八年级下册数学第16章一元二次方程导学案.pdf

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1、第十六章二次根式教学备注1 6.1 二次根式学 生 在 课 前完 成 自 主 学习部分第1课时 二次根式的概念学习目标：1.理解二次根式的概念；2 .掌握二次根式有意义的条件；3 .会利用二次根式的非负性解决相关问题.重点：理解二次根式的概念及有意义的条件.难点：利用二次根式的有意义的条件及其非负性解题.-一、知识链接1.什么叫做平方根?2.什么叫做算术平方根？什么数有算术平方根？二、新知预习1.用带根号的式子填空：(1)如图的海报为正方形，若面积为2 m 2,则边长为 m：若面积为S m?,则边长为.(2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6 m 2,则它的宽为 m.(3)一个物体从

2、高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与开始落下的高度h(单位：m)满足关系h=5?,如果用含有”的式子表示t,那么f 为.2.自主归纳：(1)二次根式的概念：一般地，我们把形如石(a _0)的式子叫作二次根式.“一”称为二次根号.(2)二次根式的双重非负性：二次根式的被开方数为 数，二次根式的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ 数.三、自学自测1 .下列各式中是二次根式的是（）A./3 B.V4 C.-T T D.J（-2.二次根式有意义的条件是.四、我的疑惑教学备注配套P P T讲授1.情景引入（见 幻 灯 片3-8）/_ 课堂探究一、要点探究探究点1:二次根式的意义及有意义

3、的条件问题1 夜，逐,6,分别表示什么意义?问题2 这些式子有什么共同特征？要点归纳：一般地，我们把形如-J a（a20）的式子叫作二次根式.“”称为.典例精析例1下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？（D V3 2；（2）6;（3）7 1 2;（4）（相W 0）；而（羽 y异号）；（6）J4+1；（7）/5.方法总结:判断二次根式是，抓住二次根式两个必备特征：外貌特征：含 有“丁”；内在特征：被开方数a 2 0.例2 （教材P 2例1变式题）当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？x 12.探究点1新知讲授（见 幻 灯 片9-1 6）方法总结:要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足

4、被开方数20,列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零.7 【变式题】当X是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?教学备注 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _一配妥 PPT 讲授(1)+2 X-1;(2)V-x2-2 x-3.方法总结:被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.针对训练|1.下列各式：6;而;五 二T(xN l)；历;+2戈+1 一定是二次根式的有()A.3个 B.4个 C.5个 D.6个2.(1)若式子存在实数范围内有意义，则x的取值范围是；(2)若式子 一+在实数范围内有意义，则x的

5、取值范围是.x-23.探究点2新知讲授(见 幻 灯 片17-22)探究点2：二次根式的双重非负性问题1：当x是怎样的实数时，G在实数范围内有意义？呢？问题2：二次根式右的被开方数“的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？要点归纳：二次根式的实质是表示一个非负数(或式)的算术平方根.对于任意一个二次根式正，我们知道：(1)。为被开方数，为保证其有意义，可知a0；(2)6表示 一 个 数 或 式 的 算 术 平 方 根,可 知&0.典例精析|例 3 若|a-2|+J b-3+(c-4=0,求 a-b+c 的值.方法总结:多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对

6、值、偶次第及二次根式.例4已知y=yJ x-3+J 3-x+8,求3 x+2y的算术平方根.7【变式题】已知人为等腰三角形的两条边长，且 满足b=V +j 2 a-6 +4,求此三角形的周长.方法总结:若y=G +G+，则根据被开方数大于等于0,可得a=0.针对训练已知|3x-y-l|和 j2 x+y-4 互为相反数,求x+4y的平方根.教学备注配套PPT讲授二、课堂小结二次根式的概念一般地，我们把形如右（aNO）的式子叫作_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _称为二次根号，根指数为_ _ _ _ _，可省略.“广二次根式有意义的条件被开方数（式）为_ _ _ _ _ _ _ _ 即有意义

7、二次根式的非负性双重非负性：a 0,7a 0.4.课堂小结（见幻灯片29）国堂检2 B.x2 C.x2 D.xW23.当x=一时，二次 根 式 取 最 小 值，其最小值为4.当。是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）7 a ;（2）J 2 a+3;（3）V ;_7教学备注配套P P T讲授5 若 二 次 根 式 存 有 意 义，求”的取值范围.5.当堂检测(见 幻 灯 片2 3-2 8)(2)无论x取任何实数，代数式，f+6尤+加 都有意义,求m的取值范围.6.若 x,y 是实数，且 y -1-5观察两者有什么关系？要 点 归 纳：一 般 地，(后 丫=3 _0),即一个非负数的算

8、术平方根的平方等于教学备注配套PPT讲授典例精析例 1(教材P3例 2 变式题)计算:例 2在实数范围内分解因式：/_ 3;(2)/-4/+4.方法总结:本题逆用了(4)2 =”5 2 0)在实数范围内分解因式.在实数范围内分解因式时,原来在有理数范围内分解因式的方法和公式仍然适用.针对训练计算：(1)()2；(2)(2 应)2.探究点2：的性质3.探究点2新知讲授(见 幻 灯 片12-21)议一议：下面根据算术平方根的意义填空，你有什么发现？1.计算：7207观察其结果与根号内基底数的关系，归纳得到：当 4 0 时;.观察其结果与根号内幕底数的关系，归纳得到：当a0fl寸,后=.3.计算：;

9、当 a =0 日 寸,J a =.7要点归纳：将上面得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质:教学备注配套P P T 讲授,一（40）,C=|a|=（a=0）,即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.（【变式题】实数、b在数轴上的对应点如图所示，化简：a2+4 ab+4 b2+a-b.b a 0方法总结:利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对值内式子的符号.例 5 已知 a、b、c 是A BC 的三边长，化简：J（a +c）2 -&b +c-+c-b-a）2.三边长均为正数，a+6+c 0两边之和大于第三边，b+c-a 0,c-b-a2 C

10、-X D.2-x22 +y222 32 .如图是一圆形挂钟，正面面积为S,用 代 数 式 表 示 出 钟 的 半 径 为,二、课堂小结二次根式的性质内容性 质 1一 个 非 负 数 的 算 术 平 方 根 的 平 方 等 于 它 一(&)=a(a 0).即性质2一 个 数 的 平 方 的 算 术 平 方 根 等 于 它 的 白=同=/口 )，1 a(aV0).即5.课堂小结(见幻灯片3 0)7教学备注配套P P T 讲授6.当堂检测(见 幻 灯 片2 6-2 9)/5当堂检测V1.化简V id得()A.4 B.2C.4D.-42.当 1。3 时，J(x 3)一 的 值 为()%3A.3 B.-

11、3C.1 D.-13.下列式子是代数式的有()a+b2;&;1 3;x=2;3X (4-5)1 0 x+5y=1 5;A.3 个B.4个C.5 个D.6 个4.化简：(1)y/9 =_,；(2)7(-4)2=-;(3)=_；(4)(网2=5.实数。在数轴上的位置如图所示，化简灯一2|+J(a 1)2 的结果是.-1 0 a2,6.利用a=(&)2 (a 2 0),把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：(1)9；(2)5；(3)2.5；(4)0.2 5；(5)-；(6)0 .2能力提升7.(1)已知a 为实数，求代数式-2 a+病 的 值.(2)已知a 为实数，求代数式J R-J F Z

12、+G7的值._第十八草二次根式教学备注1 6.2二次根式的乘除第1课时 二次根式的乘法学习目标：1.理解二次根式的乘法法则；2.会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.重点：理解二次根式的乘法法则：&=而(4 2()/2 0).难点：会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质解题.学 生 在 课 前完 成 自 主 学习部分-A)J主 学 司I一、知识回顾1.二次根式的概念是什么？我们上节课学了它的哪些性质？配 套 PPT 讲授1.情景引入(见 幻灯片3-5)2.使式子(右 丫 有意义的条件是_.-辰 堂 探 三、要点探究探究点1:二次根式的乘法2.探究点1新知讲授(见

13、幻灯片6-1 5)算 一 算 计算下列各式，并观察三组式子的结果：(1)V 4 x 炳=_ x _=_;J 4 x 9 =_;(2)V 1 6 x V 2 5=_ x _=_;V16X25=_;(3)V 2 5 x V 36=_ x _=_；V 2 5 x 36=_.思考你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？猜测 几标=_(a 0,h 0),你能证明这个猜测吗？要点归纳：一般地，二次根式相乘，_ 不变，_相乘.语言表述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.|典例精析例 1(教 材 P 6例 1 变式题)计算：V 2 x V 3 x V 5.7方 法 总 结：二 次 根 式

14、 乘 法 法 则 同 样 适 合 三 个 及 三 个 以 上 的 二 次 根 式 相 乘，即x!7i-4b.4k=y/a b.k C a0,h0,k0）教学备注配套P P T讲授例2计算：(l)2 x 3/7;(2)4 后 x(L2.探究点1新方法总结:当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即m4 cf n y j b =ah 0,Z?0）知讲授（见 幻 灯 片6-1 5）例3比较大小（一题多解）：2 6与 3 百；(2)-2 7 1 3-3 7 6.方法总结：比较两个二次根式大小的方法：可转化为比较两个被开方数的大小，即将根号外的正数平方后移到根号内，计算出被开方数

15、后，再比较被开方数的大小被开方数大的，其算术平方根也大.也可以采用平方法.|针对训练|1 .计 算 我xJ E的结果是（）A.V1 0 B.4 C.V6 D.22.下面计算结果正确的是（）A.4石x 2石=8后 B,5 7 3 x 4 7 2 =2 0 7 5C.4 7 3 x 3 7 2=7 7 5 D.5Gx 4收=2（）后3.计算：A/6 x VL5 x Vl O=.探究点2：积的算术平方根的性质一 般 的&茄=凉（。之0力20）,反过来可写为而=（嗔）力0）要点归纳：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.3.探究点2新知讲授（见 幻 灯 片1 6-2 2）好 女 狂 I 典例精

16、析个学备受工 例 4 (教材P 7 例 2 变式题)化简：配套P P T 讲授 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _(1),5 3-2 8-；(2)yjx3+6x2y+9 xy2(x 2 0,y 2 0).方法总结：当二次根式内的因数或因式可以化成含平方差或完全平方的积的形式,此时运用乘法公式可以简化运算.针对训练3.探究点2新知讲授(见 幻 灯 片1 6-2 2)1.计算：J(-1 4 4)x(-1 6 9);(2)3扃.屈.2 .下面是意大利艺术家列奥纳多达芬奇所创作世界名画，若长为J%，宽为J R,求出它的面积.4.课堂小结(见幻灯片

17、2 9)二、课堂小结二次根式的乘法内容二次根式的乘法算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.即法则4 a /=V f e(6 z o,z?o)积的算术平方根积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.即的性质ab=akba 0,b?0)二次根式的乘法多个二次根式相乘时此法则也适用，即法则拓展a yfb Vn =!abc n 0,/?0,c 0.A?0)=(z n/7)y/ab(a 0,b 0)/当堂检测1.若 Jx(x-6)=J.J x-6 ,则()A.x 2 6 B.x0 C.0 Wx W6 D.x 为一切实数2.下列运算正确的是()A.2 M x 36=6 厢 B，V52-32=

18、A/F-V3?=5-3 =2C.(.)x(-1 6)=V-4 x 5/1 6 =(-2)x(4.)=8 D.A/52 X32=5X3 =1 53.计算：(1)V3 X 7 1 5=；(2)7 6 X 42=;(3)V 3x2V 2=.4 .比 较 下 列 两 组 数 的 大 小(在 横 线 上 填 或“=)：(1)5 7 4 4底(2)-4/2-2 7 7.5 .计算：(1)2 7 3 x 5 V2 15(2)3房(一 乎)(3)3显 x 2晒x君;(a 0,b 0).教学备注配套PPT讲授5.当堂检测(见 幻 灯 片23-28)6.设长方形的面积为S,相邻两边分别为a,6.(1)已知。=次,

19、人=屈，求S；(2)已知a =2闻，6 =3后，求S.能力提升7.已知J 7 =a,A/7 0 =b,试着用a,b表示 d.7第十六章二次根式教学备注学 生 在 课 前完 成 自 主 学习部分1 6.2二次根式的乘除第2课时 二次根式的除法学习目标：1.了解二次根式的除法法则；2.会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算；3.能将二次根式化为最简二次根式.重点：理解二次根式的除法法则，能将二次根式化为最简二次根式.难点：会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算.-主学一、知识回顾1.二次根式有哪些性质？2.二次根式的乘法法则是什么？你能用字母表示出来吗？配 套 P P T 讲授1.情景引入

20、（见 幻灯片2.探究点1 新知讲授（见 幻灯片5-10）-课堂探究M四、要点探究探究点1：二次根式的除法算 一 算 计算下列各式，并观察三组式子的结果：思考你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？猜测ya赤(a 吵0力 0).要点归纳：（1）算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.（2）当二次根式根号外的因数（式）不 为 1 时，可类比单项式除以单项式法则,典例精析易得把 riy/b(a 0,/?0,/10).例 1（教 材 P8例 4 变式题）化简:,教学备注配套PPT讲授方法总结：类似（2）中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.探究点2

21、：商的算术平方根的性质要点归纳：把二次根式的除法法则反过来，就得到二次根式的商的算术平方根的性质:(aO,b 0).语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.3.探究点2新知讲授（见 幻 灯 片11-15）例 2（教材P 8例 5 变式题）计算:0.09x1690.64x196针对训练1.能使等式，巨工成立的x 的取值范围是（）YX-2 7732A.xW2 B.x20 C.x2 D.x222 化简:;(2);(3)V L 2 5.3.探究点2新知讲授（见 幻 灯 片11-15）探究点3：最简二次根式思考前面我们学习了二次根式的除法法则，你会去掉耳这样的式子分母的根号吗？7教学备

22、注:;P匕讲授4.探究点3新知讲授（见 幻 灯 片15-19）要点归纳：（1）把分母中的根号化去，使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化.（2）我们把满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.例3在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简.(1)7 4 5；(4)7 0 5;探究点4：二次根式除法的应用例4（教材P9例7变式题）高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”.据报道：一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡.据研究从高空抛物时间t和高度力近似的满足公式，

23、=.从100米高空抛物到落地5.探究点4新知讲授（见 幻 灯 片20-21）所需时间t2是从50米高空抛物到落地所需时间如的多少倍?6.课堂小结（见幻灯片27）二、课堂小结二次根式的除法内容二次根式的除法法则算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.即先屁。力。）商的算术平方根的性质商的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的商.即后知?。力。）最简二次根式最简二次根式满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.7刀当堂检测 1.化简的结果是（）A.9 B.3 C.3 0 D.2 G2.下列根式中，最简二次根式是（）A.V18 B.V24 C.730 D.A/36

24、3.若 使 等 式 叵 三=层！成立，则实数k取值范围是（）4 k-i V k-1A.k l B.k2 2 C.l/2+也=2B.V 3xV 2=3 7 2C.屈 一6=6D.G +夜=石2.已知一个矩形的长为a,宽为阮，则其周长为.二、课堂小结二次根式的加减内容法则一般地，二次根式的加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.注意(1)与实数的运算顺序一样；(2)实数的运算律仍然适用；(3)结果要化成最简形式.当堂检测1.二次根式:底后中,与 能 进 行 合 并 的 是()A.屈 与 旧 B.虐 与 屈 C.厄与厉 D.屈与历2 .下列运算中错误的是()A.

25、/2 +7 3=A/5 B.=瓜 C.也+也=2 D.(-8)2=33.三角形的三边 长 分 别 为 回，同,7 4 5，则这 个 三 角 形 的 周 长 为.4 .计算：(1)5 72+4 8=；(2)4 7 1 8-9 7 2=；(3)107 2 +(3-772)=：(4)5 4 2 .(3 花+2 )=,5.计算：(1)5 -2 7 2 7+4 8.5(2)2炳-国+；雨 屈-(3而+11处(4)(a病)6.下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为7 6 3.02 m2和15 0.7 2 m2,求圆环的宽度d (n取 3.14).能力提升7 .已知

26、a,b都是有理数，现定义新运算：a*b=G +3，求(2*3)(2 7*32)的值.第十六章二次根式教学备注1 6.3 二次根式的加减学 生 在 课 前完 成 自 主 学习部分第2课时 二次根式的混合运算学习目标：1.掌握二次根式的混合运算的运算法则；2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.重点：二次根式的混合运算的运算法则.难点：运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.-A）店主学H 1一、知识回顾1.二次根式的乘、除法则是什么？2.怎样进行二次根式的加减运算？3.填空：m(a+b+c)-；(m+n)(a+b)-；(ma+mb+mc)-i-m-.配 套 P PT 讲授1.情景引入（

27、见 幻灯片3-4）2.探究点1 新知讲授（见 幻灯片5-10）-课堂探究）六、要点探究探究点1：二次根式的混合运算及应用算一算：若把字母”,b,c,机都用二次根式代替（每个同学任选一组），然后对比归纳，你们发现了什么？要点归纳：二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.典例精析例 1（教材P14例 3 变式题）计算：（1）V 3（V 2 A/3）/2 7+|A/6 3|；（2）（2 016-7 3）+|3方法总结:有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.例 2 甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，其中有一

28、段路基的横断面设计为上底宽4 扇，下 底 宽 6 7 2 m 高 扁 的 梯 形，这段路基长5 0 0 m,那么这段路基的教学备注土 石 方（即路基的体积，其中路基的体积=路基横断面面积X路基的长度）为多少立方米呢？配套P P T 讲授针对训练计算：（1）（访-周X/2；(2)(2 +7 2)(1-/2).探究点2：利用乘法公式进行二次根式的运算整式乘法运算中的乘法公式有哪些？问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗?典例精析例 3（教材P 1 4 例 4变式题）计算：（1）（6+2；（2）（3&+相 卜（瓦 4;一 炳 一-自方法总结:进行二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为

29、最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式、因式分解等来简化运算.【变式题】计算:(1)(2 7 2 -3)2 0 1 8 x (2A/2+3)2 0 1 8;(2)(2 -V 3)2 0 l 7(2 +V 3)2 0 1 9-2 xT3.探究点2新知讲授（见 幻 灯 片1 1-1 5）/教学备注配套P P T讲授针对训练计算：/L 2（1 ）（2 V 2-1 ）；(2 )(V2-V3)(V5+V7)(V2+V3).4.探究点3新知讲授（见 幻 灯 片1 6-2 1）探究点3：求代数式的值例4已知x =g+1,y =6-1,试求f+2孙+产的值.【变式题】已知x

30、=0 =G+求 x 5 y+x y3.方法总结:用整体代入法求代数式值的方法：求关于K J的对称式（即交换任意两个字母的位置后，代数式不变）的值，一般先求二等的值，然后将所求代数式适当y变形成只含肝乂孙田y 等式子，再代入求值.y例5计 算:目 凉 而i方法总结:分母形如根G 土扬的式子，分子、分母同乘以 2 6千7 份的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.【变式题】已知 =求 心+及+26-2 y/5+25.课堂小结（见幻灯片2 9）二、课堂小结二次根式的混合运算内容运算顺序二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.（注意乘法公式的运用

31、）化简求值先将代数式化简，再代入求值，结果要是最简形式._1 .下列计算中正确的是A.A/3(A/3+-r)=3C.J3 2 4 /2,-22Z 当 堂 凝-)B.(V 1 2-V 2 7)-/3=-lD.7 3(V 2 +扬=遥 +26教学备注配套PPT讲授6.当堂检测（见 幻 灯 片22-28）2.计算(/2+V 3)2 V 2 4 =3.设 a=-y ,b=V l O -3,则 a以 填“”v 或“=”).4.计算：（1）严+外；2+3-8(3)(3+7 3)(3-/3)；(4)(3 +V 1 0)(V 2-V 5)(5)(V3-l)x(A/3+l)-1 j+（兀-2）。+庐15 .在一

32、个边长为（6 厉+5 0）cm的正方形内部，挖去一个边长为（6 屏 一 56）cm的正方形，求剩余部分的面积.6 .（1）已知 x=Ji+l,求%22%3 的值；已知x,y=22+。,求 尸+孙+丁？的值.教学备注配套P P T讲授能力提升7.阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式一 一 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简:6.当堂检测（见 幻 灯 片2 2-2 8）V 3 +12 2阳)2阳)和(M)(g)丁7 7J 2_ 3-1 _ (7 3 +1)(7 3方法二：V 3+1 6+1 6+1(1)请用两种不同的方法化简：2.石+行(2)化简：_!_+_!_+_!_+.+_ _ _ _ _!_ _ _ _ _ _ _V 4 +V 2 6+4瓜 +限 7 2 0 1 8+V 2 0 1 6