函数与导数大题训练-2022届高三数学二轮复习.pdf

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1、2022届高三数学二轮复习大题训练(12)(函 数 与 导 数)1 .已知函数/(X)=(C I X2+x +1)伉.(1)若 4=0,证明：当 X 1 时，/(X)0；3(2)令 (x)=/(x)-1 加+2(a-l)x ,若 x =l是夕(x)极大值点，求实数。的值.2.已知函数/(x)=/nx,g(x)=x2-x +1.(1)求函数(x)=f(x)-g。)的单调区间；(2)若直线/与函数/(幻，g(x)的图象都相切，求直线/的条数.3.已知函数/(x)=(，一 x)，一2,g(x)=Q-尤)/。一 x)+x+l,其中，为实数.(1)当x 0 时，讨论函数f(x)的单调性；(2)当，1时，

2、若 f(x)v g(x)恒成立,求最大的整数f.4.已知函数/(x)=e2&+%-x L,其中“，。是实数且awO.a(1)当a 时，讨论函数f(x)在(0,zo)上的极值情况；(2)若函数f(x).O对一切x e(-1,用)恒成立，求。的最小值.a a5.已知函数/(x)=f+a si n*a 0),f(x)为f(x)的导数.(1)若x =0为/(x)的零点，证明：/(x)在区间 0,q 上单调递增；(2)当。=1时，不 等 式/0)恒成立,求实数，的取值范围.2+c o sx6.已知函数,f(x)=a e,.(1)求/(幻的极值；(2)若犯心二2，|=住(。4 。恒成立，求实数4的取值范围

3、.7 .已知函数 f(x)=alnx-x+(a0).x(1)当x.l时，/(幻,0恒成立，求实数。的取值范围；(2)当 4 =1 时，=xf(x)+X2-1 ,方程 g(x)=m 的根为,x2,且七 百，求证：x2-x +em.8 .已知函数/(x)=e-这一。，a e R.(1)讨论/.(X)的单调区间；(2)当a=i时，令g(x)=2q 2.X证明：当x 0时，g(x)l；若数列 x,(N)满足 =g,e/=g(x)，证明：2n(eXn-1)l 时，/（%）0；（2）令 e（X）=/（X）-/G；2 +2（一 l）x ,若 X=1 是 9（X）极大值点，求实数。的值.【解答】(1)证明：=

4、0 时，/(x)=(x-FV)lnx,尤 1 时，x+1 2,I nx0,f(x)=(x +1)lnx0.(2)(p(4=f(x)-ax2+2(a-)x=(ax2+x+)bvc-cix2+2(a-1)x,(x)=(2c/x+)lnx+(ax2+x+-3 ax+2(a-)=(2ax+)bvc-2ax+2a-,(p (1)=0,x(P(x)=2abvc+2a H-2a =Zilnx H-=g(x)，g(I)=0,X X X X，/、加 1 2 2ax2-x +2X令 g，(1)=2a+1 =0,解得 a ,2当 =_；时，gr(x)=x +2(x +2)(1 x)可得x =l时，0（X）取得极大值

5、即最大值，（P（1）=0,0（x）,0,又 d（i）=o,x=1 是e（x）极大值点,实数Q 二二.22.已知函数/(x)=/nr,g(x)=x2-x +l.(1)求函数以x)=/(x)-g(x)的单调区间;(2)若直线/与函数/(幻，g(x)的图象都相切，求直线/的条数.【解答】(1)函数/(x)=/nx,g(x)=x2-x +1 ,贝!|/0)=/(工)一8(幻=/氏 一 工 2+工 一 1,定义域为(0,+oo),又h(x)=-2 x +l=_ d)(2 x +D,X X当O v x v l时，(x)0；当1 时，(x)0),则 F(x)=-安=(2+】)尸).4x x 2X3 2x3当

6、0 c x v l时，F,(x)l 时，F(x)0,所以尸(x)在(0,1)上单调递减，在(1,此)上单调递增，所以尸。)而“=尸(1)=-1 ln(e2)-2 =0,所以尸(x)在(1,内)上有一个零点；1 1 7/7/4 7i F(x)=Inx H-1-,可得/(6 2)=2H-1-=-1-0,2x 4 2 4 4 2 4所以尸(X)在(0,1)上有一个零点.所以尸(x)在(0,内)上有两个零点，故有且只有两条直线与函数fW ,g(x)的图象都相切.3.已知函数,f(x)=Q-x)e*-2,g(x)=(f-x)/(f-x)+x+l,其中f 为实数.(1)当x 0时，讨论函数f(x)的单调性

7、；(2)当/1时，若/(x)0恒成立，所以f(x)在x 0时单调递减，当时，0c x e f-1 时 f(x)=Q-l x)e*0,当 大，一1 时 fx)=(Z-x)ex 0时单调递减；当，1时，/(x)在(01-1)时单调递增，在单调递减.(2)i己 F(x)-/(%)一g(x)=。一x)er-2-(z-x)/n(t-x)-x-t,则 Fx)=(/-1-x)ex+ln(t-x),(x 0，ln(t x)0 所以 Fx)=(f 1 x)cx+ln(t x)0当 f-lv x v f 时,(r -1 -x)ex 0,/n(t-x)0,所以尸(x)=(7-l x)e*+/(f-x)0,所以F(x

8、)在x l时单调递增，在r-l x r时单调递减，所以当x =1时，/(x)有极大值也是最大值，且?)皿=尸4-1)=/-2-1,所以 F(x)所以/(x)g(x)恒成立，只要 e T-2f-l 0 即可.令h(t)=则=e T _ 2,当 l fv l+加2 时,ht)l+/2 时，0,所以=e T -2-1在+加2时单调递减，在t l+以2是单调递增,所以，=1 +及2时h(t)=-2r-1 取到最小值,且h(t),m=h(l+ZM2)=-2ln2-l 0,h(2)=e-5 0,所以 d -2f-1 l时，若f(x)0对x w(0,+o o)恒成立，所以函数f(x)在(0,口)上单调递增，

9、所以/(x)没有极值；当b。,知0 cx-6时，f(x)-b时，f(x)0,函数f(x)单调递增，所以函数/(x)在(0,o)上有极小值且极小值为f(-b)=h-,没有极大值，综上，当6.0时函数F(x)在(0,”)没有极值，当/?0(a H 0),所以 f(x)=2ae2ai+b-1 在 R 上单调递增,所以当a0时，r(x)0,所以f(x)在x e(-L+o o)上单调递减，a所以a 0时，若_ f(x)=0 得2%+6 =即.x _b+ln(2a)时，尸 0,即f(x)单调递增，2a令)=k ,即 a =2,a k则：当,即力+/(2).2时，/(x)在(一工,+/(-)=e-2+_!=

10、e 2 0恒成立，a a a所以 A +ln(2a).2 时，/(x).0在xe +c o)时恒成立，此时履+/（）朦,k 2 7 （2）,a人，/、2-ln（2x）,小”、山（2x）-3令 （）=-（x 0）,hx）=,X X当0c x时，（尤）0,（x）单调递增，2所以/?（%）有最小值为（）=-/，所以一+阳2 0时,2最小值为一义；a 2a a e当一!_ +/（2）即 b+仇（2a）2 时，a 2af（x）在（_L,+/（2a）上单调递减,在（_b+/（2a）,用）上单调递增,a 2a 2a所以f（x）在x=_*02时取到最小值，2a若/（X）.O在X（-,+00）时恒成立，a则/喻

11、J+/W）,0,得6+加（2砂.1，2a 2a a所以生，+伍（2a）.1,则我.1吟）,a2当0c x时，加（%）0,皿x）单调递增，6 2所以加（九）有最小值/n（）=-,所以二 +仇（2。）时,2的 最 小 值 为 一，a 2a a e而 一 0),f(x)为f(x)的导数.(1)若x=0为/(x)的零点，证明：/(x)在区间 0,q 上单调递增；(2)当。=1时，不等式“幻 0)恒成立,求实数，的取值范围.2+c o sx【解答】(1)证明：由题意，函数/(x)=M +a s i n x(a 0),可得了(冗)=也+a c o s x,ex ex因为x=0为/)的零点，所以尸(0)=0

12、,即/w +a =0,从而/(%)=+c o sx=a cosx-(1 -x)ex，ex若-e 0 3 ,g(x)=c o s x-(1 -x)ex,贝ij g (x)=(2-x)/*-s i n x,2令 (x)=g (x)=(2 x)ex-s i n x,贝 =(x-3)ex-c o s x 0,/?(y)=(2-)/1-l 0,g(x)在(0,X 0)上单调递增；当 X(X 0,9 时，(x)=g，(x)0 ,g(x。)g(0)=0，x e (0,9时，g*)。恒成立.x o,.-.r(x)o,所以幻在区间 o,自上单调递增.(2)当4=1时，/(x)=s i n x,则不等式化为一如它

13、一0 .2+c o s x 2+c o s x令 G(x)=,nx-3,2+c o s x、2c o s x+l 2 3 .1 1.2 1(2+c o s x)2+c o s x(2+c o s%)2+c o s x 3 3当机 时，G(x)0,G(x)在(0,+o o)单调递增，且G(0)=0,故 时 满 足 题 意;3 3当0 v机 V4时，令H(x)=s i n x-3 a，则”(x)=c o s x-3机在。物)有无数零点，3所以存在最小的一个,当为(0,与)，使(x)0,则H(x)在(0,%)单调递增,所以 H(x)7/(0)=0,B P sinx 3mx,所以 H c Q y),使

14、一如竺一 SnA tvx,2+cosx 3所以如:一 _叫 o,故0 祖 0,所以/职,0,令 (不)=上 ,跃 马2+cosx 2.冗sm.2 _ =1 0,不满足题意，舍去.2+cos 22综上可得，*,即实数，的取值范围是今，+如6.已知函数=-x(ae R).(1)求/(x)的极值；(2)若叫，2 =能 d=不2(。，1 0恒成立，求实数上的取值范围.【解答】(1)函数/(x)=。/-犬的定义域为R,fx)=aex-,当&()时，:(幻 0 时，令/)=。/一 1=0 ,则 x=/！=一 或，aX G (-CO,时，fX)0 ,/(x)在 x c (-I na,-KX)单调递增；故/(

15、x)在 x=I n =-I na取极小值，且f(ln-)=1 4-I na,无极大值a a综上，当,0 时，/(x)无极值；当a 0 时，/(x)在 =加 =一 加 a取极小值，且/(/3=1 +栈，无极大值.a a(2)ate，2=at2eh=t1t20 t 0 时，/(%)在 x=-/a 取极小值，K f(-lrui)=1 +I na 0 ,故 0 a ，e又 f(1)=ae-0 f 0 t1 ln 0 恒成立，/.对任意O v6 恒成立，f i+G a,/.r2+Z j =a(e，2+e1)9 t2t1=a2et+t2 h.a=ae，2-t2=0 e，2-etxt2 ae，l+，2=-r

16、tx+12 e 4-e 2GF)，必 二 八(*-eh)(+a)庚f 一 八对任意0 Z j 1 I n 0,2 对任意 7 0 恒成立，则几 0.em-em1”一 丝 0 对任意m 0 恒成立令 (/%)=e e,n-0,则 hXm)=e,n+e-m-A,A当2 L.0,即;I 时，hm)=em+0恒成立故(?)在 me(0,+8)为单调增函数,22A.又(0)=0,(机)0对机0恒成立当2-1 0,即时，/?(附为单调增函数，又(0)=2-1 0,.3%(0,吟)使/7(%)=0,当m(0,恤)时,hm)0,故h(m)在机e(0,外)单调递减.当，豌(0,飞)时，h(ni)0).X(1)当

17、x.l 时，/(幻,0 恒成立，求实数。的取值范围；(2)当 =1 时，g(x)=xf(x)X2-1 ,方程 g(%)=机的根为尤|,X2,且 占%，求证：x2%)1 4-.【解答】(1)fr(x)=-1 =X-,设 y u-f+o r-l,则=/一 4,X X J T当0 ,2 时，A 0,广(戏,0 恒成立,所以/(x)在 2 时，0 ,方程一 X?+依一1 =。的根为.-又因为%毛=1 ,所以X 1 0 ,得 L,x +J；一 勺,由 /(X)+年所以“X)在 口，+；+4)上是增函数,在(+,+8)上是减函数,因为/(1)=0,所以/(戏,0 不恒成立，所以0 ,2,所以。的取值范围为

18、(0,2.(2)证明：(x)=xlnx,g (x)=1 +I nx,所以g(x)在(o,3 上是减函数，在 d，+o o)上是增函数,e e当x(0)时，I nx-1,所以x/n r v x,即 g(x)v-x,e设直线y =-与 y =z 的交点的横坐标为x3，则x v 毛=-m ,下面证明当X (L 1)时，g(X)一(工 一 1),e e-1设 h(x)=xbvc.-(x-1)=x(lnx-+),m(x)=I nx F -e-1 e-1(e-l)x e-1(e-l)x1 (e-l)x-l则 mx)=-x(e-l)x2(e-l)x2所以双x)在(1,J-)上是减函数，在(一匚，1)上增函数

19、,又因为他()=0，m(1)=0，所以加(x)0,/?(x)0,e故当 X(，1)时，g(%)%=l +(e-1)/%,e-所以七一芯x4-x3=l+e m9得证.8.已知函数/(%)=，一公一，a e R.(1)讨论f(x)的单调区间；(2)当 4=1 时，令 g(x)=2孕.X证明：当x 0时，g(x)l；若数列 x/(e N*)满足玉=g,1=8(土)，证明：2n(ex-1)0恒成立，即f(x)在(-o o,4w)上单调递增，当 a 0时，令/(X)=e*-a 0,解得x I na,令.f (x)=e*-a 0,解得x/w,即f (x)在 y,lna)上单调递减，在(/陷+0时，/(x)

20、在(f o,3)上单调递减，在(/“,*)上单调递增.(2)当a =l时，g(x)=二 匚x1 2.,1 _ 、2 X+X+1证明：当 X 0 时，-1 1 +X+-1,%1 22 短11贝!J eXi-1 =ee3 1 g(x)一 1 v g e -g ,又当x 0时，g(x)-l +2)/+(x +2了 0 o。1；+1 0,1 2 X+X 4-1尸(X)F(0)=F-1 =0，因此，-0时，g(x)l.由可知，当x(0,+o o)时，g(x)1,由 X i=；得*=g(x)l,即 w,。，由 e%=g(x“)，可得 x“0,而e l =Xe-()3=e 0,/(x)=0 恒成立，x +2 (1 +2)-则人(外在(0,-KX)上单调递增，h(x)/z(0)=0，则当 x 0 时，恒有-一-e +1 0,而 x (),x +2即 g(x)_ l V；/；成立，不 等 式_ v g(/-1)成立，因此e%-1)v 5(e i 1)/(镇 一1)成立，即*一l e g)”成立,所以原不等式得证.