2021-2022学年第二学期无锡市初二数学三月月考试题及解析.pdf

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1、无锡市天一实验学校2021-2022学年初二数学三月月考试题一.选 择 题（共 10小题，每小题3 分）1.为了完成下列任务，你认为最适合采用普查的是（）A.了解某品牌电视的使用寿命 B.了解一批西瓜是否甜C.了解某批次烟花爆竹的燃放效果 D.了解某隔离小区居民新冠核酸检查结果2.如图，有 5 张形状、大小、材质均相同的卡片，正面分别印着北京2022年冬奥会的越野滑雪、速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪大跳台的体育图标，背面完全相同.现将这5 张卡片洗匀并正面向下放在桌上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是“滑冰”项目的图案的可能性是（）.高山滑雪3.下列运算正确的是（）1 1 2 -

2、a +LA F =-B.-a b a+h a-bD.a _ a-b b-14若分 式 皆 总运算结果为x-1,则 在“口”中添加的运算符号为（A.+B.-C.XD.土C.a+b =ab单板滑力大跳台）5.乐乐爸爸的公司今年17 月份的销售额在七个月之内增长率的变化状况如图所示.从图上看出，下列结2HO987654321OB.在这七个月中，1 月份的销售额最大C.这七个月中，每月的销售额不断上涨D.这七个月中，销售额有增有减6 .下列说法中正确的是（）A.矩形的对角线平分每组对角；B.菱形的对角线相等且互相垂直；C.有一组邻边相等 矩形是正方形；D.对角线互相垂直的四边形是菱形.7 .如图，在R

3、jABC中，为斜边A8的中线，过点C作于点E,延长OE至点F,使E F =D E,连接 A F,C F ,点 G 在线段 C F 上，连接 E G ,且 Z C D E +ZEGC18O,FG=2,G C =3 .下列结论：DE=LBC；四边形。8b是平行四边形；EF=E G；B C =2石.其中正确结论的2个 数 是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个-5-x ,E两点作线段AC的垂线，垂足分别为G,尸两点.（1）求证：四边形O E F G 为矩形；（2）若 A B =10,E F =4,求 C G 长.2 4 .某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就 用 13 2 00元购进了一批这种

4、衬衫，面市后果然供不应求.商家又用2 8 8 00元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了 10元.（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下5 0件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于2 5%（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？2 5 .如图，点尸 正方形A B C D边A D上一点，A D=4,作PE/BD交A B于点E,连结CE,P B,点 F是射线 8。上一点，满足P F=P B,连结C F.（2）当四边形E C F P 中有两条边相等时，求 AP 的长.2 6 .如图，RSC E F 中，ZC

5、=9 0,ZC E F,N C F E 外角平分线交于点A,过点A分别作直线C E、CF的垂线，B、D为垂足.(1)求证:四边形ABCD是正方形,(2)已知A B的长为6,求(BE+6)(DF+6)的值，(3)借助于上面问题的解题思路，解决下列问题:若三角形PQR中，NQPR=45。,一条高是PH,长度为6,QH=2,贝 I HR=答案与解析选择题（共10小题，每小题3分）1.为了完成下列任务，你认为最适合采用普查的是（）A.了解某品牌电视的使用寿命 B.了解一批西瓜是否甜C.了解某批次烟花爆竹的燃放效果 D.了解某隔离小区居民新冠核酸检查结果【答案】D【解析】【分析】普查和抽样调查的选择，需

6、要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析,普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查.【解答】解：A、了解某品牌电视的使用寿命，调查带有破坏性，应用抽样调查方式，故此选项不合题意；B、了解一批西瓜是否甜，调查带有破坏性，应用抽样调查方式，故此选项不合题意；C、了解某批次烟花爆竹的燃放效果，调查带有破坏性，适合选择抽样调查，故此选项不符合题意；D、了解某隔离小区居民新冠核酸检查结果，对结果的要求高，结果必须准确，应用全面调

7、查方式，故此选项符合题意.故选：D.【点评】本题考查了抽样调查和全面调查，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似.2.如图，有 5 张形状、大小、材质均相同的卡片，正面分别印着北京2022年冬奥会的越野滑雪、速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪大跳台的体育图标，背面完全相同.现将这5 张卡片洗匀并正面向下放在桌上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是“滑冰”项目的图案的可能性是（）.【答案】B【解析】【分析】先找出滑冰项目图案的张数，再根据概率公式即可得出答案.【解答】解：有5 张形状、大小、质地均相同的卡片，滑冰项目图案的有速度滑冰和花

8、样滑冰2 张,2,从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑冰项目图案的概率是；故选：B.【点评】本题考查了概率的知识.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.3 .下列运算正确的是（）1 1 2 -a+b.-,1 a a-1A.I=B.-=-1 C.a,-=a D.-=-a b a+b a-b b b b-【答案】B【解析】【分析】根据异分母分式加减法运算法则进行计算，判断A,根据分式的基本性质判断B,根据分式乘除法运算法则进行计算，判断C和 D.【解答】解：A、1+1 =故此选项不符合题意；a b abB、工 =二（-1,故此选项符合题意；a-b a-bc、吟,故此选项不符合题意；D

9、、，工;二2,故此选项不符合题意；b 0-1故选：B.【点评】本题考查分式的混合运算，理解分式的基本性质，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键.4 .若 分 式 式 里 一上运算结果为x-1,则 在“口”中添加的运算符号为（）x-1 x-A.+B.-C.X D.-?【答案】B【解析】【分析】利用同分母的减法法则，即可求解.【解答】解：.立1_ 2=立1 3 =色 U=工 _1，X 1 X 1 X 1 X 1.在“口”中添加的运算符号为故选：B【点评】本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式的加减法则是解题的关键.5 .乐乐爸爸的公司今年1 7月份的销售额在七个月之内增长率的变化状况如图

10、所示.从图上看出，下列结论正确的是（）份A.16月份销售额在逐渐减少B.在这七个月中，1月份的销售额最大C.这七个月中，每月的销售额不断上涨D.这七个月中，销售额有增有减【答案】C【解析】【分析】这七个月中，股票的增长率始终是正数，前六个月的股票增长率不断下降，七月份增长率上涨据此进行解答即可.【解答】解：由折线统计图可知16月份股票月增长率逐渐减少，7月份股票的月增长率开始回升，这七个月中，股票的增长率始终是正数，则每月的股票不断上涨，所以C正确，A、B、。均错误.故答案是C.【点评】本题主要考查折线统计图的运用，折线统计图表示的是事物的变化情况，在图形中纵轴表示的是增长率，只有增长率是负数

11、，才表示股票下跌.6.下列说法中正确的是（）A.矩形的对角线平分每组对角；B.菱形的对角线相等且互相垂直；C.有一组邻边相等的矩形是正方形；D.对角线互相垂直的四边形是菱形.【答案】C【解析】【分析】根据矩形及菱形的性质，菱形及正方形的判定定理依次判断即可得.【解答】解：A、矩形的对角线不平分每组对角，故选项错误：B、菱形的对角线互相垂直但不相等，故选项错误；C、有一组邻边相等的矩形是正方形，故选项正确；D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；故选：C.【点评】题目主要考查特殊四边形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键.7.如图，在Rr ABC中，8为斜边AB的中线

12、，过点。作DEL AC于点E,延长OE至点F,使EF=DE，连接/，点 G在线段CT 上，连接EG,且NCOE+NEGC=180,EG=2,GC=3.下列结论：D E =；B C；四边形。8C 尸是平行四边形；E F =E G；B C =2 其中正确结论的个 数 是（）A.1个B.2 个C.3 个D.4 个【答案】D【解析】【分析】根据直角三角形的性质知DA=DB=DC,根据等腰三角形的性质结合菱形的判定定理可证得四边形ADCF为菱形，继而推出四边形DBCF为平行四边形，可判断；利用邻补角的性质结合已知可证得NF G F EC FE=N FG E,即可判断；由的结论可证得FEG A F C D

13、,推出=，即可判断.F D F C【解答】:在R jA B C 中，C D 为 斜 边 的 中 线,；.DA=DB=DC,；D E L A C 于点 E,且 E F =D E，四边形ADCF为菱形，FCBD,FC=AD=BD,四边形DBCF为平行四边形，故正确;；.DF=BC,.DE=B C,故正确;2 四边形ADCE为菱形,，CF=CD,ZCFE=ZCDE,:ZCDE+Z EGC=180,而N FGE+Z EGC=180,，NCDE=NFGE,NCFE=NFGE,；.E F=E G,故正确；V ZCDF=ZFGE,ZCFD=ZEFG,.FEG FCD,”二，即2FD FCF DFD 2 +3

14、，FD=2y,，B C=D F=2 6，故正确;综 上，都正确,故选：D.【点 评】本题考查了菱形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题.8.若 关 于x的一元一次不等式组-5-x 2 +122y-a 3 y 2y-1 _ y=1有非负整数解，则符合条件的所有整数。的 和 为()A.6B.9D.2【答 案】A【解 析】【分 析】解一元一次不等式组求得解集，根 据题 意 可 求 得a的取值范围，解分式方程得方程的解，根据分式方程的解为非负整数即可确定所有的a值，从而可求得其和.解 答】*2川 解不等式得：

15、x N土卫；解不等式得：x-l1 2由题意知不等式组的解集为：上至K X V-112伫生 x -1恰好有三个负整数解1 2a 5 5，-5 -41 2解 得：一5 a W 7解 分 式 方 程 幺 二:一 享工=1得：y=y-y 4 分式方程有非负整数解/.+1是4的非负整数倍V-5 7-4 a+1W 8.a+l=O 或 4 或 8即。=一1或 3 或 7,ar,a+,1 即-w 1,4a w 3,综上：。=一1或 7,则-1+7 =6故选：A【点评】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程等知识，是方程与不等式的综合，根据不等式组有3个非负整数解，从而得出关于。的不等式是本题的难点与关键.9

16、.如图，已知长方形纸板的边长。七=1(),E F =,在 纸 板 内 部 画 并 分 别 以 三 边 为 边 长 向外作正方形，当边 印、和点K、J 都恰好在长方形纸板的边上时，则一A BC的面积为()1 1IA.6B.C.D.3v52 4【答案】A【解析】【分析】延长C 4与 G尸交于点N,延长CB与 E F交于点P,设 AC=。，B C=a,则 小招+从,证明A B C gaB JK gaJK F gaK A N,再利用长方形D E F G的面积=十个小图形的面积和进而求得=1 2,即可求解.【解答】解：延长CA与 G F交于点N,延 长 CB与 E F交于点P,设 4 c=6,B C=a

17、,则 48=万万，四边形AR/K是正方形，四边形ACML是正方形，四边形8C”/是正方形,；.AB=BJ,ZABJ=90,：.ZABC+ZPBJ=900=ZABC+ABAC,：.NBAC=/JBP,/NACB=NBPJ=90。,:A B gX B JK (AAS),同理ABCg R/Kg JKFg AKAN,:AC=BP=JF=KN=NG=b,BC=PJ=FK=AN=PE=a,VDE=10,EF=11,:.26+。=10,2a+b=11,a+b=l,.a1+b2=49-2ab,长方形DEFG的面积二十个小图形的面积和，/.10 x11=3ab+；。4+。2+从+(+廿)2,整理得:5M+2m2

18、+)=110,把。2+按=49-2。4 代入得：5ab+2(49-2ab)=110f/.ab=12,/ABC的面积为-ab=6,2故选：A.【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，关键是构造全等三角形和直角三角形.10.如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCHZ、四边形EKEA、ZXBG尸的周长分别为Ci、Q、C3,且G=2C2=4C3,已知/G=K,E F=6,则AB的长是A.9.5 B.10 C.10.5 D.11【答案】D【解析】【分析】根据六边形EFGHLK的各个内角相等，即可得出8FG,/XAEK,CHL都是等边三角

19、形，由轴对称可得，四边形HC”工、四边形E K 4都是菱形，再根据CI=2C2=4C3,FG=LK,EF=6,即可得至lj AB.【解答】解：六边形EFGHLK的各个内角相等，.该六边形的每个内角为120。，每个外角都是60。，:.BFG,/AEK,CHL都是等边三角形，；.N B=N BAC=NACB=60,BF=FG,AE=AK,CL=HL,.ABC是等边三角形，：.AB=AC,即 BF+FE+AE=AK+KL+CL,又：BF=FG=KL,:.EF=CL=6=CH,由轴对称可得，四边形HC”Z、四边形EK E4都是菱形，VCI=2C2,:.AE=；CH=3,又：2C2=4C3,C3=gc2

20、=gxl2=6,1BF=-x6=2,3：.AB=BF+EF+AE=2+6+3=1,故选：D.【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及轴对称性质，解题时注意：四条边相等的四边形是菱形.二.填 空 题（共 8 小题，每小题2 分）11.某校有40人参加全国数学竞赛，把他们的成绩分为6 组，第一至第四组的频数分别为10,5,7,6,第五组的频率是0.20.则第六组的频率是【答案】0.1【解析】【分析】先求出第五组的频数是8,从而求出第六组的频数，最后求出第六组的频率即可解答.【解答】解：由题意得：4 0 x 0.2=8,.第五组的频数是8,.,.4 0-1 0-5-7-6-

21、8=4,.4+4 0=0，第六组的频率是：0.1,故答案为：0.1.【点评】本题考查了频率与频数，熟练掌握频率等于频数+总次数是解题的关键.1 2 .已知一组数据都是整数，其中最大值是2 4 2,最小数据是1 9 8,若把这组数据分成9个小组，则组距是【答案】5【解析】【解答】解：在样本数据中最大值与最小值的差为4 4,4 4 8若把这组数据分成9个小组，那么由于一=4 v 5,则组距是5.9 9故答案为5.1 3 .若 分 式 士 但 的 值 为 零，则x的值为x +5【答案】5【解析】【分析】根据分式值为零的条件列式计算即可.5-1 r|【解答】解：.分式二1的值为零，x +5.5-|%|

22、=0,x+5翔，解 得:x=5.故 答 案：5.【点评】本题考查的是分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.v*61 4.若关于x的分式方程+1=有增根，则 k 的值是.x-5 5-x【答案】1#0 5【解析】11-24-【分析】先解分式方程求出x=-,再根据分式方程有增根，可得x=5,然后把x=5 代入x=-2 2中进行计算即可解答.v-6 2k【解答】解：x-5 5-xx-6+x-5=-2k,分式方程有增根，Ax-5=0,无=5,1 1 一2”把 x=5 代入”=-中得:2故答案为：【点评】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根的意义是解题的的关键.1 5.

23、为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞上来50条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘.一周后，再从鱼塘中打捞出100条鱼.如果在这100条鱼中有5 条鱼是有记号的，那么我们可以估计鱼塘中鱼的总条数为一.【答案】1000【解析】【分析】首先求出有记号的50条鱼在总条数中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数.【解答】打捞100条鱼，发现其中带标记的鱼有5 条，有标记的鱼占-，共有50条鱼做上标记，.鱼塘中估计有50+高 =1000（条）故答案为1000.【点评】考查了用样本估计总体，用到的指数点为：总体数目=部分数目+相应频

24、率.x2+V2+z21 6.若 3x-4y-z=0,2x+y-8 z=0,则-的值为.xy-yz+xz【答案】2【解析】【分析】先把z 当作已知条件表示出x、值，再代入原式进行计算即可.【解 答】解方程组3x-4y z =02%+y 8 z =0,解 得 x=3zy=2z.原 式=（3z）+（2 z）+z =1 4z?=26Z2-2Z2+3Z2 7Z2故答案为：2.【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.1 7.如 图，四 边 形A B C D为菱形，Z/W C =70 ,延 长B C到E,在NOCE内 作 射 线C M,使得=1 5,过 点。作OR，CM,

25、垂 足 为F.若 D F =底,则 对 角 线8。的长为.【答 案】2 76【解 析】【分 析】连 接A C交8 D于H,证 明.D C H D C F,得 出。的长 度，再 根 据 菱 形 的 性 质 得 出 的 长 度.又：/W C E=1 5,二 N D C F=5 5。,：DF CM,：.ZCDF=35 ,又 四边形AB C。是菱形,.8。平 分 乙4。（7,Z H D C=3 5 ,在,.C Q 4和C D F 中,ZCHD=ZCFD，*-DB=2Y/Q，故答案为2面.【点评】本题主要考查菱形的性质和全等三角形的判定，菱形的对角线互相平分是此题的关键知识点，得出NHCC=NFC是这个

26、题最关键的一点.1 8.如图，在四边形A8CD中，点 E、P 分别是A&CD 的中点，过点E 作 A 8的垂线，过点F 作 CD的垂A n线，两垂线交于点G,连接AG、B G、C G、D G,且/A G D=/B G C.若 A。、8 C 所在直线互相垂直，一E F的值为_.【答案】V2【解析】【分析】延长A D交G B于点M,交B C的延长线于点H,则A H 1,BH,由线段垂直平分线的性质得出GA=GB,G D=G C,由 SAS 证明AG。三BG C,得出/G A)=/G B C,再求出/AGE=/A4B=90。，得出 NAGE=g/AG-G A G BAGB=45。，求出=0,先证出/

27、A G B=/O G C,由=,证出aAGB D G C,得出比例式E G G D G CF G G AA D=,再证出/4GO=N EG凡 即可得出A G O：A E G F，即可得出的值.F G G DE F【解答】解：延长A。交 GB于点M,交 3 c 的延长线于点7 7,如图所示：则 A H 18”，GE是 AB的垂直平分线,GA=GB,同理：GD=GC,在AGO和BGC中，GA=GB,E两点作线段A C的垂线，垂足分别为G,尸两点.（1）求证：四边形OEFG为矩形；（2）若AB=10，石尸=4，求CG的长.【答案】（1）见解析（2）2【解析】【分析】（1）欲证明四边形OEFG为矩形，

28、只需推知该四边形为平行四边形，且有一内角为直角即可；（2）首先根据直角三角形斜边上中线的性质求得AE=E=5；然后在直角AAEF中利用勾股定理得到AF的长度；最后结合48=AC=AF+FG+CG=10求解即可.【小 问1解答】证明：AB=AC,AD1BC,.点。是BC的中点.点是A B的中点，.OE是AABC的中位线.：.DE AC.：D G L A C,EFAC,：.EF DG，四边形DEFG是平行四边形.又/G=9 0,.四边形。E F G 为矩形；【小问2 解答】解：A _ L B C 交 BC于。点，Z A D B=Z A D C=9 0.4 D B 是直角三角形点是48的中点，A B

29、=10,.QE=A E=!8 c=5.2由（1）知，四边形O E F G 为矩形，：.GF=DE=5在直角 AAEF 中，EF=4,A E=5,由勾股定理得：AF=不AE?-EF?=15 2-4 2=3 ；A 8=A C=10,FG=ED=5,，G C=A C -FG-A 尸=10-5 -3=2.【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线，勾股定理,根据题意找到长度相等的线段是解题的关键.24.某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就 用 13 200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求.商家又用28 8 00元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进

30、量的2 倍，但单价贵了 10元.（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下5 0件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？【答案】120件;（2）1 50 元.【解析】【分析】（1）设该商家购进的第一批衬衫是x 件，则购进第二批这种衬衫可设为2%件，由己知可得，这种衬衫贵1 0 元，列出方程求解即可.（2）设每件衬衫的标价至少为a元，由（1）可得出第一批和第二批的进价，从而求出利润表达式，然后列不等式解答即可.【解答】（1）设该商家购进的第一批衬衫是x 件，则第二批衬衫是2%件，由题意可得

31、:2 8 8 0 0 1 3 2 0 0 1 A-=1 0,2xx解得x =1 2 0,经检验x =1 2 0是原方程的根.(2)设每件衬衫的标价至少是a元，由(1)得第一批的进价为：1 3 2 0 0 +1 2 0 =1 1 0 (元/件)，第二批的进价为：1 2 0 (元)由题意可得：1 2 0 x(a _ U0)+(2 4 0-50)x(a-1 2 0)+50 x(0.8 a-1 2 0)2 2 5%x 4 2 0 0 0解得：3 50 a 52 50 0,所以，6/1 5(),即每件衬衫的标价至少是1 50元.【点评】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确找出等量关系和不等

32、关系是解题关键.2 5.如图，点P是正方形A B C。边4。上一点，4 0=4,作PE B D 交A B 于点E,连结C E,尸8,点尸是射线B O上一点，满足连结C凡(2)当四边形EC FP中有两条边相等时，求A P的长.【答案】(1)见解析(2)A P的长为4百-4或4逐-8或2.【解析】【分析】(1)如 图1,连接。E,先证明A B P g Z VIQE(S A S),可得/A B P=N A D E,可推出P F O E,再证明四边形P ED尸是平行四边形，即可证得结论；(2)如图2,过点尸作于点G,过点C作C H L 3。于点H,设A P=x,则P D=4-x,运用勾股定理可求得：尸

33、 产=1 6+尤2,P E2=2 x2,C/7 2=2 x2+8 x+1 6,C?=x2-8 x+3 2,再分类讨论即可.【小 问1解答】证明：如 图1,连接O E,图1 四边形A 8 C。是正方形，：.A B=A Df Z A=9 0,Z A B =Z A D B=4 5,PE/BD,：.ZA EP=ZA BD=45f N A PE=N A DB=45。,：./A EP=/A PE,：.AE=APf：./ABP/ADE(SAS),NABP=NADE,：.A ABD-ZABP=ZADB-ZADE,即/03P=/a)：PF=PB,：./PFB=/DBP,：./PFB二/BDE,：.PF/DE,:

34、PE/DF,四边形PE。尸是平行四边形，：.PE=DF；【小问2解答】解：如图2,过点P作尸GJ_3。于点G,过点。作于点”,图2设AP=x,则尸。=4-心 :PE/BD,/.AE=AP=x,BE=PD=4-x,在 R小ABP 中，PB2=AB2+AP2=16+x2,P产=16+N,在放ZiAEP 中，PE2=2x2,在放aOPG 中，NPDG=45。,6 B：.PG=DG=PD=(4-x),2 2：.FG=4PF2-P G1=4v 1 6 +x2-L2(4-x)J=2(x+4)，：.DF=FG-DG=(x+4)(4-x)=旧,2 2CW是等腰直角三角形,：.C H=DH=2y/2，.F”=&

35、+2 及，ACF2=CW2+F/2=(2 后)2+(后 x+2后)2=2x2+Sx+6,在放ACBE 中，C2=BC2+B2=42+(4-x)2=x2-8x+32,当 CE=PE 时，则 x2-8x+32=2x2,解得：x=4 J 5-4 或X=-4 G-4(不符合题意，舍去)，.=4 技4；当 C E=C F 时，贝 lj x2-8x+32=2x2+8x+16,解得：x=46-8或 x=-4石-8(不符合题意，舍去)，：.A P=45-S；当 C E=PF 时，贝 lj/一 8X+32=16+x2,解得：4 2,：.A P=2；当 C F=PF 时，贝 lj 2/+8x+16=16+x2,解

36、得：x=0或 一 8,均不符合题意，舍去；当 C F=PE 时，则 2/+8x+16=2%2,解得：户 一 2(不符合题意，舍去)；当 PE=PF 时，则 2%2=16+x?,解得：x=4或 4-4(均不符合题意，舍去)；综上所述，A P的长为4 6-4 或 4 6-8 或 2.【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，运用分类讨论思想和方程思想是本题的关键.2 6.如图，RtACEF中，ZC=90,ZCEF,NCFE外角平分线交于点A,过点A 分别作直线CE、C F的垂线,(1)求证:四边形ABCD是正方形，(2)已知A B的长为6,求(BE

37、+6)(DF+6)的值，(3)借助于上面问题的解题思路,解决下列问题:若三角形PQR中，/QPR=45。,一条高是PH,长度为6,QH=2,贝 I HR=.【答案】（1）见解析；7 2；（3）3.【解析】【分析】（1）根据三个角是直角的四边形先证得四边形A B C Q是矩形，再过点A作A G_ L EF于点G,根据角平分线的性质得出A B=A G A D,问题即得解决；（2）如 图1,通过两次运用H L可证得EF=B E+O F,再设D F=y,在Rt C EF中，根据勾股定理得出关于x、y的等式，再整体代入（B E+6）（。尸+6）展开整理后的式子即可得到答案；（3）如图3,作关于P R对称

38、的2/?八,作 PQH关于P。对称的PQM,N R和A/。的延长线交于点K,先根据邻边相等的矩形是正方形证明四边形P N K M是正方形，再 根 据（2）的结论即可求出结果.【解答】解：（1）证明：AD CD,ABLCB,Z C=9 0,.四边形AB C。是矩形，如 图1,过点A作A G L E F于点G,平分 N OFE,AD CD,：.AG=AD,同理可得：AG=AB,：.AB=AD.,矩形AB C。是正方形.3 1(2)在 Rt AAD F 和 Rt AAGF 中，AF=AFADAGARt AAD FRt AAGF(HL).：.DF=GF,同理可得B E=GE.：.EF=GE+GF=BE

39、+DF.设 B E=EG=x,D F=F G=y,则 C E=6尤，C F=6 y,如图 2：DyB X E 6-x c图2在RtZCEF中，根据勾股定理得：CEa+CF?=EE2,即(6-x)2+(6-y)2=(x+y)2,整理得：孙+6(x+y)=36./.(BE+6)(D/7+6)=(x+6)(y+6)=孙+6(x+y)+36=36+36=72.(3)如图3,作PRH关于PR对称的APRN,作PQ”关于PQ对称的PQM,NR和MQ的延长线交于点K,则 PN=PH=6,PM=PH=6,Z2=Z1,Z4=Z3,/N=NPHR=90,NM=NPHQ=90,MQ=HQ=2,NR=HR,:.PN=

40、PM=6,VZ1+Z3M50,.Zl+Z2+Z3+Z4=90,即NNPM=90,四边形PNKM是正方形.RQ=RH+HQ=NR+QM,.由(2)题的结论知：(NR+6)(/Q +6)=72,即(M?+6)(2+6)=7 2,解得 NR=3,即 HR=3.故答案为：3.【点评】本题是四边形的综合题，重点考查了正方形的性质与判定、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质和直角三角形全等的判定，较好的渗透了方程思想、整体代入计算求值和轴对称变换的解题方法，考查的知识点多，难度较大，熟练掌握角平分线的性质和正方形的判定方法是证明（1）题的关键；证得F=8E+QF并灵活运用方程思想和整体代入的方法是解（2）题的关键；通过两次轴对称变换构造出解题所需的正方形KNPM是 解（3）题的关键.