2021-2022学年广西桂平市高一年级下册学期期中考试数学试题含答案.pdf

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1、2021-2022学年广西桂平市高一下学期期中考试数学试题一、单选题1.已知向量a =(5,-2),6 =(加,6),且a 方,则?=()A.-1 5 B.1 5 C.5【答案】A【分析】利用两向量平行的坐标表示，列出方程求解即可.D.1 2【详解】向量“=(5,-2)茨=(肛6),且 ;.5 x6 (2)x/n =0 解得：wt =-1 5故选：A.2 .若复数z =-i 3 3 +2 r +2 i _ l，则z 在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【分析】根据复数单位的周期性，结合复数在复平面内对应点的特征进行判断即可.【详解】因为z

2、=-i-2 i+2 i-l =l-i,所以z 在复平面内对应的点为(-L-1),它位于第三象限.故选：C3 .记 3 A B e 的内角A B,C 的对边分别为a e c,若a=2,b f,B =4 5,则si n A=()A.B.画 C.在 D.且55 5 5【答案】B【分析】根据正弦定理可求出结果.【详解】由 正 弦 定 理 二=二，得si n A=4 i n 8 =2 x =典.si n A si n B b,5 2 5故选：B4.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1 所示，该几何体为上、下底面周长分别为3 2 c m,2 4 c m 的正四棱台，若棱台的高为3 c m,忽略收纳罐的

3、厚度，则该香料收纳罐的容积为()【答案】CC.1 4 8 c m3D.2 98 c m【分析】利用台体的体积公式直接计算即可.【详解】由题意可知，该四棱台的上、下底面边长分别为8 c m,6 c m,故该香料收纳罐的容积为$3 x(8?+6?+8 x 6)=1 4 8 c m .故选：C.5.在平行四边形438中，A B =(2,-4),AO=(3/)，若CO的中点为E,贝l J A E=()A.(5,-3)B.(3,-5)C.(1,-4)D.(4,-1)【答案】D【分析】根据平面向量的加法和数乘运算可求出结果.【详解】A E=A D +D E =A D +-A B=(3,1)+(1,-2)=

4、(4,-1).2故选：D6.已知某圆柱的内切球半径为:，则该圆柱的侧面积为()A.B.49K C.也巴 D.1 4 77r2 2【答案】B7【分析】由题意可得该圆柱底面圆的半径为圆柱的高为7,从而可求出其侧面积.7【详解】由题意得，该 圆 柱 底 面 圆 的 半 径 为 圆 柱 的 高 为7,7所以该圆柱的侧面积为2段7=4 9兀.故选：B.717.记J 1 B C的内角A 8C的对边分别为a,6,c,a =2,c =3,8 =,则A C边上的高为()A 历 R V 2 1 0 3 n 3A/211 4 7 1 4 7【答案】D【分析】根据余弦定理求出力，再根据面积公式列式可求出结果.【详解】

5、由 6 2=/+c 2-2 a 8 OsB=4 +9-2 x2 x3 x：=7,得 b=R.设A C边上的高为,因为S “玩.=工a c si n 8 =Lb/?,所 以,acsinB 2、3 x-或 3 /2 1,H OL O O/2 -=-广 J-=-b 币 1即A C边上的高为士旦.7故选：DU LIIU uuu I UUI|I I Ojr8.在.ABC 中，A D =2 DC E 为 叨 的 中 点，若 M=“|=3,A，则 A E.C E=（）53A.3 B.-C.2 D.-22【答案】A【分析】由平面向量的运算法则分解，转化后由数量积的运算律求解【详解】因为AE=1A8+:A D

6、=1AB+!AC,2 2 2 3CE=-C B +-C D =-（A B-A C -A C =-A B-A C f2 2 2、,623所以 A E C E 信-！A C-2 AC：LX1 6 +，X4X3X!-2X9=3.4 6 9 4 6 2 9故选：A二、多选题9.已知复数z满足z +Z =-4,z O=5,贝I j z可 能 为（）A.-2-i B.2+i C.-2+i【答案】ACD.-2-2 i【分析】设2 =。+济（a,beR）,a+bi+a-bi=-4a由2+hi=5 可求出结果.【详解】设z =a +Ai （。力e R）,a+hi+a-bi=-4则 二5所以 z =2 i 或z

7、=-2+i.故选：AC1 0.已知平面内三点 A（o,l）,B（-2,5）,c（l,4）,则（）A.8 c =（-3,1）B.A C I B CC.AC+BC=2 4 5 D.A B 与 B C 的夹角为与【答案】B C D【分析】由题意可求得向量的坐标，由此判断A;计算A C8C，判断人根据向量坐标，求出卜。+8。,判断C;利用向量的夹角公式求得A 3与B C的夹角，判断D.U lU UUU1【详解】由题意得向量A 8 =（2,4）,A C =（1,3）,8 C =（3,-1）,故A错误；因为A C-8 C =l x3 +3 x（-l）=0,所以A CL B C，B 正确.因为 A C+8C

8、=（4,2）,所以WC+8 C|=2石，C 正确.因为8 s M/A DBD力 阿A B园B C=瓯厮-1 0 =一了V 2，因为（A 8,B C）e 0,R,所以AB与8c的 夹 角 为,，D正确.，故选：B C D1 1.记A A B C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下面说法正确的是（）A.若 A=6 0。，a=2 0,8=3 0,则A 4 8 C无解B.若 A =1 5 0。，4=3,b=4,贝IJAABC有一解C.若A=4 5。，a=近,b=6,则AABC有两解D.若 A=60,a=1 2,b=8,则A A B C有两解【答案】A C【分析】利用正弦定理逐一判断即可得出答案

9、.【详解】解：因为s in 8 =s in A =1,所以 A B C无解，A正确；a 4I1A=1 5 0。，因为s in 8 =s in 4=-小 所以皮3 0。，AABC无解，B 错误；a 3 2且2石一3因为s in B=s in A=a因为 s in B=s in A=所以A=6 0。或1 2 0。，4 A B C有两解，C正确；a b,所以B为锐角，4 A B C有一解，D错误.故选：A C.1 2.若正四面体外接球的表面积为等，则（）A.该正四面体的体积逑4B.该正四面体的表面积为90C.该正四面体内切球的半径为四4D.该正四面体的外接球上一动点仞到内切球上一动点N距离的最小值为

10、亚2【答案】A C D【分析】对于选项A：利用公式S=4求出半径，将正四面体放到正方体中考虑，即可快速求出答案；对于选项B：利用体积差法，总体积减去四个规则小三棱锥的体积即可得解；对于选项C：根据内切球和外接球球心重合，求出正四面体的高减去外接球的半径，即为内切球的半径；对于选项D：外接球半径减去内切球的半径即可得解.设正四面体的外接球半径为R,贝 丁 齐=罢得人呼.把正四面体A-C F G补形为正方体ABCD-EFHG,则 R=AB=辿，2 4得 48 =逑，A 尸=3.2丫=5-4匕 _.=（半4 3*）=，A 正确.该正四面体的表面积为4s 力2=4 x g x 3 x 3 x 4 =9

11、 石，B错误.设正四面体的高为力，则%=得=6,因为正四面体的外接球球心八v rv 3 t n r v j 2 4与内切球球心重合，所 以 内 切 球 半 径 厂=-粤=半，c正确.该正四面体的外接球上一动点M到内切球上一动点N距 离 的 最 小 值 为 亚-逅=迈，D正确.4 4 2故选：A C D.三、填空题13.如图，在长方体ABCD-E尸 G”中，M,N 分别是EH和 FG 的中点，则在三条直线A。，CD,B F中，与直线MN是异面直线的共有 条.【答案】2【分析】由MN/CD,判断出MN与 C;由异面直线的判定定理判断出直线A）,B F 均与M N 异面.【详解】因为脑 CO,MN与

12、 C。共面；由异面直线的判定定理可得：直线AD,B尸均与MN异面.故答案为：214.甲、乙两艘渔船从点A 处同时出海去捕鱼，乙渔船往正东方向航行，速度为15公里每小时，甲渔船往北偏东30。方向航行，速度为2 0 公里每小时，两小时后，甲渔船出现故障停在了 8 处，乙渔船接到消息后，立刻从所在地C 处开往B 处进行救援，则乙渔船到达甲渔船所在位置至少需要小时.（参考数据：取&5=3.6）【答案】2.4【分析】根据余弦定理进行求解即可.【详解】由题可知A8=40,AC=30,B A C=60由余弦定理，得 BC?=48?+AC、2A 9 AC-0$60。=1 3 0 0,得 BC=10房,乙渔船到

13、达甲渔船所在位置需要的时间为 应 叵=冬 叵=2.4小时.15 3故答案为：2.415.已知正方形A8C3的边长为2,正方形A8C3的内切圆上有一动点E,平面内有一动点P,则（P A-P E）（PB+EP）的最小值为.【答案】-1【分析】将（PA-PE）.（P8+EP）化为E4.E B，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算可求出结果.【详解】因为（PA-PE）（PB+EP）=EA EB,以正方形ABC。的中心为原点，与正方形的边垂直的直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A（T,1）,8（1,1）,因为圆。为单位圆，所以设E（cosa,sina）,其中二 0,2兀）,则 EA=(一

14、 1 一 cosa一 sina),EB=(1-cosa,1 -sin a),所以 E4-EB=(-l-c o sa,l-sin a)-(l-c o sa,l-sin a)=-(1+cos a)(l-cos a)4-(1-sin a)2=-(l-co s2 a)+l-2 sin a+sin2 a=l-2 sin cr,因为一1 W sinaM l,所以当sin。=I 时，l-2 s in a 取得最小值T.所以(PA-PE)(PB+EP)的最小值为T.故答案为：T.四、双空题1 6.已知复数Z满 足 出=l+i,则2=,|z|=.Z【答案】1+i 叵2 2 2【分析】根据等式求出复数z,得到的复

15、数z化简后得到结果，再直接利用模长公式求解即可.【详 解】2+3i=1 +i/.z=2+3i1 +i(2+3i)(l-i)=5,1:z(l+i)(i)2 2故答案为:,亭.五、解答题17.已知复数z=m2(+i)+(3i-4)m+2 i-5(/ne R).(1)若z为纯虚数，求?的值；若 复 数 三 的实 部 与 虚 部 之 和 为1 4,求 加 的值.1【答 案】5(2)1【分 析】(1)先 将 复 数z进 整 理，得出其实部和虚部，由条件可得实部为零，虚部不为零得出答案.先 化简复数三，得出实部与虚部，从而求出答案.1【详 解】(1)z=毋。+i)+(3i-4)m+2i 5=(z2-4/n

16、 5)+？+3加+2)i 4A 7 7 -5=0，c r 八，解 得机=5(m=-1舍去)阳+3瓶+2Ho(2)：=-zi=-(，”2 -4，-5)+(P+3，”+2)ii=(，“2 +3m+2)-(nr-4，w-5)i所 以(机2+3TO+2)-(W2-4W-5)=14,解 得相=118.一个四棱锥木块如图所示，点。在AP8C内，过 点。将木块锯开，使截面平行 于 直 线PC和AB,请作出截面，即画出截面与木块表面相交的每条线段，并说明作法及理由.【答 案】答案见解析【分 析】过 点。作EF/5C,分 别 交PB,BC于点E,F,过 点E作E 4A B,交 附 于 点H,过 点F作尸G A

17、B,交A。于点G,连 接G 4,然后由线面平行的判定可证得A B平面EF G,PC平面EFGH.【详解】解：如图，过点。作EF PC,分别交PB,B C于点E,F,过点E作EH A 8,交 出 于点H,过点F作F G A B,交A Z)于点G,连接G”.截面为四边形E/7 GF.理由如下：E H /AB,FG/AB,/.E H /FG,:.E,F,G,四点共面.,：AB/EH,E H u 平面 EFGH,即0平面瓦6”，.8 平面 EFGH.：PC/EF,EF u 平面 EF G”，PC U平面 EF GH,平面 EFGH.1 9.记A B C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c =

18、b c o sA.(1)求B的大小；(2)若 b=3&,a+c=9 ,求 的 面 积.【答案】B =里4【分析】（1）根据余弦定理角化边得到2+。2 =四，再根据余弦定理可求出结果;（2）由/?=3 6,。+。=9 kR.a2+c2-b2=枇、求出。=9,再根据三角形的面积公式可求出结果.【详解】（1）由c =W+儿。S A及余弦定理得c =+b.户+。2-。2,化简得/+0 2 6=四,2 2 2 bc所以 c o s B=-=,2 ac2ir又0 8 0）r _ 2BP-2 a+3 mh=A（m a-h f 得（，）=2,解得 2=/6，又2 0,所以丸=灰.故”=工=一 四.2 32 1

19、.如图，在某景区依湖畔而建的半径为500米的一条圆弧形小路上，为吸引游客，景区在这条弧形小路上取两点A,B,准备分别以A,B 两处为入口，在河岸内侧建造两条玻璃栈道AP,B P,并在两条栈道的终点P处建造一个观景台，已知弧AB所对的圆心角为安(D若二为等腰直角三角形，且48为斜边，求 的 面 积；(2)假设玻璃栈道的宽度固定，修建玻璃栈道的造价按照长度来计算，且造价为1 20 0元/米，试问当TTN A P 8 =三时，修 建 两 条 玻 璃 栈 道 最 多 共 需 要 多 少 万 元？【答案】(1)6 25 0 0平方米.(2)1 20 万元.【分析】(1)根据圆心角和半径求出弦长AB,根据

20、等腰直角三角形求出直角边，再根据面积公式求出面积.(2)设=0 e(O,y),利用正弦定理求出P 8、P A,在求出P4+P8的最大值，然后乘以0.1 2即可得解.【详解】(1)因为弧A8所 对 的 圆 心 角 为 圆 的 半 径 为5 0 0,所以A B =5 0 0米,又，4?P为等腰直角三角形，且A8为斜边，所以P A=P 8 =A8=2 5O 0米，2所以的面积为:P A2=1 x 25 02 x 2=6 25 0 0平方米.(2)设=0 e(O,y),AB由正弦定理得Fs i n-3AB由正弦定理得一s i n 3PBs i n。，n nAB-sin0 5 0 0 s i n(9 1

21、 0 0 0 8.八znPB=-=-；=-s i n 8得.K 拒 3s i n 3 2PA AB-s i n(-0).,2兀 小，得 展-三 s i n(-0)V 33 1 0 0 0 5/3 .27 1 万、-s i n(-6),3 3所以 P A+%=S,“+s i n(g-e)卜里“+等 c o s e+i n e坦 迪 石 s i n(e +工)=1 0 0 0 S i n(。+5),3 6 6、r c -2兀 l l 兀 八 兀 5 兀因为。所以w。+工 L，3 6 6 6TT TT 7 T所以当e+m=g,即时，PA+废 取得最大值为1 0 0 0 米，6 2 3所以修建,3 P

22、 两条玻璃栈道最多共需要1 0 0 0 x 0.1 2=1 20 万元.22.如图，在正三棱柱AB G-AB C 中，。为 A 瓦与A4的交点，例为8c的中点，E F 2 A E 2 F CX-证明：平面A4G；(2)若 G为线段F C 上一动点，在 平 面 上 是 否 存 在 一 点 N,使得NG平面AO E恒成立？若存在，请找出点N位置并证明NG平面AO E;若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)存在，点 N在Aq延长线上，且 4 4=2 qN,证明见解析.【分析】(1)先证明O MA G，再根据线面平行的判定定理即可证明问题；(2)先证明与C GF全等，得到A E C 尸

23、，进而得到b 平面AO E,再得到F N 平面 O E,然后得到平面4 0E平面F C N,进而确定出点N的位置并证明问题.【详解】(1)在三棱柱A B C-中，。为A4 的中点，连接为的中点，易知共线，且 M为BG的中点，.OM为V A B G的中位线，.O M A G，；AGu平面AfG，QM(X 平面 *O M/平面 AMG.（2）存在点N,当N 在 A%延长线上，且 4 片=2 8 时满足条件.理由如下：如图，延长4 4，使得4 4=2 片，.AA=CCj,：ZA.AE=ZCCF,：.AAE 与 jC G/全等，AE=GF,：.ZA.EA=Z C F C,.,.NCFE=NAEF,：.E/C F .4 万=平面4。七，a 平面AQE,.b平面AOE.由d =2 危=2 危 及 Aq=281N得 当=坐=!，AEO与 AFN相似，EOEV.1AN AF 3,.比 Z平面4。,30平面4。，二硒平面4。.又,：FN,CF u平面 FCN 且 F N cC F =F,二平面 AOE 平面 FCM NG u 平面 FCN,：.NG 平面 AQE.