九年级数学下册2023年中考培优训练（培优篇）：勾股定理含答案.pdf

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1、九年级数学下册2023年中考专题培优训练（培优篇）：勾股定理一、单选题1.如图，在4 x 4 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称为格点,的顶点均在格点上，贝 ijsin/A 4c的 值 是（）.Vio,A.5 B.5 c.5 D.22.如图，在RtZUBC中，NC=90,/8 =5 8 c =4,点P是边/C 上一动点，过点P 作P Q B C 交 A B 于点Q，。为线段P 0 的中点，当8。平分/Z 8 C 时，/P 的长度为（）3.如图，在 R b/B C 中,NB=90。,4艮=320 25C.7 D.78 c =4 将 B C 折叠，使 点B恰好落在边力

2、C 上,与点重合，NE为折痕，则E*的 长 为（）C.1.5cmD.1cm4.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径08=5,水面宽/8 =8,则截面圆心。到水面的距离 是（）1ocBA.3 B.4 C.3 拒 D.65.如图，菱形“BCD中，/C =8,50=6,D E 1 A B,垂足为E,DE与 4 c 交于点、F,则cosN BD E的 值 为（）3 4 3 4A.4 B.3 c.5 D.56.如图，将菱形纸片Z8CO折叠，使点/恰好落在菱形的对角线交点。处，折痕为E尸，若菱形48CO的边长为4cm,28=60。，那么转 为（）A.45/3cm B.2cm Q 2V3cm p 1c

3、m7.如 图，点E为正方形4 8 co外一点，连接力E、B E,分别交CD于点G、F ,连接8 G,若ZA E B=45 ,C F =D F ,D G =2,则 8G 的长度为（）8.如图，等边0 8 c的边长为4,点。是边ZC上的一动点，连接8。，以8。为斜边向上作等腰R3B DE,连接ZE,则AE的最小值为（）2A.1 B.&C.2 D.2V2-19.如图，在中，M 为弦4 8 上一点，且/=2 8/=4,连接0 ，过 用 作交于点N,则血的 长 为（）厂-V2A.2.5 B.3 C.2也 D.31 0.如图，0 的内接正方形 8 ）的边长为 则 的 半 径 为（）A.2 B.2&C.4行

4、 D.24y=x+811.如图，直线 3 与 x 轴、y 轴交于/、8 两点，/加 的 平 分 线 所 在 的 直 线 的 解12.如 图 1,矩形/8CZ）中，点E 为 8 c 的中点，点P 沿 8 c 从点8 运动到点C,设8,P 两点间3的距离为X，P A-P E =yt图 2是点p运动时y随X 变化的关系图象，则8c的 长 为（)图I图2A.6 B.7C.8 D.91 3.如图，在正方形“88中，A B=4 为8C的中点，将A/1 8 E 沿力E折叠，使点B落在正方形内点尸处，连接CF,则b 的 长 为（）1 4.如图，Z A B C =Z D A C =9 0D.2.2 5Z BA

5、C =3 0,4。=45。，点后为8 的中点，以点C为圆心，C E 为半径画弧线E G”,点 c、B、，共线，若 8 c =2 c m,则阴影部分的面积为（)+2 j c m2 y -2 Jc m21 5.如图，正方形/8 C O 中，点 后 是 边 上 的 动 点（不与点C、。重合），以C E 为边向右作正方形CMG,连接力尸，点 是/的 中 点，连接。、C H .下列结论：C G 1C D H .4 F 平分/DFE；若 8 c =4,C G =,则/尸=5 近；若 8c一5,S&E F I=1则SD H 2.其中正确的有（）42 个C.3 个D.4 个二、填空题16.如图，已知“BC为等

6、腰直角三角形，/切 C=90。，A C =2,以点C 为圆心，1为半径作圆,点尸为上一动点，连 接 并 绕 点 4 顺时针旋转90得到连接C P,则点P 到；C尸的最小值是,17.如图，在三角形/8 C 中，A B=A C ,4 4=60。，A D =C E ,/E 与8。相交于点尸，若E F =4,贝 IJE至尸的是巨离为18.九章算术是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一.书中记载了一个问题:“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆径儿何？”译文：如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5 步，股（长直角边）长 为 12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？根据题意，该

7、直角三角形内切圆的直径为 步.51 9 .如图，在口中，以C D为 直 径 作 经 过 点/,且与5。交于点E,连接 E并延长，与B C交于点F,若尸是8 c的中点，/尸=6,则/8=.2 0 .如图，在矩形4 8。中，4 c =1 0,D C =5,以C为圆心8 c为半径画弧交/C于点E ,以 C为直径画半圆交8 c于点8,则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为.2 1 .如图，在正方形Z 8C。中，点“，N为C D,8 c上的点，且。l/=C N,AM与D N交于点尸，连接/N,点。为N N中点，连接P。，若/8=1 0,D M =4,则尸。的长为2 2 .如图，矩形/8C O中，A

8、B=4,BC =2,G是 力。的中点，线 段 转 在 边4 8上左右滑动,若E F =1,则G E +C F的最小值为6三、解答题23.如图所示的工件槽的两个底角均为9。.尺寸如图(单位：c m),将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有4B,E 三个接触点，请你根据图中的数据求出该球的半径.24.知图，在正方形力8 c。中，E 是8边的中点，点/在 8 C 上，/E A F =N D A E ,(1)求证：A F =B C +FC.(2)已知正方形的边长为4,求/尸的长.25.如图，口 为 的 切 线，/为 切 点，过点N 作/8 L 0 尸，垂足为点C,交。于点8,延长8 与尸”的延长线交于点

9、。.求证：P8是。的切线：若 08=3,O D =5,求。尸的长.26.如图，/8 为0 直径，4 C 为弦，。为0 外的点，且为。的切线，过。作。石,。/于点石，交 4 C于点、F,延长交 的 延 长 线 于 点74c o s D =八 若 E为勿的中点，D H=10,5,求的半径.2 7.中，N8 =9 0 o,/8=1 0 c m,8C =1 2 c m,点 p从 点/开 始 沿 边 向 终 点 8 以 1 c m/s 的速度移动，与此同时，点。从点8 开始沿边8 c向终点C以2 c m/s 的速度移动.如果产、。分别从/、8 同时出发，当点。运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为/秒

10、.(1)填空,PB=(用含f 的代数式表示);(2)当 f 为何值时，0。的长度等于1 0 c m?(3)是否存在t 的值，使得“0 8。的面积等于9 c m 2?若存在，请求出此时/的值；若不存在，请说明理由.2 8.在 A48C 和/)中，A B=A C,A D =A E ,N BA C =N D A E ,连接 80,C E(1)如图将 Z OE 绕点Z旋转，在旋转过程中，线段8。与C E 总保持相等的数量关系，请说明理由.(2)如图，N B 4 C =N D 4 E =9 Q ,A B=S,4D =4,把UO E绕 点/旋 转，点 为 射 线 8。与C E 的交点，当E在 历1 延长线

11、上时，求线段C P 的长度(只求图中的情况).(3)在的条件下，在旋转过程中，点尸为射线8。与射线C E 的交点，当四边形Z O P E 为正方形8时，直接写出线段尸8 长度的值.2 9 .如图，已知边长为3的正方形/8 C Q 和边长为2的正方形D E F G 公共点),连接心CG相交于点，N E与C。相交于点。.求证：“D E 知 C D G ；(2)猜想：线段4E与C G 的关系，并说明理由；(3)当/C E =3 0。时，求 40的长度.3 0 .如图，和4 D E 中，Z.BA C =A D A E=9 0 如 图 1,若 4B=A C ,A D =AE点 A、B、。共线时，探 究

12、砥 与。的关系，说明理由;(2)如图2,A B=A E ,AC AD,且 点 儿B、。不共线时，点”为线段8。的中点，判断与C E 的数量关系，并证明.(3)如图3,若月8=/C,A D =A E 点 4B、。不共线时，点 G为 的 中 点，NOE 绕 点/旋转过程中，连接8 G,若/8=5近，A D =3 4 2,直接写出线段8 G的取值范围.9参考答案:1.A解：延长4 C 到点。，连接8。，如图：AD2=20,BD2=5,AB2=25AD2+BD2=AB24ADB=90.“BD 亚.sin Z.BAC=AB 5故选A.2.B解：vZ C =90,AB=5f BC=4t：.AC=JAB、-

13、BC?=3,/PQ BC,ZCBD=ZBDQ,8。平分。时，./CBD=/QBD,NQBD=ZBDQ,/.QB=QD D为线段P 0 的中点,/.QP=2QD=2QB PQ/BC:.CPQ“CABtAP AQ PQ AP_ 5 _ QB _ 2QB4C4BBC f g|jT 5 乙-,解得。喈AP=故选B.3.C解：.在 RtA48c 中，ZB=90。，/A =3 8c=4.JC=V32+42=5.将“8 c折叠，使 点B恰好落在边/C上，与点S 重合,:.BE=EB,AB=AB=3,NEBC=90,.8C=5-3=2设 BE=BfE=x f 则 EC=4-x.在 中，EC2=EB2-B,C2

14、即+22=(4-X)2,解得x=1.5._EB=1.5故选：C4.A解：由题意得，OCLAB,BC=-AB42,.在 RtA(9SC 中，由勾股定理得 OC=yJOB2-BC2=3,故选A.5.D解：四边形8 8是菱形，/C =8,BD=6,AD=AB,AC A.OD,AO=-AC =4 DO=BO=-BD=32 2由勾股定理得到：4D=4B=dAO、BO2=5,又T DE J.AB,s 均3C =-ACBD =ABDE八 口 ACBD 8x6 24.2AB 2x5 5,24cosNBDE=BD 6 5 f故选：D.6.C2解：连接8。、AC,ZC与 叱 相 交 于 点G,如图,四边形Z8CZ

15、）是菱形，:.AC-LBD f BD 平分/4B C ,ZJ5C=60.4 8 0 =30。，：ZAOB=90 f：.AO=-AB=-x 4 =22 2,由勾股定理得：O=DO=JAB2-AO2=V42-2:=273BD=2BO=4后,/沿E尸折叠与。重合，：.EF VAC t E尸平分 Z。，:.AG=-AO2,v AC A BD,EF/BD,:./XAEK ABD,EF AG 1BD4D2,:.EF=BD=、4拒=2拒2 2,故选：C.7.A解：设GF=x,贝|（7/=。/=+2,连接/C,BD交于点0,3 四边形46C。是正方形，.ZADB=ZACB=45,AD=CD=BC=2x+4 f

16、 ZADC=ZBCD=90 9.AC=y/2（2x+4）；EB=45。,./AEB=ZADB=/ACB=45,:点A,B,C,D,E 在以点。为圆心且4 c 为直径的圆上，连接点，4。为直径，：/A E C =900=NBCF,又：ZEAC=/C BF,.ECS&BCF,AC BF,.CE=CF f.BF=2x+4,CF=x+2,.BF=yjBC2+CF2=V5（x+2）,，及（2x+4）_ 6（x+2）_ 6CE x+2,2 国+2）:.5,.ZADG=ZCEG=90,/AGD=ZCGE.AD G sACEG,AD DG,.CE=EG f42x+4 22s/0(x+2)EG5 ,巫解 得 一

17、 5,.EG2+CE2=CG2,呼 斗(2x+2)z解得x=l,.8C=6G=4,.BG=BC-+C G2=A/62+42=2 屈,故选：A.8.B解：如图，过点5作8 ,力C于H点，作射线E,3 C是等边三角形，B H工AC,AH=2=CH,/BED=NBHD=90,二点B,点、D,点，点“四点共圆，ZBHE=/BDE=45,点在Z A H B的角平分线上运动，.当力时，4E的长度有最小值,ZAHE=45 rAH=J2AE=2,的最小值为应,故选：B.59.C解：过点。作力5于点c,连接4，N,AM=IBM=4,:.BM=2 ,则 AB=AM+BM=4+Z =4,.OC LABAC=BC=-

18、AB=32 ,:.MC=BC-BM =N =7,设=x,在R t C O M中，根据勾股定理可得：0 M N=O C N+M C N=/+7,在R M N O C中，根据勾股定理可得：AOZ=OCZ+ACZ=XZ+,.OM LM N,MNZ=NOZ-O A/Z-xz+f-(xz+/)=T：.MN=2 6(负值舍去)，故选：C.1 0.B解：四边形4 88是0 的内接正方形，且边长为%.正方形ABCD对角线长为/甲+4。=472 ,八 1 x4正=2五.0 的半径为2 ,故选：B.1 1.B解:64解：对于直线令x=,求出y=8；令k0求出x=6,.7(6,0),8(0,8),即=6,05=8,

19、根据勾股定理得：4B=10,在x 轴上取一点8 ,使/B =4 B,连接为N从1 的平分线，NBAM=ZBAM,在 48A/和中，AB=ABf/2 1 (4 AS阴 影=S扇 形CGE+SAG8c=T7T+-x 2 x 2=-+2 cm.360 2 J故选：C.15.C解：连接C,C F,如图，四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，ZACD=ZACB=45 f NDCF=ZFCG=45。/AC F=ZACD+NFCD=9010方 是 4必的中点,:.CH=-A F =AH=HF2.在.ADH和 8 中,AD=CDDH=DHAH=CH:.“DH 知 CDHQSS）,的结论正确；-A D/EF,

20、ND4F=NEFA,若4 F平分NDFE,贝 Ij必须=,即需要ND4尸=N。产/,点 E 是边C。上 的 动 点（不与点C、。重合），.D4与 ED不一定相等，NDAF=NDFA 不一定成立，AF平分ZD FE不一定成立，二的结论不正确；延 长 用 交 48 于点G,如图，则 GE=5C=4,EF=CG=3,AB=BC=4,GB=EC=FG=3,:.FG=EG+EF=1,AG=AB-BG=4-3=tAF=lAG2+FG-=750=572 的结论正确；AD/EF,;.D JS AFEI.DI AD：.EIEF tEF _CG _-4DBC2 911EI 1.57=2.2国-一JS o DI 5

21、 的结论正确.综上所述，的结论正确,故选：C.16.1 272-1由旋转的性质得/4?=9 0 ,./8，C=90。，./.CAP+/C A P =ZBAPf+ZCAPf=90,：.ZCAP=N B A P,在 力 尸。和 力 中，AP=APj22+22=25/2,.：C P B C-B P,二当点p 在线段S C上时，C P取得最小值，最小值是8 C-B P =2&-1,故答案为：1,25/21.1217.2出解：v AB=AC,ZA=60f，/是等边三角形，.Z5C=ZC=60,AD=CE,:.ABDCAE（SAS）AADB=ZCEA,：ZDAF=Z.EAC,；AADFS“EC,./AFD

22、=NACE=60,:Z F D =NBFE=60。,过点E作5尸的垂线，交于8。于点G,:.GF=-E F=22,:.GE=lEF2-GF2=V16-4=273故答案为：2G.18.4解：连接。、O E,如下图：由题意可得：NC=NOED=ZODC=90,BD=BF,CD=CE AF=AE,AC=2,8 c =5,.四边形OOCE 为矩形，AB=AC2+BC2=3t又.：OD=OE,.矩形Z)CE为正方形，设半径为尸，则CD=OO=CE=r,.AF=AE=12T,BF=BD=5-r,.12-r+5-r=13,解得，=2,圆的直径为4 步，故答案为：4.1 9.。.CJABCD,.-.AD/BC

23、,AD=BC,co为。的直径，.NCED=/A C D =90,.AD BC,.E D sF E B ,AD ED _ AE 诟 一 诟 一 诟，F是 8 c 的中点，FB=-B C =-A D .2 2,EB=*D,F E =；AE14AE+EF=6.4E=4,EF=2,.ZBEC =180-NCED=90 BC=2EF=4，设 8E=x,则 DE=2x,.BC2-B E2=C E CD2-D E2=CE21 B C2-B E2=CD2-D E29.16-X2=C2-4X2,gpC2=16+3X2,.CD2=AD2+AC2,AD=BC=4,.CD2=16+AC2,.A C2=3x29.=6

24、2 22=32,.A D/BC f.ZAC B=ZCAD=90，：.AB=JBC2+AC2=J16+32=48，故答案为：4 G.25百 25万20.Z H解：如图，设/C的中点为点O,连接 3,.BC=V102-52=5/3；NDAC=NACB=30,NZO8=60,AO=OC=OB=5,15过 点 O 作 0E_L8C于点E,O E=-O C=-2 2,.S阴 影=5扇 形 留 用+5AB0C-S BCE田 3+人员2-3600 2 230 xx75360。256 25乃22 1.商解：四边形”C。为正方形，.AD=DC,NADC=ZDCB=90,.在4DM 和 ADCN 中，AD=DC/

25、34:.2.故选：C.22.3五解：如图，作 G 关于的对称点G,在 CO上截取C=l,然后连接H G 交4 B于E,在E B上截取EF=,此时GE+C F 的值最小，16在矩形Z8CZ)中，有：CD/AB,AD/BC,AB=4=CDt AD=BC=2,;CH=EF=CH/EF,四 边 形 是 平 行 四 边 形，:.EH=CF,GH=EG+EH=EG+CF,V AB=4=CDt AD=BC=2,G 为边/。的中点，DG=AD+AG=2+=3,DH=CD-HC=3,由勾股定理得：HG=YGD+DH2=+3 2 =3&,即GE+C F的最小值为3 g.故答案为：3yH23.10cm:.AC=BC

26、=S,在AMOZC中，设0 O的半径为R,O C R-4,.OA2=AC2+OC1,:.R2=82+(/f-4)2)解得，R=i,17即该球的半径是1。?.2 4.见解析(2)5(1)证明：延长NE和8 c交于加,.四边形4 8 8是正方形BC=DA,AD/BC,ZADC=ZECM.E是CD边的中点DE=EC在4ADE和XMCE中，.NADE=NMCE DE=CEZAED=NMECI,./D E MCE(ASA)：.AD=MC f ZDAE=ACME,:.MC=BC,ZEAF=ZDAEACME=ZEAF：.AF=FM;FM=FC+MC=FC+BC,AF=FC+BC；(2)解：设下C=L BF=

27、4-x,由(i)知力尸=FC+8C=4+x,在 RS ABE 中 AB2+BF2=AF211842+(4-x)2=(4+x)2解 得 =1AF=BC+FC=4+=525.(1)见解析(2)101)证明：连接B r AB LO P y OB=OA,/B O P =AAOP,是0 的切线，.NO4P=90。,在AOBP与 力 尸 中，OB=OAJOD2-OA2=/52-32=4；P4、尸8为。的切线，PA=PB,19在 RtO DBP 中,PD?=PB2+BD2,解得P4=6,:.DP=PA+AD=6+4=0 _26.见解析24了日n(4 +4)2=2+82即 7解：（1）连接,图1 为0 的切线

28、，.DC1OC,.ZOCD=90,.Z0CA+ZDCF=9Q0,.DE LOA,./ZED=90，ZOAC+ZAFE=90 f.OA=OC 9,.ZOAC=ZOCAf./D CF=ZAFE,.ZAFE=Z.CFD,./D C F=ZCFE,：.DC=D F.(2)设。E 为x,为”的中点，Q=2OE=2x,.：OA=OC,20,.OC=2 xf4cos D=.DE YOA 9 5,DH=10DE 4cos D=-=一 DH 5,:.DE=8,.EH=D H2-D E2=7102-82=6,：.OH=6-x,：/HCO=/HED=90：4OHC=/EHD,：.AOCH fD E H,PC OH:

29、/DEDH y2x _ 6-x.T=l o ,12x=一:.7,“c 12 24OC=2x =A7 79 7，n2/cm,(10-/)cm(2)，=或4 时，尸。的长度等于10cm(3)存在，1(1)解：由题意得，AP=rem,BQ=2tcm,二.PB=AB AP=(10 /)cm故答案为：2fcm,(10t)cm；(2);=90,是直角三角形，根据勾股定理得：P B+8。2=pQ 即：。-厂+户 町解得：乙=,2=421，=o或4时，的长度等于10cm；(3)由题意得:SBPQ=X BQ x BP 91x即22/x(10-/)=9解得：4 T,2=9,当点Q运动到点C时，两点停止运动,即“4

30、12,解得，6,.=1时，ASP。的面积等于9cm2.28.见解析PC=5 PB=4 G -4 或 43+4(1)证明：N8NC=NZ)/E,.ZD AB+ZBAE=NBAE+Z.CAE,.NBAD=NCAE,：AB=AC,AD=AE,.加。也/CE(SA S)*.*BD=C E，.(2)AB=AC,AD=AE,N 8/C =NONE=90。.的。丝 ZCE(SAS).NABD=NACE.Z.ADB=ZPDC,.M D s PCD,AB BD.P C-cF又 AB=8,AD=4,/8/C =90。，.CD=A C-A D =A B-A D =4t BD=yjAB2+AD2-4 7 5228 _

31、4 6.-.P C =,P C 25 ；(3)-,-ADB=9 0 ,AB=8 9 AD=4 f.BD=yjA B-A D2=7 82-42=4 7 3 ,，4DPE为正方形,如图，当点P在线段8。上时,.-.PD=AD=4,.尸8=4百-4PB=BD+PD=4y/3+4.综上所述，P 8 =4百-4或4百+4.2 9.见 解析；(2)AE=CG的 CG,理由见解析；3M 3 V64或2(I)证明：,四边形ABCD,DEFG都是正方形，.AD=DC,D E D G ADC=EDG=9 0 ,.AADC+NCDE=Z.EDG+乙CDE,即 ZADE=ZCDG,23.AD Eg CDG(S S)(

32、2)解：4E=CG,AE CG t 理由如下：.“DE知CDG,.AE=CG,NEAD=NGCD,又.抱 COH=)/0。，.ZQHO=ADO=90,-.AH I C G,即力 E_LCG,.AE=CG,AE CG.(3)解：如 图1所示，当。E在 正 方 形 外 部 时，过点G作GV)交CD延长线于，延长X。交C G于M.AD=CD,ZDCN ADO=CDN=90,.CZW(ASA).DN=DO,.NCD=30 EDG=90,.NMDG=60,.NMGD=30。，MD=-D G =2,.MG=6MD=G ,.CM=CD+DM=4,.N D/M G,.effiy CMG,CD DN 3 二 D

33、N,即1 V3,F yDO=DN=4,AO=ylAD2+DO2=:.4.24如图2所示，当。E在正方形/8CZ）内部时，过点E作月。于 ,.NCDE=30,.ZEDM=60,.ZMED=30,D M=-D E =.2,:.EM =6 ,.AM =A D-D M =2,.EM/O D ,.皿 AOD,EM AM 73 _ 2.-.ODD,即访一AO=y/AD2+OD2=娅12.3 晒 376综上所述，4 的长度为丁 或 亍.30.(1)8=。且8E 1C Z),理由见解析Q)CE=24H,理由见解析25-V10-V2 5G-Vio+-V2（3）2 2 2 2解：（1）8七=。且理由为：AB=AC

34、,NBAC=/DAE=90,AD=AE：.&ABE 知 ACD.BE=CD f ZEBA=ZACD又.ACD+NCDA=9。ZEBA+ZCDA=90g|j ZBFD=90：.BE 上 CD(2)CE=2AH,理由为：如图，延长/”至 G,使得G=4 H,连接BG,:.BH=HD又.NBHG=/AHD：.&BGHADAH：.BG=DA=AC,/G =/GAD,BGAD.tZGBA+ZBAD=SO又,:ABAC=/DAE=9026.ZCAE+ZBAD=180：/C A E =/GBA又；AB=AE.&BGA 知 ACE.CE=AG=2AH(3)如图，取 Z C 的中点o,连接G,0 8 以 G 为半径作圆。则 G 是A。的中位线，OG=-A D =-y/2.OG/AD,2 2,所以点G 在圆。上运动，在 RUOBA中,OB=VAB2+OA2=-V io22 2-V io-x/2 5 G -V io+-V 2 线段8 G 的取值范围为2 2-2728