2023年海南省儋州市中考一模数学试题（学生版、解析版）.pdf

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1、2023年海南省僧州市中考一模数学试题第I卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.若非零数。，人互为相反数，下列四组数中，互为相反数的个数为（）/与/与一/；/与/；/与 一分A.0 B.1 C.2 D.32.成人体内成熟的红细胞的平均直径一般为0.000007 24 5 m,数 0.000007 24 5 用科学记数法表示（）A.7.24 5 x10-5 B.7.24 5 X 10-6 C.7.24 5 xlO-7 D.7 24 5 x103 .如图是由6 个相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体从上面看是（）4

2、.关 于 x 的一元一次不等式+2 =乙：x y-1-=124 16根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x,y 表示的意义，并且补全甲、乙两名同学所列的方程组:甲：X 表示.,表示乙：x表示.,y 表示.(2)求出其中一个方程组的解，并回答A、8两工程队分别整治河道多少米?19.某社区从不同住宅楼中随机选取了 20 0 名居民，调查社区居民双休日的学习状况，并将得到的数据制成扇形统计图(如图)和频数分布直方图(如图).A人数(人)50-在图书馆今场所学习,30%/不学习10少在家学习60%n在图书馆等U场所学习在家学习图4640602111-TTI即间（小时）2 4 6 8 A图

3、3 6(1)在这个调查中，20 0 名居民双休日在家学习的有 人；(2)在这个调查中，在图书馆等场所学习的居民学习时间的平均数和众数分别是多少？(3)估计该社区20 0 0 名居民双休日学习时间不少于4小时的人数.20.如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC,数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶 B的仰角为4 5。，然后他们沿着坡度为i =1:2.4 的斜坡AP攀行了 26 米到达点A,在坡顶A处又测得该塔的塔顶8 的仰角为76。.(1)求坡顶A到地面P Q 距离;(2)计算古塔8 c的高度(结果精确到1米).(参考数据：s i n 76 0.97,c o s 76 0.24,t

4、 a n 76 4)21.-A B C是边长为4的等边三角形，A B E是等腰三角形，Z A F B =nQ,A F =B F，以F为顶点作一个60。的角，角的两边分别交射线C 4,B C于点D、E两点，连接。(1)如 图1,若。、E两点在线段C A,B C的延长线上.求证：E4 1 AC；试写出线段A。、BE、O E之间的数量关系，并说明理由；(2)如图2,若。、E两点在线段C A,8 C上，求=C Z)E的周长.22.如图，在直角坐标系中有R t A A Q B,O为坐标原点，4(0,3),B(-l,0),将此三角形绕原点。顺时针旋转90,得至U R t C O D,二次函数、=狈2+法+

5、。的图象刚好经过人，B,C三点.(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标；(2)过定点。的直线/：y=A x Z +3与二次函数图象相交于M,N两点.若SZMN=2,求的值;证明：无论k 何值，PMN恒为直角三角形;当直线/绕着定点。旋转时，外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式.2023年海南省僧州市中考一模数学试题第I卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.若非零数。，人互为相反数，下列四组数中，互为相反数的个数为（）/与/与一/；/与/；/与 一分A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据

6、相反数的定义和有理数的乘方进行计算判断即可.【详解】解：；非零数，人互为相反数，a=b,a1 b2 a3=一谈 与 一互为相反数，/与 互 为 相 反 数，即和符合题意，共两组，故选：C.【点睛】本题考查相反数的定义和有理数的乘方，解答的关键是理解相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数.2.成人体内成熟的红细胞的平均直径一般为0.000007245m,数 0.000007245用科学记数法表示（）A.7.245x10-5 B.7.245 X10-6 C.7.245 xlO-7 D.7245x10【答案】B【解析】【分析】科学记数法的表现形式为a x io 的形式，其中1 a 10,为整数

7、，确定的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数.【详解】解：根据题意可得：0.000007245=7.245 x 10飞，故选：B.【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为a x 10的形式，其中1|a|-51A.x 一51 1C.x 5【答案】D加 斤】【分析】先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解.【详解】解：不等式去分母得：2（1-x）+1 2?3（x 1）,去括号得：2 -2 x+1 2 1 1,解得：x ,故选：D.【点睛】本题主要考查了解一元

8、一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键.5 .如图，直线4、4被直线/所截，4/?，Z l =4 0,则N 2的大小为（）1/ly/：A.4 0 B.8 0 C.1 3 5 D.1 4 0【答案】D【解析】【分析】根据对顶角想可求出N 3 =N 1=4 O ,再根据平行线的性质即可求解.【详解】解：如下图可知，N 3 =N 1=4 O ,/lx/12,N2+/3 =1 8 0。，A Z 2=1 8 0 -4 0 =1 4 0 .故选：D.【点睛】本题主要考查由平行线的性质求角度，熟练地掌握平行线的性质是解题的关键.6.小明用计步器记录自己一个月（3 0 天）每天走的步数，并

9、绘制成如下统计表：步 数（万步）1.()1.11.21.31.4天数3391 14在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（）A.1.3,1.2 5 B.1.3,1.3 C.1.4,1.3 D.1.3,1,1【答案】A【解析】【分析】在这组数据中出现次数最多的是1.3,得到这组数据的众数；把这组数据按照从小到大的顺序排列,第 1 5、1 6 个数的平均数是中位数.【详解】在这组数据中出现次数最多的是1.3,即众数是L 3.要求一组数据的中位数，把这组数据按照从小到大的顺序排列，第 1 5、1 6 两个数分别是1.2,1.3,所以中位数是12+13=1.2 5.2故选：A.【点睛】本题考查

10、一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求.7.一个不透明的袋子中装有2 个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同.经过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在L 左右，则袋子中的黄球个数最有可能是（）3A.1B.2 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】设袋子中黄球有x 个，根据摸出红球的频率稳定在，左右列出关于x 的方程，求出x 的值，从而3得出答案.【详解】解：设袋子中黄球有x 个，2 1根据题意得：=一，x+2 3解得：x=4,经检验，x=4 是方程的解且符合题意，袋子中黄球的个数最有可能是4 个，故选

11、：C.【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.8.如图，在平面直角坐标系中，R。A 8 O 的顶点8 在x 轴的正半轴上，N A 3O =9（）,点 A 的坐标为（1,百），将.A 8O 绕点0 逆时针旋转，使点8 的对应点3 落在边Q 4 上，连接A、A,则线段A 4 的长A.1B.2 C.石 D.2 G【答案】B【解析】【分析】求出NAQ?=60。，证 明 是 等 边 三 角 形，可得结论.【详解】解：A(1,V3),ZAB

12、O=90,；.OB=1,AB=6，AB r-tanZAOB=6OB:.ZAOB=60,由旋转 性质可知，/A Q B =/A Q 4 =6(),OA=OA,，工。4 4是等边三角形，A4=O4=20 3=2,故 选:B.【点睛】本题考查坐标与图形变化一旋转，等边三角形的判定，解直角三角形等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.9.反比例函数y=(厚0)经 过 点(2,4),则下列各点也在这个函数图象上的是()xA.(2,4)B.(-1,-8)C.(-2,-4)D.(4,-2)【答案】D【解析】【分析】由待定系数法求出反比例函数，再逐项代入判断即可.【详解】解：；反 比 例 函 数

13、 产&(原0)经 过 点(2,4),xk=(-2)x4=8,8一，xA、当x =2时，代入解析式得：y=-4,故选项不正确，不符合题意；B、当=-1时，代入解析式得：=8,故选项不正确，不符合题意；C、当 =-2时，代入解析式得：y=4,故选项不正确，不符合题意；D、当x =4时，代入解析式得：y=-2 ,故选项正确，符合题意.故选D.【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图像上点的特点；熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键.10.ABC的三边为“，h,c,下列条件不能确保_ABC为直角三角形的是（）A.N4=：N8=1Z.C B.a2：/?2：c2=3:4:53 2C

14、.c2=a2-h2 D.Z A-/B =NC【答案】B【解析】【分析】根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解.【详解】解：.ZA=N8=J N C，Z A+Z5+ZC =18（）,3 2.ZA+3ZA+2ZA=180,解得：NA=30,N3=3ZA=90。，即一ABC为直角三角形，故A选项不符合题意；设 a?-3 k,h2=4k,c2=5k,c+b1=3 k+4k=7 k 手c?，即一ABC不为直角三角形，故B选项符合题意；V火c2+b2=。2，即ABC为直角三角形，故C选项不符合题意；ZA/B =N C，：.ZA=Z B+Z C,ZA+ZB+ZC =180

15、.ZA=90,即,ABC为直角三角形，故D选项不符合题意；故 选:B.【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，三角形内角和定理是解题的关键.11.小 杰在一个高为人的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰角为3 0,旗杆与地面接触点的俯角为60，那么该旗杆的高度是（）A.h3【答案】C【解析】【分析】过A作AEJ_3 c于E,在R tA C E中，已知了 C E的长，可利用俯角/C 4 E的正切函数求出AE的值；进而在RtAABE中，利用仰角3区4 的正切函数求出5E的长；从而可得答案.【详解】解：如图，过A作AE_L3C于E,则四边形A0C

16、E是矩形，C E =A D =h.、60。.在RtZXACE中，C E =h,NC4E=60,.在RtAABE中，Za4E=30,，B E=A.tan 30=x /?=1/7,3 3 31 4 4A B C=B E+C E =h+-h =-h.即旗杆的高度为一般3 3 3故选C.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，是中考常见题型，解题的关键是作出高线构造直角三角形.12.如图，已知。、E分别是.ABC的边8 C、AC的中点，AG是一ABE的中线，连接BE、A D，G。，若_ABC的面积为4 0,则阴影部分ADG的面积为（）AA.10

17、 B.5 C.8 D,4【答案】B【解析】【分析】连接O E,如图，先判断OG为BCE的中位线，则 GA C,根据平行线之间的距离和三角形面积公式得到SA4OG=SAEDG,然后利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，再根据三角形的面积公式进行求解即可.【详解】解：连接。如图，.O为 8 c 的中点，G 为 8 E 的中点，:.D G为/B C E 中位线，：.DG/AC,SAADG=SAEDGY E 点为AC的中点，SABCE=y 5A4BC=y x40=20,点为8 C 的中点，/.S&BDE y SAEBC=y x20=10,点为BE的中点，SAEDG=y SABDE=x 10=5

18、.故选：B.【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即 S=/x 底x高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.也考查了三角形中位线性质.第 II卷二、填空题(本大题共4 小题，每小题3 分，共 12分)13.分解因式：x m-x n =.【答案】x(m-ri)【解析】【分析】先提取公因式x,再分解因式即可.【详解】解：x m-x n =x(m-n),故答案为：x(m-n).【点睛】本题考查的是提公因式分解因式，掌 握“公因式的判断以及利用提公因式法分解因式”是解本题的关键.14.如图所示，在正六边形A8CZJEF内，以A B为边作正五边形A 8 G H/,

19、则/CBG=.【答案】12。【解析】【分析】分别求出正六边形，正五边形的内角可得结论.【详解】解：在正六边形ABCDEF内，正五边形48G H/中，ZA B C=120,ZX B G=108,：.Z C B G Z A B C -ZA B G=20-108=12.故答案为：12.【点睛】本题考查正多边形性质，解题的关键是求出正多边形的内角，属于中考常考题型.15.如图，“A B C与关于直线I对称，则N 8的度数为.【答案】100。#100度【解析】【分析】根据轴对称的性质可得二A BCZcA BC,再根据NA和N O的度数即可求出N 6的度数.【详解】解：；.A B C与 关 于 直 线/对

20、 称/.A B C.ABC二 ZA=ZA=50。，NC=NC=30ZB=180-50-30=100故 答 案 为:100【点睛】本题主要考查了轴对称的性质以及全等的性质，熟练掌握轴对称的性质和全等的性质是解答此题的关键.16.用火柴棒按如图的方式摆出一系列图案，按这种方式摆下去，第 个图案所用的火柴棒的根数为 =1 n=2 n=3 答案+1)2【解析】【分析】结合图形计算前三个图形中的火柴数时，即可发现规律.【详解】解：当=1时，需要火柴3x1=3,当 =2时，需要火柴3x(l+2)=9,当n=3时，需要火柴3x(l+2+3)=18,依此类推,第个图形共需火柴3x(l+2+3+)3(+1)2,

21、小华、，3（+1）故答案为：i-L 2【点睛】本题考查了图形数字的变化类问题，结合图形找出规律是解题的关键.三、（本大题共6小题，17题12分，18、19、20题各10分，21、22题15分，本大题满分72分）1 7.已知加+=-4,7 =2,求下列代数式的值.（1）m2+n2;（2）（m+1）（/2-1）.【答案】1 2 1-2夜 或1 +20【解析】【分析】（1）根据完全平方公式变形求值即可求解；（2）先根据完全平方公式变形求得加_ =2及，再根据整体代入进行计算即可求解.【小 问1详解】V m+n =-49 mn=2 9 2 m +=（加+九）-2mn=（-4）2-2 x 2 =1 6-

22、4=1 2；【小问2详解】V m+n =-4,mn=27 y =（2+）“一4 2-J _ 4X2=1 6-8=8；m-n =2/2，当 mn=2 ,m-n =2 2 时(机+1)(H-1)=m n-(m-n)-l=2-2 /2 -1 =1-2 2 ；当 mn=2 ,m-n =-2近时(/+1)(-1)=mn-(m-n)-2+2 0-1 =1 +24 2.【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，整式的化简求值，掌握整体代入是解题的关键.1 8.阅读理解:为打造陶子河沿岸的风景带，有一段长为3 6 0米的河道整治任务由A、8两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治2 4米，B工程队每天整治1 6

23、米，共用2 0天.(1)根据题意，甲乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：甲：乙：x v1 2 4 x+1 6 v=12 4 +1 6根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x,y表示的意义，并且补全甲、乙两名同学所列的方程组：甲：x表示,y表示；乙：x表示,y表示：(2)求出其中一个方程组的解，并回答A、B两工程队分别整治河道多少米？【答案】(1)A队的工作时间，B队的工作时间；A队的工作量，B队的工作量；补全所列方程组见解析(2)A队整治河道1 2 0米，B队整治河道2 4 0米【解析】【分析】(1)根据甲、乙两名同学所列的方程组可得，甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工

24、作时间；乙：x表示A队的工作量，y表示8队的工作量，补全方程组即可；(2)根据二元一次方程组的解法求解方程组甲.【小 问1详解】x+y =2 0解:甲:2 4+1 6 y =3 6 0，x+y =3 6 0乙：x y -八；+=2 02 4 3 6甲：工表示A队的工作时间，y表示3队的工作时间；乙：无表示A队的工作量，y表示3队的工作量；故答案为：A队的工作时间，B队的工作时间；A队的工作量，B队的工作量.【小问2详解】x+y =2 0 解：42 4 x+1 6 y =3 6 0 xl6-得:-8x =4）,解得：x =5,把 x =5 代入得：5 +y=20,解得：丁 =1 5,x 5.方程

25、组的解为：y y =1 5则 2 4 x =1 2 0,1 6 y =2 4 0,答：A 队整治河道1 2 0 米，8 队整治河道2 4 0 米.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，正确找出题目中的相等关系，列方程组求解.1 9.某社区从不同住宅楼中随机选取了 2 0 0 名居民，调查社区居民双休日的学习状况，并将得到的数据制成扇形统计图（如图）和频数分布直方图（如图）.I人数（人）5 0-在图书馆笔场所学习,3 0%/不学习10%在家学习6 0%图n在图书馆等口 场 所 学 习在家学习46406021116图362_ TTI眇间（小时）8 A（1）在

26、这个调查中，2 0 0 名居民双休日在家学习的有 人；（2）在这个调查中，在图书馆等场所学习的居民学习时间的平均数和众数分别是多少？（3）估计该社区2 0 0 0 名居民双休日学习时间不少于4小时的人数.【答案】（1）1 2 07（2）平均数为4 小时，众数为4小时（3）1 4 2 0 A【解析】【分析】（1）从扇形统计图中可以看出，双休日在家学习的人占60%,即可得出答案；（2）根据在图书馆学习的人数占30%,得出在图书馆学习的人数为：2 0 0 x 3 0%=6（）人，进而求出在图书馆学习4小时的有6 0-1 4-1 6-6 =2 4人，即可得出平均数与众数.（3）首先从图2中计算出双休日

27、学习时间不少于4小时的居民占总体的百分比，然后通过样本估计总体即可.【小 问1详解】解：在家学习的所占的比例是6 0%,因而在家学习的人数是：2 0 0 x 6 0%=1 2 0 （人），故答案为：1 2 0；【小问2详解】解：在图书馆学习的人数占3 0%,，在图书馆学习的人数为：2 0 0 x 3 0%=6 0 （人），在图书馆学习4小时的有6 0 1 4 1 6 6 =2 4 （人），,在图书馆等场所学习的居民学习时间的平均数为：（1 4 x 2 +1 6 x 6 +2 4 x 4 +6 x 8）+6 0 =4、，7，平均数为4百 小时，众数为4小时.【小问3详解】解：在家学习时间不少于4

28、小时的比例是:2 4 +5 0 +1 6 +3 6+6 +1 02 0 02 0 0 0 x 0.71 =1 4 2 0 （人），估计该社区2 0 0 0名居民双休日学习时间不少于4小时的人数为1 4 2 0人.【点睛】本题考查了扇形统计图与条形图的综合应用、求平均数与众数、利用样本估计总体等，将扇形图与条形图信息相关联，得出正确信息是解题的关键.2 0.如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔B C,数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为4 5。，然后他们沿着坡度为7=1：2.4的斜坡A P攀行了 2 6米到达点A,在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76 .（1）求坡顶A到

29、地面P Q的距离；（2）计 算 古 塔 的 高 度（结果精确到1米）.（参考数据：s i n76 0.9 7,c o s 76 0 0.2 4,t an76 4)【答案】(1)1 0米(2)约1 9米【解析】A H 5【分析】(1)过点A作A _ L P Q于H,根据斜坡A P的坡度为i =1:2.4,得出=一，设P H 1 2A H =5 k,则P =1 2火，AP=l3k,求出值即可求解；(2)延长3 c交尸。于。，根据B C A C,A C尸。可得8，尸O,从而得出四边形4/D C是矩形，再根据N B P =4 5,得出P D =B D，利用R t A B C中，t an76 =即可求解

30、.A C【小 问1详解】解：过点A作A/L P Q于H,如图所示：.A H 5 ，P H 1 2设 A/=5&,则 P”=1 2 Z,则 AP =lAH2+P H2=J(5 A+(=1 3%，1 3左=2 6 ,解得：k=2,:.AH=10,坡顶A到地面P Q的距离为1()米.【小问2详解】解：延长BC交尸。于。，如图所示：B：.B D L P Q,：.Z A C D =/C D H =Z A H D =90。,，四边形 A/7DC 是矩形，C D=A H =10,A C =D H,：.Z B P D =45,为等腰直角三角形，:.P D =B D，设BC=x,则x+10=24+0”,：.A

31、C D H =x-4,在 RtZXABC 中，tan 76=,A Cx即-4,解得：x19,x-14,古 塔BC 高度约19米.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数、坡角与坡度、矩形的判定及性质,解题的关键根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解.21.ABC是边长为4的等边三角形，4B/7是等腰三角形，ZAFB=120,A F B F，以F为顶点作一个60。的角，角的两边分别交射线CA,BC于点。、E两点，连接。图2(1)如 图 1,若。、E 两点在线段CA,BC的延长线上.求证：E 4 1 A C；试写出线段A。、BE、OE之间的数量关系，并说明

32、理由；(2)如图2,若。、E两点在线段CA,BC上，求&CDE 周长.【答案】(1)见解析；5E=D E+A T，理由见解析(2)CDE的周长为8【解析】【分析】(1)首先根据等腰三角形的性质可得NE43=N K%=3 0,再根据等边三角形的性质可得NC4B=60。，据此即可证得；在 BE上截取8G=A O,连接尸G,可证得 /名 B G E(S A S),求出NGFE=N D FE,进而可证得。防名 G F(S A S),据此即可求得线段4。、BE、OE之间的数量关系；延 长 EB至点，使 8”=4)，连接尸“，可证得进而证得ZEFH=60=ZE FD,D E F 乌H E F(S A S)

33、,可得D E=E B+A D，据此即可求得周长.【小 问 1详解】证明：A B F 是等腰三角形，A F=B F，ZAFB=120,ZFAB=ZFBA=3 Q,:_A8C是等边三角形，NC43=NCB4=60,二 ZCAF=ZFAB+ZCAB=30 0 +60 =90 ,E 4 A C；BE=D E+A D，理由：如图，在BE上截取3G=A O,连接FG.由可知：ZCAF=ZCBF=90,：.NFAD=NFBG=90。,AD=BG在 AADF 和 ABGF 中 FE=60,ZGFE=ZAFB-(ZAFE+ZBFG)=ZAFB-(ZAFE+ZAFD)=120-60=60,即4 GFE=NDFE,

34、DF=GFADEF 和GEF 中 NDFE=ZGFE,EF=EF：.ADEF 0 G F（5AS）,DE=GE,；BE=GE+BG,：.BE=DE+AD；【小问2详解】解：如图：延长EB至点H,使8”=A，连接尸”,c由(1)可知：NCAF=NCBF=90。,：.ADAF=ZHBF90,AD=BH在ADE 和 qBHF 中,ND4F=NHBF,AF=BF：.AD F qBHF(SAS),:.DF=HF，ZAFD=/B F H，,：ZAFB=nO,ZDFE=6D,：.ZAFD+NBFE=6D。,：.ZBFH+Z.BFE=60,即4 EFH=60。=AEFD,DF=HF在.DEF 和 HEF 中

35、NEFD=ZEFH,EF=EF.ADEF A H E F(SA S),；DE=HE，,:HE=EB+BH=EB+AD，DE=EB+AD，二 CDE 的周长=CD+DE+CE=CD+AD+BE+CE=CA+CB,：.ABC是边长为4的等边三角形，CA=CB=4,_CQE的周长=8.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角的和差与线段的和差，作出辅助线是解决本题的关键.22.如图，在直角坐标系中有RtZXAOB,。为坐标原点，A（0,3）,将此三角形绕原点。顺时针旋转9 0,得到R t CO D,二次函数 =以2+区+。的图象刚好经过人，B,C三点.(1)求

36、二次函数的解析式及顶点P的坐标；(2)过定点。的直线/：y =H +3与二次函数图象相交于M,N两点.若5 的=2,求的值；证明：无论左为何值，二PMN恒为直角三角形；当直线/绕着定点。旋转时，一PA W外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式.【答案】y=-x2+2x+3,P(l,4)(2)0k +2 5/3 .见解析；y =2 x+4 x+l【解析】【分析】(1)根据旋转变换的性质求出OC,利用待定系数法求出二次函数的解析式，利用配方法把一般式化为顶点式，求出顶点P的坐标；(2)设M(x，x),N g,%)，根据题意求出P Q =1，根据三角形的面积公式得到9-玉=4,根据一

37、元二次方程根与系数的关系解答即可；根据正切的定义得到ta n/PM E =1-不，ta n Z F P N =,进而证明Z P M E =NEP N,据此证明结论；用 化 表 示 出 的 中 点 坐 标，计算x2-i即可.【小 问1详解】解:4(0,3),5(-1,0).Q =3,O B =1,根据旋转的性质可得：O C =Q4 =3,.-.C(3,0),把A(0,3)、C(3,0)分别代入解析式，得c=3一9 +3。+。=0b=2c =3解得：二次函数的解析式为y=-x2+2x+3,y=+2 x +3 =(x 1)+4 ,顶点坐标为。(1,4)；【小问2详解】解：设y),N(X2,%)，直线

38、/：y =日 左+3过定点Q(l,3),抛物线的顶点坐标为尸(1,4),.PQ=1,S PMN Q 尸Q .(X 2 X)=2 ,x2=4,联立y =一炉+2 x+3y=kx-k-i-3得炉+(左-2)x-k-0,?.x+x2=2-k9 x-x2=-k(x2-x)2=(%+x2)2-4X1X2=k2+4 =1 6 ,k 2/3；证明：过点P作PG_L x轴，垂足为G,分 别 过 点N作P G的垂线，垂足分别为E、设(，y),N ,y2).M ,N在二次函数y =-+2 x +3图象上，y =-x j +2%1 +3 ,%=x,-+2%2 +3 .QP(L4),PE =4-yi=4+X12-2X

39、1-3=(X,-1)2,M E =-x,PF =4-y2=4 +x22-2 x2-3 =(x2-1)2,NF=X2-,PE(x -1)-ta n Z P M E =PF 1-x,ta n Z F P NF N x2-1 1方=(”1广E由 可 知 王+马=2-匕xtx2=-k,%+%=2 +xtx2,(l-x,)(x2-l)=l,tanZ.PME =tan/FPN,/P M E =/F P N,N P M E+Z M P E=9 0。,N F P N +N M P E=9 0 ,即 N M P N=9 0 ,.无论攵为何值，qP MN恒为直角三角形；解：PMN恒为直角三角形，AMPN=90 ,

40、/-PMN外接圆圆心是线段M N的中点；设线段M N的中点（x,y）,/x1+x2=2-k,xxx2=-k ,x=_玉2+2_X+3,y2-x22+2x2+3.y+y?（x；+篙）+2（玉+工2）+6=（x+x2）+2X|X,+2（5+）+6=（2%）2 2 女+2（2左）+6=k2+6.M N的中点为 2-k _F +6、亍，2,2-k2_-k2+6化简，得 y=-2/+4x+1,抛物线的表达式为y=-2x2+4x+l.【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式、旋转的性质、直角三角形的判定、正切的概念、一元二次方程根与系数的关系，特殊三角形的外接圆的圆心，灵活运用二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键.