2021-2022学年河北省秦皇岛市卢龙第二高二年级上册学期期末数学试题含答案.pdf

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1、2021-2022学年河北省秦皇岛市卢龙高二上学期期末数学试题一、单选题1 .倾 斜 角 为 1 3 5。，在 y 轴上的截距为-1 的直线方程是()A.x-y+l=O B.x-y-1=0 C.x+y-1 =0 D.x+y+l=0【答案】D【分析】先求出直线的斜率，再利用在y 轴上的截距是-1,用斜截式写出直线方程.【详解】：直线倾斜角是1 3 5 ,.直线的斜率等于-1,.在y 轴上的截距是-1,由直线方程的斜截式得：y=-ix x-1,即 y-x-1,故选：D.2 .已知等差数列“”满足0 2 -4 5+0 8=4,则数列“”的前9项和Sg=()A.9 B.1 8 C.3 6 D.7 2【

2、答案】C【分析】根据题意，由等差数列的性质可得/-如+。8=。5=4,又由守Q u%，计算可得答案.【详解】根据题意,等差数列 加 中，。2+。8=2的，则。2 -5+。8=5 =4,数列 m 的前9项和S、=阳广)=%=3 6,故选：C.3 .已知双曲线3-4=1 上的点P到(5,0)的距离为1 5,则点尸到点(-5,0)的距离为()16 9A.7 B.2 3 C.5 或 2 5 D.7 或 2 3【答案】D【分析】根据双曲线的定义知，1 1 1-1 1 1=2 0 =8,即可求解.【详解】由题意，双 曲 线 可 得 焦 点 坐 标 片(-5,0),6(5,0),根据双曲线的定义知,P F,

3、-P F2n=2a=8,而|闾=1 5,所以|P 耳|=7 或|P 周=2 3.故选：D.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及其应用，其中解答中熟记双曲线的定义，列出方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.4.若抛物线=以 2的焦点坐标为(。，2),则。的值为A.-B.-C.8 D.48 4【答案】A【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的焦点坐标，可得。的值.【详解】抛物线的标准方程为a因为抛物线y=ar?的焦点坐标为(。，所以=2,所以a=4a8故选A.【点睛】该题考查的是有关利用抛物线的焦点坐标求抛物线的方程的问题，涉及到的知识点有抛物线的简单几何性质，属于简

4、单题目.5.在直三棱柱 A/B/G-ABC 中，ZBC A=90,Di，B 分别是 A/B/,B/G 的中点，B C=C A =C C i，则 A。/与 BF/所成角的余弦值是()A 回 1 回 n V15(-JD L -J -102 15 10【答案】A【分析】以点C 为坐标原点，分别以CB,C4,CG为 X轴，y 轴，Z轴的正方向，建立空间直角坐标系,根据已知条件求出相应点的坐标，进而求出A,3 月的坐标，再求出直线A Q 和直线8 B 所成角的余弦值.【详解】解：以点C 为坐标原点，分别以CB,C4,CG为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，设 BC=C4=C

5、C/=2,则 A(0,2,0),Di(1,1,2),B(2,0,0),F/(1,0,2),5=(1,-1,2),函=(-1,0,2),分 84|3 730直线AD,和直线BFt所成角的余弦值为 n=X，AR%V6xV5 10故选：A.6.已知圆的方程为f+V-6 x-8 y =0,设该圆过点（3,5）的最长弦和最短弦分别为AC和 8。，则四边形A8CZ）的面积为（）A.10/6 B.2076C.3 0#D.40指【答案】B【分析】先分析已知点与圆的位置关系，再判断出最长弦和最短弦的位置，然后利用三角形的面积公式即可求出四边形ABC。的面积.【详解】解：圆心坐标是（3,4）,半径是5,圆心到点（

6、3,5）的距离为1.所以点（3,5）在圆内，最长弦为圆的直径由垂径定理得：最短弦8。和最长弦（即圆的直径）AC垂直，故最短弦的长为2/F二i=4 ，最长弦即直径，即AC=10,所以四边形A3CD的面积为L4C-8O =，X10X4n=20后.2 2故选：B.7,中国古代数学著作 算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第二天 走 了（）A.192 里 B.96 里 C.48 里 D.24 里

7、【答案】B【分析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得.【详解】由题意可知此人每天走的步数构成十为公比的等比数列 ,由题意和等比数列的求和公式可得_ L _ S 1 L 1 =3 7 8,解得4=1 9 2,2二第此人第二天走1 9 2 x 1 =9 6里.故选：B.8 .已知双曲线-1=1（0力 0）的一个焦点为尸（2,0）,且双曲线的渐近线与圆（-2）。3相a b切，则双曲线的方程为【答案】D，【详解】试题分析：依 题 意 有:a，解得“=11=6,所以方程为/一 匕=1.c=3 3c2=a2+h2【解析】双曲线的概念与性质.9 .已知两条不同的直线/,胆与两个不重合

8、的平面a,为lua,m u 0,则下列命题中不正确的是（）A.若l m,则必有a 夕 B.若/L”，则必有a_L/?C.若/_1 _4，则必有a_L D.若a_L 4,则必有/M-L a【答案】C【分析】根据线面、面面位置关系，逐一分析选项，即可得出答案.【详解】解：对于A：如图所示：设aC =c,l/c,?c满足条件，但是a与不平行，故A错误；对 于B：假设a 夕，lu.,l/l,lA_m,则满足条件，但是a与万不垂直，故B错误；对于C：若lua,I邛,根 据 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 得 故C正确；对于D：设aD Q=c,若/c,m/c,虽然a_L W，但是可有?a,故D错误

9、，故选：C.二、多选题1 0.（多选）点M（1,D 到抛物线），=62的准线的距离为2,则的值可以为（）【答案】A B【分析】把抛物线丫=尔 2,化为标准形式f=_ L y,得2P =L,故准线方程为：y =-；,利用点a a 4到直线的距离可得答案.【详解】抛物线、=女 2 的准线方程为y =-1,因为点M（1,D 到抛物线丫=依 2 的准线的距离为2,4Q所 以 1+；=2,解得a 或 =_ t，4a 4 1 2故选AB.【点晴】焦点在）轴的抛物线的标准方程为x2=2py,准线方程为y =士,计算时一定要找准P的值.1 1.若数列 加 满足4=2,。向=三 则（）A.3=5 B.d.j =

10、C.。2。2 0 =D.$2 0 2 0=2 0 2 0【答案】B C【分析】根据题意分别求出“2,。3,如，田，可得数列 是以4 为周期的周期数列，逐一分析选项,即可得出答案.1+一【详解】解：；4=2,7+11 +q _ 1 +2 _ _3&_ 1 +a?_ 1 +(3)_ 1 1 +/十(2)11 -0）的一条渐近线为0 x+“），=0,则 C 的焦距为.m【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出“涉的关系，再结合双曲线中标对应关系，联立求解m,再由关系式求得c,即可求解.【详解】由渐近线方程6 x +zny=0化简得 =-巫 X，即2=立，同 时 平 方 得 c=2,故焦距2c=

11、4.nf m故答案为：4.【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.16.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则 这 个 圆 柱 的 表 面 积 与 侧 面 积 的 比 是.2 r t +l【答 案】2兀【分 析】根据圆柱的侧面展开图是一个正方形，得到圆柱的高和底面半径之间的关系，然后求出圆柱的表面积和侧面积即可得到结论.【详 解】设底面半径为广，则圆柱的侧面展开图的边长为2”，即圆柱的高为2口圆柱的侧面积为 =(2兀4=4兀2产,表 面 积 为S=S1 +2 7 t/=4 7t2/+2兀/q A.rr OTTr Oir J-1则圆柱的表面积与侧面

12、积的比是故答案为:2 7 1 +12兀四、解答题1 7 .求经过两直线4：*-2 y +4 =O和，2：x+y-2 =0的 交 点2，且与 直 线&：3 x 4 y +5 =0垂直的直线/的方程.【答 案】4 x +3 y-6 =0【分 析】直 接 求 出 两 直 线l i：x-2 y+4=0和卜：x+y -2=0的 交 点P的坐标，求出直线的斜率，然后求出所求直线方程.f x-2 y+4 =0【详 解】由方程组-c 八 可 得P (0,2).x+y-2=04.l h,.k i=-,4.直线 1 的方程为 y-2=-x,即 4 x+3 y-6=0.【点 睛】本题是基础题，考查直线的交点与直线的

13、方程的求法，考查计算能力.1 8 .已 知 圆C的圆心为(1,1),直 线x+)4 =0与 圆C相切.(1)求 圆C的标准方程：(2)若直线过点(2,3),且 被 圆C所 截 得的弦长为2,求直线的方程.【答 案】(1)(x-l)2+(y-l)2 =2；(2)3 x 4 y+6 =0或x=2.【解 析】(1)利用点到直线的距离可得：圆 心C(l,l)到直线x+y-4 =0的距离心 根据直线x+y-4 =0与 圆C相 切，可 得r =d.即可得出圆的标准方程.(2)当直线/的斜率存在时，设直线/的方程：y-3=k(x-2),即：kx-y+3-2k=0,可得圆心到直线/的 距 离d,又1+1=2,

14、可 得：k.即 可 得 出 直 线/的 方 程.当/的 斜 率 不 存 在 时，x=2,代入圆的方程可得：(y-l)2=l,解得y 可得弦长，即可验证是否满足条件.|1 +1-4|【详解】(1)圆心c(l,l)至 U 直线x+y-4 =0 的距离”=近.直线x+y-4 =o 与圆C相切，.=&.，圆的标准方程为：(x I)?+(y 1)=2 .(2)当直线/的斜率存在时，设直线/的方程：y-3 =k(x-2),|2 -&|即：kx-y+3-2k=0,d=-j=,又/+1 =2,J =1.lk+13解得：二直线/的方程为：3 x-4 +6 =0.当/的斜率不存在时，x=2,代入圆的方程可得：解得

15、y=l l,可得弦长=2,满足条件.综上所述/的方程为：3 x-4 y+6 =0 或x=2.【点睛】本题考查直线与圆的相切的性质、点到直线的距离公式、弦长公式、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题.1 9.在四棱锥Q-A 8 c。中，底面A 5 C D 是正方形，若 A O =2,Q O =Q A=逐，平面平面AB C D.Q(1)求Q8的长；(2)求二面角8-QO-C的平面角的余弦值.【答案】(1)3；(2)更.3【分析】(1)取 A O的中点为。，连接。,8。，可证QO,平面A8 C ,利用勾股定理即求；(2)在平面A 8 C D 内，过。作O 7 7/C D,交 BC于T,则

16、O T _ L 4 D,建如图所示的空间坐标系，求出平面Q A。、平面的法向量后可求二面角的余弦值.【详解】(1)取 A O的中点为0,连接。,8。，Q因为Q A=Q。，OA-OD,则 Q。，,因为平面Q A。，平面AB C。，平面。A Oc平面AB C。=AO,QOu 平面Q A。所以Q O J _ 平面488,因为80u 平面A B C。，所以Q O L 8 O,而 A。=20=逐，故Q。=/=2.在正方形AB C。中，因为4)=2,故4。=1,故8。=不，所以0 8 =他八婚=3.则。(0,1,0),。(0,0,2),3(2,-1,0),C(2,l,0),故 B。=(2,1,2),=(2

17、,2,0),0 =(0,-1,2),D C =(2,0,0)设平面。8。的法向量”=(x,y,z),则 卜 吟。即p+2 z=,n-BD=0 1-2 x+2 y=0取=1,则 y=l,z =g,故九=1,1,；)而平面Q C。的法向量为m=（x,y,z）,则”即 二 即 厂 2 z。mDC=O 2x=0取z =l,则x =0,y =2,故加=（o,2,l）因为|=J 1 +1+；=g,|相|=J o +1 +4 =V 5 ,“=0 +2 +；=g5m n 2 v 5所以 c o s m,=-=-=mVn，石 32二面角8-0O-C的平面角为锐角，故其余弦值为好.32 0.在e =孝，过1,孝）

18、，叫缶这三个条件中任选一个，补充在下面问题；已知椭圆C：2 2 +=1（a 匕 0）的右焦点为F（l,o）.（1）求椭圆C的方程；设过点厂的直线/交椭圆C于M,N两点，若一OMN（O为坐标原点）的面积为:，求直线/的方程.【答案】（1）H+V=12 x+y-l =0 或 x _ y _ l=0【分析】（1）分别选择，根据椭圆的几何性质，求得C的值，即可求解；（2）由题意可以设直线/的方程为x=?y+l,联立方程组，求得M G，yJ,N（w，%）,所以y +%=-，%为=-结合.OM N的面积列出方程，求得加的值，即可求解.+2 m+2丫2 2【详解】解：选条件，由椭圆C：会+方=1（。0）的右

19、焦点为尸（1,0）,可得c =l,因为离心率e =也,所 以”=应，a 2r2所 以 从=-。2=1,所以椭圆C的方程为土+丁=1.22 2选条件，由椭圆C：用+.=1（。匕 0）的右焦点为尸（1,0）,可得c =l,过则5+；=1，；=2,所以椭圆C的 方 程 为,+丁=1.2，选条件，由椭圆c：+方=i(a 6 o)的右焦点为尸(LO),可得 c =l，a=同，又由/=b*2 3+c2 f 贝 U =c?=1,a2=2 9 k 2 m 丫 4 瓜W +l2 W m2+2 J m2+2 zn2+2因为.O 肪V的面积为J,所 以 迎 1 =立，解得m =l,3 nr+2 3所以直线/的方程为

20、尤+y-1 =0 或x-y-i=0.2 1.设数列 m 的前“项和为S ,a 1=2,an+i=2+Sn,(n G N*).(1)求数列 ”的通项公式；(2)设 加=l+lo g 2 C an)2,求证数列 1 一 的 前 项 和.【答案】(1)4=2(2)证明见解析【分析】(1)直接利用递推关系式求出数列的通项公式.(2)利用裂项相消法求出数列的和.【详解】(1)数列“的前项和为S ，ai=1,an+,2+Sn,(G N*).则 a=2+S./,(n S N*).所以 an+i-an=Sn-Sn.t an,所以4 包=2,所以椭圆C的方程为工+V=1.2(2)解：由题意可以设直线/的方程为犬

21、=冲+1,2=由-,#(/n2+2)y2+2/n y-l=0,x=m y+可得 =4+4(/+2)=8(/+)0,设 M&,乂)，N(w，%),所以 y+%=-,yy2=W 4-2 m +2所以一OM N 的面积S=g|O F|%-月|=1(%+%)2-4 月 之所以数列 是以。/=2为首项，2为公比的等比数列.则 为=2 x 2 i=2 ，故%=2.(2)设 加=l+lo g 2 (an)2则 bn=2n+._ 1(1 1 贝 纳川 一 (2+1)(2+3)-512九 +1 -2+3 V所以(x Q T+L 0 一 +.+1 -一-2(3 5)2(5 7)2(2 +1 2 +32 1 3 2

22、 n +3 j2 16 4 +6 因为 EN*所以1 462 2.已知抛物线C：x2=2py(p 0)的焦点为F.且尸与圆M：f+()，+4)2=1 上点的距离的最小值为4.(1)求抛物线的方程;(2)若点P 在圆M 上，P A,P B 是 C的两条切线.A,B 是 切 点,求以B面积的最大值.【答案】(l*=4 y(2)20A/5【分析】根据点尸(0,)到圆M：/+。+4)2=1 上点的距离的最小值为曰+3 =4,可解p,从而可得抛物线方程；(2)利用抛物线方程可得为y=-x2,对其求导得/=工才，设点A (x/,)，B 5,”)，P(助,4 2川)，分别表示出直线外、直线尸3的方程，从而可

23、得直线AB的直线方程，进而利用韦达定理表示出|A 8|,以及点P 到直线AB的距离为，从而可得出B面积，利用-5 W y K-3,结合二次函数定义可解.【详解】(1)焦点尸(0,到圆M：N+(尹4)占 1 上点的距离的最小值为+3 =4,则p=2,故抛物线的方程为f=4 y,(2)因为抛物线C的方程为y=9/,对其求导得/=:x,4 2设点 A （x/,yi）,B（工 2,”），P（xo,yo）.直线外的方程为y-y =5（x-x 3即 尸 3犬-小 即 中-2,一 2 y=0,同理可知，直线P B 方程为x-2），2-2 y=0,由于点尸是这两条直线的公共点,则代，巧 -2 y2-2%=0所

24、以点A、B的坐标满足方程与x-2 y-2%=0,所以直线A B 的方程为x x-2y-2%=0,xQx-2y-2y0=Q联立|x2，可得丁-23/+4%=0 ,尸 了由韦达定理可得玉+工2=2 玉），用 工2=4%，所以 A8 =.J 4 x；_ 16%=J（x：+4）（x：-4%）|片-4 y0|点P到直线A B的距离为d=1 -0,34所以 S .=扣 加=；#；+4）（%；-4%）.1”=J（片-4%）因为片-4%=1 -（%+4 -4%=-y：-12%-15 =-（%+6 尸 +21由已知可得-5 4%4-3,1 士所以当为=-5 时，面积的最大值为-x 2 0 2 =20 石.2【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是由啊,P B 是 C的两条切线求出直线A 8 的方程，考查计算能力，属于较难题.