2020年四川高考数学试卷（理科）（新课标ⅲ）.pdf

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1、2020年四川高考数学试卷（理科）（新课标m）一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5 分）已知集合 A=G,y）x,yN*,yx,B=（x,y）|x+y=8,则 4 n B 中元素的个数为（）3.（5分）在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p i,pi,p 3,p 4,且 工pi=1,i=lA.2B.3C.4D.62.（5分）复数二一-的虚部是（）l-3 iA.-WB.-1.c.-LD.A101010104则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A.p i=*=0.1,/72=p 3=0.4 B.

2、pi p40.4,p2 p30.lC.p i=p 4=0.2,p 2=p 3=0.3 D.p i=p 4=0.3,p 2=p 3=0.24.（5分）Ao gis”,模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数/（f）（/的单位：天）的L o giM Z模型：/（f）=-m 其 中K为最大确诊病例数.当/（f*）=0.95K时，标志着已初步1+e-0.2 3（t-53）遏制疫情，则广约为（）（加1 93）A.60 B.63 C.66 D.695.（5分）设0为坐标原点，直线x=2与抛物线C：？=2px（p 0）交于。，E两点，若O D 1 O

3、 E,则C的焦点坐标为（）8.（5分）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.(A,0)4B.(A,0)2C.(1,0)D.(2,0)6.（5分）已知向量a，b 满足 la l=5,lb l=6,a*b=-6,则 c o s=()A.-3135B.-空35c.I L D.35 357.(5 分)在AB C 中,A.19c o s C=2,AC=4,B C=3,则 c o s B=()3B.A C.A D.23 2 3A.6+472 B.4+472 C.6+2炳 D.4+2 739.（5 分）已知 2 t a n8-t a n（0+2 L）=7,则 t a n8=（）4A.-2 B.

4、-1 C.1 D.21 0.（5分）若直线/与曲线y=和圆/+），2=工都相切，则/的方程为（）5A.y=2x+B.y=2x+C.y=-kx+l D.y=Av V+2 2,2 22 21 1.（5分）设双曲线C：2_-匚=1 （。0,6 0）的左、右焦点分别为尸i,尸2,离心率2 ,2a b为 遥.P是C上一点，且尸iP _ L尸2 P.若 为2的面积为4,则。=（）A.1 B.2 C.4 D.81 2.（5 分）已知 55V 8。1 3485.设 a=lo g53,Z =lo gs 5,c=lo g 1 38,则（）A.a h c B.h a c C.h c a D.c a 0,1 3.（5

5、分）若x,y满足约束条件，2 x-y 0,则z=3x+2 y的 最 大 值 为.x d l,1 4.（5分）（，+2）6的展开式中常数项是 （用数字作答）.X1 5.（5分）已知圆锥的底面半径为1,母 线 长 为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为.1 6.（5分）关于函数/（x）=s inx+-有如下四个命题：s inx/（x）的图象关于y轴对称.f（x）的图象关于原点对称.f（x）的图象关于直线x=?L对称.2r（x）的最小值为2.其 中 所 有 真 命 题 的 序 号 是.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第

6、 22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题:共 60分。1 7.（1 2 分）设数列 满足 m =3,an+3an-4 n.（1）计算。2,。3,猜想 近 的通项公式并加以证明；（2）求数列 2 雨 的前n项和S,.1 8.（1 2 分）某学生兴趣小组随机调查了某市1 0 0 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级 0,2 0 0(2 0 0,4 0 0(4 0 0,6 0 0 1 （优）21 62 52 （良）51 01 23 （轻度污染）6784 （中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的

7、概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1 或 2,则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3或 4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2X 2列联表，并根据列联表，判断是否有9 5%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次W 4 0 0人次4 0 0空气质量好空气质量不好(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（依 女）k 3.8 4 1 6.6 3 5 1 0.8 2 81 9.(1 2 分)如图，在长方体A B C。-A i B i C i O i 中，点

8、E,尸分别在棱“)i,B B i 上，且 2 D E=ED,BF=2FB.(1)证明：点 C 1 在平面A E F 内；(2)若 AB=2,A O=1,A A i=3,求二面角 4 -E F -A i 的正弦值.2 2 r-=2 0.(1 2 分)己知椭圆C：二+上=1 (0 小5)的离心率为乂2，4,B分别为C的左、25 K 4右顶点.(1)求 C的方程；(2)若点P 在 C上，点。在直线x=6 上，且|B P|=|B Q|,BPVBQ,求 A PQ的面积.2 1.(1 2 分)设 函 数 f (x)=f+法+c,曲线y=/(x)在 点(工，/()处的切线与y轴2 2垂直.(1)求 6；(2

9、)若/(无)有一个绝对值不大于1 的零点，证明：/(%)所有零点的绝对值都不大于1.(二)选考题：共 10分。请考生在第22、2 3 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程(10分)f92 2.(10 分)在直角坐标系x O y 中，曲线C的参数方程为Y=2,。为参数且f W l),y=2_3t+12C与坐标轴交于A,B 两点.(1)求一身;(2)以坐标原点为极点，工轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线A 5的极坐标方程.选修45：不等式选讲(10分)2 3.设 a,b,cGR,Q+/?+C=0，abc=1.(1)证明：ah+hc+ca,G N*,yx,B

10、=(x,y)|x+y=8,则 4 c B 中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.6【分析】利用交集定义求出A A 8=（7,1),(6,2),(3,5),(4,4).由此能求出ACB 中元素的个数.【解答】解：集合 A=(x,y)x,y 6N*,yx,B=(x,y)|x+y=8,y x；.A n B=(x,y)|.x+y=8,X,y N*=(1，7),(2,6),(3,5),(4,4).CB 中元素的个数为4.故选：C.2.（5 分）复 数 二 的 虚 部 是（）l-3i10B.-110A.-金D磊【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解：l+3i1.3.l-3i(l-3

11、i)(l+3i)-10 101工复数 _ 的 虚 部 是 _ L.l-3i10故选：D.3.（5 分）在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p i,p 2.P3,P4,4且 p i=1,则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A.p i=p 4 =0.1,夕 2=3 =0.4B.p i=p 4 =0.4,2=p 3 =o.lC.p i=p 4=0.2,P2=P3=O.3D.p i=p 4=0.3,2=3=0.2【分析】根据题意，求出各组数据的方差，方差大的对应的标准差也大.【解答】解：选项 A：E(%)=1X 0.1+2 X 0.4+3 X 0 4+4 X 0.1=2.5,

12、所以 (x)=(14.-2.5)2X 0.1+(2-2.5)2 X 0.4+(3-2.5)2X 0.4+(4-2.5)2X0.1=0.65；同理选项 B：E(x)=2.5,D (x)=1.85；选项 C：E(x)=2.5,D(x)=1.0 5；选项力：E(x)=2.5,D(x)=1.4 5；故选：B.(5 分)L ogistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数/(r)(r 的单位：天)的。g i s f i c 模型：/(t)=-c ：,c、,其 中 K为最大确诊病例数.当/()=O.9 5K 时，标志着已初步1+e-0.2 3

13、 (t-53)遏制疫情，则 f*约 为()319 比3)A.6 0 B.6 3 C.6 6 D.6 9【分析】根据所给材料的公式列出方程-=0.9 5 K,解出f 即可.1+e-0.23(t*-5 3)【解答】解：由已知可得-=0.9 5 K,解得襄23,*-5 3=_,-0.23(t*-5 3)191+e两边取对数有-0.23(f-5 3)=-ln19,解得f 9 6 6,故选：C.(5 分)设 O为坐标原点，直线x=2 与抛物线C：2 p x(p 0)交于。，E两点，若0C0E,则 C的焦点坐 标 为()A.(A,0)B.(A,0)C.(1,0)D.(2,0)42【分析】法一：利用已知条件

14、转化求解E、。坐标，通过奶DOE=-1,求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点坐标.法二：画出图形，求出。的坐标，代入抛物线方程，然后求解即可.【解答】解：法一：将 x=2 代入抛物线丁=2*，可得y=2，OD VOE,可得ZODkO E=-1,g|j 2V p _,z2V p _=_1，解得 p=i,2 2 1所以抛物线方程为：y2=2 x,它的焦点坐标(1，0).-2故选：B.法二：易知，Z(9 D =45 ,可得0(2,2),代入抛物线方程9=2p x,可得4=4p,解得p=l,故选：B.6.（5 分）己知向量a，b满足l a l=5,l b l=6,a*b=-6,则 c o s=（）A.

15、-31 B,-12 C.I I D.35 35 35 35【分析】利用已知条件求出N+E i，然后利用向量的数量积求解即可.【解答】解：向量a，b满足l a l=5,l b l=6,a，b=-6,可得I a +b l=J；2+2；+E 2=V 25-12+36 =7,c o s 0),则 由(T)，可知，曲线)，=在 点 P 处的切线方程为y W；_(x-a)，2v x2vap i X 4八P y17 7-=0,该方程即为直线/的方程，.直线/与圆相切，一V 5半,解得。=1,b故直线/的方程为y=/x V故选：D.2 211.(5 分)设双曲线C：2=1(0,0)的左、右焦点分别为尸1,为，

16、离心率2,2a b为 遥.P 是 C上一点，且尸1P_ L F 2P.若月尸2的面积为4,则。=()A.1 B.2 C.4 D.8【分析】利用双曲线的定义，三角形的面积以及双曲线的离心率，转化求解a即可.【解答】解：由题意，设P F lm,P F=n,可 得 团-=2a,in2+n2=4c29=，a可得 4 c 2 =1 6+4 c P,可得 5 d=4+c J,解得a=.故选：A.1 2.（5 分）已知 5 5 8 4,1 3 4 V 8$.设=l o g 5 3,=l o g s 5,c=l o g i3 8,则（）A.a h c B.h a c C.b c a D.c a 0.8,得到c

17、 b,即可确定a,c 的大小关系.【解答】解：由|l o g 5 5 q l o g 8 8 3 _ 3 _*l o g554 l o g53,而 l o g g S，log/A Io g 5 3 l o g 8 5,即 a b；V 551.2 5,.,./=l o g 8 5 V o.8；V 1 34 85,.,.4 0.8,：.cb,综上，cba.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0 分。x+y 0,1 3.(5 分)若 x,y满足约束条件 2x-y 0,则 z=3 x+2 v 的 最 大 值 为7.,x d l,【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最

18、值，z=3 x+2 y 表示直线在y轴上的截距的一半，只需求出可行域内直线在)，轴上的截距最大值即可.【解答】解：先根据约束条件画出可行域，由f=1 解得A (1,2),I2 x-y=0如图，当直线z=3 x+2 y 过点A (1,2)时，目标函数在y轴上的截距取得最大值时，此时 z 取得最大值，即当 x=l,y=2 时，Z”g=3 X 1+2 X 2=7.故答案为：7.1 4.（5分）（7+2）6的展开式中常数项是 2 4 0 （用数字作答）.x【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的事指数等于0,求得/的值，即可求得展开式中的常数项的值.【解答】解：由 于（7+2）6的展开式的通项公

19、式为探尸比”“子，X 班令1 2-3 r=0,求得r=4,故常数项的值等于c4.24-2 4 0,故答案为：2 4 0.1 5.（5分）已知圆锥的底面半径为1,母 线 长 为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为区.3-【分析】易知圆锥内半径最大的球应为圆锥的内切球，作图，求得出该内切球的半径即可求出球的体积.【解答】解：因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，如图，圆锥母线8 5=3,底面半径B C=1,则其高 S C=VBS2-BC2=2&，不妨设该内切球与母线B S切于点令 O O=O C=r,由 S OQ s/X s g c,则 毁=幽，_ OS BS即 一 解得272-r 3 2V=

20、-Tiri=-n,3 3故答案为：&.3s1 6.(5 分)关于函数f G)=s i n x+有如下四个命题：sinx (x)的图象关于y 轴对称.f(x)的图象关于原点对称.蒯(x)的图象关于直线=三 对 称.2(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是 .【分析】根据函数奇偶性的定义，对称性的判定，对称轴的求法，逐一判断即可.【解答】解：对于，由 s in x#O可 得 函 数 的 定 义 域 为 如，蛇Z,故定义域关于原点对称，由/(-x)=s in (-x)+-=-s in x -=-f(x)；sin(-x)sinx所以该函数为奇函数，关于原点对称，所以错对；对于，由 /(7 1 7)

21、=s in (T T-x)+-=s in x+i=f(x),所以该函数 fsin(兀-x)sinx(X)关于X =?L 对称，对；2对于，令 f=s in x,则正-1,0)U (0,1,由双勾函数g (f)=工的性质，可知，tg(f)(-8,-2 U 2,+8),所以/(x)无最小值，错；t故答案为：.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60分。17.(12分)设数列 断 满足m=3,a”+i=3即-4.(1)计算42,43,猜想 劭 的通项公式并加以

22、证明;(2)求数列 2 如 的前项和S.【分析】(1)法一利用数列的递推关系式求出。2,。3,猜想 板 的通项公式，然后利用数学归纳法证明即可.法二：利用数列的递推关系式，转化求解即可.(2)化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的前项和S.【解答】解：(1)法一：数列 满足m=3,a+i=3a-4”，则。2=3。1-4=5,。3=3。2-4 X 2=7,，猜想 的通项公式为an=2n+.证明如下：(i)当几=1,2,3 时，显然成立，(u)假设=女时，以=2-1 (依N+)成立，当=4+1 时,ak+i=3ak-4k=3(22+1)-4/=2A+3=2(k+1)+1,故=&+l 时成立，

23、由(i)(z7)知，诙=2+1,猜想成立，所以 4 的通项公式a=2n+1.法.：数列 满足。1=3,cin+=3cin 则。2=3 3-4=5,。3=3。2-4*2=7,，猜想 的通项公式为的=2+1.证明：设 Q+i+a(H+1)+0=3(+助+0),可得。+1 =3。+2助+20-a,.(2a=-4,解得尸二一2,12 P-a=0 1B=-1.*.an+l-2(n+1)-1 3(.an 2n 1),(不能说明 a,-2-1 是等比数列)Vai=3,ai-2X1-1=0,并且及-2X2-1 =0,所以即=2+l 恒成立.所以 an=2n+l.(2)令bn=2an=(2+1)2 ,则数列 2

24、所 的前项和Sn=3X21+5X22+1)2 ,两边同乘 2 得,2Sn=3X22+523+(2n+l)2 e，-得，-5=3X2+2X22+2X2-(2n+l)2,+1=6+8(l-2n,(2+i)2+i,1-2所以 Sn=(2n-1)2n+1+2.18.(12分)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）:锻炼人次空气质量等级 0,20 0(20 0,40 0 J(40 0,60 0 J1 （优）216252（良）510123（轻度污染）6784（中度污染）720（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4 的概率

25、；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）;（3）若某天的空气质量等级为1或 2,则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3 或 4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2 X2 列联表，并根据列联表，判断是否有9 5%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次W 40 0人次40 0空气质量好空气质量不好2附：诺=_ _ _ _ _ _ _ _ n(a d-b c)_ _ _ _ _ _ _ _ _(a+b)(c+d)(a+c )(b+d)p0.0 500.0 100.0 0 1k3.8416.6351

26、0.828【分析】（1）用频率估计概率，从而得到估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4 的概率；（2）采用频率分布直方图估计样本平均值的方法可得答案；（3）由公式长2=7一、；（吗）：_ _ 计算上的值，从而查表即可，（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）【解答】解：（1）该市一天的空气质量等级为1 的概率为：2+16+25=也；100 100该市一天的空气质量等级为2 的概率为：5+10+12=旦;100 100该市一天的空气质量等级为3的概率为：交2&=且 _；100 100该市一天的空气质量等级为4的概率为：Z i绚_=_ 9 _；100 100（2）由题意可得：一天中到该公园锻炼

27、的平均人次的估计值为:5.820 3.841,x=-X 10 0 X (2+5+6+7)+30 0 X (16+10+7+2)+50 0 X (25+12+8+0)=350,10 0(3)根据所给数据，可得下面的2 X 2列联表，人次W 40 0人次 40 0总计空气质量好 333770空气质量不好 22830总计 554510 0由表中数据可得-K2=_ _ _ _ _ _ _ n (a d-b c )?_ _ _ _ _ _ _=10 0 X (33X 8-37X 22弋(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)70 X 30 X 55X 45所以有9 5%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次

28、与该市当天的空气质量有关.19.（12分）如图，在长方体A B C Q-4 B 6 O 1中，点E,F分别在棱 Q i,B B i上,且2 O E=E Di,B F=2F B i.(1)证明：点C l在平面A E F内;(2)若 A 8=2,A D=,A 4=3,求二面角 A -4 的正弦值.【分析】（1）在上取点使得A i M=2 A M,连 接EM,B iM,E C,F C,由已知证明四边形B i M M和四边形ED 4例都是平行四边形，可得4尸M B i,S.A F=MB,A D/ME,且A O=M E,进一步证明四边形B i C i EM为平行四边形，得到EC i 例劭，且EC i=M

29、 B i,结合 A/M 8 i,S.A F=M B ,可得 A F EC i,S.A F=E C ,则四边形 A F C i E为平行四边形，从而得到点C i 在平面A E F 内；(2)在长方体A 8 C D-4 8 1 C 1 O I 中，以 C 1为坐标原点，分别以CB,C i C 所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.分别求出平面A E F的一个法向量与平面AEF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A-E F-A i 的余弦值，再由同角三角函数基本关系式求得二面角A-E F-A i的正弦值.【解答】(1)证明：在 4 4 1上取点M,使得4M=2AM,连接EM,BiM,

30、EC,FC,在长方体 A B C Q-4 B 1C 1Q 1 中，有。i A 4 i B B i,且。C i=A 4 =B 8 i.又 2DE=EDi,AiM=2AM,BF=2FBi,：.DE=AM=FBi.：.四边形B i 砌M和四边形E D A M都是平行四边形.：.AF/MB,且 A F=M B i,A D/M E,且又在长方体 A 8 C -4 B i C i。中，有 A )8ICI,且 A O=B i C i,.8 10 加：且 8 1。=加：,则四边形B i C i EM 为平行四边形，：.EC/MB,且 EC 1=M B 1,又 A/且：.AF/EC,且 A F=EC 1,则四边

31、形A F C 1E为平行四边形，.点C i 在平面A E F 内；(2)解：在长方体A 8 C D-A 出|。1中，以 C i 为坐标原点，分别以C i O i,CB,CC所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系.；4 B=2,A D=1,A 4=3,2DE=ED,BF=2FBi,：.A(2,1,3),E(2,0,2),F(0,1,1),A i (2,1,0),则而=(-2,1,-1)，A E=(O,-1,-1)，7 =(0,-1,2)-设平面AM的一个法向量为A*=j (x 人,，v丁 ，,ZJ.则n i EF=-2 x i+y 1-Zi=0，一 ，取用=1，得 五=(1,1,-1);n

32、j *A E=-y j-z j =0设平面4即的一个法向量为m=62,y2)z2).则4n2-EF=-2 x2+y2-Z 2=0一一,，取=1，得n/(1,4,2)-n2*A1E=-y2+2 z 2=0co s =nl，n2 -1+4-2?nl，n2I nj|,|n2 I V3,V21 7设二面角A-E F-A i 为 0,则 s i n 0 =后隼二面角A-E F-A i的正弦值为退72 0.(12 分)己知椭圆C：z+z=1 (0 /0的情况，此 时-5 s 5,0 r W互，4：B P B Q,.有 G-5)2+及=2+,又；B P L B Q,.,.s-5+f=0,2 1 0 2又旦_

33、+_ 1!_=1，25 25s=3s=-3联立得t=i或4t=i，n=2n=8s=3当 t=l时，贝U P(3,n=2则(法 一)AP=(8,1),Q(6,2),而4 (-5,0),1),AQ=(11.2),A AP-AQ=90,|API=V65,IAQI=A/125,.co s A P=V65X125_ 52/.SMPQ=X V65 X 赤 X2s=-3同理可得当,t=l 时，S/APQ=$,n=8 2综上，A P。的面积是5.2法二：,:P(3,1),Q(6,2),二直线P Q的方程为：x-3 y=0,.点A到直线P Q-.x-3 y=0的距离d=-,V i o而|P Q I=V I 5，

34、SAPQ=2 2数形结合方法：如图示：o当尸点在y轴左侧时，过P点作直线x=6和x轴交于N (6,0)点，易处丛P MB 迫A B Q N,:.N B=P M=1,2 1故 y=l 时、1 解得：x=+3,(x=3 舍)，2 5 2 5 _16故 尸(-3,1),易得 B M=8,Q N=8,SMPQ=SMQN-SMPB-SPHQ-SBQN=-(11X 8-10 X 1-(7 6 5 X 7 6 5)-1X 8)2_ 52 当P点在y轴右侧时，同理可得x=3,即P(3,1),B M=2,N Q=2,故 SMPQ=2综上，A P Q的面积是包.22 1.(12分)设 函 数f(x)=x3+hx+

35、c,曲线y=/(x)在 点(工，/(1)处的切线与y轴2 2垂直.(1)求 b;(2)若/(无)有一个绝对值不大于1的零点，证明：/(x)所有零点的绝对值都不大于1.【分析】(1)求出原函数的导函数，由题意可得/(1)=3 X (l)2+b=0,由此求得b值；+c=0 ,且1训(2)法一、设x o为/(x)的一个零点，根据题意，f(X。)二*。？4XQW 1，得到C=-X J+/X Q，且以()|W1,对c(x)求导数，可 得c(x)在-1,1 上的单调性，得至设曾为/(X)的零点，则必有f(X i)=x/V x i+C=o,可得 T 0 或/(I)工或4c 上或c2 耳=-3(x )(x蒋)

36、,当 xW(-1,-)U(A,1)时，c(x)02 2 2 2可知c(x)在1,-1),(1,I)上单调递减，在(二，工)上单调递增.2 2 2 2又 c(-1 )=f C(1 )=，C(二)=-1,c(A)=A,4 4 2 4 2 4一 o,当x e (_ 1,A)时，f(x)2 2 2 20或/(I)2或c 时，/(-1)=c-2 0,/(-A)=C+JL 0,/(A)=c-4 0,/(I)=c+24 4 2 4 2 4 40,又/(-4 c)=-6 4C3+3C+C=4C(1 -1 6 c2)0,由零点存在性定理可知，/(x)在(-4 c,-1)上存在唯一一个零点.即/(X)在(-8,-

37、J)上存在唯一零点，在(1,+O O)上不存在零点.此时/(x)不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾：当 c -时，/(-1)=?-A o,/(-A)=C+A o,f(A)=c-A o,/(i)4 4 2 4 2 4=c+A 0,由零点存在性定理可知，/(尤)在(1,-4 c)上存在唯一一个零点.即/(x)在(1,+8)上存在唯一零点，在(-8,1)上不存在零点.此时/(x)不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾.综上，/(%)所有零点的绝对值都不大于1.(二)选考题：共10分。请考生在第22、2 3题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程(1 0分)2

38、 2.(1 0分)在直角坐标系x Q y中，曲线C的参数方程为，x*t-t (f为参数且星1),y=2 3 t+1 2C与坐标轴交于4,8两点.(1)求|A B|；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线A 8的极坐标方程.【分析】(1)可令x=0,求 得 f,对应的y；再令y=0,求 得 f,对应的x；再由两点的距离公式可得所求值；(2)运用直线的截距式方程可得直线A 8 的方程，再由x=pcos。，y=psin。，可得所求极坐标方程.【解答】解：(1)当x=0 时，可得f=-2(1 舍去)，代入y=2-3 r+d,可得y=2+6+4=12,当y=0 时，可得f=2(l

39、舍去)，代入x=2-r-P,可得x=2-2-4=-4,所以曲线C 与坐标轴的交点为(-4,0),(0,12),则|A 8|=yj(-4)2+1 22=4 ;(2)由(1)可得直线 AB 过 点(0,12),(-4,0),可得4 B 的 方 程 为 工-三=1,1 2 4即为 3x-y+12=0,x=pcos6 y=psin。，可得直线A B 的极坐标方程为3pcos0-psin0+12=O.选修4-5：不等式选讲(1 0分)2 3.设 a,b,cGR,a+b+c=0,abc=1.(1)证明：ab+bc+caVO；(2)用 b,c,表示 m b,c,的最大值，证明：maxa,b,c%.【分析】(1)将 a+6+c=0平方之后，化简得到2+2“c+26c=-(a2+Z 2+c2)0,即可得证；(2)利用反证法，假设aW 602+*.*abc=1,.,.a,b,c 均不为 0,：.2ab+2ac+2bc-(a2+*2+c2)0,/.ab+ac+bc0；(2)不妨设 a W b O c V v 彳，则-,c,*a+b+c=Of-a-b=c4-=4 3 =如，与假设矛盾,M A故 mQX，b,。2刃区.