF；如图所示，过点。作 AFLAC于 E,过点8 作 8AC于凡：.DE=OD sinZ.DOEf BF=OB sin乙BOF,oco=Si=(0C-DE=OC-OD-sinzDOE,SA40 F=S2=1OT4-BF=|OA OB,sinzFOF,:/DOE=/BOF,A s in z D O E =s in z B O F；Si|0 C 0D sinzD0E OC OD -；S2-OAOBsinBOF OAOB(3)如图所示

8、，过点4 作AM|EF交 0 8 于 M,取 3M 中点M 连接MVEFHCD,A ZODC=ZOFEf ZOCD=ZOEF9又；OE=OC,:0 E F 9 X 0 3 (AAS),：.OD=OF,VEFIMM,:OEFSXOAM,.OF OE 5 =一,OM OA 6设OE=OC=5m,OF=OD=5n 则。A=6m,OM=6n,.”是4 3的中点，N是BM的中点,.”N是 A8M的中位线，：.HNAMEFf:OGFSROHN,.OG _ OF OH ON9YOG=2GH,2：.OG=-OH,3,OG _ OF _ 29 9 OH-ON 一 3，：.ON=-OF=,BN=MN=ON-OM=

9、,2 2 2；OB=ON+BN=9n,由(2)可知&=位 生=也 包=至.S2 OAOB 6m-9n 54【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键.23.（2022内蒙古包头中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，4c是一条对角线，且AB=AC=5,BC=6,E,尸是4。边上两点，点尸在点E的右侧，AE=D F,连接CE,CE的延长线与B4的延长线相交于点G.(1)如 图 1,M是BC边上一点，连接AM,MF,MF与CE相交于点N.若AE=I，求4G的长；在满足的条件下，若EN=N C,求证：AM 1 BC

10、；(2)如图2,连接G F,“是G尸上一点，连接E H.若 乙EHG=KEFG+乙C E F,且“尸=2GH,求EF的长.【答案】(1)*证明见解析(2)2【分析】解：根据平行四边形4BCD的性质可证4 G E 7 D C E,得到翌=若，再根DC DE据AB=AC=5,BC=6,2E=|,结合平行四边形的性质求出DE的长，代入比例式即可求出4G的长；先根据4S4证明 ENF=CNM可得EF=C M,再根据力E=|,AE=DF求出EF=3,进一步证明BM=M C,最后利用等腰三角形的三线合一可证明结论.(2)如图，连接C F,先根据S4S证明A/IEC三A D F C,再结合NEHG=4EFG

11、+NCEF,说明E H IIC F,利用平行线分线段成比例定理可得,=/接着证明A G E-D C E,可得到翌=：,设AE=X,则DE=2%,根据4。=AE+DE=6构建方程求出口最后利用EF=AD-DE 24E DF可得结论.(1)解：如图，四边形4BCD是平行四边形，AB=AC=5,BC=6,：.AB|CD,AD|BC,DC=AB=5,AD=BC=6,G 4 E =m)E,AGE=)CE,AGE DCE 9.AG _ AE*DC DE：.AGDE=DCAE,.g|,3 9：.DE=AD-AE=6-=-,2 29 3A-/lG=5 x-,2 2：.AG=-3f.4G的长为|.证明：AD|B

12、C,:.乙 EFN=乙 CMN,:EN=NC,在AEN尸和ACNM中,(AEFN=乙 CMNEN=CN【乙ENF=乙CNMA ENF 三CNM(4S4),：.EF=CM,3：AE=-,AE=DF,2：.DF=-2f：.EF=A D-A E-D F =3,:CM=3,.BC=6,：.BM=BC-CM=3,；BM=MC,9：AB=AC,：.AM IBC.(2)如图，连接CF,UAB=AC,AB=DC,：.AC=DC,：.Z.CAD=Z.CDA,AE=DF,在4EC和。/。中,AC=DCLCAD=乙 CDA.AE=DF/EC 三DFC(SAS),：.CE=CF,：.CFE=乙 CEF :乙 EHG=

13、乙 EFG+乙 CEF,:乙 EHG=乙 EFG+乙 CEF=zFFG+乙 CFE=乙 CFG,：.EH|CF,GH GE ,HF EC:HF=2GH,GE 1 ,EC 2：AB|CD,：.GAE=CD E,乙AGE=4DCE,*AGE DCE,.AE _ GE =，DE CEAE 1 =一，DE 2：.DE=24E,设4E=x,则DE=2x,9：AD=6,AD=AE+DE=%+2x=6,/.%=2,即 4E=2,：.DF=2,.EF=A D-A E-D F =2.EF的长为2.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的三线合一,平行线的判

14、定及性质，平行线分线段成比例定理等知识.灵活运用相似三角形和全等三角形的判定及性质是解答本题的关键.24.(2022江苏泰州中考真题)已知：AABC中，。为BC边上的一点.(1)如图，过点。作。EAB交AC边于点E,若48=5,B D=9,D C=6,求。E的长;(2)在图，用无刻度的直尺和圆规在AC边 上 做 点 凡 使 硼=NA；(保留作图痕迹，不要求写作法)(3)如图，点尸在AC边上，连接8尸、DF,若/O M=N A,PBC的面积等于1c。4B,以尸。为半径作。尸，试判断直线BC与。尸的位置关系，并说明理由.【答案】(1)2(2)图见详解(3)直线8 c与。F相切，理由见详解【分析】由

15、题意易得黑=；,则有9=占 然后根据相似三角形的性质与判定可进行求BD 3 CD 5解；(2)作。T AC交A 8于点T,作/刀=乙477),射线。尸交AC于 点 凡 则 点F即为所求；(3)作BRCF交)的延长线于点R,连接CR,证明四边形48RF是等腰梯形，推出A8=FR,由 C F/B R,推出ScF8=SH FR=A B -C D =FR -C D,推出 C D LO F,然后问题可求解.(1)解：D E/A B,：.C D E-A C B A,.DE _ CDAB CBfVAB=5,B D=9,D C=6,.DE 6-6+9,：.D E =2；(2)解:作D T 4 c交A 8于 点

16、T,作N T D F二N A T D,射线。尸交AC于点儿 则点尸即为所求；如图所示：点F即为所求，解：直线BC与。尸相切，理由如下：作 BRCT交/7）的延长线于点R,连接C R,如图,：ZDFAZA,四边形ABRF是等腰梯形，：.AB=FR,8 c 的 面 积 等 于4B,；.SA C F B=SM FR -CD-FR-CD,：.CDDF,;F D 是。尸的半径，直线BC与O F 相切.【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定、平行线的性质与判定及切线的判定是解题的关键.25.（2022糊南岳阳中考真题）如图，4BC和A Q

17、BE的顶点B重合,/.ABC=乙DBE=90,ABAC=ABDE=30,BC=3,BE=2.特例发现：如 图 1，当点D，E 分别在4 B,B C 上时，可以得出结论：署=,直线2 D与直线C E 的 位 置 关 系 是；(2)探究证明：如图2,将 图 1 中的a D B E 绕点B 顺时针旋转，使点。恰好落在线段4 c 上，连接E C,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展运用:如图3,将 图 1 中的 D B E 绕点8 顺时针旋转a(1 9。a l/B=90o,Z.BAC=30,:乙AB J=60,:,乙KBJ=60-a.U：AB=3V3,.8/=B

18、=，A=V3B/=p当DF=BE时，四边形3EFD是矩形，：.ADB=90,AD=/AB2-BD2=J(3A/3)2-(2/3)2=V15,设KT=m,AT=V3m,AK=2m,2 K T B =U D B =90。,m _ y/15BT-2 忖.V 3 m +m=3 V 3,K J=A J-A K =-9 0-1 2/1 5 24V15-81.t a n(6 0 -a)=g =5,【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题.满分训练一、解答题I.(2 0 2 2 江苏镇江中考真题)已知

19、，点E、F、G、”分别在正方形4 B C D 的边4 8、B C、C D、A D k.(1)如 图 1,当四边形E F G H 是正方形时，求证：A E +A H =A B；(2)如图2,己知=CF=C G,当A E、CF的大小有 关系时，四边形EFG是矩形；(3)如图3,A E =D G,E G、相交于点。，OE.OF=4:5,已知正方形4 B C D 的边长为1 6,F H 长为2 0,当A O E H 的面积取最大值时，判断四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论.【答案】(1)见解析(2)A E =C F平行四边形，证明见解析【分析】(1)利用平行四边形的性质证得M EF=匕AHE,

20、根据角角边证明 AEH BFE.(2)当4E=C F,证得 EBF是等腰直角三角形，ZHEF=ZEFG=90f即可证得四边形EFGH是矩形.(3)利用正方形的性质证得4EGD为平行四边形，过点作H M J.B C,垂足为点M,交EG于点N,由平行线分线段成比例，设0E=4x,OF=5%,HN=h,则可表示出H N,从而把 0用/的面积用x的代数式表示出来，根据二次函数求出最大值，则可得OE=OG,OF=OH,即可证得平行四边形.(1)四边形4BCD为正方形，：.AA=CB=90,：.AEH+AHE=90.四边形EFGH为正方形，:EH=EF,Z.HEF=90,.4/EH+48E 尸=90,Z.

21、BEF=Z.AHE.在4EH和aBFE中，VZi4=zF=9 0,乙AHE=(BEF,EH=FE,：.LAEH B F E.：.AH=BE.：.AE+AH=AE+BE=AB；(2)AE=CF；证明如下：四边形ABC。为正方形，44=90,AB=BC=AD=CDf9：AE=AHr CF=CG,AE=CF,：.AH=CG,：.AEH 三 AFCG,：.EH=FG.9：AE=CF,：.AB-AE=BC-CFf 即 BE=BF,E8F是等腰直角三角形，NBEF=NBFE=450,9：AE=AHf CF=CG,：.NAEH=NCFG=45。,J ZHEF=ZEFG=90,J.EH/FG,四边形EFGH是

22、矩形.(3)四边形A8CD为正方形，：.ABCD.U：AE=DG,AEWDG,，四边形4EGD为平行四边形.：.ADEG.：.EGBC.过点H作H M 1B C,垂足为点M,交EG于点N,H N H0.-=-.H M H FVOE:OF=4:5,设0E=4x,OF=5%,HN=h,则316 20；h=4(4 x).AS=1 OF-W W =1-4x-4(4-x)=-8(x-2)2+32.，当x=2时，OEH的面积最大,：.OE=4x=8=-EG=OG,OF=5x=10=-HF=OH,2 2四边形EFGH是平行四边形.【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的判定和平行四边形的性质与判定，平行线分线

23、段成比例定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，有一定的综合性，解题的关键是熟悉这些知识并灵活运用.2.（2022山东东营 中考真题）AABC和AADF均为等边三角形，点E、D分别从点A,B同时出发，以相同的速度沿ZB、BC运动，运动到点B、C停止.如 图 1,当点E、。分别与点A、B重合时，请判断:线段CD、EF的数量关系是,位置关系是;(2)如图2,当点E、。不与点A,8 重合时，(1)中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)当点。运动到什么位置时，四边形CEF。的面积是ABC面积的一半，请直接写出答案;此时，四边形BDEF是哪种特殊四

24、边形？请在备用图中画出图形并给予证明.【答案】(1)C庆 E凡CD/EFQ)CD=EF,CD/EF,成立，理由见解析(3)点。运动到8 c 的中点时，团 BDE尸是菱形，证明见解析【分析】(1)根据 48。和4 4CF均为等边三角形，得至ij AF=AD,AB=BC,ZFAD=ZABC=60,根据 E、。分别与点 4、8 重合，得至U AB=AD,EF=AF,CD=BC,ZFAD=ZFAB,推出 CD=EF,CD/EF；(2)连接 B F,根据/EW=/8AC=60。，推出NE4B=ND4C,根据 A B=A C,推出A F B AA D C,得至1/4 8/=/4 0 6 0,8 尸=。,根

25、据 AE=BD,推出 8E=C),得至U BF=BE,推出ABFE是等边三角形，得到8F=EF,ZFEB=60,推出CD=EF,CD/EF-,(3)过点 E 作 EG_LBC于点 G,设A4BC的边长为 a,AD=h,根据 AB=BC,BD=CD=*C=BD=AE,ffilH AE=BE=B,根据 AB=AC,推出 AO_L8C,得至U EGA D,推出 E BGs&ABD,推出竺=%,得到E G=4 D=4,根据 CQ=EF,CD/EF,推出四AD AB 2 2 2边形 CFO 是平行四边形，推出 SCEFD=CD-EG=-a-h=-ah=(S-BC，根据 EF=BD,EF/BD,推出四边形

26、8DEF是平行四边形，根据推出是菱形.(1):4CF均为等边三角形，：.AF=AD,AB=BC,/RW=/ABC=60。，当点 E、。分别与点 4、B 重合时，AB=AD,EF=AF,CD=BC,ZFAD=ZFAB,:.CD=EF,CD/EF-,故答案为：CD=EF,CD EF；(2)CD二EF,CD/EF,成立.证明：连接BF,u：ZFAD=ZBAC=60,：.NFAD-NBAD=NBAC-NBAD,即 N M 8=N O 4 C,VAF=ADf AB=AC,：AAFB 经 AADC(SAS),：NABF=NACD=60。,BF二CD,:AE=BD,；BE=CD,:BF二BE,ABFE是等边

27、三角形，：.BF=EF,ZFEB=60o,：.CD=EF,BC/EF,即 CDEF,：.CD=EF,CD/EF；(3)如图，当点。运动到B C的中点时，四边形CEF。的面积是A8 C面积的一半，此时，四边形BDE尸是菱形.证明：过点E作EG_ L 5 C于点G,设AABC的边长为a,AD=h,;AB二BC,BD=CD=BC=夕，BD=AE,：.AE=BE=8,U：AB=AC,：.ADBC,：.EG/AD.:.AEBGsbABD,.E G B E 1.=A D A B 2：.E G=-A D=-h,2 2由(2)知，C D=E F,C D/E F,：.四边形C E F D是平行四边形，.11 1

28、 1 1，S 四边形 CEFD=C D -E G=-a-h =-aft=-5A 4 e c,此时，E F=B D,E F/B D,四 边 形 尸 是 平 行 四 边 形，,:B F=E F,.,.用B D E F是菱形.【点睛】本题主要考查了等边三角形判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定.3.（2 0 2 2辽宁鞍山中考真题）如图，在A/IB C中，A B =A C,NB 4 C =1 2 0。，点。在直线4

29、 C上，连接B D,将。E绕点。逆时针旋转1 2 0。，得到线段。E,连接B E,C E.（2）当点D在线段4 c上（点D不与点4,C重合）时，求色的值；（3）过点4作4V IID E交B。f点N,若4 O=2 C D,请直接写出党的值.【答案】（1）证明见解析；百【分析】(1)作于H,可得BC=2BH,进而得出结论；(2)证明A 8 Z)s Z C B E,进而得出结果；(3)当点。在线段4 c上时，作8凡L A C,交C A的延长线于凡 作A G-LB O于G,设4 8=A C=3a,则A D=2 a,解直角三角形3 Z)F,求得8 0的长，根据 D 4 G s D B F求得A Q,进而

30、求得AM进一步得出结果；当点力在A C的延长线上时，设A 8=A C=2 a,则A D=4“，同样方法求得结果.(1)证明：如 图1,图1作 A”_ LB C 于 ，JABAB,Z B A/=Z C A W=i Z B A C=-x l 2 0=6 0,BC=2BH,2 2.*.s i n 6 0 =,AB2：.BC=2BH=y/3AB；(2)解：V A B=A C,：.ZABC=N A C 8=理 卫”=1 8 0 3 2 0。=3 0。,22由 得，今=V I,AB同理可得,“B E。,3/ABC=BE,S=g:.ZABC-ZDBC=NDBE-NDBC,NABD=/CBE,：.ABDsCB

31、E,=V 3；AD BD(3)：如图2,作 8/_LAC,交 C 4的延长线于尸，作 AG_L8。于 G,设 AB=AC=3at 则 AD=2a,由（1）得，CE=V3AD=2V3a,在 RlA ABF 中,ZBAF=180-ZBAC=60,AB=3a,.AF=3a-cos60。,B尸=3心桁60。=苧 a,在,班）尸中，=A D+A F=2a+）=：a,BD=BF2+DF2=懵了+（2 ,_=V19a,ZAG D=ZF=90f NADG=NBDF,丛 DAGS/DBF,A G AD=一,BF BD4 G _ 2 a寓-7 ,2AG=-7=a,19ANDEfNAND=NBDE=120,NANG

32、=60。,.A G 3 V 3 2 6 7 1 9AN-：-=-7=-pa=-a，s m6 0 /1 9 3 1 9AN6g_.寸 _ V57=F =C E 2 V 3 a 1 9如图3,当点。在 AC的延长线上时，ABAC2a,5l!|AD4a,由（1）得,CE=V3AD=4岛,作 B/?_LCA,交 C 4的延长线于R,作 4Q_L8O于。,同理可得，ARa,BR=y/3a,：.BD=J(V 3a)2+(5a)2=2 巾a,.AQ _ 4aV 3a-2-Jla4,_.A N _ =寿a=叵C E -46 a-21 综上所述：笑的值为鲁或经.C E 19 21【点睛】本题考查了等腰三角形的性

33、质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识,解决问题的关键是正确分类和较强的计算能力.4.（2022 浙江衢州中考真题）如图，在菱形A8C 中，AB=5,8。为对角线.点E 是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F,BG平分NCBE交DE于点G.备用图1备用图2 求证：乙DBG=90.(2)若BD 6,DG-2GE.求菱形4BCD的面积.求tan/BOE的值.(3)若BE=4 8,当NZX4B的 大 小 发 生 变 化 时V180。)，在4E上找一点T,使GT为定值，说明理由并求出ET的值.【答案】(1)见解析(2)2 4,其(3)E 7=y,理由见解析【分析】(1)由菱形的性质可

34、证得NC8O=NA8O=1NA 8C,山8G平分NCBE交DE于点G,得到NC8G=NE8G=：NCBE,进一步即可得到答案；(2)连接AC交8。下 点。，放 OOC中，O C=7 C D 2 一。两 -32=4,求得AC=8,由菱形的面积公式可得答案；由3GIIAC,得 到 器=偿=；,D H=H G,D G=2 D H,又由DG BD 2D G=2 G E,得到 EG=QH=，G,则 丝=工，再证明 C)s%；”,CH=-AC=,O H=EH 2 3 3OC-C”=4利用正切的定义得到答案；(3)过点 G作 G7由C,交 AE于点 T,B G E /A H E,得4B=B E=5,则 EG

35、=G”，再证 DOHS/DBG,得 D H=G H=E G,由4 E G T E D A 得色=i,G T=,为定值，AD EA 3 3即可得到ET的值.(1)证明：四边形ABC。是菱形，：.BCDC,ABWCD,：.N B D C=NCBD,N B D C=ZABD,N C B D=Z A B D=-Z A B C,2；BG平分“BE交DE于点G,1 Z C B G=Z E B G=-Z C B E,2：.Z C B D+Z C B G=-(Z A B C+Z C B E)=1x180=90,2 2/.ZDBG=90；(2)解：如图1,连接AC交3。于点O,图1 ,四边形A8CO是菱形，BD

36、=6,.0。=池=3,ACLBD,：.ZDOC=90,在/?/DOC 中,OC=7CDZ-002=252-32=4,.AC=2OC=8,S 菱 形 ABCD=5,，x 80=)X 8 x 6 =24,即菱形4BCD的面积是24.如图2,连接A C,分别交8。、E于点0、H,图2.四边形/WCQ是菱形，,.AC1BD,：NQBG=90。.BGLBD,.BGWAC,.DH DO 1 ，DG BD 2DH=HG,DG=2DH,:DG=2GE,EG=DH=HG,.DH 1-=，EH 2/AB|CD,NDCH=EAH,NCDH=NAEH,8CDHSAAEH,.CH _ DH _ 1*4H 一正-T.CH

37、=-AC=,3 38 4OH=0 C-C H=4-=-f3 3.而N 血嗡=4(3)如图3,过点G作G 7 1 IB C交A E于 点7,此时E T=孩.理由如下：由 题(1)可知，当/D 4 8的大小发生变化时，始终有8 G M C,.EG _ BE*GH-布 ：AB=BE=5,；E G=G H,同理可得，D O H s D B G,.PH _ DO GH 访：B O=D O,:D H=G H=E G,V GTBC,：.GTAD,:/EGTs/EDA,.GT _ EG _ ET _ 1-=-,AD ED EA 3：A D=AB=5,.G T=|,为定值，此时 ET=-AE=-(A B+B E

38、)=.3 3 3【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.5.(2 0 2 2 山东枣庄中考真题)已知 A B C中，ZACB=9Q,A C=8 C=4 c m,点P从点A出发，沿A B方向以每秒&c m的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿8 C方向以每 秒1 cm的速度向终点C运动，设运动的时间为r秒.（1）如图，若 PQJ_8C,求 f 的值;（2）如图，将 P Q C 沿3 c 翻折至 PQC,当 f 为何值时，四边形QPCP为菱形？【答案】（I）当 f=2 时，PQ BC 当t的值为?时，四

39、边形Q P C P 为菱形【分析】（1）根据勾股定理求出4 B,根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.（2）作PC J.BC丁。，PE 1 A C T E,证明出A48C为直角三角形，进一步得出A4PE和APBC为等腰直角三角形，再证明四边形PECD为矩形，利用勾股定理在RtAPCE、R t A P D Q 中,结合四边形QPCP为菱形，建立等式进行求解.【详解】（1）解：（1）如图，V Z A C B=90,AC=BC=4cm,.AB=JAC2+BC2=V42+42=4V2(cm),由题意得，AP=y/2tcm,B Q tcm,则 B P=(4V2-V2r)cm,JPQLBC,：.ZPQ

40、B=90,：.Z P Q B=Z A C B,：.PQWAC,/B P Q =Z.BAC7 乙 BQP=BCABPQ B A C,BP_BQ ,BA BC ，=45/2 4 解得：r=2,当 f=2 时，PQ1BC.(2)解：作PDJ.BC于。，/1 4。于后，如图,AP=j2t,BQ=tcm,(0 t/2,则 BE=JAE2-A B2=V2,在RtAABC中，AB=4,BC=3,则 AC=JAB2+BC2=5,由(1)可得，MF=BE=V2,在RtACMF中，MF=V2,CM=AC-AM=5-4=1,则 CF=JMF2+CM2=V3,当点E 在 CD上时，如图，过点E作 EGLAB于点G,F

41、HLAC于点H,同（1）可得A AGE=AHF,FH=EG=BC=3,AH=AG=3,HC=2,由勾股定理得CF=V32+22=V13；故 CF的长为百或g.（3）如 图 1所示，当点E 在 8 c 边上时，过点。作。H JLFM于点H,由（1）知，乙4MF=90,故点尸在射线M尸上运动，且点尸与点重合时，的值最小.在（：“/与CD4 中，Z.CM/=/.ADC5。=Z.ACD Rt CMJ Rt CD A,CM MJ cj=,CD AD AC即.=幺，4 3 53 5C=,DJ=CD-CJ=4-=-在（：“/与 ADH/中，ZCM/=ADHJ1/C/M=皿 H Rt CMJRt DHJ,CM

42、 _ cj*DH-DJf即击44DH5故DF的最小值号;如图2所示，当点E在线段C。上时，将线段AO绕点4顺时针旋转NB4C的度数，得到线段A R,连接F R,过点。作DQJ4 R,DK 1 FR,由题意可知，DAE=/.RAF,在 ARF与A 4DE中，AD=ARZ.DAE=乙 RAF,AE=AFADE 三AARF,ZJ1RF=Z710E=90,故点尸在尺尸上运动，当点尸与点K重合时，。产的值最小；由于。Q J.4R,DK 1 FRf LARF=90,故四边形DQRK是矩形；DK=QR,4 12 A Q =A D-c osZ-B A C=3 x 若，v A R =A D =3,12 3.D

43、K =Q R =A R-A Q =3-=,故此时。尸的最小值为I；由于故。尸的最小值为|.【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理、解直角三角形，解决本题的关键是各性质定理的综合应用.7.(2022山东荷泽 中考真题)如图1,在ZiMBC中，41BC=45。,4。1 BC于点。，在D4上取点E,使DE=D C,连接BE、C E.图1图2 图3(1)直接写出CE与A B的位置关系；(2)如图2,将4 B E D 绕点D旋转，得到 B E D C点B,E分别与点B,E对应),连接C 9、A B,在ABED旋转的过程中CE与4夕的位置关系与(1)中的CE与

44、A B的位置关系是否一致?请说明理由；(3)如图3,当4 BED绕点。顺时针旋转30。时，射线CE与A。、力B分别交于点G、F,若CG=FG,D C =V 3,求4夕的长.【答案】(1)CE，A B,理由见解析(2)一致，理由见解析(3)573【分析X 1)由等腰直角三角形的性质可得/ABC=ND48=45。，Z DCE=ZDEC=ZAEH=45,可得结论；(2)通过证明力DB，WACDE，可得NZMB，=4。，由余角的性质可得结论；(3)由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得48=我4 D,即可求解.【详解】(1)如图，延长CE交AB于”，V ZABC=45,ADA.BC,：.ZADC=ZA

45、DB=90,N48C=NM8=45。，；DE=CD,：.NDCE=NDEC=NAEH=45。,：.ZBHC=ZBAD+ZAEH=90,/.CE1.AB-,(2)在ABED旋转的过程中CE与ZB，的位置关系与(1)中的CE与A3的位置关系是一致的，理由如下：如图2,延长C 0交于H,图2由旋转可得：CD=DE,BD=AD,：NADC=N4OB=90。，：.LCDE=ADB,C D _ 4D _ 1 D E7-DBr-，：.ADBf CD?,ADABf=乙DCE,：DCE+ZDGC=90,ZDGC=ZAGH,./D4B+NAGH=90,/.NA”C=90。，CE LA B；（3）如图3,过点。作于

46、点从图3ABED绕点。顺时针旋转30,:.乙 BDB=30。,8。=BD=AD,A AADB=120,Z.DAB=/.ABD=30,DH LAB.AD=BD,：.AD=2DH,AH=WDH=B，H,.-.AB=V3AD,由（2）可知：4A D B 4CDE,/.DAB=乙 DCE=30,JADLBC,CD=V3,：.DG=,CG=2DG=2,：.CG=FG=2,:乙DAB=30,DH A.AB,：.AG=2GF=4,：.AD=AG+DG=4+=5,：.A B=用A D=5V3.【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明三

47、角形相似是解题的关键.8.（2022辽宁丹东中考真题）已知矩形48C。，点 E 为直线8。上的一个动点（点 E 不与点 8 重合），连接A E,以AE为一边构造矩形AEFG（A,E,F,G 按逆时针方向排列），连接。G.如 图1，当 窘=登=1时，请直接写出线段B E与线段QG的数量关系与位置关系；AB AE(2)如图2,当*=桨=2时，请猜想线段B E与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理AB AE由；(3)如图3,在(2)的条件下，连接B G,E G,分别取线段B G,E G的中点M,N,连接M N,MD,N D,若4 8=代，N A E B=4 5。，请直接写出 M M 9的面积.【答

48、案】(1)B E=O G,BE DG(2)BE=DG,B E L D G,理由见解析9 SAMNG=24【分析】(1)证明A B A E Z D 4 G,进一步得出结论；(2)证明B A E /X D A G,进一步得出结论；(3)解斜三角形A 8 E,求得B E=3,根 据(2)第=2可得。G=6,从而得出三角形3 E G的面积，可证得 M N D名M N G,A M/V G与A B E G的面积比等于1：4,进而求得结果.(1)解：由题意得：四边形A 8 C。和四边形A E FG是正方形，：.A B=A Df AE=AG,Z B A D=ZEAG=90f：.Z B A D -Z D A E

49、=Z E A G-Z D A E,：/B A E=N D A G,.,.B A E A D A G (S A S),:BE=DG,Z A B E=ZADG,：.Z A D G+Z A D B=ZABE+ZADB=90,:/BDG=90。,：.BE DG；(2)B =j D G,BE工D G,理由如下：由(1)得：N B A E=N D A G,.AD_AG_-L，AB AE.,.BAEADAG,=2,ZABE=ZADG,BE AB：.ZADG+ZADB=ZABE+ZADB=9Q,：.ZBDG=90,：.HEDG；(3)如图，c.,.设 A”=2x,BH=x,在 RtA ABH 中,/+(2x)

50、2=(V5)2,：.B H=,AH=2,在 RfA AEH 中,VtanZABE=,EH=tan45=1,EH:EH=AH=2,:BE=BH+EH=3,：BD=y/AB2+AD2=J 诋2+(2 a 2=5,：.DE=BD-BE=5-3=2,由(2)得：=2,DGA.BE,BE:.DG=2BE=6,：.SABEG=-BE-DG=-x 3 x 6=9,2 2在股ABOG和町AOEG中，点 M 是 3G 的中点，点 N 是 CE的中点,：.D M=G M=B G,D N =GN=EG,:N M=N M,:.DMN妾A G M N(S S S),M N是乙B E G的中位线，：.MNBE,:ABEG